勾股定理(2)1
直角三角形勾股定理公式(二)
直角三角形勾股定理公式(二)直角三角形勾股定理公式一、直角三角形的定义直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度角）。
直角三角形是几何学中最基本的三角形之一，具有许多重要的性质。
二、勾股定理公式直角三角形勾股定理是描述了直角三角形中三边之间的关系。
它可以用一个简单的公式来表示，即：a² + b² = c²，其中a、b分别表示直角三角形的两个边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
三、勾股定理公式的推导勾股定理公式可以通过几何图形、平面几何和代数方法进行推导。
这里我们不对其进行推导，只介绍和应用。
四、勾股定理公式的应用勾股定理公式在解决直角三角形中未知边长和角度等问题时非常有用。
以下是几个常见的应用场景：•求解直角三角形的斜边长度对于一个直角三角形，如果已知两个边的长度，可以通过勾股定理公式求解第三边的长度。
例如，如果已知直角三角形的一条直角边为3，另一条直角边为4，可以使用公式a² + b² = c²，代入3和4计算得出斜边的长度。
•判断三条边是否为直角三角形的边根据勾股定理公式，如果一个三边满足a² + b² = c²，那么这三条边组成的三角形就是一个直角三角形。
可以通过将边长代入公式，如果等式成立，则可以判断这三条边组成的三角形是直角三角形。
•寻找满足条件的直角三角形边长在一些问题中，可能需要找到满足一定条件的直角三角形边长。
通过勾股定理公式，可以通过代入一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度。
•解决实际问题中的应用直角三角形勾股定理在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在建筑、测量、导航等领域，可以使用勾股定理来计算角度、距离和高度等。
具体的应用案例可以根据实际情况进行讨论和探索。
五、总结直角三角形勾股定理公式是解决直角三角形问题的基础，通过代入已知的边长和斜边长度，可以用来计算未知的边长和解决实际问题。
1.勾股定理
AB 2 AC 2 BC 2 即AB 2 122 52 169 Q AB 0, AB 13
∴电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+13米＝18米
2.填空 （1）直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边长为________ 5 或 7； （2）边长为a的正方形对角线长___ ； 2a
勾 3
弦5 股4
勾股数组：如果a，b，c都是正整数，且满足a² +b² =c² ， 则称a，b，c为一组勾股数组.
常用的勾股数：
3，4，5；
7，24，25； 6，8，10；
5，12，13；
9，40，41；… 8，15，17；
勾股数小常识：
(1)a² +b² =c² ，满足(a，b，c)=1 则a，b，c，为基本勾股数如：3、4、5； 5、12、 13；7、24、25…… (2)如果a，b，c是一组勾股数，则ka、kb、kc （k为正整数）也是一组勾股数， 如：6、8、10；9、12、15……
个新的正方形.要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图 中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
图④
图⑤
方法二
刘徽证法
约公元 263 年，三国时代魏国的数学 家刘徽为古籍《九章算术》作注释时， 用“出入相补法”证明了勾股定理.
2.解决如下问题：如图，边长分别为9和3的两个正方形， 排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
3； （3）边长为1的正三角形面积为___ 4 2 5 （4）直角三角形两条直角边分别长1和2，则斜边上的高长________ 5
D
（5）在A港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿南偏东30的方向以每小时15海里的速度前 进，两小时后，甲船到达B岛，乙船到C岛，求B、C之间的距离. 34海里
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
勾股定理的九种证明方法(附图)
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥AB，垂足为D。
则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ×AB。
②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。
它利用了相似三角形的知识。
四、古人的证法：CABD如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
勾股定理
第一讲 探索勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA一般题型1、在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________ 经典题型例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=2、一架4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ）．（A ）3.2m （B ）4.0m （C ）4.1m （D ）5.0m 练习1、已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为2、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是__ _ __ 。
勾股定理基础知识点
知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
八上-第一章勾股定理
第一章勾股定理第1课时认识勾股定理1 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称弦·直角三角形三边之间的关系称为勾股定理。
2 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2＋b2＝c2 。
预学感知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，则则BC的长为。
知识点一勾股定理的认识【例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．当a＝9，c＝41时，则b= 。
【名师点拔】由于∠ACB＝90°，则有a2＝c2，因而只需把已知数据代入相应字母，即可求出第三条线段的长。
知识点二勾股定理的简单运用【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于点D。
求：（1）AB的长；（2）CD的长。
【名师点拔】由于△．ABC为直角三角形，就可先由匀股定理理求出AB，再根据面积求出CD的长。
1．已知直角三角形中两条边长，要弄清哪条是斜边，哪条是直角边，不能确定时，要分类讨论；2．在直角三角形中求斜边上的高，一般是借助面积这个中间量，21ab=21ch 。
1．在Rt △ABC 中，两直角边长分别为10和24，则斜边长等于 （ ）A.25B.26C.27D.282．在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，则AB 2＋AC 2＝ 。
3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，则正方形A 的面积是 ，B 的面积是 。
4. 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为 。
5. 如图，有两棵树，一棵高12m ，另一棵高6m ，两树相距8m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树梢，则小鸟至少飞行 m 。
6. 某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2h 后相距 海里。
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?
