高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结

合集下载

函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点. (2)几个等价关系方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.2.二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0),(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1.函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1) D .(1,2)答案:B2.(教材习题改编)函数f (x )=ln x +2x -6的零点个数是______. 答案:13.函数f (x )=kx +1在[1,2]上有零点,则k 的取值范围是________. 答案:⎣⎡⎦⎤-1,-121.函数f (x )的零点是一个实数,是方程f (x )=0的根,也是函数y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.[小题纠偏]1.(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义:当x≤2时,f(x)=-x2+2x;当x>2时,f(x)=12(x-2)2,则方程f(x)=12的所有实数根之和是()A.2 B.3 C.5 D.8解析:选C画出函数f(x)的图象,如图所示:结合图象x<2时,两根之和是2,x>2时,由12(x-2)2=12,解得x=3,故方程f(x)=12的所有实数根之和是5,故选C.2.给出下列命题:①函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0);②函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一定有f(a)·f(b)<0;③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点;④若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.其中正确的是________(填序号).答案:③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析:选B∵a>1,0<b<1,f(x)=a x+x-b,∴f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析:选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x +2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数大致图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点.解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]的图象是连续的,故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.答案:存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法:使用零点存在性定理,函数y=f(x)必须在区间[a,b]上是连续的,当f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点,如“题组练透”第1题.(2)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点,如“题组练透”第2题.考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2 D.3解析:选C 由题意可知f (x )的定义域为(0,+∞).在同一直角坐标系中画出函数y =|x -2|(x >0),y =ln x (x >0)的图象,如图所示:由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则函数y =f (f (x ))+1的零点的个数是( )A .4B .3C .2D .1解析:选A 由f (f (x ))+1=0得f (f (x ))=-1, 由f (-2)=f ⎝⎛⎭⎫12=-1 得f (x )=-2或f (x )=12.若f (x )=-2,则x =-3或x =14;若f (x )=12,则x =-12或x = 2.综上可得函数y =f (f (x ))+1的零点的个数是4,故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.[即时应用]1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x,x ≤1,log 13x ,x >1,则函数y =f (x )+x -4的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B 函数y =f (x )+x -4的零点,即函数y =-x +4与y =f (x )的交点的横坐标.如图所示,函数y =-x +4与y =f (x )的图象有两个交点,故函数y =f (x )+x -4的零点有2个.故选B.2.(2018·杭州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,-1<x ≤1,f x -2+1,1<x ≤3,则函数g (x )=f (f (x ))-2在区间(-1,3]上的零点个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C ∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,-1<x ≤1,f x -2+1,1<x ≤3,∴当-1<x ≤1时,12<f (x )≤2,当1<x ≤3时,-1<x -2≤1,f (x )=f (x -2)+1=2x -2+1∈⎝⎛⎦⎤32,3; 设h (x )=f (f (x )),①当-1<x ≤0时,h (x )=22x ,2<h (x )≤2, ∴g (x )=h (x )-2有一个零点x =0; ②当0<x ≤1时,h (x )=22x -2+1,32<h (x )≤2,∴g (x )=h (x )-2有一个零点x =1; ③当1<x ≤3时,h (x )=22x -2+1-2+1, 22+1<h (x )≤3,g (x )有一个零点; 综上,函数g (x )在区间(-1,3]上有3个零点,故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=a |x -2|-a ,其中a >0,且为常数.若函数y =f (f (x ))有10个零点,则a 的取值范围是________.解析:当x ≥0时,令f (x )=0,得|x -2|=1, 即x =1或x =3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (x )的零点为x =±1或x =±3. 令f (f (x ))=0, 则f (x )=±1或f (x )=±3.因为函数y =f (f (x ))有10个零点,所以函数y =f (x )的图象与直线y =±1和y =±3共有10个交点.由图可知1<a <3.答案:(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解[即时应用]1.若函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈[-1,1]有零点, ∴方程4x -2x -a =0在[-1,1]上有解, 即方程a =4x -2x 在[-1,1]上有解. 方程a =4x -2x 可变形为a =⎝⎛⎭⎫2x -122-14, ∵x ∈[-1,1],∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12,2, ∴⎝⎛⎭⎫2x -122-14∈⎣⎡⎦⎤-14,2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,2. 答案:⎣⎡⎦⎤-14,2 2.(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2+3x -2=0的解可视为函数y =x +3的图象与函数y =2x的图象交点的横坐标.若方程x 4+ax -4=0的各个实根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ,4x i (i =1,2,…,k )均在直线y =x 的同侧,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知,方程x 4+ax -4=0的实根是曲线y =x 3+a 与曲线y =4x 的交点的横坐标,而曲线y =x 3+a 是由函数y =x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的.若方程x 4+ax -4=0的各个实数根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ,4x i(i =1,2,…,k )均在直线y =x 的同侧,如图,结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,-23+a >-2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,23+a <2,解得a <-6或a >6,所以实数a 的取值范围是(-∞,-6)∪(6,+∞).答案:(-∞,-6)∪(6,+∞)第二节 函数模型及其应用1.几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )=ax +b (a ,b 为常数,a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )=kx +b (k ,b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 指数函数模型f (x )=ba x +c(a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )=b log a x +c(a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )=ax n +b (a ,b 为常数,a ≠0)函数 性质 y =a x (a >1) y =log a x (a >1) y =x n (n >0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型;(3)解模:求解函数模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题.以上过程用框图表示如下:[小题体验]1.(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案:B2.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=a log3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到________只.答案:2001.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以要正确理解题意,选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.[小题纠偏]1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点答案:D2.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是__________.答案:y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段.已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m,规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.解:由题意,最高点为(2+h,4),(h≥1).设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4.(1)当h=1时,最高点为(3,4),方程为y=a(x-3)2+4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a=-1.即所求抛物线的方程为y=-x2+6x-5.(2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1.由题意,方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.令f (x )=a [x -(2+h )]2+4=-1h2[x -(2+h )]2+4,则⎩⎨⎧f 5=-1h 23-h 2+4≥0,f6=-1h24-h2+4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1,43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.[即时应用]A ,B 两城相距100 km ,在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ,B 两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A 城供电量为每月20亿度,B 城供电量为每月10亿度.(1)求x 的取值范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远,才能使供电总费用y 最少? 解:(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]. (2)y =5x 2+52(100-x )2(10≤x ≤90).(3)因为y =5x 2+52(100-x )2=152x 2-500x +25 000=152⎝⎛⎭⎫x -10032+50 0003, 所以当x =1003时,y min =50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处,能使供电总费用y 最少.考点二 函数y =x +ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系C (x )=k3x +5(0≤x ≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f (x )达到最小,并求最小值.解:(1)由已知条件得C (0)=8,则k =40,因此f (x )=6x +20C (x )=6x +8003x +5(0≤x ≤10). (2)f (x )=6x +10+8003x +5-10≥2 6x +10·f(8003x +5)-10=70(万元), 当且仅当6x +10=8003x +5, 即x =5时等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm 时,总费用f (x )达到最小值,最小值为70万元.[由题悟法]应用函数y =x +a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )=ax 与反比例函数f (x )=b x叠加而成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )=ax +b x的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f (x )=ax +b x的形式. (3)利用模型f (x )=ax +b x求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件. [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题,近年来,某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位:平方米)之间的函数关系是C (x )=k 50x +250(x ≥0,k 为常数).记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.(1)试解释C (0)的实际意义,并建立y 关于x 的函数关系式并化简;(2)当x 为多少平方米时,y 取得最小值,最小值是多少万元?解:(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元,∵C (0)=k 250=4, ∴k =1 000,∴y=0.2x+1 00050x+250×4=0.2x+80x+5(x≥0).(2)y=0.2(x+5)+80x+5-1≥20.2×80-1=7,当x+5=20,即x=15时,y min=7,∴当x为15平方米时,y取得最小值7万元.考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析:选B法一:设2015年后的第n年,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由130(1+12%)n>200,得 1.12n>2013,两边取常用对数,得n>lg 2-lg 1.3lg 1.12≈0.30-0.110.05=195,∴n≥4,∴从2019年开始,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.法二:根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n},其中,首项a1=130,公比q=1+12%=1.12,所以a n=130×1.12n-1.由130×1.12n-1>200,两边同时取常用对数,得n-1>lg 2-lg 1.3lg 1.12,又lg 2-lg 1.3lg 1.12≈0.3-0.110.05=3.8,则n>4.8,即a5开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题.[即时应用]某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t );(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解:(1)由题图,设y =⎩⎪⎨⎪⎧ kt ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -a ,t >1, 当t =1时,由y =4得k =4,由⎝⎛⎭⎫121-a =4得a =3.所以y =⎩⎪⎨⎪⎧4t ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -3,t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1,4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1,⎝⎛⎭⎫12t -3≥0.25,解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).。

