(6)矩形正方形(优生卷).
矩形菱形正方形(共39题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编
矩形菱形正方形(39题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°【答案】C【分析】根据菱形的性质可得BD⊥AC,AB∥CD，则∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC,AB∥CD，∴∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=90°-20°=70°,故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF,DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为()A.80°B.90°C.105°D.115°【答案】C【分析】首先根据正方形的性质得到∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO，然后结合EF∥AD得到OE= OF，然后证明出△AOF≌△DOE SAS，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO∵EF∥AD∴∠OEF=∠OAD=45°，∠OFE=∠ODA=45°∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF又∵∠AOF=∠DOE=90°，AO=DO∴△AOF ≌△DOE SAS∴∠ODE =∠FAC =15°∴∠ADE =∠ODA -∠ODE =30°∴∠AED =180°-∠OAD -∠ADE =105°故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3(2023·湖南常德·统考中考真题)下列命题正确的是()A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=AD，AC⊥BD，AO=OC=12AC，∵∠DAB=60°，且AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∵AC⊥BD，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．5(2023·上海·统考中考真题)在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是()A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A：∵AB∥CD，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故A不符合题意B：∵AD=BC，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故B不符合题意C：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠B∴∠A=∠B=90°∵AB=CD∴ABCD为矩形故C符合题意D：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠D∴∠D+∠B=180°∴ABCD不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE ，连结AE ,AD ，设△AED ，△ABE ，△ACD 的面积分别为S ,S 1,S 2，若要求出S -S 1-S 2的值，只需知道()A.△ABE 的面积B.△ACD 的面积C.△ABC 的面积D.矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，易得：FG =BC ,AF ⊥BE ,AG⊥CD ，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得S 1+S 2=12S 矩形BCDE ，再根据S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，得到S -S 1-S 2=S △ABC ，即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，∵矩形BCDE ，∴BC ⊥BE ,BC ⊥CD ,BE =CD ，∴FG ⊥BE ,FG ⊥CD ，∴四边形BFGC 为矩形，∴FG =BC ,AF ⊥BE ,AG ⊥CD ，∴S 1=12BE ⋅AF ,S 2=12CD ⋅AG ，∴S 1+S 2=12BE AF +AG =12BE ⋅BC =12S 矩形BCDE ，又S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，∴S -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE -12S 矩形BCDE =S △ABC ，∴只需要知道△ABC 的面积即可求出S -S 1-S 2的值；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到S 1+S 2=12S 矩形BCDE 7(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在矩形ABCD 中，AB >AD ，AC 与BD 相交于点O ，下列说法正确的是()A.点O 为矩形ABCD 的对称中心B.点O 为线段AB 的对称中心C.直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D.直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A【分析】由矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段AB的对称中心是线段AB的中点，矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；线段AB的对称中心是线段AB的中点，故B不符合题意；矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故C，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM=PC，则AM的长为()A.33-1B.333-2C.63-1D.633-2【答案】C【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出△ADM≅△CDM，根据全等三角形的性质可得∠DAM=∠DCM，再根据等腰三角形的性质可得∠CMP=∠DCM，从而可得∠DAM=30°，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°，在△ADM和△CDM中，DM=DM∠ADM=∠CDM=45°AD=CD，∴△ADM≅△CDM SAS，∴∠DAM=∠DCM，∵PM=PC，∴∠CMP=∠DCM，∴∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM，又∵∠APD+∠DAM=180°-∠ADC=90°，∴∠DAM=30°，设PD=x，则AP=2PD=2x，PM=PC=CD-PD=6-x，∴AD=AP2-PD2=3x=6，解得x=23，∴PM=6-x=6-23，AP=2x=43，∴AM=AP-PM=43-6-23=63-1，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．9(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若AC =6，BD =8，则OE =()A.2B.52C.3D.4【答案】B【分析】先由菱形的性质得AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =12×8=4，再由勾股定理求出BC =5，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =128=4，∴由勾股定理，得BC =OB 2+OC 2=5，∵E 为边BC 的中点，∴OE =12BC =12×5=52故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．10(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ．若AB =2，BC =4，则四边形EFGH 的面积为()A.2B.4C.5D.6【答案】B【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形，FH =AB =2，GE =BC =4，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF ⊥GH ，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵FH =AB =2，GE =BC =4，∴菱形EFGH的面积为12FH⋅GE=12×2×4=4．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE =OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1,F2．在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，∵OE=OF、OB=OD，∴DF=EB∵对称，∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2,DE=DE1∴E1F2=E2F1∵对称，∴∠F2DC=∠CDF=60°，∠EDA=∠E1DA=30°∴∠E1DB=60°，同理∠F1BD=60°，∴DE1∥BF1∴E1F2∥E2F1∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如图所示，当E,F,O三点重合时，DO=BO，∴DE1=DF2=AE1=AE2即E1E2=E1F2∴四边形E1E2F1F2是菱形，如图所示，当E,F分别为OD,OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，在Rt△ABD中，AB=2,AD=23，连接AE，AO，∵∠ABO=60°，BO=2=AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE=1，∴AE=22-12=3，根据对称性可得AE1=AE=3，∴AD2=12,DE21=9,AE21=3，∴AD2=AE21+DE21，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1=90°，∴四边形E1E2F1F2是矩形，当F,E分别与D,B重合时，△BE1D,△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为()A.2B.3C.1D.2【答案】D【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB =BC =BE ，∠ABC =90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE =45°，再证明△ABF ≌△EBF ，求得∠AFC =90°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BE =BC ，∠ABC =90°，AC =2AB =22，∴∠BEC =∠BCE ，∴∠EBC =180°-2∠BEC ，∴∠ABE =∠ABC -∠EBC =2∠BEC -90°，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABF =∠EBF =12∠ABE =∠BEC -45°，∴∠BFE =∠BEC -∠EBF =45°，在△BAF 与△BEF ,AB =EB∠ABF =∠EBF BF =BF，∴△BAF ≌△BEF SAS ，∴∠BFE =∠BFA =45°，∴∠AFC =∠BAF +∠BFE =90°，∵O 为对角线AC 的中点，∴OF =12AC =2，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE =45°是解题的关键．