勾股定理重难点
第十八章 勾股定理§18．1 勾股定理（一） 一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、学案（一）阅读课本第64页，并完成思考题： 1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个 ；（2）若设两个较小正方形边长均为a ，则它们的面积都为 ， 设较大的正方形边长为c ，则它的面积为 。
（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和 较大的正方形面积，即有 ＋ = 。
（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由 ＋ = 可知，等腰直角三角形的两条 边的平方 等于 边的平方。
2、由第1题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（1）正方形A 中含有____个小方格， 即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 C 的面积是________个单位面积．2）正方形A 中含有____个小方格，即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单 位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 ________个单位面积．四个直角三角形的面积．）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理： ；用公式表示为 。
变式：① ② 。
直角三角形性质归纳：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。
变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。
八年级数学上册第1章《探索勾股定理(2)》优质教案(北师大版)
第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。
培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]
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第17章 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2= c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理． 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2=（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．（图1）（2）（3）ABC点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 ,b 2=c 2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段． 针对练习:1．下列说法正确的是（ ）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x 2—10的立方根为（ ）A ．．2 D ．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm7．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 8．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） （Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AB=13cm ，AC 于BC 之和等于17cm ，求CD 的长.l类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2． 解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）．例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( ) A ．a 3 B ．a )21(+C ．3aD ．a 5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ． 根据勾股定理得.a 5a5a)a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把在数轴上作出．解：以3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用∙ ∙ ABC图3⑵∙ A B图3⑴例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么()2ba+的值为（）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.由题意，得 (b-a)2=1 ②.由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.把①代入③，得 13-2ab=1∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为边长就是．类似地也可作出（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，=∠E222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，2AC在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时.（3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68 3、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ） （A ）2厘米（B ）4厘米（C ）6厘米（D ）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（ ）（A ）S 1+S 2>S 3 （B ）S 1+S 2<S 3 （C ）S 1+S 2=S 3 （D ）S 12+S 22=S 32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm 和12cm ，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm ．3、如图，CD 是Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3．已知BC ＝3cm ，则AB ＝ cm ．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．7、如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c 2＝ ＋ ．化简后即为c 2＝ ．第6题图第5题图abc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 . 12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ， ， ）． 三、解答题1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1） 分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．（3） 用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空： 寻求某些勾股数的规律：⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ．⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=； 若勾股数为5，12，13，则有131252+=； 若勾股数为7，24，25，则有 ；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ， ，则有=2m ，用m 来表示n ＝ ； 当17=m 时，则n ＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面A B C D 倒下到A B C D '''的位置，连结C C '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形B C C D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.aD 'B 'DC ' A BCb c 第4题图5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．