数字信号处理离散傅里叶变换
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理课件第十章--利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析(ppt文档)
问DFT的样本数N为多少？即，v[n]的长度 = x[n]截取的长度 ΔΩ = Ωk – Ωk-1 = 2π/NT ≤ 2π(10)
有 N ≥ 500
取N = 512 ----- Δf = 9.77Hz
考虑：采样频率、数据长度、频率分辨率之间的关系 （在不产生混叠情况下）
分辨率 窗函数W(ejω)的主瓣宽度 窗的长度L 泄漏 窗函数W(ejω)的主瓣和旁瓣的相对幅度 窗的形状
矩形窗
Wr (e j )
L1
e jn
n0
e j( L1)/2
sin[L / 2] sin( / 2)
主瓣最窄，但旁瓣幅度最大
Kaiser窗
wk
[n]
如：语音信号的频率成分 ----- 发声的物理器官，声腔的谐振（识别 与建模）
机器设备振动信号的频率分析----- 产生各种振动的部件，转 子、轴承、齿轮、箱体的振动与谐振（故障诊断）
Doppler雷达系统的频率分析 ------ 频移表示目标的速度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
2
2
A1 w[n]e j1e j1n A1 w[n]e j1e j1n
2
2
由频移特性，得加窗序列的傅立叶变换
V (e j ) A0 e W j0 (e j(0 ) ) A0 e W j0 (e j(0 ) )
2
2
A1 e W j1 (e j(1) ) A1 e W j1 (e j(1) )
第二个问题：
Ω与ω ------ ω = ΩT
------ 频率归一化
数字信号处理 第二章 DFT
~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j
15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数 其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N
1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立 的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数 连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期 离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续 非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续 周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
同济大学数字信号处理课件第三章1离散傅里叶变换
X ( j )e
d
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
2012-8-28 信号处理
连续时间、离散频率—傅里叶级数
X ( jk 0 )
1 T0
T0 / 2 T0 / 2
x (t )e
jk 0 t
dt
x (t )
k
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
2012-8-28
信号处理
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
X (k )
x (n )e
n0
N 1
j
2 N
nk
x(n )
1 N
X (k )e
k 0
N 1
j
2 N
nk
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的 信号处理 2012-8-28
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
2012-8-28 信号处理
连续时间、连续频率—傅里叶变换
X ( j )
x (t )e
j t
dt
j t
x (t )
1 2
P132:
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
X (k ) XX((kkX)))X(XX(z(ez(zzjjjj))))222kk,,k, 200k0,kkkNN--1N1-1 0((33..1(1.3.44.)1k).4) NNN N
2021/8/24
6
3.1 离散傅里叶变换的定义
DFT的物理意义：
(1)x(n)的N点DFT 是x(n)的Z变换在单位
。 j 2 kn 8
解: (1) 设变换区间N=8， 则：n0
N 0
XX(k(k)
77
)
nn00
xx(Xn(n)W()Wk8k)8nkn 3373 eexj 28j(28knnkn)We8jk83nk NnN000
sin(3 k 2 sin kn
80,1,
,
7
(2) 设变换区间N=16， 则 2 k 8
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
0 k N-1
X (比k较) 上XXX面(((kkkX)二))式X(XX(z(可z(z)z)))得zzzezej2关jeN2Njk2Nke,系k,j,2N式 k00,0kkkNN--N11-10 ((33k..1(1.3.33.)1).3)N
(
j2 k
X
(k)
X(k)
DFT
[=x(Xn~ ()k]
)RNDD(nFF)ST[n[x~x(0~n()n] )RNnN01(n
[0, 2]上的N点
单位圆上的N
等间隔采样
DFT
点等间隔采样
~
X (k ) DFFTT [ x(n)] ZT DFT [x(n)RN (n)] X
dft计算介绍
dft计算介绍
DFT（离散傅里叶变换）是一种在数字信号处理中常用的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号。
以下是DFT的计算步骤：
数据准备：首先，需要准备一个时域信号。
这个信号可以是任何形式，比如声音、图像等。
确定信号长度：DFT计算需要知道信号的长度。
如果信号长度不是2的整数次幂，可以使用填充零的方法使其长度为2的整数次幂。
计算DFT：DFT的计算公式是X[k] = ∑[n=0 to N-1] x[n] * W[kn] 其中x[n] 是时域信号，X[k] 是频域信号，W[kn] 是虚数单位圆上的复数。
结果解释：DFT计算的结果是一个复数数组，每个复数的实部和虚部分别对应于一个频率分量的幅度和相位。
频谱分析：通过对DFT的结果进行分析，可以得到信号的频谱特性。
例如，可以分析信号的频率成分、频率范围等。
逆DFT计算：如果需要将频域信号还原为时域信号，可以进行逆DFT计算，即IDFT = 1/N ∑[k=0 to N-1] X[k] * W[-k*n]。
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
离散傅里叶变换的公式
离散傅里叶变换的公式离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法，它将时域上的信号转换为频域上的信号。
在图像处理、音频处理、通信等领域中广泛使用。
DFT的公式和理论基础十分重要，本文将详细介绍DFT的公式及其相关知识。
一、基本概念在介绍DFT的公式前，有一些基本概念需要了解：1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT是一种将离散时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。
它表示为X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数信号。
2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是一种计算离散时间序列的离散频率谱的算法。
用DFT可以将一个N个离散点的信号转换为N个离散频率点的频谱，其中每个点代表一个离散频率。
由于DFT的本质是使用频域上的样本估计DTFT，因此它通常比DTFT更具实际意义。
3.复数：在DFT中，我们需要使用复数表示信号和频率。
复数可表示为 a+bi ，其中a,b均为实数，i为虚数单位，i^2=-1。
其中a称为实部，b称为虚部。
4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过程。
对于DFT来说，正变换即将离散时间序列转换为离散频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序列。
二、DFT的公式DFT的公式如下：X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1其中，X(k)是离散时间序列x(n)的DFT系数，k是频率索引，N是样本数。
