三角函数专题讲解(必修四)

高一年级数学训练试题一选择题1、已知集合2{|23,},{|3,},A x x x Z B y y x x A C A B =-≤≤∈==-∈=⋂, 则集合C 的子集共有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．8个2．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323、已知角α的终边在函数23y x =-的图象上, 则212sin cos 3cos ααα--的值为( )A ．213-B ．213±C ．－2D ．2±4．函数1222)21()(--+-=m mx x x f 的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为( )A ．2-B ．2C ．1-D ．15.已知α是第四象限角，且cos02α>，则2α所在的象限是（ d ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D . 第四象限角6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－237．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k28.设()f x 是定义在R 上以2为周期的奇函数，若(0,1)x ∈，12()log (1)f x x =-，则()f x 在(1,2)上A.单调递增，且()0f x >B.单调递减，且()0f x >C.单调递增，且()0f x <D.单调递减，且()0f x <9、函数1()2sin (13)1f x x x x π=--≤≤-的所有零点之和为( ) A ．2B ．4C ．6D ．810.已知函数2()g t bt at =+是定义域为[]3,2a -a 的奇函数，而函数)(x f y =为R 上的偶函数，若对于0≥x 时，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时，[]1)(log )(2+=x g x f 则(3)(4)f f -+等于（ ）A 6log 2B 23log 2 C 1 D 1-二、填空题11.已知扇形AOB 的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________.12.函数()()1cos ln ,f x x x e e ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递减区间是 .13. 函数1sin 1log 2-=xy 的定义域是 . 14．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.15.下列说法：①函数()36=+-f x lnx x 的零点只有1个且属于区间()1,2； ②若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈；③函数y x =的图像与函数sin y x =的图像有3个不同的交点； ④函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1.正确的有 .（请将你认为正确的说法的序号．．．．．．．．都写上） 三、解答题：16、已知3sin ,(0,)52παα=∈.(1)求cos α的值； (2)求sin2cos2αα+的值.17.已知3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值.18．（本小题满分12分，第（1）小问2分，第（2）小问4分，第（3）小问6分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （百元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1(kP x k x=+为正常数)，日销售量()Q x （件）与时间x （天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121（百元）． （1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）求该服装的日销售收入()(130,)f x x x N ≤≤∈的最小值．19已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．x （天） 10 20 25 30()Q x （件） 110 120 125 12020、设函数()2f x ax bx c =++，且()12af =-，322a c b >>，求证： （1）0,a >且334b a -<<-； （2）函数()f x 在区间()0,2内至少有一个零点；（3）设12,x x 是函数()f x 12x x ≤-<21. 已知函数()bf x a x=-，0a >，0b >，0x ≠，且满足：函数()y f x =的图像与直线1y =有且只有一个交点.(1).求实数a 的值；(2).若关于x 的不等式()41x f x <-的解集为1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，求实数b 的值；(3).在（2）成立的条件下，是否存在m,n R,m n ∈<，使得()f x 的定义域和值域均为[],m n ，若存在，求出m,n 的值，若不存在，请说明理由.例1、(1).已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4, 最小值为0, 最小正周期为2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++(2). 函数12sin sin 2)(2++-=x x x f ，给出下列四个命题：①在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数； ②直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；③函数f （x ）的图象可由函数42sin 2π的图象向左平移x y =而得到；④若[].2,0)(,2,0的值域是则x f x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈π 其中正确命题的序号是_______ 。

例2函数()sin()(0,0,)2f x A x x R A =+∈>><πωϕωϕ，的一段图象如图5所示：将()yf x =的图像向右平移(0)m m >个单位，可得到函数()yg x =的图象，且图像关于原点对称，02013g π⎛⎫>⎪⎝⎭. (1).求A ωϕ、、的值；(2).求m 的最小值，并写出()g x 的表达式；(3).若关于x 的函数2tx y g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最小值为2-，求实数t 的取值范围.例3已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像先向右平移6π个单位，再向上平移3个单位，所得函数()g x 为奇函数.（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.例4．已知函数2()2sin ()3cos 21,4f x x x x R π=+--∈.（1）函数()()h x f x t =+的图象关于点(,0)6π-对称，且(0,)t π∈，求t 的值；（2）[,],()342x f x m ππ∈-<恒有成立，求实数m 的取值范围.三角函数（必修四）题型一 角的有关问题例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值．题型三 三角函数线、三角函数值的符号例3 (1)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号；(2)已知cos α≤－12，求角α的集合．题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？