高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理

高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学道理,弄清题中出现的量及其数学含义.(2)能根据实际问题的具体背景,进行数学化设计,将实际问题转化为数学问题(即建立数学模型),并运用函数的相关性质解决问题。

(3)能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。

【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题,加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活,又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识,理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。

【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。

解(1)不难看出,f(x)是一个分段函数,而且:当0<x≤220时,有f(x)=3.45x;当220<x≤300时,有f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6;当x>300时,有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x,0<x≤220,f(x)=14.83x-303.6,220<x≤300,=5.83x-603.6,x>300.(2)因为220<260≤300,所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2,因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。

由例1可知,可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标,据有关资料显示,1978-2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。

数学必修一函数的应用知识点

数学必修一函数的应用知识点

数学必修一函数的应用知识点数学必修一中,函数的应用知识点包括:1. 函数的概念:函数是一种特殊的关系,它将一个变量的值映射到另一个变量的值,通常用符号 y = f(x) 表示。

其中,x 是自变量,y 是因变量,f(x) 是函数的表达式。

2. 函数的性质:函数可以是奇函数或偶函数,即满足f(-x) = -f(x) 的函数称为奇函数,满足 f(-x) = f(x) 的函数称为偶函数。

另外,函数还可以是增函数或减函数,即当 x₁ < x₂时,有 f(x₁) < f(x₂) 成立的函数称为增函数,反之称为减函数。

3. 函数的图象:函数的图象是函数在直角坐标系上的图像,其可以反映函数的变化趋势。

通过函数的图象,可以判断函数的性质、求函数的定义域和值域等。

4. 函数的定义域和值域:函数的定义域是函数的自变量的取值范围,值域是函数的因变量的取值范围。

通过观察函数的定义域和值域,可以判断函数的范围和变化情况。

5. 函数的平移与伸缩:通过对函数的表达式进行平移和伸缩操作,可以改变函数的图象。

例如,对函数 y = f(x) 进行平移变换 y = f(x + a) 可以使函数的图象沿 x 轴平移a 个单位,对函数进行伸缩变换 y = k f(x) 可以使函数的图象在 y 轴方向上伸缩 k 倍。

6. 复合函数:复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。

例如,若函数 g(x) 和 f(x) 都定义在 x 的某个邻域内,则复合函数 F(x) = g[f(x)] 的定义域与f(x) 的定义域一致。

7. 反函数:若函数 f 的定义域与值域分别为 X 和 Y,且对于任意的 x 属于 X 和 y 属于Y,有 f(x) = y,则存在函数 f 的反函数 f^(-1),满足 f^(-1)(y) = x。

这些知识点是函数的基本应用,通过掌握这些知识,可以更好地理解和应用函数。

高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结.docx

高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结.docx

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。

2、函数零点的意义:函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根,亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。

即:方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法:①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根;© (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点:①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。

②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。

x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。

④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根,二次函数的图象与兀轴有两个交点,二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根,二次函数的图象与兀轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。

⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮,当〃>0时,仅有一个零点0,当〃50时,没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)[,儿(基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。