一、选择题1、 如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、 在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ） A 、56B 、48C 、40D 、32214、 若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（ ） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ） A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为2m5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，4∠BCACACB则图中阴影部分的面积︒=,,390==是6、在Rt△ABC中，3︒=ABC且BC=136则AC=∠AC90=:5:,7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、△ABC中，︒,C则a:b:c=90a∠30==∠︒9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCABBAD求正方形DCEF的面积CBDAD=,,4,3︒90,==90=3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE︒∠∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．==90︒C,B15,6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠ACACB米，BC=60米，若线段CD为一=,︒90=条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”． 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析 由斜边长是2，周长是4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2， ∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，∴四边形AFED′与CFED关于EF对称，则四边形AFED′≌四边形CFED．∴∠AFE=∠CFE．∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°AB=CD=AD′．∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC．∴∠AEF=∠AFE．则AE=AF．∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．在Rt△ABF中，∵∠B=90°，∴AB2+BF2=AF2．设BF=x，b2+x2=（a-x）2，∴x=222a ba-．∴S=2S△ABF =2×12bx=2×12·b·222a ba-=22()2b a ba-．练习22-21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-5例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程． 解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ， ∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2， 在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7． 练习51．如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．求证：AD 2=AC 2+BD 2．2-122．如图2-13，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从A 出发，沿长方形表面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？2-102-112-14勾股定理及应用 答案: 练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB ×BC ，AB=2， ∴BC=AD=2S ．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：AF==12（2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=12BC=4S ．由∠B=90°，据勾股定理得：AF==3．D练习2 1．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B练习31．B 2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2．同理：在Rt△ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt△ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2．∵54a 2+516a 2=2516a 2，∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5． 则△ACD ≌△AED ． 又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2． 解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2． ∴3．3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ． 即∠ACP=∠BCE ．∴△PCA ≌△ECB （SAS ）． ∴BE=AP=3． 在Rt △PCE 中， PE 2=PC 2+CE 2=8． 又∵BP 2=1，BE 2=9，∴BE 2=BP 2+PE 2．∴△PBE 是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt △PCE 中，PC=CE ， ∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°． 练习5 1．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．又∵AC 2=AM 2-CM 2，BD 2=BM 2-MD 2， ∴AC 2+BD 2=AM 2-MD 2． 又∵AD 2=AM 2-DM 2， ∴AD 2=AC 2+BD 2．2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面， 连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离． ∴（cm ）．勾股定理的逆定理1班级 姓名 号次一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且ab c b a 2)(22+=+，则（ ）A.A ∠为直角B.B ∠为直角C.C ∠为直角D.不能确定 2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )51213 C467 B7 58 A73 53.下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,内错角相等B.若b a =,则b a =C.对顶角相等D.如果a =b ,那么a 2=b 24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（ ）A. 4，5，6B. 6，8，10C. 8，15，17D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。
八下教学案(第一章勾股定理)
