《矩阵分析》
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(2) 证明Q是数域中最小的数域.
定义:线性空间:
设V是一个非空集合, F是一个数域,在集合V的元素之间
定义了加法运算. 即对于V中任意两个元素 和 , 在 V中有唯一的元素 , 与它们相对应,称之为 与 的和, 记为 . 且满足:
(1) (2) ( ) ( ) (3）在V中有一个元素 ，(称为零元素)
例 1 n元实向量组集合
Rn x x1, , xn T : xj R, j 1, , n
是实数域R(复数域C)上的线性空间? 例 2 n元复向量组集合
Cn x x1, , xn T : xj C, j 1, , n
是复数域C(实数域R)上的线性空间?
例 3 n阶实方阵集合
Rnn A (aij )nn : aij R,i, j 1, , n
对于任何一组数 k1, k2 ,L , km ,
向量 k11 k22 L kmm 称为向量组A的一个
线性组合，k1, k2 ,L , km 称为这个线性组合的系数。
定义2：给定向量组 A :1,2 ,L ,m , 和向量 如果存在一组数 1,2 ,L m , 使得 11 22 L mm 则称向量 是向量组A的线性组合，
第一章 线性空间和线性映射
难点: 求映射的值域、核的基与维数
第一节 线性空间
一.线性空间的定义
几个概念：
封闭；数域 数域：F是包含0和1的数集，如果F中任两数（可相同）
的和、差、积、商（除数不为零）仍为F中的数， 则称F为数域
练习:
(1) F a b 2 : a,b为任意有理数 是否为数域？
或称向量 能由向量组A线性表示。
例如： 2 1 0 0 0
5 3
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
Baidu Nhomakorabea
2 1 0 0 0
定义
设 V为数域 P上的 n维向量的非空集合，
如果V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合
V为 P 上的向量空间．
注：V 中的加法与数乘运算满足上述性质 10 80
例: 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2,L , xn T x2,L , xn R
(2)V2 x 1, x2,L , xn T x2,L , xn R
问题3：全体正实数R ,加法“”和数乘“”分别
定义为：a,b R , k R, R是否为R上的线性空间？
a b ab
k
a
ak
,
例：设A Rmn , 记 N ( A) {x Rn , Ax 0},则N ( A)为R上的线性空间. 称其为矩阵A的核或零空间。
例：设AC mn , x C n , 记 R( A) {y Cm : y Ax,x Cn}, 则R( A)为C上的线性空间.称其为矩阵A的列空间 或A的值域。
则与的和 为
(a b ,a b , ,a b )
1
1
2
2
n
n
负向量：向量 (a ,a , ,a )
1
2
n
称为向量 的负向量
向量的差 ( )
加法运算满足性质
10 20 ( ) ( ) 30 0
40 0
注： 零向量和负向量是唯一的
《矩阵分析》
教材：史荣昌编, 北京理工大学出版社
教材科有售
第一章 线性空间和线性映射
难点: 求映射的值域、核的基与维数
第一节 线性空间
一.线性空间的定义 首先, 我们回忆一下《线性代数》中的向量.
向量的运算及性质
定义 向量的和：如果 a1,a2,L ,an
和 b1,b2,L ,bn 是数域P上的两个n 维向量
其中元素 , V ,k,l F.
则称V为数域 F上的 线性空间.
注1. V 对于加法及数乘两种运算封闭.
2.线性空间的元素称为向量.
例 R3 x1 x2 x3 x1, x2, x3 R 和Rn a1 a2 an ai R i 1, , n
对向量加法, 数乘两种运算分别构成R上线性空间.
例:
令Rxn
次数等于n的、变量x的实系数多项式：
f
(x)
a0
a1x
an xn：an
0, a j
R
R[ x]n 是否为R上的线性空间？
例：设A Rmn ,b Rm且b 0,记
V {x Rn , Ax b},V是否是R上的线性空间?
二. 线性相关性 1. 线性组合与线性表示
定义1：给定向量组 A :1,2 ,L ,m ,
数乘运算：设 k为数域 p 中的数，向量
ka1,ka2,L ,kan 称为向量 a1,a2,L ,an
与数 k 的数量乘积。记为 k
数乘运算满足下列四条规则：
50 1 60 k(l ) (kl )
70 k l k l
80 k( ) k k , 是n维向量，k, l P
是复数域C(实数域R)上的线性空间?
例4：设Rxn
次数小于 n的、变量 x的实系数多项式：
f (x) a0
a1x
an1xn1
R[ x]n 是否为 R上的线性空间。
问题1: 检验全体n阶实对称方阵的集合RS,对 矩阵的加法和数乘是否构成实数域R上的线 性空间?
问题2: 全体实连续函数C[a, b],按函数的加法 及数与函数的数乘,是否构成实数域R上的线 性空间?
满足: , V
(4) 对于 V , V ,使
在集合V的元素与数域F之间还定义一种运算,叫乘法.即对于
V中任一元素 与数域F中任一数k,在V中有唯一 与它们对应,称为k与 的数乘积,记为 k 且满足:
(1)1 (2)k(l ) (kl) (3)(k l) k l (4)k( ) k k
解： (1) 0,a2,L ,an T , 0,b2,L ,bn T V1 有 0,a2 b2 ,L ,an bn T V1 R,有 0,a2,L ,an T V1.