二、解答题13(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)证明：△BOF ≌△DOE ；(2)连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据矩形的性质得出AD ∥BC ，则∠1=∠2,∠3=∠4，根据O 是BD 的中点，可得BO =DO ，即可证明△BOF ≌△DOE AAS ；(2)根据△BOF ≌△DOE 可得ED =BF ，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【详解】(1)证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∵O 是BD 的中点，∴BO =DO ，在△BOF 与△DOE 中∠1=∠2∠3=∠4BO =DO，∴△BOF ≌△DOE AAS ；(2)∵△BOF ≌△DOE∴ED =BF ，又∵ED ∥BF∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ,CE ∥BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若BC =3,DC =2，求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC =OD ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；(2)根据矩形的性质求得△OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】(1)解：∵ DE ∥AC ,CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵矩形ABCD 中，OC =OD ，∴平行四边形OCED 是菱形；(2)解：矩形ABCD 的面积为BC ⋅DC =3×2=6，∴△OCD 的面积为14×6=32，∴菱形OCED 的面积为2×32=3．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．15(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点O ，OA =3,BD =8,AB =5．(1)△AOB 是直角三角形吗？请说明理由；(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)△AOB 是直角三角形，理由见解析．(2)见解析【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得BO =12BD =4，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【详解】(1)解：△AOB 是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO =12BD =4，∵OA 2+OB 2=32+42=52=AB 2，∴△AOB 是直角三角形．(2)证明：由(1)可得：△AOB 是直角三角形，∴∠AOB =90°，即AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16(2023·新疆·统考中考真题)如图，AD 和BC 相交于点O ，∠ABO =∠DCO =90°，OB =OC ．点E 、F 分别是AO 、DO的中点．(1)求证：OE =OF ；(2)当∠A =30°时，求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)直接证明△AOB ≌△DOC ASA ，得出OA =OD ，根据E 、F 分别是AO 、DO 的中点，即可得证；(2)证明四边形BECF 是平行四边形，进而根据∠A =30°，推导出△BOE 是等边三角形，进而可得BC =EF ，即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】(1)证明：在△AOB 与△DOC 中，∠ABO =∠DCO =90°OB =OC∠AOB =∠DOC∴△AOB ≌△DOC ASA ，∴OA =OD ，又∵E 、F 分别是AO 、DO 的中点，∴OE =OF ；(2)∵OB =OC ，OF =OE ，∴四边形BECF 是平行四边形，BC =2OB ，EF =2OE ，∵E 为AO 的中点，∠ABO =90°，∴EB =EO =EA ，∵∠A =30°，∴∠BOE =60°，∴△BOE 是等边三角形，∴OB =OE ，∴BC =EF ，∴四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．17(2023·云南·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，且E 、F 分别在边BC 、AD 上，AE =AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠ABC =60°，△ABE 的面积等于43，求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)43【分析】(1)先证AD ∥BC ，再证AE ∥FC ，从而四边形AECF 是平行四边形，又AE =AF ，于是四边形AECF 是菱形；(2)连接AC ，先求得∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，再证AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，于是有33=AB AC，得AB =33AC ，再证AE =BE =CE ，从而根据面积公式即可求得AC =43．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠BAD =∠BCD ，∴∠BEA =∠DAE ，∵AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，∴∠BAE =∠DAE =12∠BAD ，∠BCF =12∠BCD ，∴∠DAE =∠BCF =∠BEA ，∴AE ∥FC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：连接AC ，∵AD ∥BC ，∠ABC =60°，∴∠BAD =180°-∠ABC =120°，∴∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，∵四边形AECF 是菱形，∴∠EAC =12∠DAE =30°，∴∠BAC =∠BAE +∠EAC =90°，∴AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，∴AE =CE ，tan30°=tan ∠ACB =AB AC 即33=AB AC，∴AB =33AC ，∵∠BAE =∠ABC ，∴AE =BE =CE ，∵△ABE 的面积等于43，∴S △ABC =12AC ⋅AB =12AC ⋅33AC =36AC 2=83，∴平行线AB 与DC 间的距离AC =43．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线l 分别与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．(点E 不与点D 重合)(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当直线l ⊥BD 时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形EBFD 为菱形；理由见解析【分析】(1)根据AAS 证明△DOE ≌△BOF 即可；(2)连接EB 、FD ，根据△DOE ≌△BOF ，得出ED =BF ，根据ED ∥BF ，证明四边形EBFD 为平行四边形，根据EF ⊥BD ，证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】(1)证明：∵点O 为对角线BD 的中点，∴BO =DO ，∵AD ∥BC ，∴∠ODE =∠OBF ，∠OED =∠OFB ，在△DOE 和△BOF 中，∠ODE =∠OBF∠OED =∠OFB BO =DO，∴△DOE ≌△BOF AAS ；(2)解：四边形EBFD 为菱形，理由如下：连接EB 、FD ，如图所示：根据解析(1)可知，△DOE ≌△BOF ，∴ED =BF ，∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∵l ⊥BD ，即EF ⊥BD ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析【分析】(1)根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；(2)根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】(1)解：如图所示：(2)四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21(2023·吉林长春·统考中考真题)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结AF、CD．(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；(2)己知BC=6cm，当四边形AFDC是菱形时．AD的长为cm．【答案】(1)见解析；(2)18【分析】(1)由题意可知△ACB≌△DFE易得AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°即AC∥DF，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；(2)如图，在Rt△ACB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得AB=2BC= 12cm，∠ABC=60°；由菱形得对角线平分对角得∠CDA=∠FDA=30°，再由三角形外角和易证∠BCD=∠CDA即可得BC=BD=6cm，最后由AD=AB+BD求解即可．【详解】(1)证明：由题意可知△ACB≌△DFE，∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°，∴AC∥DF，∴四边形AFDC地平行四边形；(2)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6cm，∴AB=2BC=12cm，∠ABC=60°，四边形AFDC是菱形，∴AD平分∠CDF，∴∠CDA=∠FDA=30°，∵∠ABC=∠CDA+∠BCD，∴∠BCD=∠ABC-∠CDA=60°-30°=30°，∴∠BCD=∠CDA，∴BC=BD=6cm，∴AD=AB+BD=18cm，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD=BC，AE= BF，CE=DF．(1)求证：AE∥BF；(2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据题意得出AC=BD，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；(2)方法一：利用全等三角形的判定和性质得出DE=CF，又EC=DF，再由菱形的判定证明即可；方法二：利用(1)中结论得出∠ECA=∠FDB，结合菱形的判定证明即可．【详解】(1)证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD在△AEC和△BFD中，AC=BDAE=BFCE=DF，∴△AEC≌△BFD SSS∴∠A=∠B，∴AE∥BF(2)方法一：在△ADE和△BCF中，AE=BF∠A=∠BAD=BC，∴△ADE≌△BCF SAS∴DE=CF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形；方法二：∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA=∠FDB∴EC∥DF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．23(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；(2)设EF与AC交于点O，证明△AOE≌△COF ASA，得到OE=OF，得到四边形AFCE为平行四边形，根据EF⊥AC，即可得证．