§1.1勾股定理(1)【教学目标】1.会用面积法探索勾股定理，并掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算.【重点】:勾股定理的内容及证明.【课堂学习】一.导1.20XX年8月2日世界数学年会在北京召开，下图是本届年会的会徽，这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.你知道勾股定理吗？2.相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.你知道这个数量关系吗？二.学1.下图中A、B、C的面积各是多少？它们之间有什么关系？图(1)中，S A= ，S B= ，S C= .图(2)中，S A= ，S B= ，S C= .通过(1)、(2)发现:S A+S B=S C，也就是说:在等腰直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.2.在任意的三角三角形中，具有这样的数量关系吗？图(3)中，S A = ，S B = ，S C = . 图(4)中，S A = ，S B = ，S C = .由上可知，在任意的直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.3.你能用三角形的边长表示正方形的A 、B 、C 面积吗？S A = ，S B = ，S C = .因为S A +S B =S C ，所以 . 4.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 三.议 例1.判断题:(1).如果三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (2).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (3).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，且c 为斜边，则222c b a =+ （ ） 例2.求出下列直角三角形中未知边的长度.四.练1.求下列图中字母所表示的正方形的面积:S A= ，S B= .2.⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a:b=3:4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .五.悟:本节课你有什么收获？【课后练习】:1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a,b,c是△ABC的三边，则⑴c= .（已知a,b,求c）⑵a= .（已知b，c求a）⑶b= .（已知a，c，求b）2.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= . ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= .a =2，则b= .⑶如果∠A=45°，a=3，则c= . ⑷如果c=10，b⑸如果a,b,c是连续整数，则a+b+c= .⑹如果b=8，a:c=3:5，则c= .3.如图，欲测量嘉陵江的宽度，沿江岸取B.C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 .BC§1.1勾股定理(2)【教学目标】:掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 【重点】:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.【课堂学习】:一.导(1)勾股定理的内容是；(2)直角三角形两边长为3和4，则第三边长；(3).图中x的值是 .二.学1.拼图验证. 用准备的四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）拼出正方形.①如图1，用两种方法表示大正方形的面积是 =②如图2，用两种方法表示大正方形的面积是 =③化简上面的式子，你可以验证勾股定理吗？2.请利用图3验证勾股定理:三.议:例1.如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？OABCDx1517例2.折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.C F四.练——课堂练习 1.若△ABC 中，∠C=90°(1)若a =5，b =12，则c = ； (2)若a =6，c =10，则b = ； (3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3.直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4.等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）.A.302cmB.1302cmC.1202cmD.602cm五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.2.一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？§1.1.2 勾股定理(3)【教学目标】1.能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；2.会在数轴上表示无理数.【重点】:利用勾股定理在数轴上表示无理数.【课堂学习】一. 导在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=1，b=1，则c= ；(2)若a=1，b=2，则c= ；(3)若a=1，b=3，则c= ；(4)若a=1，b=4，则c= ；…………依次类推:若a=1，b=n，则c= .二.学:阅读教材1.根据上面的规律，你能画出长度为1、2、3……n的线段吗？2.我们知道数轴上的点与实数是一一对应的.你能在数轴上画出表示1、2、3……n的点吗？三.议:例1.如何在数轴上画出表示13的点？【分析】:除了上面的方法外，利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边.【作法】:在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点.例2.已知:如图，等边△ABC 的边长是6cm .⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC.四.练 1.填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b =15，则c = .⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b =4，则c = . 2.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积. 3.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A. 4cm B. 34cm C. 6cm D. 36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 333.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.“路”4m3m5.在△ABC中，∠C＝90°(1)已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；(2)已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；(3)已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .6.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .cm，则AB＝.7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝3028.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为 .9.一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家.到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm.你认为小明能拿进屋吗？ .10.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树m/的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大梢上发出友好的叫声，它立刻以4s树和伙伴在一起？§1.2.1勾股定理的逆定理(1)【教学目标】1.