数字信号处理离散傅里叶变换

jπ k
-j π k
e 4 (e 4 -e 4 )
-j π k
jπ k
-j π k
e 16 ( e 16 - e 16 )
-j 3π k
e 16
π sin( 4
π sin( 16
k) ,
k)
k 0,1...,15
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT与傅里叶变换和Z 设序列x(n)的长度为M，其Z变换和
N(N≥M)点DFT分别为：
M1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn n0
M1
X(k)DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
k0,1, ,N1
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT) 比较上面二式可得关系式
X ( k ) X ( z )j 2 π k z e N
或
k 0 ,1 , ,N 1
X (k ) X (e j )| 2 π k k 0 ,1 , ,N 1 N
上二式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的 Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。X(k) 为x(n)的傅里叶变换。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT的物理意义
DFT是 X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等 间隔采样。这就是DFT的物理意义。
DFT的变换区间长度N不同，表示对 X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样 点数不同，所以DFT的变换结果不同。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
在DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，
X(n)的幅频 特性曲线 (FT曲线)
X(n)的8点 DFT曲线
X(n)的16点 DFT曲线
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
结论:
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与 变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT 与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意 义进行讨论后，上述问题就会得到解释。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT 的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则 定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
N -1
X (k )= D F T [x (n )]= x (n )W N k n ,k= 0 ,1 ,...,N -1 n = 0 X(k)的离散傅里叶逆变换为：
x (n )= ID F T [X (k )]= N 1n N = -0 1X (k )W N -k n ,n = 0 ,1 ,...,N -1
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
对式中，W N
=
-j 2π
eN
，N称为DFT变换
区间长度，N≥M。通常称上述二式为离散
傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用
DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示
N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆
变换。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
【例】 x(n)=R4(n), 求x(n)的8点和16点DFT。 【解】（1）设变换区间N=8 时，则：
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
➢DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的 有限点离散采样，即频域离散化。
➢DFT 有 多 种 快 速 算 法 (Fast Fourier Transform), 因此不仅在理论上有重要意 义, 在各种数字信号处理算法中亦起着核 心作用。从而使信号的实时处理和设备 的简化得以实现。
但由于
W
kn N
的周期性，使DFT和IDFT式中的X(k)
隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
W N k W N ( k m N ) ， k ,m 为 整 数 , N 为 自 然 数
在DFT式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k m N )x (n ) W N (k m N )nx (n ) W N k n X (k )
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)
的长度时，将式
x(n) x(nmN)
m
x(n)x((n))N
n 0
n 0
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可 以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延 拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期，即
x(n) x(nmN) m
x(n)x(n)R N(n)
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
一般称周期序列 ~x(n) 中从n=0到N－1 的第一个周期为 ~x(n) 的主值区间，而主 值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为：~x(n) 是x(n)的周期延拓序列，x(n)是 ~x(n) 的主
X (k ) =
7 n=0
x
(n
)W
kn 8
=
3
W
kn 8
n=0
=
1
-
W
k 4 8
1
-
W
k 8
-j 2π 4k
-j π k
jπ k
-j π k
1-e 8
=
-j 2π k
e 2 (e 2
-j π k
jπ k
-e 2 )
-j π k
1-e 8
e 8 (e 8 -e 8 )
-j 3π k
e8
s
i
n
(
π 2
π sin (
k k
) , )
k 0,1..., 7
8
8
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
（2）设变换区间N=16 时，则：
X (k ) =
15 n=0
Байду номын сангаас
x
(n
)W
kn 16
=
3
W kn 16
n=0
=
1
-
W
k 4 16
1
-
W
k 16
-j 2π 4k
=
1 -e
16 -j 2π k
1 - e 16
-j π k
离散傅里叶变换定义
➢计算机只能处理有限长离散序列，因而 无法直接利用ZT与FT进行数值计算。
➢针对有限长序列, 还有一种更有用的数学 变 换 , 即 离 散 傅 里 叶 变 换 （ Discrete Fourier Transform），使数字信号处理 可以在频域采用数字运算的方法进行， 大大增加了数字信号处理的灵活性。
数字信号处理离散傅里叶变换
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
本章作为全书的基础，主要学习: (1) DFT的定义； (2) DFT的物理意义； (3) DFT的基本性质以及频域采样； (4)DFT的应用举例等内容。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)