【详解】(1)解：如图所示，MN 即为所求；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠CAE =∠ACF ，如图：设EF 与AC 交于点O ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，EF ⊥AC ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AOE ≌△COF ASA ，∴OE =OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．【点睛】本题考查基本作图-作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．24(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，▱ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ，分别以点B ,C 为圆心，12AC ,12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ,CP ．(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？【答案】(1)平行四边形，见解析；(2)AC=BD且AC⊥BD【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到BP=12AC=OC,CP=12BD=OB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．(2)根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【详解】(1)四边形BPCO是平行四边形．理由如下：∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，∴AO=OC,BO=OD，∵以点B,C为圆心，12AC,12BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴BP=12AC=OC,CP=12BD=OB∴四边形BPCO是平行四边形．(2)∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．25(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：AF=BD；(2)连接BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【详解】(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△EDC中，∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)；∴AF=CD，∵CD=BD，∴AF=BD；(2)证明：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．26(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．(1)你添加的条件是(填序号)；(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)见解析【分析】(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；(2)通过证明△ABM≌△DCM可得∠A=∠D，然后结合平行线的性质求得∠A=90°，从而得出▱ABCD 为矩形．【详解】(1)解：①或②(2)添加条件①，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD∠1=∠2 BM=CM ，∴△ABM≌△DCM ∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形；添加条件②，▱ABCD 为矩形，理由如下：在▱ABCD 中AB =CD ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中AB =CDAM =DM BM =CM，∴△ABM ≌△DCM ∴∠A =∠D ，又∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法(有一个角是直角的平行四边形是矩形)是解题关键．27(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边上任意一点(不与点A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，DF ∥AC ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，连接EF．(1)求证：四边形ECFD 是矩形；(2)若CF =2，CE =4，求点C 到EF 的距离．【答案】(1)见解析；(2)455【分析】(1)利用平行线的性质证明∠CED =∠CFD =90°，再利用四边形内角和为360°，证明∠EDF =90°，即可由矩形判定定理得出结论；(2)先由勾股定理求出EF =CF 2+CE 2=25，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】(1)证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形ECFD 为平行四边形，∵∠C =90°，∴四边形ECFD 是矩形．(2)解：∵∠C =90°，CF =2，CE =4，∴EF =CF 2+CE 2=25设点C 到EF 的距离为h ，∵S △CEF =12CE ⋅CF =12EF ⋅h ∴2×4=25h∴h=455答：点C到EF的距离为45 5．【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．28(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，BD为对角线．(1)证明：四边形ABCD是平行四边形．(2)已知AD>AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法)．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)先证明∠ADB=∠CBD，再证明180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB，从而可得结论；(2)作对角线BD的垂直平分线交AD于F，交BC于E，从而可得菱形BEDF．【详解】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠A=∠C，∴180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．(2)如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键．三、填空题29(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．【答案】AD∥BC(荅案不唯一)【分析】根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，可得四边形ABCD成为菱形．【详解】解：添加条件AD∥BC∵AD=BC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件AB=CD∵AD=BC，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件OB=OD∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠COB=90°∵AD=BC，OB=OD，∴Rt△AOD≌Rt△COB HL∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件∠ADB=∠CBD在△AOD与△COB中，∠ADB=∠CBD ∠AOD=∠COB AD=BC∴△AOD≌△COB∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．故答案为：AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．30(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC=60°, BD=10，点F为BC中点，则EF的长为．。
2024年八年级同步练习卷专题15矩形菱形正方形(共40题)+答案解析
专题15矩形菱形正方形（共40题）一、解答题：本题共40小题，共320分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题8分如图，在▱中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，，求证：四边形AECF 是矩形；，，，求BC 的长．2.本小题8分如图，在▱中，交于点O ，点在AC 上，求证：四边形EBFD 是平行四边形；若求证：四边形EBFD 是菱形．3.本小题8分如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，，求证：四边形OEFG 是矩形；若，，求OE 和BG 的长．4.本小题8分如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，，连接求证：；延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若，，求AO的长．5.本小题8分在中，AD是BC边上的中线，点E在线段AD上，点F在线段AD的延长线上，，连接BE，如图1，求证：四边形BFCE是平行四边形．若，①依题意补全图2；②求证：四边形BFCE为菱形.6.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，BD平分求证：四边形ABCD是菱形；连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在的内部作射线CM，使得，过点D作于点若，，求的度数及BD的长．7.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，点E，F在BD上，，连接求证：四边形AECF为平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．8.本小题8分如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得连接AF，求证：四边形AFBO为平行四边形；若，求证：四边形AFBO为矩形．9.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，过点B作交CD于点E，点F为AD边上一点，，连接求证：四边形ABEF为矩形；若，求ED的长．10.本小题8分如图，点O为▱的对角线AC的中点，直线l绕点O旋转，当时，与边分别交于点E，F，连接若，求▱的面积．11.本小题8分如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点连接OE，若，，求OE的长．12.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，，过点D作交BC的延长线于点连接AE交CD于点F，连接若，，求BF的长．13.本小题8分如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，，若，求四边形AEBO的面积．14.本小题8分如图，在中，，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作交DE的延长线于点求证：四边形ABDF是菱形；若，，求AE的长．15.本小题8分如图，在中，，点D为BC中点，过点分别作的平行线，相交于点求证：四边形ADCE为矩形；连接，若，求AB的长．16.本小题8分如图，在菱形ABCD中，于E，于求证：四边形BEDF是矩形；连接BD，如果，，求AB的长．17.本小题8分已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长DE到点F，使得，连接求证：四边形AFCD是菱形如果，且，求AB的长．18.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线垂足为的交点.求证：四边形OEBC是平行四边形；连接AE，求证：四边形AEBO是矩形.19.本小题8分如图，在▱中，点E是BC中点．点F是AD中点．连接、、平分求证：四边形AECF是菱形：连接AC，与EF交于点O，连接若，，求OD的长．