6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点,只需满足/(a)/(b)<0。

2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册

2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册

解析 由已知得,该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y=m2mx,x-0≤ 10xm≤,1x0>,10. 由 y=16m,得 x>10,所以 2mx-10m=16m.解 得 x=13.故选 A.
7.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y
4x,1≤x<10,x∈N, =2x+10,10≤x<100,x∈N,
1.5x,x≥100,x∈N,
其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人
数,若面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( ) A.15 B.40 C.25 0,若 4x=60,则 x=15>10,不符合题意;若 2x+10= 60,则 x=25,满足题意;若 1.5x=60,则 x=40<100,不符合题意.故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最 大利润是多少?
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售,利润为 y 元,由表格中的 数据可知,价格每上涨 1 元,日销售量就减少 40 桶,所以涨价 x 元后,日 销售桶数 480-40(x-1)=520-40x>0,∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为 L =-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1292+30+1492,∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元.
4.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元,每 桶水进价为 5 元,销售单价与日销售量的关系如下表:

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一:函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素:定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以两个函数的定义域和对应关系相同时,它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二:函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系,那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1,x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中,函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x,y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.(多选题)下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

数学必修一第三章知识点总结

数学必修一第三章知识点总结

数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。

1. 函数的概念:函数是一个特殊的关系,将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。

函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。

2. 定义域和值域:函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合,值域是所有函数可能的输出值的集合。

3. 函数的图像:函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。

在平面直角坐标系中,函数的图像是一条曲线或者直线。

4. 函数的性质:函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。

奇函数满足 f(-x) = -f(x);偶函数满足 f(-x) = f(x);普通函数不满足奇偶性质。

5. 函数的性质:函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。

单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2;单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2;增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2;减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。

6. 反函数:函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来,即输入变为输出,输出变为输入。

反函数的定义域和值域与原函数相反。

7. 复合函数:复合函数是两个或多个函数的组合。

复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。

8. 基本初等函数:基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数具有特定的性质和图像特征。

9. 函数的运算:函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。

函数的运算结果仍然是一个函数,具有相应的性质和图像特征。

以上是第三章关于函数的知识点总结。

在学习函数时,需要理解函数的概念和性质,掌握常见的函数类型和图像特征,以及函数的运算和组合等操作。

同时,还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。

高一数学人必修件第三章幂函数

高一数学人必修件第三章幂函数

分式型幂函数
要点一
函数形式
$y = x^a/b$ 或 $y = a/(x^b)$,其 中 $b neq 0$
要点二
图像特点
根据 $a$ 和 $b$ 的取值不同,图像 可能呈现出不同的形状和特点
要点三
性质
分式型幂函数的性质比较复杂,与 $a$ 和 $b$ 的取值密切相关。一般 来说,当 $b > 0$ 时,函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单 调递增或递减;当 $b < 0$ 时,函数 图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内 分别单调递减或递增。此外,分式型 幂函数可能具有渐近线、拐点等特性 。

易错点二
混淆幂的运算性质。在运用幂的 运算性质时,需特别注意底数和 指数的变化规律,避免出现混淆

避免逐步推导求解。同时,多 做相关练习题,加深对知识点的
理解和记忆。
拓展延伸:多元幂函数初步了解
多元幂函数的定义
形如$z=x^ay^b$($a,b$为常数) 的函数称为二元幂函数。类似地,可 以定义三元及更多元的幂函数。
三次幂函数
函数形式
$y = ax^3$,其中 $a neq 0$
图像特点
一个关于原点对称的曲线
性质
比例系数 $a$ 决定了曲线的形状和走向,当 $a > 0$ 时,函数在整个定义域内单调递增;当 $a < 0$ 时 ,函数在整个定义域内单调递减。此外,三次幂函数具有拐点,即函数图像从凹到凸或从凸到凹的点。
指数型幂函数与对数的关系体现在:当且仅当a>1时,函数y=a^x在定 义域内单调增加;当0<a<1时,函数y=a^x在定义域内单调减少。

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标:(1)在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用;(2)了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域、值域;(3)通过具体问题情境总结共性,抽象出函数概念,积累从具体到抽象的活动经验,发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数,在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识,例如已经总结出:在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量;在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数.再例如,我们知道y=2x是正比例函数,y=-3x-1是一次函数,y=-2是反比例函数,y=x2+2x-3是二次函数,等等。

【情境与问题】(1)国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值,i表示中国创新指数的取值,则i是y的的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如下图所示。

医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的,但从情境与问题中的两个实例可知,初中的方法有一定的局限性:情境与问题中的i是y的函数,v是t的函数,但是这两个函数与初中的函数有所不同,比如都很难用一个解析式表示,而且每个变量的取值范围也有了限制,等等。

高一数学函数知识点总结(5篇)

高一数学函数知识点总结(5篇)

高一数学函数知识点总结函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型:(1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量____有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如:①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R,且k∈Z),余切函数y=cot____(____∈R,____≠kπ,k∈Z)等.应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a,b],求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围,而已知f[g(____)]的定义域[a,b]指的是____∈[a,b],此时f(____)的定义域,即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,可设f(____)=a____+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时,可用换元法求函数f(____)的表达式,这时必须求出g(____)的值域,这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式,这个等式除f(____)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-____),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结(二)函数的值域与最值(1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域.(2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.(3)反函数法:利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法:把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0,____],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-____]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如____>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结(三)函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(____),如果对于函数定义域内的任意一个____,都有f(-____)=-f(____)(或f(-____)=f(____)),那么函数f(____)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(____)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(____)=-f(____)或f(-____)=f(____)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。

第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点网络 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点网络 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素(定义域、对应法则、值域) 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性:“任意性”、“存在性”、“唯一性”; 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式; 3、对应关系包括一对一、多对一。

一、判断对应法则或图象是否是一个函数(非空性、任意性x 、唯一确定性y )二、判断两个函数是否是相同函数(定义域、对应法则) 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数(定义域、值域) 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法:解析法、列表法、图像法; 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点,函数图象呈现形式主要有2种:连续的曲线或孤立的点; 3、画函数图象方法:描点法(列表、描点、连线)6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数(概念、图象、性质)三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接,写成不等式组。