理解勾股定理逆定理的证明方法；掌握勾股定理的逆定理；2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形，体会数形结合的思想方法；3.能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 【重、难点】1.重点:理解和运用勾股定理的逆定理.2.难点:勾股定理的逆定理的证明. 【学习过程】 一.导1.勾股定理的内容的是: .2.把勾股定理的题设和结论交换你会得到一个命题: .3.勾股定理的逆命题成立吗？如何证明？ 二.学1.画一个边长为3cm ,4cm ,5cm 的三角形，并观察猜测个三角形的形状？2. 三边长度为3cm ,4cm ,5cm 的三角形与以3cm ,4cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？请简要说明理由？3.△ABC 三边长为a ,b ,c 且满足222c b a =+，那么△ABC 与以a ,b 为直角三角形之间有何关系？试说明理由？BCC14.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a ,b ,c ，且满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.5.在一对命题中，第一个命题的题设为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.若如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题.6.若一个定理的逆命题成立，我们就把这个逆命题叫做这个定理的逆定理.任意一个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理. 三.议例1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.猫有四只脚.2.线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.3.对顶角相等.4.角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. 例2. 判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)a =15，b =8，c =17 (2)a =13，b =14，c =15【说明】像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）.你还能说出一些勾股数吗？例3.如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.四.练1.判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形.(1)a =15 b =8 c =17 （ ） (2)a =13 b =14 c =15 （ ） 2.判断正误:(1)△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且满足222b c a -=那么△ABC 不是直角三角形.（ ） (2)△ABC 中a =5，b =13，c =12，因为222c b a ≠+所以△ABC 不是直角三角形.（ ） (3)在△ABC 中三边长分别为a =10 , b =6, c =8, 因为222a c b =+，所以∠C=900（ ）(4)任何一个命题都有逆命题，任何一个定理都有逆定理.( ) 五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a :b :c =2:3:4D.a =5k ，b =12k ，c =13k （k ＞0）2.如图，已知∠B=90°，AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，求四边形ABCD 的面积.3.已知:在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若n 表示大于1的整数且12-=n a ，n b 2=，12+=n c .那么a 、b 、c 是一组勾股数吗b ？如果加以证明，若不是说明理由.§1.2.2勾股定理逆定理(2)【教学目标】:1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.2.培养学生的发展逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合. 【难点】:勾股定理的逆定理的应用 【课堂学习】 一.导1.如果线段a 、b 、c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）.A.5，6，7B.10，8，4C.7，25，24D.9，17，15 3.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）. A.a -1，a 2，1+a B.1-a ，2 ，1+a C.1-a ，a 2，1+a D.1-a ，a ，1+a4.若△ABC 的三边a .b .c 满足182-+b a +2)18(-b +30-c =0则△ABC 是 三角形. 二.学例 1.“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？三.议例3.已知正方形ABCD 中E 为AD 的中点，CF=3DF.求证∠BEF 为直角.CA四.练1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A.3，4，5B.2，3，4C.5，10，15D.4，5，62. 下列条件①∠A=∠B=∠C ； ②∠A+∠B=∠C ； ③∠A=∠B=300；④∠A+∠B=450；⑤∠A=∠B=450；能判断△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A.2个B.3个C.4个D.所有的条件都不能判断3.等腰三角形的周长为36厘米，底边上的高为12厘米，则该三角形的面积为 .4. 一个直角三角形的三边长为连续的整数，则它的三边长分别为 ；一个直角三角形的三边长为连续的三个偶数，则它的周长为 .五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.请完成以下未完成的勾股数:(1)8、15、_______；(2)10、26、_____.2.△ABC 中，222c b a =+，722=-b a ，又c =5，则最大边上的高是_______. 3.以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.A.3+1，3-1，22B.7，24，25C.4，7.5，8.5D.3.5，4.5，5.54.一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）. A.12.5 B.12 C.152 D.95.已知:如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB ⊥AD.求证:BC ⊥BD.6.一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？§1《勾股定理》单元复习【知识要点】1.如图，在△ABC 中，设BC=a ,AC=b ,AB=c①.若∠C=90°，则a 、b 、c 之间的关系为 . ②.当a 、b 、c 之间的关系满足 时，∠C=90°. 2.勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边，求第三边.（直接代入公式）(2)已知直角三角形的一边及另两边的关系，求另两边.（利用勾股定理列方程） 3.勾股定理逆定理的应用:用作直角三角形的判定. 【典型例题】【例1】.填空题:在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a =7，c =25，则b = . ⑵如果∠A=30°，a =4，则b= . ⑶如果∠A=45°，a =3，则c = . ⑷如果c =10，b a -=2，则b = . ⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则c b a ++ .⑹如果b=8，a :c =3:5，则c = .【例2】.如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=10cm ，折叠矩形的AD 边，使D 点落在BC 边的F 处，求CE 的长.FD ABC【例3】.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 边的中点，E 是BC 上一点，且CE=BC 41. 求证:∠AFE=90°BDabCA【课后练习】， 一、填空题1.