公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为旋转因子，代表了信号的周期性。
由于信号周期性的特点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号的离散频率成分。
需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数，且X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)
的长度时，将式
x(n) x(nmN)
m
x(n)x((n))N
DFT的物理意义
DFT是 X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等 间隔采样。这就是DFT的物理意义。
DFT的变换区间长度N不同，表示对 X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样 点数不同，所以DFT的变换结果不同。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
在DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，
X (k ) =
7 n=0
x
(n
)W
kn 8
=
3
W
kn 8
n=0
=
1
-
W
k 4 8
1
-
W
k 8
-j 2π 4k
-j π k
jπ k
-j π k
1-e 8
=
-j 2π k
e 2 (e 2
-j π k
jπ k
-e 2 )
-j π k
1-e 8
e 8 (e 8 -e 8 )
-j 3π k
e8
siΒιβλιοθήκη n(π 2
jπ k
-j π k
e 4 (e 4 -e 4 )
-j π k
jπ k
-j π k
e 16 ( e 16 - e 16 )
-j 3π k
e 16
π sin( 4
π sin( 16
k) ,
k)
k 0,1...,15
9
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:
X(n)的幅频 特性曲线 (FT曲线)
X(n)的8点 DFT曲线
X(n)的16点 DFT曲线
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
结论:
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与 变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT 与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意 义进行讨论后，上述问题就会得到解释。
4
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
➢DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的 有限点离散采样，即频域离散化。
➢DFT 有 多 种 快 速 算 法 (Fast Fourier Transform), 因此不仅在理论上有重要意 义, 在各种数字信号处理算法中亦起着核 心作用。从而使信号的实时处理和设备 的简化得以实现。
π sin (
k k
) , )
k 0,1..., 7
8
8
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
（2）设变换区间N=16 时，则：
X (k ) =
15 n=0
x
(n
)W
kn 16
=
3
W kn 16
n=0
=
1
-
W
k 4 16
1
-
W
k 16
-j 2π 4k
=
1 -e
16 -j 2π k
1 - e 16
-j π k
数字信号处理离散傅里叶变换
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
本章作为全书的基础，主要学习: (1) DFT的定义； (2) DFT的物理意义； (3) DFT的基本性质以及频域采样； (4)DFT的应用举例等内容。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换定义
➢计算机只能处理有限长离散序列，因而 无法直接利用ZT与FT进行数值计算。
➢针对有限长序列, 还有一种更有用的数学 变 换 , 即 离 散 傅 里 叶 变 换 （ Discrete Fourier Transform），使数字信号处理 可以在频域采用数字运算的方法进行， 大大增加了数字信号处理的灵活性。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
对式中，W N
=
-j 2π
eN
，N称为DFT变换
区间长度，N≥M。通常称上述二式为离散
傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用
DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示
N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆
变换。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
【例】 x(n)=R4(n), 求x(n)的8点和16点DFT。 【解】（1）设变换区间N=8 时，则：
但由于
W
kn N
的周期性，使DFT和IDFT式中的X(k)
隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
W N k W N ( k m N ) ， k ,m 为 整 数 , N 为 自 然 数
在DFT式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k m N )x (n ) W N (k m N )nx (n ) W N k n X (k )
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT与傅里叶变换和Z 设序列x(n)的长度为M，其Z变换和
N(N≥M)点DFT分别为：
M1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn n0
M1
X(k)DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
k0,1, ,N1
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT) 比较上面二式可得关系式
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT 的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则 定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
N -1
X (k )= D F T [x (n )]= x (n )W N k n ,k= 0 ,1 ,...,N -1 n = 0 X(k)的离散傅里叶逆变换为：
x (n )= ID F T [X (k )]= N 1n N = -0 1X (k )W N -k n ,n = 0 ,1 ,...,N -1
X ( k ) X ( z )j 2 π k z e N
或
k 0 ,1 , ,N 1
X (k ) X (e j )| 2 π k k 0 ,1 , ,N 1 N
上二式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的 Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。X(k) 为x(n)的傅里叶变换。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
n 0
n 0
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可 以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延 拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期，即
x(n) x(nmN) m
x(n)x(n)R N(n)
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
一般称周期序列 ~x(n) 中从n=0到N－1 的第一个周期为 ~x(n) 的主值区间，而主 值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为：~x(n) 是x(n)的周期延拓序列，x(n)是 ~x(n) 的主