2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域;②已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域;③已知f(g(x))的定义域,求f(g(x))的定义域;④已知f(g(x))的定义域,求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键:定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同(空间不变原理)3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时,[4ac−b24a,+∞)a<0时,(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法(利用基本不等式求解)4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域,定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数,x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2,则函数f(x)在区间D 上为减函数,x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2,则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同, 自变量增量与函数值增量同号。

高一数学必修一函数知识点

高一数学必修一函数知识点

【导语】考试是检测学⽣学习效果的重要⼿段和⽅法,考前需要做好各⽅⾯的知识储备,对于数学更加要进⾏复习归纳。

下⾯就让给⼤家分享⼀些⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结吧,希望能对你有帮助!⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结篇⼀1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可⽤于求参数);(3)判断函数奇偶性可⽤定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题⼀定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或⽅程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的⽅程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2⽅程为:f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成⽴,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成⽴,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数,其图像⼜关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数,其图像⼜关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.⽅程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成⽴ a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成⽴ a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由⼝诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不⼀定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地⽤定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

高一数学必修一函数知识点总结

高一数学必修一函数知识点总结

二、函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .(2) 画法A、描点法:B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。

高一函数第三章知识点归纳

高一函数第三章知识点归纳

高一函数第三章知识点归纳函数是数学中的重要概念,在高一数学中,函数的学习是一个重要的环节。

在高一函数第三章中,我们学习了一些与函数相关的知识点,下面我将对这些知识点进行归纳总结。

一、函数的性质1. 定义域和值域:对于一个函数,其定义域是指可以使函数有意义的变量的取值范围,而值域是函数在定义域上所取得的全部函数值的集合。

2. 单调性:函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种类型。

如果对于定义域内的任意两个不同的实数,函数值满足随着自变量增大(减小)而增大(减小),则函数是单调递增(递减)的。

3. 奇偶性:当函数满足$f(-x)=f(x)$时,函数为偶函数;当函数满足$f(-x)=-f(x)$时,函数为奇函数。

4. 周期性:如果存在一个正数T,对于定义域内任意一点x,有$f(x+T)=f(x)$,则函数具有周期性。

5. 最值与最值点:函数在定义域内的最大值和最小值分别称为最大值和最小值,在最值点处取得最大值和最小值的点称为最值点。

二、函数的图像与性质1. 基本型函数的图像:包括常函数、一次函数、二次函数和绝对值函数等基本型函数,我们需要了解这些函数的图像和性质。

2. 函数的平移和伸缩:通过对基本型函数进行平移和伸缩变换,可以得到其他种类的函数。

平移和伸缩的参数可以使函数的图像发生左右平移、上下平移、水平压缩、垂直拉伸等变化。

3. 函数的对称性:函数的对称性分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种情况。

通过函数的表达式可以确定函数是否具有对称性。

4. 零点和零点的个数:函数的零点是函数值为0的自变量的取值,函数可能存在一个或多个零点,我们可以通过方程的求解来确定函数的零点个数。

三、函数的运算1. 函数的加法和减法:两个函数的加法和减法的定义是将两个函数对应的函数值相加(或相减),而这两个函数在同一定义域上有意义。

2. 函数的乘法和除法:两个函数的乘法和除法的定义是将两个函数对应的函数值相乘(或相除),需要注意的是,当除法运算时,被除数函数的值不能为零。

高中数学必修一第三章知识点总结

高中数学必修一第三章知识点总结

第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.3、函数零点的求法:○1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点:①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y . (1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△<0,方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=,当0n >时,仅有一个零点0,当0n ≤时,没有零点。

5、非基本初等函数(不行干脆求出零点的较困难的函数),函数先把()f x 转化成()0f x =,再把困难的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y (基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

第三章-3.1.3-函数的奇偶性高中数学必修第一册人教B版

第三章-3.1.3-函数的奇偶性高中数学必修第一册人教B版
若 + + ⋅ = 4,则下列结论错误的是( C
A.
1

2
=0
C.函数
1

2
B.
是偶函数
1
2
)
= −2
D.函数
1
+
2
是减函数
1
2
≠ 0,
【解析】令 =


0
1
2
1
,
2
= 0,则有
1
2
+
1
2
× 0 =
1
2
[1 + 0 ] = 4 ×
图3.1.3-1
例7(1) 已知函数 , ∈ ,若∀, ∈ ,都有( + ) = + ,求证:
为奇函数.
【解析】令 = 0,则 = 0 + ,
∴ 0 = 0.
令 = −, = ,则 0 = − + ,
∴ − = − . ∴ 是奇函数.
【解析】∵ 为奇函数,∴ 的图象关于原点对称,而 − 1 的图象是将
的图象向右平移1个单位长度得到的,∴ − 1 的图象关于点 1,0 对称,故A正确.
令 = − 1,则由 + 1 = − 1 可知, = ( + 2),即 = + 2 ,
对于C, = 0,定义域为[−1,1]时,该函数既是奇函数又是偶函数,因此 ⇏ .由
= 0, ∈ ,只要A关于原点对称,都可以得到 既是奇函数又是偶函数,
所以是的必要不充分条件,故C为假命题.
对于D,由于 是奇函数,且定义域为,所以对任意的 ∈ 都有 − = − ,