20.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，求证：四边形ABCE为菱形；若，，求CD的长．21.本小题8分如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在AC上，且求证：四边形EBCD是菱形；若，，，求AE的长．22.本小题8分如图，▱中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取求证：四边形AECF是矩形；若，求证：AC平分23.本小题8分如图，BD是的角平分线，过点D作交AB于点E，交BC于点求证：四边形BEDF为菱形；如果，，，求菱形BEDF的面积．24.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接OF求证：四边形AFBO是矩形；若，，求OF的长25.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，，求证：四边形OCED是平行四边形；当▱是________填“矩形”或“菱形”时，四边形OCED是菱形，并写出证明过程．26.本小题8分如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且求证：四边形ABCD是矩形；的角平分线DE交AB于点E，当，时，求AE的长．27.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使求证：四边形AECF是平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．28.本小题8分如图，在中，，点D为AC的中点，连接DB，过点C作，且，连接BE，求证：四边形BECD是菱形；连接AE，当，时，求AE的长．29.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，，点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA 的延长线于点E，连接求证：四边形ACDE是矩形；若，，求四边形BCDE的面积．30.本小题8分如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接求证：四边形BCDE为菱形；连接AC，若AC平分，，求AC的长．31.本小题8分如图，在▱中，于E，于F，且求证：▱是菱形；连接AC，BD交于点O，当，时，求▱的面积．32.本小题8分如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点B作，过点C作交BM于点求证：四边形BECO是矩形；连接DE，若，，求DE的长．33.本小题8分如图，在中，，点A关于BC的对称点为D，连接BD，求证：四边形ABDC是菱形；过点A作于E，且交BC于点F，若，，求AF的长．34.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，DE的延长线交AB于点过点B作交DC于点交AC于点过点G作于点求证：四边形NEMG为矩形；若，，，求线段AC的长．35.本小题8分如图，四边形ABCD是平行四边形，、相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点求证：四边形EFGO是矩形；若四边形ABCD是菱形，，求OG的长．36.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形；若，，，求的值．37.本小题8分如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．求证：四边形OMPN是矩形；连接AP，若，，求AP的长．38.本小题8分如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，，求证：四边形ABCD是菱形；连接DE，若，，求DE的值．39.本小题8分如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，求证：当，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．求，时，求EF的长．40.本小题8分如图，四边形ABCD是矩形，延长DA至E，使得，连接BE，过点D作交BA的延长线于F，连接EF，求证：四边形BDFE是菱形；连接CF，若，，求CF的长．答案和解析1.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，四边形AECF是平行四边形，，平行四边形AECF是矩形；解：由知四边形AECF是矩形，，，，是等腰直角三角形，，又，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等内容.利用平行四边形的性质求出，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；证明是等腰直角三角形，可得，然后解直角三角形求出EC即可．2.【答案】证明：在▱ABCD中，，，，四边形EBFD是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，，平行四边形EBFD是菱形．【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形EBFD是菱形．3.【答案】解：四边形ABCD是菱形，，是AD的中点，是的中位线，，，四边形OEFG是平行四边形，，，平行四边形OEFG是矩形；四边形ABCD是菱形，，，，是AD的中点，；由知，四边形OEFG是矩形，，，，，【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据菱形的性质得出，再由点E是AD的中点，所以OE是的中位线，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG 是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．4.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，AC平分，，，，；解：如图所示：由得：，又，所以，又，四边形BEGD为平行四边形，，，，，，，【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形及平行四边形的性质与判定等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，AC平分，再根据，得到，最后根据等腰三角形的三线合一得到结论；先证四边形BEGD为平行四边形，得到，再由，得出，由，得出，得出5.【答案】证明：，，是BC边上的中线，，，≌，，四边形BFCE是平行四边形．解：①依题意补全图2，如图；②证明：，，是BC边上的中线，，由证明方法可得四边形BFCE是平行四边形，四边形BFCE为菱形．【解析】【分析】证明≌，可得，再根据，即可得出结论；由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键．6.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，平分，，，，平行四边形ABCD是菱形．解：四边形ABCD是菱形，，，，.四边形ABCD是菱形，，，又，，【解析】【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明平行四边形ABCD是菱形；由菱形的性质可得，进而得到，；进一步求出，则由角平分线的性质得到，则.【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．7.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，.，.，≌..四边形AECF为平行四边形．，.，...四边形AECF是矩形．【解析】【分析】证明≌，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；证明，进而得到，即可得证．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．8.【答案】证明：平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，又，为的中位线，，且，又E为OA的中点，，，四边形AFBO为平行四边形．平行四边形ABCD，，，，，，平行四边形ABCD是菱形，，，平行四边形AFBO是矩形．【解析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．证明OE为的中位线，则，且，又，则，即可得证；根据平行四边形的性质得出，则，结合已知得到，可得，则四边形ABCD是菱形，可得，结合的结论，即可得证．9.【答案】证明：，即，，四边形ABEF为平行四边形．，四边形ABEF为矩形；解：，.，，，，即，解得：，.【解析】由题意易证四边形ABEF为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定；由题意易证，即得出，代入数据，即可求出DF的长，最后由勾股定理即可求解．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键．10.【答案】四边形ABCD是平行四边形，，为AC的中点，在和中，，四边形AECF是平行四边形，过点C作交AB于点H，，四边形AECF是菱形，，，，，，▱ABCD的面积【解析】【分析】根据AAS证明得再证明四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；过点C作交AB延长线于点H，求出，再根据菱形的面积计算公式求解即可．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．11.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，又，四边形ADEC是平行四边形，，；如图，过点O作于点F，四边形ABCD是矩形，点O是的中点，，，点是BC的中点，是的中位线，又四边形ADEC是平行四边形，，在中，由勾股定理可得：.【解析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟记各性质并求出四边形ADEC是平行四边形是解题的关键．根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；如图，过点O作于点F，欲求OE，只需在直角中求得、的值即可．结合三角形中位线求得OF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE即可．12.【答案】解：证明：四边形ABCD是平行四边形，，，又，，四边形ACED 是矩形．如图所示．四边形ACED 是矩形，，四边形ABCD 是平行四边形，，，，又，是等边三角形，，，，，在中，【解析】【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可；先证明是等边三角形，再根据含角的直角三角形的三边关系，利用勾股定理即可计算．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质是解题的关键．13.【答案】证明：，四边形AEBO 是平行四边形又四边形ABCD 是矩形，，四边形AEBO 是菱形解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形AEBO的面积为：【解析】【分析】根据矩形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可；根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．14.【答案】证明：，E分别为BC，AC的中点，，，.又，四边形ABDF是平行四边形．，..四边形ABDF是菱形．解：连接AD，如图．四边形ABDF是菱形，，.是等边三角形．，..在中，，，.【解析】【分析】根据已知条件得出，，，可得四边形ABDF是平行四边形．进而根据已知条件得出，即可得出结论；连接AD，得出是等边三角形．在中，解直角三角形即可求解．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．15.【答案】证明：由题意得，四边形ADCE是平行四边形，，点D为BC中点，，即，四边形ADCE为矩形．解：四边形ADCE为矩形，，点D为BC中点，在中，，解得：在中，，故AB的长为.