上海市部分重点中学2010届高三第二次联考(精)

上海市部分重点中学2010届高三第二次联考文科数学试卷命题人：三林中学 蒲红军一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=______________2、已知b a ,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a b+=______3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_________4、圆心为(2,1)且与直线1x y +=相切的圆的方程为___________________5、若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为6、已知函数12)(+=x x f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______7、若圆柱的底面半径为1，高为3，则该圆 柱的全面积为_________8、数列{}n a 中，若()1525n n nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数）设n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则2lim n n S →∞=______9、方程22log ||2x x =-的实根个数为10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 ______11、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______(用分数表示)12、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则85_____a =13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB AC =,3A π∠=,ABC S ∆=.若球的表面积为16π则,A B 两点的 球面距离是____14、设n a (n ＝2,3,4…)是(3n 的展开式中x 的一次项的系数,则2342010234201020103333()2009a a a a ++++的值是________ 二、选择题（每小题4分,共计16分）15、与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉ 16、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D 17、一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+ C. 2π D. 4π18、已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：当[]1,1,21-∈x x 时，都有|)()(|21x f x f -||421x x -⋅≤，在以下函数①5)(=x f ；②34)(-=x x f ；③x x x f 2)(2+=；④21)(+=x x f 中 可以是集合M 中的元素的序号为（ ）（A ）①②③④； （B ）①②④； （C ）②③； （D ）①②③。

三、解答（12+14+16+18+18）侧(左)视图正(主)视俯视图19、（12分）已知复数12 z x i λ+,2(cos2) (,,,)z m m x i m x R λ=+-∈且12z z =． （1）若0λ=且0x π<<，求x 的值；（2）设λ＝()f x ，求()f x 的最小正周期和单调增区间． 解：20、（14分）如图直三棱柱111ABC A B C - 的侧棱长为2，底面ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ∠=，12,AC D AA =是的中点（1）求异面直线1AB C D 与所成的角的大小； （2 ）求直线1C D 与平面11ABB A 所成的角；21、（16分）在直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0，(0的距离之和 等于4，设动点P 的轨迹为C 曲线，直线1y kx =+与C 曲线交于,A B 两点． （1）写出C 曲线的方程；（2）当k =1时，求三角形AOB 的面积 （3）若0OA OB ⋅=，求k 的值22、（18分）在平面直角坐标系上，设不等式组00(3)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩（n N *∈）所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均 为整数的点）的个数为()n a n N *∈.（1）求123,,a a a 并猜想n a 的表达式（不必证明） （2）设数列{}n a 的前项和为n S ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T , 求使不等式17n n k T a +>对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值； （3）设n ∈N *，2()1n n a n f n a n +⎧=⎨+⎩是奇数是偶数问是否存在m ∈N *，使(15)5()f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．23、(18分) 对于定义在D 上的函数()y f x =，若存在0x D ∈，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≥，则称函数．．()f x 在区间．．．D 上有下界．．．．，把0()f x 称为函数．．()f x D 在上的．“．下界．．”．。

（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”否则请说明理由；1()12f x x =-(0)x > ，(]216()0,5f x x x x=+∈ （2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数()f x 在区间D 上有“上界”的定义；并判断函数()3f x =（3）若函数()f x 在区间D 上既有“上界”又有“下界”，则称函数()f x 是区间D 上的“有界函数”，把“上界”减去 “下界”的差称为函数()f x 在D 上的“幅度M ”。

对于实数a ，试探究函数()23F x x x x =-+是否是[,2]a a +上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M ”的值。

上海市部分重点中学高三第二次联考文科数学试卷答案一、填空题（每小题4分,共计56分）1、22、-6 4、22(2)(1)2x y -+-= 5、 9 6、5x = 7、8π 8、18 9、4 10、0 11、4891 12、18 13、23π 14、18 二、选择题（每小题4分,共计16分） 15、D 16、B 17、C 18、 A 三、解答 19、(12分) 解：（1）∵12z z =∴ 2cos 2x mm xλ==-⎪⎩ ∴2cos2x x λ------------------2分若0λ=2cos20x x -=得tan 2x =----------4分∵0,x π<< 022x π∴<< ∴2,6x π=或72,6x π=∴7,1212x x ππ==--------------------------------6分（2）∵1()2cos 22cos 2)2f x x x x x λ==-=- ＝2(sin 2coscos 2sin )66x x ππ-2sin(2)6x π=-----------------------------------9分 ∴函数的最小正周期为T=π-----------------------------------------10分由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调增区间[,],63k k k Z ππππ-+∈.----------------12分20、（14分）解：（1）解法1：取1BB 的中点F ，连接1,DF C F1C DF ∠就是1AB C D 与所成的角---------3分在1Rt DFC ∆中11cos 5FD FDC DC ∠===--5分 所以异面直线1AB C D 与所成的角为arc cos 510---7分 解法2如图建立空间直角坐标系 则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C 1(0，2，2)，D(2，0，1) ------2分 设AB 、C 1的夹角为α ---3分则11cos AB C D AB C Dα⋅=⋅=-510------6分 ∴异面直线1AB C D 与所成的角为arc cos510-- 7分 (2)取1CC 的中点E ，连接1DB11C DB ∠就是1C D 与平面11ABB A 所成的角 -------------9分11111tan C B CDB DB ∠==分 所以直线1C D 与平面ABC所成的角为arctan ) ----14分 21、（16分）解：（1）设P （x，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=．--------------------------------------5分 （2）设椭圆与直线相交于1122()()A x y B x y ，，，，由22141y x y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩-----6分y消去y 并整理得25230x x +-= -----------7分12112AOB S x x ∆=⨯⨯-=分=45-------------------------10分 （3）设椭圆与直线相交于1122()()A x y B x y ，，，2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，------------11分 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，．--------------------- 12分 由题意知OA OB ⊥，即12120x x y y +=．---------------13分 而2121212()1y y k x x k x x =+++， ---------------14分于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++ ------15分 化简得2410k -+=，所以12k =±．------------- 16分 22、(18分) 解：（1）当n ＝1时，D 1为Rt △OAB 1的内部包括斜边，这时13a =，----1分 当n ＝2时，D 2为Rt △OAB 2的内部包括斜边，这时26a =， ------ -2分当n ＝3时，D 3为Rt △OAB 3的内部包括斜边，这时39a = -----------3分由此可猜想n a ＝3n 。