新教材 人教A版高中数学必修第一册 第三章 函数概念与性质 知识点考点汇总及解题方法规律提炼

新教材 人教A版高中数学必修第一册 第三章 函数概念与性质 知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1.函数的概念(1)函数的定义设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y=f(x)中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(3)对应关系f:除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号f统一表示对应关系.温馨提示:(1)当A,B为非空数集时,符号“f:A→B”表示A到B的一个函数.(2)集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性.(3)符号“f”它表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样.2.区间概念(a,b为实数,且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.①A=N,B=N*,对应法则f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应;②A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B;③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B;④A={三角形},B={x|x>0},对应法则f:对A中元素求面积与B中元素对应.(2)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”,在对应关系“f”作用下,B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”,称f:A→B为集合A到集合B的一个函数.[解析](1)①对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A 中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.②对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.③对于A中的任一元素,在对应关系f的作用下,B中都有唯一的元素与之对应,如±1对应1,±2对应4,所以是函数.④集合A不是数集,故不是函数.(2)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y是x的函数.[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集.②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示,并在数轴上表示出来.(1){x|x≥3};(2){x|x<-5};(3){x|-4≤x<2或3<x≤5}.[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间,含“或”的数集用符号“∪”连接区间.[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如图.(2){x|x<-5}用区间表示为(-∞,-5),用数轴表示如图.(3){x|-4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[-4,2)∪(3,5],用数轴表示如图.应用区间时的3个注意点(1)区间是数集,区间的左端点小于右端点.(2)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆.(3)用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心圈表示不包括在区间内的端点.[针对训练]3.已知全集U=R,A={x|-1<x≤5},则∁U A用区间表示为__________________.[解析]∁U A={x|x≤-1或x>5}=(-∞,-1]∪(5,+∞).[答案](-∞,-1]∪(5,+∞)4.用区间表示不等式{x|x2-x-6≥0}的解集为______________________.[解析]不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≥0,解得x≥3或x≤-2,所以不等式的解集为{x|x≤-2或x≥3}=(-∞,-2]∪[3,+∞).[答案](-∞,-2]∪[3,+∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域.(1)y=2+3x-2;(2)y=(x-1)0+2x+1;(3)y =3-x ·x -1; (4)y =(x +1)2x +1--x 2-x +6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围.[解] (1)当且仅当x -2≠0,即x ≠2时,函数y =2+3x -2有意义,所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}.(2)函数有意义,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,2x +1≥0,x +1≠0,解得x >-1,且x ≠1,所以这个函数的定义域为{x |x >-1且x ≠1}.(3)函数有意义,当且仅当⎩⎨⎧3-x ≥0,x -1≥0,解得1≤x ≤3,所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}.(4)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x +1≠0,-x 2-x +6≥0,即⎩⎨⎧x ≠-1,x 2+x -6≤0,即⎩⎨⎧x ≠-1,(x +3)(x -2)≤0,解得-3≤x ≤2且x ≠-1,即函数定义域为{x |-3≤x ≤2且x ≠-1}.[变式] (1)将本例(3)中“y =3-x ·x -1”改为“y =(3-x )(x -1)”,则其定义域是什么?(2)将本例(3)中“y =3-x ·x -1”改为“y =3-xx -1”,则其定义域是什么?[解] (1)要使函数有意义,只需(3-x )(x -1)≥0,解得1≤x ≤3,即定义域为{x |1≤x ≤3}.(2)要使函数有意义,则⎩⎨⎧3-x ≥0,x -1>0,解得1<x ≤3,即定义域为{x |1<x ≤3}.求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式,则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.(3)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.3.1.1.2函数概念的应用要点整理1.常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.3.相同函数值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数.两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数.题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数?为什么?(1)f(x)=|x|,φ(t)=t2;(2)y=x2,y=(x)2;(3)y=1+x·1-x,u=1-v2;(4)y=(3-x)2,y=x-3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同,对应关系一致.[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同,又φ(t)=t2=|t|,即f(x)与φ(t)的对应关系也相同,∴f(x)与φ(t)是同一函数.(2)y=x2的定义域为R,y=(x)2的定义域为{x|x≥0},两者定义域不同,故y=x2与y=(x)2不是同一函数.(3)y=1+x·1-x的定义域为{x|-1≤x≤1},u=1-v2的定义域为{v|-1≤v≤1},即两者定义域相同.又∵y=1+x·1-x=1-x2,∴两函数的对应关系也相同.故y=1+x·1-x与u=1-v2是同一函数.(4)∵y=(3-x)2=|x-3|与y=x-3的定义域相同,但对应关系不同,∴y=(3-x)2与y=x-3不是同一函数.判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).①求f(2)、g(2)的值;②求f[g(3)]的值.(2)求下列函数的值域:①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};②y=x2-2x+3,x∈[0,3);③y =2x +1x -3; ④y =2x -x -1.[思路导引] (1)代入法求值;(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域. [解] (1)①∵f (x )=11+x ,∴f (2)=11+2=13.又∵g (x )=x 2+2,∴g (2)=22+2=6. ②g (3)=32+2=11, ∴f [g (3)]=f (11)=11+11=112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.②(配方法)y =x 2-2x +3=(x -1)2+2, 由x ∈[0,3),可得函数的值域为[2,6). ③(分离常数法)y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3, 显然7x -3≠0,∴y ≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). ④(换元法)设x -1=t , 则t ≥0,且x =t 2+1.∴y =2(t 2+1)-t =2t 2-t +2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142+158.∵t ≥0,∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158,+∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时,只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则. (2)求函数值域常用的4种方法①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;②配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域;③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f (x )=ax +b +cx +d (其中a ,b ,c ,d 为常数,且a ≠0)型的函数常用换元法.题型三求抽象函数的定义域【典例3】 已知函数f (x )的定义域为[1,3],求函数f (2x +1)的定义域. [思路导引] 定义域是x 的取值范围,f (x )中的x 与f (2x +1)中的2x +1是相对应的.[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3],即x ∈[1,3],函数f (2x +1)中2x +1的范围与函数f (x )中x 的范围相同,所以2x +1∈[1,3],所以x ∈[0,1],即函数f (2x +1)的定义域是[0,1].[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x +1)的定义域为[1,3]”,求函数f (x )的定义域.(2)若将本例条件改为“函数f (1-x )的定义域为[1,3]”,其他不变,如何求解?[解] (1)因为x ∈[1,3],所以2x +1∈[3,7],即函数f (x )的定义域是[3,7]. (2)因为函数f (1-x )的定义域为[1,3], 所以x ∈[1,3],所以1-x ∈[-2,0], 所以函数f (x )的定义域为[-2,0]. 由2x +1∈[-2,0],得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,-12,所以f (2x +1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,-12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域.(2)已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域:若f[g(x)]的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示:列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画.[解]①列表法③解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=2x,x∈[2,+∞);(2)y=x2+2x,x∈[-2,2].[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象,借助图象求出函数值域.[解](1)列表:画图象,当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=2x的一部分(图1),观察图象可知其值域为(0,1].(2)列表:(图2).由图可得函数的值域是[-1,8].描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数,且满足f (0)=1,f (x +1)-f (x )=2x ,求f (x )的解析式;(2)已知函数f (x +1)=x +2x +1,求f (x )的解析式; (3)已知函数f (x )满足2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ,求f (x )的解析式.[思路导引] 求函数解析式,就是寻找函数三要素中的对应关系,即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式.[解] (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∵f (0)=1,∴c =1.∴f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c -(ax 2+bx +c )=2ax +a +b . 又f (x +1)-f (x )=2x ,∴⎩⎨⎧2a =2,a +b =0.∴⎩⎨⎧a =1,b =-1.∴f (x )=x 2-x +1.(2)解法一:∵f (x +1)=x +2x +1=(x +1)2, ∴f (x )=x 2.又x +1≥1,∴f (x )=x 2(x ≥1). 解法二:令t =x +1,则x =(t -1)2. 由于x ≥0,所以t ≥1.代入原式有f (t )=(t -1)2+2(t -1)+1=t 2, 所以f (x )=x 2(x ≥1). (3)∵2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ,①∴将x 用1x替换,得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=3x ,②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=3x ,解得f (x )=2x -1x(x ≠0),即f (x )的解析式是f (x )=2x -1x(x ≠0).[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x +1)=x +2x +1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1=1x2-1”,则f (x )的解析式是什么?(2)若将本例(3)中条件“2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ”变为“f (x )-2f (-x )=9x +2”,则f (x )的解析式是什么?[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +12-2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1,所以f (x )=x 2-2x .因为1x ≠0,所以1x+1≠1,所以f (x )=x 2-2x (x ≠1).(2)由条件知,f (-x )-2f (x )=-9x +2, 则⎩⎨⎧f (x )-2f (-x )=9x +2,f (-x )-2f (x )=-9x +2,解得f (x )=3x -2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.如典例3(1).(2)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式,可用换元法(或“配凑法”),即令g (x )=t ,反解出x ,然后代入f [g (x )]中求出f (t ),从而求出f (x ).如典例3(2).(3)解方程组法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).如典例3(3).3.1.2.2分段函数要点整理1.分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.温馨提示:(1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数.(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.如y =⎩⎨⎧1,-2≤x ≤0,x ,0<x ≤3,其“段”是不等长的.(3)分段函数的图象要分段来画. 题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+1x,x >1,x 2+1,-1≤x ≤1,2x +3,x <-1.(1)求f (f (f (-2)))的值; (2)若f (a )=32,求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值. [解] (1)∵-2<-1,∴f (-2)=2×(-2)+3=-1, ∴f [f (-2)]=f (-1)=2, ∴f (f (f (-2)))=f (2)=1+12=32.(2)当a >1时,f (a )=1+1a =32,∴a =2>1;当-1≤a ≤1时,f (a )=a 2+1=32,∴a =±22∈[-1,1]; 当a <-1时,f (a )=2a +3=32,∴a =-34>-1(舍去).综上,a =2或a =±22.(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解.对于含有多层“f ”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理.(2)已知函数值,求自变量的值时,要先将“f ”脱掉,转化为关于自变量的方程求解.题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象:①y =⎩⎨⎧1x ,0<x <1,x ,x ≥1;②y =|x +1|.(2)如图所示,在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ,沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动.设点P 运动路程为x ,△ABP 的面积为y ,求:①y 与x 之间的函数关系式; ②画出y =f (x )的图象.[思路导引] (1)利用描点法分段作图;(2)先依据x 的变化范围求出关系式. [解] (1)①函数图象如图1所示.②y =|x +1|=⎩⎨⎧-x -1,x <-1,x +1,x ≥-1,其图象如图2所示.(2)①y =⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤4,8,4<x ≤8,24-2x ,8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f (x )=|x -3|-|x +1|. (1)求f (x )的值域; (2)解不等式:f (x )>0;(3)若直线y =a 与f (x )的图象无交点,求实数a 的取值范围. [思路导引] 去掉绝对值符号,化简f (x ),再分段求解. [解] 若x ≤-1,则x -3<0,x +1≤0,f (x )=-(x -3)+(x +1)=4; 若-1<x ≤3,则x -3≤0,x +1>0,f (x )=-(x -3)-(x +1)=-2x +2; 若x >3,则x -3>0,x +1>0,f (x )=(x -3)-(x +1)=-4.∴f (x )=⎩⎨⎧4,x ≤-1,-2x +2,-1<x ≤3,-4,x >3.(1)-1<x ≤3时,-4≤-2x +2<4.∴f (x )的值域为[-4,4)∪{4}∪{-4}=[-4,4]. (2)f (x )>0,即⎩⎨⎧x ≤-1,4>0,①或⎩⎨⎧-1<x ≤3,-2x +2>0,②或⎩⎨⎧x >3,-4>0,③解①得x ≤-1,解②得-1<x <1,解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(-∞,-1]∪(-1,1)∪∅=(-∞,1). (3)f (x )的图象如图:由图可知,当a ∈(-∞,-4)∪(4,+∞)时,直线y =a 与f (x )的图象无交点.[变式] 若a ∈R ,试探究方程f (x )=a 解的个数.[解] 由例3(3)知y =f (x )的图象,作出直线y =a ,可以看出:当a =±4时,y =a 与y =f (x )有无数个交点;当-4<a <4时,y =a 与y =f (x )有且仅有一个交点;当a <-4或a >4时,y =a 与y =f (x )没有交点.综上可知:当a =±4时,方程f (x )=a 有无数个解. 当-4<a <4时,方程f (x )=a 有一个解. 当a <-4或a >4时,方程f (x )=a 无解.研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究.在每一段上研究函数.(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段,仍是一个函数,对外是一个整体.题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15~20℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象,其中AB 段是恒温阶段,BC 段是双曲线y =k x的一部分,请根据图中信息解答下列问题:(1)求y 与x 的函数关系式;(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长?(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时?[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式,再分段研究. [解] (1)设线段AD 的解析式为y =mx +n (m ≠0), 将点A (2,20),D (0,10)代入, 得⎩⎨⎧2m +n =20n =10,解得⎩⎨⎧m =5n =10,∴线段AD 的解析式为y =5x +10(0≤x ≤2). ∵双曲线y =k x经过B (12,20), ∴20=k 12,解得k =240,∴BC 段的解析式为y =240x(12≤x ≤24).综上所述,y 与x 的函数解析式为: y =⎩⎪⎨⎪⎧5x +10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x =18时,y =24018=403,由于403<15,∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长. (3)令y =15,当0≤x ≤2时,解5x +10=15,得x =1, 当12≤x ≤24时,解240x=15,得x =16.由于16-1=15(小时),∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时.对于应用题,要在分析题意基础上,弄清变量之间的关系,然后选择适当形式加以表示;若根据图象求解析式,则要分段用待定系数法求出,最后用分段函数表示,分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”.3.2.1.1函数的单调性要点整理1.函数的单调性温馨提示:定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.2.函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.温馨提示:(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质.(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调.如f(x)=x2等.(3)并非所有的函数都具有单调性,如f (x )= ⎩⎨⎧1,x 是偶数0,x 是奇数,它的定义域是N ,但不具有单调性.题型一函数单调性的判断与证明【典例1】 证明函数f (x )=x +4x在(-∞,-2)上是增函数.[思路导引] 设出∀x 1<x 2<-2,判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系. [证明] ∀x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1+4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)+4(x 2-x 1)x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2.∵x 1<x 2<-2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>4,x 1x 2-4>0.∴f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )=x +4x在(-∞,-2)上是增函数.证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】 求下列函数的单调区间: (1)f (x )=1x -1; (2)f (x )=|x 2-3x +2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域,再利用定义求解;(2)作出函数y =x 2-3x +2的图象,再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,结合图象写出f (x )的单调区间.