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
定义:线性空间:
设V是一个非空集合, F是一个数域,在集合V的元素之间
定义了加法运算. 即对于V中任意两个元素 和 , 在 V中有唯一的元素 , 与它们相对应,称之为 与 的和, 记为 . 且满足:
(1) (2) ( ) ( ) (3）在V中有一个元素 ，(称为零元素)
例 1 n元实向量组集合
Rn x x1, , xn T : xj R, j 1, , n
是实数域R(复数域C)上的线性空间? 例 2 n元复向量组集合
Cn x x1, , xn T : xj C, j 1, , n
是复数域C(实数域R)上的线性空间?
例 3 n阶实方阵集合
Rnn A (aij )nn : aij R,i, j 1, , n
对于任何一组数 k1, k2 ,L , km ,
向量 k11 k22 L kmm 称为向量组A的一个
线性组合，k1, k2 ,L , km 称为这个线性组合的系数。
定义2：给定向量组 A :1,2 ,L ,m , 和向量 如果存在一组数 1,2 ,L m , 使得 11 22 L mm 则称向量 是向量组A的线性组合，
第一章 线性空间和线性映射
难点: 求映射的值域、核的基与维数
第一节 线性空间
一.线性空间的定义
几个概念：
封闭；数域 数域：F是包含0和1的数集，如果F中任两数（可相同）
的和、差、积、商（除数不为零）仍为F中的数， 则称F为数域
练习:
(1) F a b 2 : a,b为任意有理数 是否为数域？
或称向量 能由向量组A线性表示。
例如： 2 1 0 0 0
5 3
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
Baidu Nhomakorabea
2 1 0 0 0
定义
设 V为数域 P上的 n维向量的非空集合，
如果V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合
V为 P 上的向量空间．
注：V 中的加法与数乘运算满足上述性质 10 80
例: 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2,L , xn T x2,L , xn R
(2)V2 x 1, x2,L , xn T x2,L , xn R
问题3：全体正实数R ,加法“”和数乘“”分别
定义为：a,b R , k R, R是否为R上的线性空间？
a b ab
k
a
ak
,
例：设A Rmn , 记 N ( A) {x Rn , Ax 0},则N ( A)为R上的线性空间. 称其为矩阵A的核或零空间。
例：设AC mn , x C n , 记 R( A) {y Cm : y Ax,x Cn}, 则R( A)为C上的线性空间.称其为矩阵A的列空间 或A的值域。
则与的和 为
(a b ,a b , ,a b )
1
1
2
2
n
n
负向量：向量 (a ,a , ,a )
1
2
n
称为向量 的负向量
向量的差 ( )
加法运算满足性质
10 20 ( ) ( ) 30 0
40 0
注： 零向量和负向量是唯一的
《矩阵分析》
教材：史荣昌编, 北京理工大学出版社
教材科有售
第一章 线性空间和线性映射
难点: 求映射的值域、核的基与维数
第一节 线性空间
一.线性空间的定义 首先, 我们回忆一下《线性代数》中的向量.
向量的运算及性质
定义 向量的和：如果 a1,a2,L ,an
和 b1,b2,L ,bn 是数域P上的两个n 维向量
其中元素 , V ,k,l F.
则称V为数域 F上的 线性空间.
注1. V 对于加法及数乘两种运算封闭.
2.线性空间的元素称为向量.
例 R3 x1 x2 x3 x1, x2, x3 R 和Rn a1 a2 an ai R i 1, , n
对向量加法, 数乘两种运算分别构成R上线性空间.
例:
令Rxn
次数等于n的、变量x的实系数多项式：
f
(x)
a0
a1x
an xn：an
0, a j
R
R[ x]n 是否为R上的线性空间？
例：设A Rmn ,b Rm且b 0,记
V {x Rn , Ax b},V是否是R上的线性空间?
二. 线性相关性 1. 线性组合与线性表示
定义1：给定向量组 A :1,2 ,L ,m ,
数乘运算：设 k为数域 p 中的数，向量
ka1,ka2,L ,kan 称为向量 a1,a2,L ,an
与数 k 的数量乘积。记为 k
数乘运算满足下列四条规则：
50 1 60 k(l ) (kl )
70 k l k l
80 k( ) k k , 是n维向量，k, l P
是复数域C(实数域R)上的线性空间?
例4：设Rxn
次数小于 n的、变量 x的实系数多项式：
f (x) a0
a1x
an1xn1
R[ x]n 是否为 R上的线性空间。
问题1: 检验全体n阶实对称方阵的集合RS,对 矩阵的加法和数乘是否构成实数域R上的线 性空间?
问题2: 全体实连续函数C[a, b],按函数的加法 及数与函数的数乘,是否构成实数域R上的线 性空间?
满足: , V
(4) 对于 V , V ,使
在集合V的元素与数域F之间还定义一种运算,叫乘法.即对于
V中任一元素 与数域F中任一数k,在V中有唯一 与它们对应,称为k与 的数乘积,记为 k 且满足:
(1)1 (2)k(l ) (kl) (3)(k l) k l (4)k( ) k k
解： (1) 0,a2,L ,an T , 0,b2,L ,bn T V1 有 0,a2 b2 ,L ,an bn T V1 R,有 0,a2,L ,an T V1.
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .