海洋可控源电磁法一维正演公式推导
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电偶极子激励下的1D正演
1、麦克斯韦方程和谢昆诺夫势函数
麦克斯韦方程为：
∇×E=−ðB
ðt
(1)
∇×H=J+ðD
ðt
(2)
∇∙E=ρ (3)
∇∙H=0 (4)存在如下关系：D=εE, B=μH, J=σE。
其中，E表示电场强度，单位V/m；
B电磁感应强度，单位Wb/m2或特斯拉；
D电位移，单位C/m2；
H磁场强度，单位A/m；
J电流密度，单位A/m2；
ρ电荷密度，单位C/m3。
(1)和(2)取旋度可得：
吗∇×∇×E=∇(∇∙E)−∇2E=−∇×ðB
ðt =−∇×ð(μH)
ðt
∇×∇×H=∇(∇∙H)−∇2H=∇×J+∇×ðD
ðt
=∇×(σE)+∇×
ð(εE)
ðt
在均匀空间中有（电流源频率<105Hz）：∇∙E=0 ，∇∙H=0 所以：
∇2E−∇×ð(μH)
ðt
=0
∇2H+∇×(σE)+∇×ð(εE)
ðt
=0
即：
∇2E−∇×ð(μH)
ðt
=∇2E−μ
ð(∇×H)
ðt
=∇2E−μ
ð(J+
ðD
ðt )
ðt
=∇2E−μ
ð(σE+ε
ðE
ðt )
ðt =∇2E−με
ð2E
ðt2
−μσ
ðE
ðt
=0
∇2H+∇×(σE)+∇×ð(εE)
ðt
=∇2H+σ∇×E+ε
ð(∇×E)
ðt
=∇2H+σ−
ðB
ðt
+ε
ð(−
ðB
ðt)
ðt
=
=∇2H−εð2B
ðt
−σ
ðB
ðt2
=∇2H−με
ð2H
ðt2
−μσ
ðH
ðt
=0
可得：
∇2E−μεð2E
ðt2
−μσ
ðE
ðt
=0 (5)
∇2H−μεð2H
ðt2
−μσ
ðH
ðt
=0 (6)
以上两式就是时间域中电磁场的波动方程。
由(1)(2)(5)(6)做傅里叶变换可得到频率域中的麦克斯韦和波动方程
∇×Ê=−iωμĤ
∇×Ĥ=σÊ+iωεÊ
∇2Ê+μεω2Ê −iμσωÊ=0
∇2Ĥ+μεω2Ĥ−iμσωĤ=0
令ẑ=iωμ, ŷ=σ+iωε,k2= μεω2−iμσω=−ẑŷ，可得
∇×Ê+ẑĤ=0 (7)
∇×Ĥ−ŷÊ=0 (8)
∇2Ê+k2Ê=0
∇2Ĥ+k2Ĥ=0
因为矢量场的旋度的散度为零，而电磁场理论中，在无源的区域 ∇∙E=0，∇∙H=0，所以可令E=∇×A，因此可以将电磁场表示为矢量场的旋度。电磁理论中矢量场并非一个实际物理量，引入只是为了方便理解和简化计算，可以根据自己实际的研究需要定义不同的矢量函数，例如谢昆诺夫势、赫兹势等。由于复电阻率法中电磁响应利用谢昆诺夫势来解比较方便，下面对该势函数做简要介绍。
(7)，(8)式所示为麦克斯韦方程的齐次形式，适用于无源区。在有源区变为非齐次:
∇×Ê+ẑĤ=−J m s=−iωμ M s(9)
∇×Ĥ−ŷÊ=J e s=iωP s(10)
M s为磁极化矢量，P s为电极化矢量。
引入谢昆诺夫势为多个均匀区段组成的空间中求解波动方程提供了便利，每一个均匀区段内都可以把电场和磁场看成是电源和磁源行成的场的叠加，
Ê=Êm+Êe
Ĥ=Ĥm+Ĥe
这样电磁场就可以由两对矢量函数确定[Êm,Ĥm], [Êe,Ĥe]确定。对于前者，我们假定J e s为零;对于后者，我们假定J m s为零。而[Êm,Ĥm]对应的方程为:
∇×Êm=−J m s−ẑĤm(11)
∇×Ĥm=ŷÊm(12)
对于[Êe,Ĥe]，
∇×Êe=−ẑĤe(13)
∇×Ĥe=ŷÊe−J e s(14)
对(12)(13)式取散度得：∇∙Êm=0，∇∙Ĥe=0，这样我们就可以定义两个矢量势函数用来表示Êm和Ĥe
Êm=−∇×F
Ĥe=−∇×A
将以上两式带入(12)(13)后可得
Ĥm=ŷF −∇U (15)
Êe=−ẑA−∇V (16)
U和V是新引进的任意标量函数。将以上两式带入(11)(14)，并引用洛伦兹条件∇∙F=−ẑU, ∇∙A=−ŷV可得：
∇2F+k2F=−J m s
∇2A+k2A=−J e s
这就是含源区的非齐次亥姆霍兹方程。
将电源和磁源引起的电磁场相加后得到总的电磁场为（用到洛伦兹条件）:
Ê=−ẑA+1
ŷ
∇(∇∙A)−∇×F
Ĥ=−ŷF+1
∇(∇∙F)−∇×A