[解] (1)函数f (x )=1x -1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), ∀x 1,x 2∈(-∞,1),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=1x 1-1-1x 2-1=x 2-x 1(x 1-1)(x 2-1). 因为x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).所以函数f (x )在(-∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,+∞)上单调递减.综上,函数f (x )的单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞). (2)f (x )=|x 2-3x +2|=⎩⎨⎧x 2-3x +2,x ≤1或x ≥2,-(x 2-3x +2),1<x <2.作出函数的图象,如图所示. 根据图象,可知,单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,32和[2,+∞);单调递减区间是(-∞,1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法:即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解. ②图象法:即先画出图象,根据图象求单调区间. (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )=x 2-2(1-a )x +2在[4,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围.(2)已知y =f (x )在定义域(-∞,+∞)上是减函数,且f (1-a )<f (2a -1),求a 的取值范围.[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定,与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系.[解] (1)∵f (x )=x 2-2(1-a )x +2=[x -(1-a )]2+2-(1-a )2, ∴f (x )的增区间是[1-a ,+∞). 又∵已知f (x )在[4,+∞)上是增函数, ∴1-a ≤4,即a ≥-3.∴所求实数a 的取值范围是[-3,+∞).(2)∵f (x )在R 上是减函数,且f (1-a )<f (2a -1), ∴1-a >2a -1,得a <23,∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )=x 2-2(1-a )x +2的单调递增区间为[4,+∞)”,其他条件不变,如何求解?(2)若本例(2)中“定义域(-∞,+∞)”改为“定义域(-1,1)”,其他条件不变,如何求解?[解] (1)∵f (x )=x 2-2(1-a )x +2=[x -(1-a )]2+2-(1-a )2, ∴f (x )的递增区间为[1-a ,+∞). ∴1-a =4,得a =-3. (2)由题意可知⎩⎨⎧-1<1-a <1,-1<2a -1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(-1,1)上是减函数,且f (1-a )<f (2a -1), ∴1-a >2a -1,即a <23.②由①②可知,0<a <23,即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关,因此处理起来较容易,只需结合图象即可获解.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,通过与已知单调区间比较,求参数的取值范围.(3)需注意若一函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1.最大值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有f (x )≤M ; ②∃x 0∈I ,使得f (x 0)=M .那么,称M 是函数y =f (x )的最大值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标. 2.最小值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有f (x )≥M ; ②∃x 0∈I ,使得f (x 0)=M .那么,称M 是函数y =f (x )的最小值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标.温馨提示:(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素. (2)并不是每一个函数都有最值,如函数y =1x,既没有最大值,也没有最小值.(3)最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值. 题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2,-1≤x ≤1,1x ,x >1.求f (x )的最大值、最小值;(2)画出函数f (x )=⎩⎨⎧-2x,x ∈(-∞,0),x 2+2x -1,x ∈[0,+∞)的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.[思路导引] 作出函数f (x )的图象,结合图象求解. [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1).由图象可知,当x =±1时,f (x )取最大值为f (±1)=1;当x =0时,f (x )取最小值f (0)=0,故f (x )的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f(0)=-1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)=x+1 x .(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数;(2)求f(x)在[2,4]上的最值.[解](1)证明:设∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2.则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x 2-1x2=(x1-x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1-1x1x2=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2.∵x2>x1>1,∴x1-x2<0,又∵x1x2>1,∴x1x2-1>0,故(x1-x2)·(x1x2-1)x1x2<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.∴当x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4).又f(2)=2+12=52,f(4)=4+14=174,∴f(x)在[2,4]上的最大值为174,最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间[b,c)上是减函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b).(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在区间[b,c)上是增函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b).(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)=3x2-12x+5,x∈[0,3],求函数的最大值和最小值.(2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.[思路导引] 找出f(x)的对称轴,分析对称轴与给定区间的关系,结合单调性求最值.[解] (1)函数f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示,由图可知,函数f(x)在[0,2)上递减,在[2,3]上递增,并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5,f(x)min =f(2)=-7.(2)∵函数图象的对称轴是x=a,∴f (x )min =f (2)=6-4a .当a >4时,f (x )在[2,4]上是减函数, ∴f (x )min =f (4)=18-8a .当2≤a ≤4时,f (x )min =f (a )=2-a 2.∴f (x )min=⎩⎨⎧6-4a ,a <2,2-a 2,2≤a ≤4,18-8a ,a >4.[变式] 本例(2)条件变为,若f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈[2,4]时,f (x )≤a 恒成立,求实数a 的取值范围.[解] 在[2,4]内,f (x )≤a 恒成立, 即a ≥x 2-2ax +2在[2,4]内恒成立, 即a ≥f (x )max ,x ∈[2,4]. 又f (x )max =⎩⎨⎧18-8a ,a ≤3,6-4a ,a >3.①当a ≤3时,a ≥18-8a ,解得a ≥2,此时有2≤a ≤3. ②当a >3时,a ≥6-4a ,解得a ≥65,此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2,+∞).求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图. (2)在图象上标出定义域的位置. (3)观察单调性写出最值.题型四实际应用中的最值【典例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R (x )=⎩⎨⎧400x -12x 2,0≤x ≤400,80000,x >400.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x );(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数,再利用函数的单调性求最值. [解] (1)月产量为x 台,则总成本为(20000+100x )元,从而f (x )=⎩⎨⎧-12x 2+300x -20000,0≤x ≤400,60000-100x ,x >400.(2)当0≤x ≤400时,f (x )=-12(x -300)2+25000,当x =300时,f (x )max =25000;当x >400时,f (x )=60000-100x 是减函数,f (x )<60000-100×400=20000<25000.∴当x =300时,f (x )max =25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大,最大利润为25000元.求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.(2)实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决.3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理 函数的奇偶性温馨提示:(1)奇偶性是函数的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质,以加深理解).(2)奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.题型一函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=2-|x |;(2)f (x )=x 2-1+1-x 2; (3)f (x )=x x -1;(4)f (x )=⎩⎨⎧2x +1,x >0,-2x +1,x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断. [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称, 又f (-x )=2-|-x |=2-|x |=f (x ), ∴f (x )为偶函数.(2)∵函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,又∵f (-x )=-f (x ),f (-x )=f (x ),∴f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-2x)=1+2x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-2x)=1-2x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象.(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象,再求解.[解] (1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,试画出在区间[-5,0]上的图象.[解] 因为函数f(x)是偶函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于y轴对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________;。