如图，有一块边长为12米的正方形草地，有人常走捷径AB ，为此，小明在A 地立了一个标牌“少走 米，踏之何忍”.5米12米ABF BADC2.利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 .3.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是 6，则它底边上的高为 .4.如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD.BC 于E.F ，连接CE ，则CE的长为5.若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论:① 以2a ，2b ，2c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③ 以b a +，h c +，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④ 以a1，b 1，c1的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为 . 二.选择题:1.以OA 为斜边作等腰直角三角形OAB ，再以OB 为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC ，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB 与△OHJ 的面积比值是（ ） A.32B.64C.128D.256cba2.如图，直线上有三个正方形a ,b ,c ，若a ,c 的面积是5和11，则b 的面积是（ ） A.4B.6C.16D.553.以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）A.（1，3，2）B.（3，4，5）C.（3，4，5）D.（32，42，52）4.左图是一个边长为）（n m +的正方形，小明将图左中的阴影部分拼成右图形状，由左图和右图能验证的式子是（ ）A.mn n m n m 4)(22=--+）（B.mn n m n m 2)()(222=+-+C.2222)(n m mn n m +=+-D.22))((n m n m n m -=-+nn mmnm三.解答题:1.如图，在一棵树的10米高的B 处两只猴子，其中一只猴子爬到树下，走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到池塘A 处（假设它经过的路线是直线），如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高度.2.如图，八年级五班几名同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插到离湖1米远的水底，只见竹杆高出水面0.2米，把竹杆的顶端拉向湖边（底端没动），杆顶和湖边的水面刚好平齐，求湖水的深度.BCD3.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足442222b ac b c a -=-，试判断△ABC 的形状. 解:∵ 442222b ac b c a -=- ————————① ∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=- ————————② ∴222b ac += ————————③ ∴ △ABC 为直角三角形.问:(1)上述解题过程，有错吗？ （填“有”或“无”） (2)如果有错，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； (3)错误的原因是 ； (4)本题正确的结论是 .。
八上第一章勾股定理
⼋上第⼀章勾股定理第⼀章勾股定理教学⽬标：1、掌握直⾓三⾓形三边之间的数量关系，学会⽤符号表⽰。
在经历⽤数格⼦与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到⼀般的逻辑推理过程。
2、通过分层训练，使学⽣学会熟练运⽤勾股定理进⾏简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应⽤技能。
教学重点：探索、理解并掌握勾股定理。
教学难点：勾股定理的相关计算以及应⽤；割补思想和数形结合思想的理解和运⽤。
知识要点⼀：勾股定理定理1 在直⾓三⾓形中，斜边⼤于直⾓边。
证明：利⽤垂线段最短的原理，即知BC AB AC AB >>,定理2 直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅等于斜边的平⽅。
如果⽤c b a 、、分别表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边和斜边，那么222c b a =+。
适⽤范围：直⾓三⾓形勾股定理的变形：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=应⽤：(1) 已知直⾓三⾓形的任意两边长，求第三边长；(2) 知道直⾓三⾓形⼀边，可得另外两边之间的数量关系；(3) 解决⼀些实际问题题型⼀：直接考查勾股定理（1）在ABC R ?t 中，15,17==AC AB ,求BC 的长。
（2）如图，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC 边上的⾼AD 为（）．（3）（3）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）题型⼆：应⽤勾股定理建⽴⽅程（1）直⾓三⾓形两直⾓边之⽐是3:4，斜边长为15，则这个三⾓形的⾯积是。
,求AC的长。
（2）如图三⾓形ABC中，5.2∠∠BDCDC，，=2,5.1190=∠==（3）如图，在边长为12的正⽅形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折⾄△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）题型三:实际问题中的勾股定理（1）⼀个圆柱，h=12厘⽶，底⾯圆的周长=18厘⽶，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想从A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（2）如图，已知圆柱的底⾯直径BC=6π6π，⾼AB=3，⼩⾍在圆柱表⾯爬⾏，从C点爬到A点，然后再沿另⼀⾯爬回C点，则⼩⾍爬⾏的最短路程为（）（3）如图，有⼀圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三⾓形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有⼀⽼⿏正在偷吃粮⾷，此时，⼩猫正在B 处，它要沿圆锥侧⾯到达P 处捕捉⽼⿏，则⼩猫所经过的最短路程是（）m ．知识要点⼆：勾股定理的证明勾股定理的证明⽅法⼗分丰富，达数百种，常见为：割补拼接、⾯积相同法。
勾股定理复习课(第1和2课时)
3km
20s
V=S÷T
8.某考古员发现了一张文字叙述的藏宝图“他们登陆后先往东走 8千米，又往北走 2千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，再折向北 走到 图画出来(2)登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
过点B作BC⊥AC于C 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=6，BC=8 AB = 2 2 = 6 8 =10（千米） 答：登陆点A到宝藏点B的直线 距离是10千米。
D O
BD OD OB
B
在RtCOD中，由勾股定理得：
OD2 CD 2 OC 2
?
OD 21
即：21 3 2
分类思想
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是 直角边还是斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
六、最短路径
勾股定理的复习
第1课时
什么叫勾股定理？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2
注意：
1、直角三角形是前提。 2、谁是斜边要清楚。
1、勾股定理的公式变形
a2+b2=c2
A
a2=c2－b2
c
b2 =c2-a2
2
2
b C
a c b
2
B
b= c2-a2
2
a
c a b
勾股定理的证明
5.勾股定理的逆定理:
三角形的三边a,b,c满足 a2+b2=c2,则这个三角形是直角 三角形，较大边C所对的角是
直角.