【解析】先根据平行四边形的判定，证明四边形ADCE是平行四边形，根据等腰三角形的性质证明，即可证明结论；根据矩形的性质和锐角三角函数定义求出在中由勾股定理即可得出结果．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握定理与性质是解题的关键．16.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，，，，四边形BEDF是矩形；解：设AB的长为x，四边形ABCD是菱形，，四边形BEDF是矩形，，，，，在中，，，，由勾股定理得，解得，的长为.【解析】【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到结论；设AB的长为x，由，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，正切函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】证明：点E是边AC中点，，又，四边形AFCD是平行四边形在中，点D，E分别是边中点，，，，，.四边形AFCD是菱形；解：由知，四边形AFCD是菱形，，，，，在中，，，解得或舍，AB的长为【解析】【分析】先根据对角线互相平分证明四边形AFCD是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形AFCD是菱形；根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．18.【答案】证明：四边形ABCD为菱形，，又，，即：，，四边形OEBC是平行四边形.由可知：四边形OEBC是平行四边形，，，四边形ABCD为菱形，，，，四边形AEBO为平行四边形，又，四边形AEBO是矩形.【解析】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行;四条边都相等;对角线互相垂直平分;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形.由菱形的性质可得出：，再根据可得出，然后再根据已知条件即可判定四边形OEBC是平行四边形;首先根据的结论得出，，再根据菱形的性质得出，据此可得到，，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件即可判定四边形AEBO是矩形.19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，是AD中点，E是BC中点，四边形AECF是平行四边形平分四边形AECF是菱形解：四边形AECF是菱形，，，，，过点O作于点G，，即，，【解析】【分析】根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF 是平行四边形，再根据EF平分，易证得，则可得，继而证得结论；过点O作于点G，由三角形面积公式可求OG的长，勾股定理可求GF，的长，OD的长即可求解.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.20.【答案】证明：，，，四边形ABCE为平行四边形，又，平行四边形ABCE为菱形．解：，，，，，，，，，，在中，，.【解析】【分析】先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCE为平行四边形，再由，即可证明平行四边形ABCE为菱形；先证明，进而得到，，利用三角形内角和定理推出，由平行线的性质得到，解，即可得到.【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21.【答案】证明：在和中，，≌，，，，四边形EBCD是平行四边形，，，是等腰三角形，O为BD中点，，即，平行四边形EBCD是菱形；解：四边形BCDE是菱形，，，，，在中，，，，，，在中，，.【解析】先证明≌，得到，再根据内错角相等，两直线平行，得到，进而证明四边形EBCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直，即可证明四边形EBCD是菱形；根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求得，然后根据正切值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，四边形AECF是平行四边形，；四边形AECF是矩形；证明：四边形AECF是矩形，，四边形AECF是正方形，，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，平分.【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形AECF是矩形；先证明四边形AECF是正方形，得到，即可证明四边形ABCD是菱形，则由菱形的性质可得AC平分.【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．23.【答案】证明：，，四边形BFDE是平行四边形，是的角平分线，，，，，，平行四边形BFDE是菱形；连接EF，交BD于O，，，，平分，，，，，，在中，，菱形BFDE的面积.【解析】【分析】根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；根据含的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，即：，O为AC的中点，，即B为EC的中点，为的中位线，，又，四边形AFBO是平行四边形，又，四边形AFBO是矩形；解：由可知，，四边形AFBO是矩形，，则，，四边形BCOF是平行四边形，，四边形ABCD是菱形，，，是等边三角形，，.【解析】【分析】由菱形的性质可知，O为AC的中点，根据，可得BO为的中位线，可得，进而证得四边形AFBO是平行四边形，即可证得四边形AFBO是矩形；结合可知，可证四边形BCOF是平行四边形，可得，由，可证得是等边三角形，进而可得答案．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．25.【答案】解：在▱中，，，，，四边形OCED是平行四边形；矩形，当▱是矩形时，，，四边形OCED是菱形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，结合可得，即可证明；根据矩形的性质得到，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握特殊四边形的判定和性质定理．26.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，▱ABCD为矩形．解：过点E作于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，，，为的角平分线，，，，，设，则，在中，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；过点E作于点G，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．27.【答案】证明：▱ABCD，，，即四边形AECF是平行四边形.▱AECF，，，四边形AECF是平行四边形，▱AECF是矩形.【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．根据平行四边形的性质和判定解答即可；根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．28.【答案】证明：，，四边形BECD是平行四边形，在中，，点D为AC的中点，，四边形BECD是菱形．解：四边形BECD是菱形，，，，，，四边形ADEB是平行四边形，，，，，，四边形ADEB是菱形，，，，在中，，.【解析】【分析】先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明四边形BECD是菱形；根据菱形的性质，证明四边形ADEB是平行四边形，再根据角所对的直角边等于斜边一半，推出，进而证明四边形ADEB是菱形，然后利用勾股定理，求得OA的长，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．29.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，.，.点M为边AD的中点，.≌..四边形ACDE是平行四边形．，.平行四边形ACDE是矩形．解：四边形ACDE是矩形，，..，.，.，..【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得，.从百得，，再证明≌.得，从而得四边形ACDE是平行四边形．即可由矩形判定定理得出结论，先由矩形与三角形面积公式求得，.再由求解即可．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形与三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．30.【答案】证明：为AD的中点，，，四边形BCDE为平行四边形.又在中，E为AD的中点，，，▱为菱形.解：设AC与BE交于点H，如图.，平分，，，，由可知，，，为等边三角形，，，在中，，【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的性质.由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；在中，只要证明，即可解决问题.31.【答案】证明：在▱中，，于E，于F，且，，≌，，▱是菱形；解：▱是菱形，，，，，在中，，，▱的面积为.【解析】【分析】证明≌，得即可；在中，根据三角函数求出，再根据勾股定理得角三角形等知识，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是本题的关键．32.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，四边形，平行四边形解：四边形，，是等边三角形，，在中，，，，四边形BECO是矩形，，，在中，.【解析】【分析】根据菱形的性质可得，再根据，可得四边形BECO是平行四边形，进而证明四边形BECO是矩形；根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得BO的长，进而求得BD的长，在中，勾股定理即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．33.【答案】证明：关于BC的对称点为D，，，，，四边形ABDC是菱形；解：，，，，四边形ABDC是菱形，，，，，，设，，有，，.【解析】【分析】根据A关于BC的对称点为D，可得，，结合已知条件，可得，即可得证；根据勾股定理求得AE，根据菱形的性质得出，，即可证明，根据相似三角形的性质即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握是菱形的性质与判定解题的关键．34.【答案】解：，，，，，，四边形NEMG是矩形．四边形NEMG是矩形，，，，，，，，。
2024中考数学全国真题分类卷 第十八讲 矩形、菱形、正方形 (含答案)