新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结

新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念:一般地,设A、B是非空的数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作:y=f(x),x∈A。

其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)函数的定义域的求法:①自然型:解析式自身有意义,如分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数;②实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。

(2)求函数的值域的方法:①配方法(将函数转化为二次函数);②不等式法(运用不等式的各种性质);③函数法(运用函数的单调性、函数图象等)。

(3)两个函数的相等:当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。

3.常用的函数表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4.分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;5.区间的概念:设a,b是两个实数,且a<b,我们规定:(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b];(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示(a,b);(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。

(4)代数与几何表示对照表(数轴上用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点)(5)3.2 函数的基本性质⊆: 1.单调性:(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I①∀ x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们成它是增函数。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)
(x f y =有零点.
3、函数零点的求法:

1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点:
①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k
y k x
=
≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y .
(1)△>0,方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.
⑤指数函数(0,1)x
y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.
⑦幂函数y x α
=,当0n >时,仅有一个零点0,当0n ≤时,没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把()f x 转化成
()0f x =,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y (基本初等函数),这另
个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点,只需满足()()0f a f b <。

试判断方程在区间0122
4
=-+-x x x [0,2]内是否有实数解?并说明理由。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续,且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

求函数2)1lg(2)(-++=x x f x
的零点个数。

8、函数零点的性质:
从“数”的角度看:即是使0)(=x f 的实数;
从“形”的角度看:即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标;
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切,则零点0x 通常称为不变号零点; 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交,则零点0x 通常称为变号零点.
一元二次方程根的分布讨论
一元二次方程根的分布的基本类型
设一元二次方程
02=++c bx ax (0≠a )的两实根为1x ,2x ,且21x x ≤. k 为常数,则一元二次方程根的k 分布(即1x ,2x 相对于k 的位置)或根在区间上的
分布主要有以下基本类型:
表一:(两根与0的大小比较)

布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0,一个大于
()120x x <<
大致图象(
>a )
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩
()00<f
大致图象(
<a )
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综合结论 (
不讨论a )
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪
-
<⎨⎪⋅>⎪⎩
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪
-
>⎨⎪⋅>⎪⎩
()00<⋅f a
表二:(两根与k 的大小比较)

布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21,
一个根小于k ,一个大于k 即
12
x k x <<
大致图象(
>a )
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩
()0<k f
k
k
k
大致图象(
<a )
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论

不讨论a )
()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩
()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩
()0<⋅k f a
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在()n m ,内
两根有且仅有一根在()
n m ,内(有两种情况,只画了一种) 一根在()n m ,内,另一根在()
q p ,内,q p n m <<<
大致图象(
>a )
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩或()()()()00
f m f n f p f q <⎧
⎪⎨<⎪⎩
大致图象(
<a )
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩
或()()()()0
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨
<⎪⎩

合结论

不讨论
a ) ——————
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00
q f p f n f m f
(1)关于x 的方程0142)3(22
=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围?
(2)关于x 的方程0142)3(22
=++++m x m x 有两实根在[0,4]内,求m 的取值范围?
(3)关于x 的方程0142)3(22
=++++m x m mx 有两个实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围?
9、二分法的定义
对于在区间[a ,]b 上连续不断,且满足()()0f a f b ⋅<的函数
)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
10、给定精确度ε,用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤: (1)确定区间[a ,]b ,验证()()f a f b ⋅0<,给定精度ε; (2)求区间(a ,)b 的中点1x ; (3)计算1()f x :
①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;
②若()f a ⋅1()f x <0,则令b =1x (此时零点01(,)x a x ∈); ③若1()f x ⋅()f b <0,则令a =1x (此时零点01(,)x x b ∈);
(4)判断是否达到精度ε;即若||a b ε-<,则得到零点值a (或b );否则重复步骤(2)~(4).
11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序:
① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论;
④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
13、函数的模型
14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型:()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型:2
()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型:12
()(0);h x ax b a =+≠
指数函数模型:()x l x ab c =+(0,a b ≠>0,1b ≠)
利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型。

相关文档
最新文档