6、特殊三角形的三边关系：
A
A b c
c
b
B
a
C
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问题(1)求出下列直角三角形中未知的边。
A
10
A
B
6 C
A2
C
300
B
B
8
15
C
B C
2
450 A
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长 BC为2m，求AC长。
探究1 一个门框的尺寸如图所示。
（1）若有一块长3米，宽0.8米的薄木板， 问怎样从门框内通过？
（2）若薄木板长3米，宽1.5米呢？
E
• 5 已知，一轮船以16海里/时的速度从港 口A出发向西北方向航行，另一轮船以12 海里/时的速度同时从港口A出发向东北 方向航行，离开港口2小时后，则两船相 距（ ）
•
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
• 6 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底 面直径为4cm，高为10cm，现有一支 12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 ____露出杯口外. (填“能”或“不能”)
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1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多
少千米？
C
B
20秒后
4000米
5000米
A
2. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
（3）若薄木板长3米，宽2.2米呢？
DC
为什么？
2m
AB 1m
胛和犹如蚯蚓一样的翅膀，这巨怪瘦瘦的纯黑色悬胆般的胸脯闪着冷光，活似怪藤一样的屁股更让人猜想。这巨怪有着仿佛油条模样的腿和土黄色鹅掌 似的爪子……匀称的锅底色面条般的九条尾巴极为怪异，深绿色馄饨似的活塞浪云肚子有种野蛮的霸气。纯黑色虎尾一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨怪 喘息时有种淡黄色金针菇般的气味，乱叫时会发出亮橙色鱼尾形态的声音。这个巨怪头上粉红色水母一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似乌贼一样的 铃铛似乎有点滑稽和漂亮。蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的幽灵枪心圣 ！这个巨大的幽灵枪心圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分陀螺般的枪心！这巨圣有着鹅黄色果冻形态的身躯和褐黄色细 小螳螂一般的皮毛，头上是春绿色篦子般的鬃毛，长着紫红色茄子形态的皮包星花额头，前半身是亮黄色火腿形态的怪鳞，后半身是傲慢的羽毛。这巨 圣长着亮蓝色茄子样的脑袋和天青色橘子形态的脖子，有着天蓝色犀牛一样的脸和蓝宝石色琴弓样的眉毛，配着青兰花色锯片般的鼻子。有着浓绿色领 章一样的眼睛，和紫玫瑰色车灯形态的耳朵，一张浓绿色棉被形态的嘴唇，怪叫时露出青古磁色冰雕样的牙齿，变态的亮黄色细竹一般的舌头很是恐怖 ，褐黄色球杆造型的下巴非常离奇。这巨圣有着仿佛鼓锤样的肩胛和特像匕首般的翅膀，这巨圣紧缩的嫩黄色面包一般的胸脯闪着冷光，如同扣肉般的 屁股更让人猜想。这巨圣有着极似银剑形态的腿和湖青色丝瓜样的爪子……跳动的春绿色木瓜一般的六条尾巴极为怪异，紫葡萄色天鹅样的鳞片仙霞肚 子有种野蛮的霸气。嫩黄色玉葱般的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种青兰花色元宵一般的气味，乱叫时会发出海蓝色槟榔一样的声音。这个巨圣 头上葱绿色馄饨般的犄角真的十分罕见，脖子上活似毛笔般的铃铛好像极品的酷帅同时还隐现着几丝正点。这时那伙校霸组成的巨大水牛雁肾怪忽然怪 吼一声！只见水牛雁肾怪摇动轻盈的深橙色拐棍似的眉毛，一摇，一道海蓝色的鬼光威猛地从金红色海胆模样的嘴唇里面飞出！瞬间在巨水牛雁肾怪周 身形成一片亮青色的光霞！紧接着巨大的水牛雁肾怪最后水牛雁肾怪抖动匀称的条尾巴一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的海潮恶浪……只见一 望无际的海潮轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的总理在一个个小水牛雁肾怪的指挥下，从轰鸣翻滚的海潮中冒了出来！“这个玩法不错？！ 咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵
A
C
B
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速
度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，
那么斜边上的高是
（D ）
A、6厘米
B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬
了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
4、如图，所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，其中最大的正
方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，
D的面积的和
C D
B A
如图2，一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的 墙AO上，这时AO的距离为2.5 米。
（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下
滑0.5米至C，请同学们猜一猜，
A
底端也将滑动0.5米吗？
C
算一算，底端滑动的距离近似
值（结果保留两位小数）
O
BD