典例：(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．题型五 同角三角函数基本关系式的应用例5 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．例6(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.（3）．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值．题型六 三角函数的诱导公式的应用例7 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．例8 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).(3)．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．题型八 三角函数的定义域、值域问题例9 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域；(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．题型九 三角函数的单调性与周期性 例10 1.写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.2.求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．例11 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2(2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下列结论不正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫π2，0 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )是偶函数例12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间题型十一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例13已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像先向右平移6π3个单位，所得函数()g x 为奇函数.（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.数学试题（文）一、选择题：1．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若PQ ≠∅，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或25 D ．1或2 2．下列四个命题中，假命题为（ ）A ．x ∀∈R ，20x >均成立B ．x ∀∈R ，2310x x ++>均成立C ．x ∃∈R ，使lg 0x >成立D ．x ∃∈R ，使122x =成立 3.已知a b <，则下列不等式正确的是A ．11a b> B ．22a b > C ．22a b ->- D ．22a b > 4．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[－2，1]，则b －a 的值不可能是 （ ）A ．65πB ．πC ．67πD ． π25．如图的算法流程图中，当输入61=n 时，则输出的=n （ ）A ．61B ．62C ．63D ．64（第5题图） （第6题图）6. 一几何体的三视图如上图，它的体积为 （ ）A ．32B ．43C ．2D ． 527．在等比数列{}n a 中,若3578a a a =,则28a a = （ ）A ． 2B ．4-C ．2-D ． 48．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A ．25 B.710 C.45 D.910 1 1 1 1 正视图 侧视图 俯视图 (1)2n n S += 输入n结束 输出n 是 否 S >2013？ n =n +19．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为A ．(1,2)B ． (1,2)C ． (1,3)D ．(1,3)10．已知⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x xx x x f 且0,1||0,1||0<<<<<mn n m ，则使不等式0)()(>+n f m f 成立的m 和n 还应满足条件是（ ）A ．0m n +>B ．0m n +<C ．0m n ->D ．0m n -<二、填空题：11． i 是虚数单位，复数z=()()321i i i ++-的虚部．．为_________. 12．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．13．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ．14．若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 15．通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有 万．16．实数,x y 满足11260y x x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z x y =+，则当3z =时，y x的取值范围是 ． 17．函数()min{2,|2|}f x x x =-，其中{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，（1）m 的取值范围是_______________.（2）123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.三、解答题：18． 已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和 )2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值．19． 如图，正方形ABCD 所在的平面与正方形ABEF 所在的平面相垂直，M 、N 分别是EC 、AD 的中点．（1）求证：面EFDC ⊥面ECB ；（2）求直线MN 与平面EFDC 所成的角正弦值．20．国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款（即无利息贷款），旨在帮助高校家庭经济困难学生付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一个月多x 元.（1）假设小王在第m 个月还清贷款（36,m m N +≤∈），试用x 和n 表示小王第n （,n m n N +<∈）个月的还款额n a ；（2）当40x =时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？（3）在（2）的条件下，他还清最后一笔贷款的那个月的工资的余额是否能满足此月3000元的基本生活费？（参考数据：201.052.653=）21． 已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，则12λλ+是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．22．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，'()f x 是()f x 的导函数，且'()()0xf x f x ->在 (0,)+∞内恒成立．（1） 求函数()()f x F x x=的单调区间； （2） 若2()ln f x x ax =+，求a 的取值范围（3） 设0x 是()f x 的零点，0,(0,)m n x ∈，求证：()1()()f m n f m f n +<+。