2024中考数学全国真题分类卷第十八讲矩形、菱形、正方形命题点1矩形的相关证明与计算1.(2023陕西)在下列条件中，能够判定▱ABCD 为矩形的是()A.AB ＝AC B.AC ⊥BD C.AB ＝AD D.AC ＝BD2.(2023邵阳)已知矩形的一边长为6cm ，一条对角线的长为10cm ，则矩形的面积为________cm 2.3.(2023十堰)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB ＝AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FBD ＝55°，则∠A ＝________°.第3题图4.(2023吉林省卷)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF ＝14AC ，连接EF .若AC ＝10，则EF ＝________．第4题图5.(2022绍兴)图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上，若AB ＝30cm ，则BC 长为________cm(结果保留根号).第5题图6.(2023黔东南州)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥B D.若AC ＝10，则四边形OCED 的周长是________．第6题图7.(2023青海省卷)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，若AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为________．第7题图8.(2023甘肃省卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝9cm ，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝2cm ，BD ，EF 交于点G ，若G 是EF 的中点，则BG 的长为________cm.第8题图9.(2023宜昌)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，F ，G 分别是BE ，CE 的中点，连接AF ，DG ，FG ，若AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5，矩形ABCD 的面积为________．第9题图10.(2022贵港)如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD ，垂足为E .连接CE ，若tan ∠ADB ＝12，则tan ∠DEC 的值是________．第10题图11.(2023苏州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点E ，AE 与CD 交于点F.(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．第11题图12.(2022金华)已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB ＝2.(1)求矩形对角线的长；(2)过O作OE⊥AD于点E，连接BE.记∠ABE＝α，求tanα的值．第12题图13.(2023云南)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.第13题图源自北师九上P19第3题14.(挑战题)(2023自贡)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB ＝A B.我们还可以得到FC＝________，EF＝________；(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；(3)已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．第14题图命题点2菱形的相关证明与计算15.(2023河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误．．的是()第15题图A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠DAC＝∠BAC16.(2023河南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为()第16题图A.6B.12C.24D.4817.(2023自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()第17题图A.(5，－2)B.(2，－5)C.(2，5)D.(－2，－5)18.(2022绍兴)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC→CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是()第18题图A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形19.(2023仙桃)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O ＝60°，则tan ∠ABC ＝()第19题图A.13 B.12 C.33 D.3220.(2023株洲)如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定．．．正确的是()第20题图A.OB ＝12CEB.△ACE 是直角三角形C.BC ＝12AE D.BE ＝CE 21.(2023海南)如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ∶CE ＝1∶2，EF ＝7，则菱形ABCD 的边长是()第21题图A.3B.4C.5D.47522.(新趋势)·条件开放性问题(2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是________________．(只需写出一个条件即可)第22题图23.(2023乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8cm和6cm，则菱形的面积为________cm2.24.(2023温州)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N 在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为________．第24题图25.(2023陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E，F，则ME＋NF的值为________．第25题图26.(2023天津)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于________．第26题图27.(新趋势)·注重学习过程(2023嘉兴)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝O D.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分B D.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个．．条件，并证明．第27题图28.(2023北京)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．第28题图29.(2023连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥D C.(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值．第29题图30.(2023娄底)如图①，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C，D，F共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G＝θ.(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值；(2)如图②，当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．第30题图31.(2023宜昌)已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．(1)如图①，连接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥A D.①求证：CE＝CF；②若AE＝2，求CE的长；(2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．第31题图命题点3正方形的相关证明与计算32.(2023玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等33.(2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB 上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为()A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°第33题图34.(2023滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O(如图①)，如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图②)，连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是()第34题图A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线35.(2022仙桃)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个第35题图36.(2023绍兴)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()第36题图A.1B.2C.3D.437.(新趋势)·数学文化(2023江西)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为________．第37题图38.(2020天水)如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为________．第38题图39.(2023无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝________．第39题图40.(2023海南)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝________°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是________．第40题图41.(2023泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为________．第41题图42.(2023山西)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N.若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为________．第42题图43.(2023安徽)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：(1)∠FDG＝________°；(2)若DE＝1，DF＝22，则MN＝________．第43题图44.(2023邵阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD 上，且BE＝DF，OE＝O A.求证：四边形AECF是正方形．第44题图45.(2023遵义)将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．(1)求证：△ADE ≌△CDG ；(2)若AE ＝BE ＝2，求BF 的长．第45题图46.(挑战题)(2023台州)图①中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图②，在正方形ABCD 各边上分别取点B 1，C 1，D 1，A 1，使AB 1＝BC 1＝CD 1＝DA 1＝45AB ，依次连接它们，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再在四边形A 1B 1C 1D 1各边上分别取点B 2，C 2，D 2，A 2，使A 1B 2＝B 1C 2＝C 1D 2＝D 1A 2＝45A 1B 1，依次连接它们，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．第46题图(1)求证：四边形A 1B 1C 1D 1是正方形；(2)求A 1B 1AB的值；(3)请研究螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．参考答案与解析1.D2.48【解析】∵矩形的一边长为6cm ，一条对角线的长为10cm ，由勾股定理可得矩形的另一边长为8cm ，∴矩形的面积为6×8＝48(cm 2).3.1104.52【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2AO ＝2OD ＝10，∴OD ＝12AC ＝5，∵AF ＝14AC ，∴AF ＝12OA ，∵E 是AD 的中点，∴EF 是△AOD 的中位线，∴EF ＝12OD ＝52.5.303【解析】∵钟表数字2和数字3之间的夹角为360°12＝30°且钟表数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，AB ＝30cm ，∴∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴BC ＝AD ＝AB tan ∠ADB＝AB tan 30°＝3033＝303(cm).6.20【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝10，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OC ＝OD ＝12BD ＝5，∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵OC ＝OD ＝5，∴四边形CODE 是菱形，∴四边形CODE 的周长为4OC ＝4×5＝20.7.6【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AO ＝OC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AEO 和△CFO EAO ＝∠FCO ＝OC AOE ＝∠COF，∴△AEO ≌△CFO (ASA)，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴阴影部分的面积等于矩形ABCD 的面积的一半，∵矩形面积为AB ·BC ＝3×4＝12，∴阴影部分的面积为12×12＝6.8.13【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝6cm ，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∵AE ＝2cm ，∴BE ＝AB －AE ＝6－2＝4cm ，∵G 是EF 的中点，∴EG ＝BG ＝12EF ，∴∠BEG ＝∠ABD ，∠BEG ＝∠BDC ，∴△EBF ∽△DCB ，∴EB DC ＝BF CB，∴46＝BF 9，∴BF ＝6，∴EF ＝BE 2＋BF 2＝42＋62＝213(cm)，∴BG ＝12EF ＝13cm.9.48【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠CDA ＝90°.∵F ，G 为BE ，CE 中点，∴在Rt △ABE 中，AF ＝BF ＝EF ＝12BE ，在Rt △CDE 中，DG ＝CG ＝EG ＝12CE ，∴BE ＝6，CE ＝8，∵EF ＝3，EG ＝4，FG ＝5，EF 2＋EG 2＝FG 2，∴△EFG 为直角三角形，∠FEG ＝90°，∴S 矩形ABCD ＝2S △BEC ＝2×12BE ·CE ＝48.10.23【解析】如解图，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，在△ABE 与△CDF 中AEB ＝∠CFDABE ＝∠CDF＝CD，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴AE ＝CF ，BE ＝DF .∵AE ⊥BD ，tan ∠ADB ＝AB AD ＝12，∴设AB ＝a ，则AD ＝2a ，∴BD ＝5a ，∵S △ABD ＝12BD ·AE ＝12AB ·AD ，∴AE ＝CF ＝255a ，∴BE ＝DF ＝AB 2－AE 2＝a 2－（255a ）2＝55a ，∴EF ＝BD －2BE ＝5a －2×55a ＝355a ，∵CF ⊥BD ，∴tan ∠DEC ＝CF EF ＝23.第10题解图11.(1)证明：将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，则AD ＝BC ＝EC ，∠D ＝∠B ＝∠E ＝90°，在△DAF 和△ECF 中，DFA ＝∠EFCD ＝∠E ＝EC，∴△DAF ≌△ECF (AAS)；(2)解：∵△DAF ≌△ECF ，∴∠DAF ＝∠ECF ＝40°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°.∴∠EAB ＝∠DAB －∠DAF ＝90°－40°＝50°.∵由折叠的性质得∠EAC ＝∠CAB ，∴∠CAB＝25°.12.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝2，∴AC＝BD＝2OB＝4；(2)∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴AD＝BD2－AB2＝16－4＝23.由(1)得，OA＝OD.又∵OE⊥AD，∴AE＝12AD＝3，在Rt△ABE中，tanα＝AEAB＝32.13.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥DF，∴∠DFE＝∠ABE.∵E为线段AD的中点，∴DE＝AE.在△DFE和△ABE DFE＝∠ABE DEF＝∠AEB＝AE，∴△DFE≌△ABE(AAS)，∴DF＝AB.又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．∵∠BDF＝90°，∴平行四边形ABDF是矩形；(2)解：∵四边形ABDF是矩形，∴∠ABD＝90°，AF＝BD，AB＝DF.∵AD＝5，DF＝3，∴在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2－DF 2＝52－32＝4，∴AF ＝BD ＝4，AB ＝DF ＝3.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3.∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝90°.∴S ＝S 矩形ABDF ＋S △BCD ＝DF ·BD ＋12CD ·BD ＝3×4＋12×3×4＝12＋6＝18.14.(1)解：DC ，AD ；(2)证明：∵EF ＝AD ，AD ＝BC ，∴EF ＝BC ，同理可得FC ＝EB ，∴四边形EFCB 为平行四边形，∴EF ∥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ∥AD ；(3)解：如解图，过点E 作EG ⊥BC 交BC 延长线于点G ，EG 即为EF 与BC 之间的距离，由题意可得，HC ＝40cm ，BC ＝30cm ，BE ＝DC ＝80cm ，第14题解图在Rt △HBC 中，HB ＝HC 2＋BC 2＝402＋302＝50cm ，∵HC ∥EG ，∴△BCH ∽△BGE ，∴HC EG ＝BH BE ，即40EG ＝5080，解得EG ＝64cm ，∴EF 与BC 之间的距离为64cm.15.C16.C17.B 【解析】菱形为中心对称图形，对角线的交点即为对称中心，∵A 点坐标为(－2，5)，∴相应的C 点坐标为(2，－5).18.C 【解析】由∠B ＝60°知，菱形由两个等边三角形组合而成，当AP ⊥BC 时，此时△ABP 为直角三角形；当点P 到达点C 处时，此时△ABP 为等边三角形；当点P 在CD 上且位于CD 的中垂线时，则△ABP 为直角三角形；当点P 与点D 重合时，此时△ABP 为等腰三角形．19.C 【解析】如解图，由题意可得，∠BDC ＝60°，BD ＝CD ＝AC ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC ＝BD ，∠BCD ＝60°，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝∠ABC ＝12×(180°－120°)＝30°，∴tan ∠ABC ＝tan 30°＝33.第19题解图20.D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∵AO ＝CO ＝12AC ，AC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴△AOB ∽△ACE ，∠AOB ＝∠ACE ＝90°，∴AO AC ＝OB CE ＝AB AE ＝12，∴△ACE 是直角三角形，OB ＝12CE ，∴BC ＝12AE ，故选D.21.B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，DC ＝BC ，∠A ＝∠C ，设BF ＝x ，则CE ＝2x ，∵点E 是CD 的中点，∴CD ＝AB ＝AD ＝4x ，如解图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵EF ⊥AB ，∴四边形DEFH 为矩形，∴EF ＝DH ＝7，HF ＝DE ＝2x ，∴AH ＝3x ，在Rt △ADH 中，AD 2＝AH 2＋DH 2，即(4x )2＝(3x )2＋(7)2，解得x ＝1(负值已舍去)，∴AD ＝4x ＝4.第21题解图22.AB ＝CD (答案不唯一)【解析】由题中条件AC ⊥BD 可知，只需四边形ABCD 为平行四边形即可，又AB ∥CD ，故添加AB ＝CD (答案不唯一).23.24【解析】S ＝12×8×6＝24(cm 2).24.32【解析】如解图，连接BD ，交AC 于O ，连接EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB＝BC ，∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，∴AE ＝CF ，∴EF ∥AC ，由题意知，四边形AEFM ，EFCN 均为平行四边形，∴EF ＝AM ＝CN ，∵EF ∥AC ，∴△BFE ∽△BCA ，∴EFAC＝BE BA ，∵AE ＝3BE ，AB ＝1，∴AB ＝4BE ，∴EF AC ＝BE BA ＝14，∴AM ＝CN ＝14AC ，∴MN ＝12AC＝OA ，∵∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，AO 垂直平分BD ，∴OD ＝12，∴OA ＝AD 2－OD 2＝12－（12）2＝32，∴MN ＝32.第24题解图25.152【解析】如解图①，连接AC 交BD 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝72，CD ＝4，∴OC ＝OA ＝42－（72）2＝152，设AM ＝BN ＝a ，则DM ＝4－a ，∵ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，∴△DME ∽△DAO ，△BNF ∽△BCO ，∴ME OA ＝DMDA ＝4－a 4，NF OC ＝BN BC ＝a 4，∴ME OA ＋NF OC ＝4－a 4＋a 4＝1，∴ME ＋NF ＝OA ＝152.第25题解图①【一题多解】如解图②，连接AC 交BD 于点O ，过点M 作MG ⊥AC 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝72，CD ＝4，∴OC ＝OA ＝42－（72）2＝152，∵AC ⊥BD ，ME ⊥BD ，∴∠AMG ＝∠ADO ＝∠CBO ，ME ＝GO ，又∵AM ＝BN ，NF ⊥BD ，∴△AMG ≌△NBF ，∴NF ＝AG ，∴ME ＋NF ＝GO ＋AG ＝AO ＝152.第25题解图②26.194【解析】如解图，过点F 作FM ⊥DE 于点M ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝2.∵E 为AB 的中点，∠DAB ＝60°，∴AE ＝1，∠AED ＝90°，由勾股定理，得DE ＝AD 2－AE 2＝3.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°，∠CDE ＝90°.∵FM⊥DE，F为CE的中点，∴M为DE的中点，即FM∥CD，FM＝12CD＝1，ME＝DM＝12DE＝32，∴FM∥AB，FM＝AE，∴∠EAG＝∠MFG，∵∠AGE＝∠FGM，∴△AEG≌△FMG(AAS)，∴EG＝MG＝12ME＝34，又∵FM∥CD，∴∠FMG＝∠CDE＝90°，在Rt△FMG中，由勾股定理，得FG＝MG2＋FM2＝（34）2＋12＝194.第26题解图27.解：赞成小洁的说法，补充：AB＝CB.证明：由小惠证法得：AB＝AD，CB＝CD，又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．28.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF，∴四边形EBFD为平行四边形；(2)∵∠BAC＝∠DAC，DO＝BO，∴AO⊥BD.由(1)得四边形EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是菱形．29.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE＝BC.又∵点E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵BE ⊥DC ，∴四边形DBCE 为菱形；(2)解：如解图，由菱形对称性得，点N 关于BE 的对称点N ′在DE 上，第29题解图∴PM ＋PN ＝PM ＋PN ′.当P ，M ，N ′三点共线时，PM ＋PN ＝PM ＋PN ′＝MN ′.过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，∵DE ∥BC ，∴MN ′的最小值即为平行线间的距离DH 的长．∵△DBC 是边长为2的等边三角形，∴在Rt △DBH 中，∠DBH ＝60°，DB ＝2，∴DH ＝DB ·sin ∠DBH ＝2×32＝3，∴PM ＋PN 的最小值为3.30.解：(1)①∵四边形BCDE 和四边形BCFG 都是菱形，∴BE ＝BC ＝CF ，CF ∥GE ，∴∠OCF ＝∠OBE ，∵∠COF ＝∠BOE ，∴△COF ≌△BOE (AAS)，∴OC ＝OB ，OF ＝OE ，∴无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；②θ＝60°；【解法提示】∵OC ＝OB ，∴OB ＝12BC ＝12BE ，∵EF ⊥BC .∴∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＝30°，∴∠OBE ＝60°，∵GF ∥BC ，∴∠G ＝∠OBE ＝60°，即当θ＝60°时，EF ⊥BC .(2)tan ∠ABC ＝2，理由如下：由(1)知BC ＝BE ＝2OB ，当θ＝90°时，则四边形BCDE 和四边形BCFG 都是正方形，∴∠OBE ＝90°，∴tan∠BOE＝BEOB＝2，∵BC为动点A所在圆弧对应圆的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF垂直平分AC，∴EF∥AB，∴∠ABC＝∠BOE，∴tan∠ABC＝tan∠BOE＝2.∴当θ＝90°时，tan∠ABC＝2，使得EF垂直平分AC.31.(1)①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE＝CF；②解：∵E是边AB的中点，AE＝2，∴BE＝AE＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝BA＝4.∵CE⊥AB，∴在Rt△BEC中，CE＝BC2－BE2＝23；(2)解：如解图①，延长FE交CB的延长线于点M，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM.∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴CM ＝8，∴BM EM ＝24＝12，EM CM ＝48＝12，∴BM EM ＝EM CM ，∵∠BME ＝∠EMC ，∴△MEB ∽△MCE ，∴BE EC ＝BM EM ＝12，∵BE ＝3，∴CE ＝6.注：延长CE 交DA 的延长线于点N ，方法类似．第31题解图①【一题多解】如解图②，延长FE 交CB 的延长线于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ，∴∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，∵E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴△AEF ≌△BEM (AAS)，∴EM ＝EF ，BM ＝AF .∵AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，∴EM ＝4，BM ＝2，BE ＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴CM ＝8.∵在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，EM 2－MN 2＝EN 2，BE 2－BN 2＝EN 2，∴EM 2－MN 2＝BE 2－BN 2，∴42－(2＋BN )2＝32－BN 2，解得BN ＝34，则CN ＝6－34＝214，∴EN 2＝BE 2－BN 2＝32－(34)2＝13516，∴在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2＋CN 2＝13516＋44116＝36，∴CE ＝6(负值已舍去).第31题解图②32.D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第32题解图33.C【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝AD ，又∵BE ＝AF ，∴△ABE ≌△DAF ，∴∠ADF ＝∠BAE .∵AE 平分∠BAC ，∴∠ADF ＝∠BAE ＝12∠BAC ＝22.5°，∴∠CDF ＝∠ADC －∠ADF ＝90°－22.5°＝67.5°.34.A【解析】如解图，以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系xBy ，设正方形ABCD的边长为1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAE ＝∠OBF ＝45°，OA ＝OB .∵∠AOB ＝∠EOF ＝90°，∴∠AOB －∠EOB ＝∠EOF －∠EOB ，即∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF (ASA)，∴AE ＝BF .设AE ＝BF ＝a ，则F (a ，0)，E (0，1－a ).∵点G 是EF 的中点，∴G (12a ，12－12a )，∴点G 在直线y ＝－x ＋12上运动，又∵点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，∴点G 的运动轨迹是线段．第34题解图35.C【解析】①如解图，过点E分别作EM⊥CD于点M，EN⊥AD于点N，由题意得，EN＝EF＝BG，EM＝EG＝ND，在Rt△DEN和Rt△GFE中，EN＝EF∠END＝∠FEG ND＝EG，∴Rt△DEN≌Rt△GFE(SAS)，∴DE＝FG，故结论①正确；②如解图，延长DE交FG于点P，由Rt△DEN≌Rt△GFE可得∠NDE＝∠EGF，∵∠PEG＝∠DEN，∴∠DPG＝∠DNE＝90°，∴DE⊥FG，故结论②正确；③在Rt△DEN和Rt△FGB中，DE＝FG NE＝BG，∴Rt△DEN≌Rt△FGB(HL)，∴∠BFG＝∠ADE，故结论③正确；④当点E为对角线AC，BD的交点时，FG取得最小值，最小值为22，故结论④错误．综上所述，正确的结论为①②③，共3个．第35题解图36.C【解析】∵对角线互相平分的四边形为平行四边形，∴当MN的连线过BD的中点O 时，∵BE＝DF，∴BD的中点也是EF的中点，同时平分MN，∴存在无数个平行四边形MENF，说法①正确；当MN过点O时，四边形MENF为平行四边形，当EF＝MN时，四边形MENF为矩形，∴存在无数个矩形MENF，当MN过点O且垂直于BD时，四边形MENF 恒定为菱形，∴存在无数个菱形MENF，∴说法②③正确；当MN过点O且垂直于BD时，若MN＝EF，则四边形MENF为正方形，∵此时MN的长度恒定，∴EF的长度恒定，此时只存在一个正方形MENF，说法④错误．37.5【解析】由题图可知①②是两个全等的等腰直角三角形，∵拼成的正方形的对角线长为2，∴①②两个等腰直角三角形的直角边的长度为1，∴结合题图可知拼成的长方形的长为2，宽为1，∴其对角线的长为22＋12＝5.38.(－1，5)【解析】如解图，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 分别作EM ⊥x 轴于点M ，作EN ⊥FQ 于点N ，∴四边形NQME 是矩形，∴NQ ＝EM ＝3，∠NEM ＝90°.∵∠FEN ＋∠NEO ＝90°，∠NEO ＋∠OEM ＝90°，∴∠FEN ＝∠OEM .∵EF ＝EO ，∠FNE ＝∠EMO ，∴△EFN ≌△EOM ，∴EN ＝EM ＝3，FN ＝OM ＝2，∴FQ ＝FN ＋NQ ＝5，QO ＝EN －OM ＝1.∵F 在第二象限，∴F (－1，5).第38题解图39.1【解析】如解图，连接AG ，EG ，∵正方形ABCD 的边长为8，∴AB ＝BC ＝CD ＝8，∠B ＝∠C ＝90°，∵E 是CD 的中点，∴CE ＝4.设BG ＝x ，则CG ＝8－x ，在Rt △ABG 中，AG 2＝AB 2＋BG 2，即AG 2＝82＋x 2，在Rt △CEG 中，EG 2＝CE 2＋CG 2，即EG 2＝42＋(8－x )2.∵HG 垂直平分AE ，∴AG ＝EG ，∴AG 2＝EG 2，∴82＋x 2＝42＋(8－x )2，解得x ＝1，即BG ＝1.第39题解图40.60，3【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)，∴∠BAE ＝∠DAF ＝12×(90°－30°)＝30°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝60°，∴BE ＝12AE ，如解图，过点E 作EG ⊥AF 于点G ，∵∠BAE ＝∠GAE ，∴BE ＝GE .∵S △AEF ＝12AF ·EG ＝12×2BE ·BE ＝1，∴BE ＝1(负值已舍去)，∴AB ＝3BE ＝3.第40题解图41.2【解析】如解图，连接AP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝6，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3，根据折叠的性质，得AF ＝AB ＝6，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AF ＝AD ，在Rt △APF 和Rt △APD 中，＝AD＝AP，∴Rt △APF ≌Rt △APD (HL)，∴DP ＝FP .设DP ＝FP ＝x ，则EP ＝x ＋3，CP ＝6－x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得CE 2＋CP 2＝EP 2，即32＋(6－x )2＝(x ＋3)2，解得x ＝2，∴DP ＝2.第41题解图42.434【解析】∵AN ⊥EF ，四边形ABCD 为正方形，∴∠AMF ＝∠ADF ＝90°，∴∠DAN＋∠AGM ＝∠FGD ＋∠GFD ＝90°，∵∠AGM ＝∠FGD ，∴∠DAN ＝∠GFD ，设DN ＝x ，∵BE ＝DF ＝5，CN ＝8，∴AD ＝BC ＝CD ＝DN ＋CN ＝x ＋8，EC ＝BC －BE ＝x ＋8－5＝x ＋3，CF ＝CD ＋DF ＝x ＋8＋5＝x ＋13，在Rt △FEC 中，tan ∠GFD ＝EC CF ＝x ＋3x ＋13，在Rt △ADN中，tan ∠DAN ＝DNAD ＝x x ＋8，∵∠DAN ＝∠GFD ，∴tan ∠GFD ＝tan ∠DAN ，即x ＋3x ＋13＝xx ＋8，解得x ＝12，在Rt △AND 中，∠ADN ＝90°，AD ＝x ＋8＝12＋8＝20，DN ＝x ＝12，则AN ＝AD 2＋DN 2＝434.【一题多解】如解图，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝DC ＝BC ＝GH ，∠ADC ＝∠AGH ＝∠GHE ＝90°，∴∠AGM ＋∠EGH ＝90°，∵AN ⊥EF ，∴∠NAD ＋∠AGM ＝90°，∴∠EGH ＝∠NAD ，在△GHE 和△ADN中，GHE ＝∠ADN ，＝AD ，EGH ＝∠NAD ，∴△GHE ≌△ADN (ASA)，∴HE ＝DN .设DN ＝x ，则HE ＝x ，AD ＝BC＝CD ＝x ＋8，CH ＝GD ＝BC －BE －EH ＝3，CF ＝CD ＋DF ＝x ＋13，CE ＝x ＋3，∵tan F ＝GD DF ＝EC CF ，∴35＝x ＋3x ＋13，解得x ＝12，∴DN ＝12，AD ＝20，∴在Rt △ADN 中，AN ＝202＋122＝434.第42题解图43.(1)45；(2)2615【解析】(1)∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BE ＝FE ，∠BEF ＝90°，∵FG ⊥AG ，∴∠G ＝90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝90°，∴∠A ＝∠G ，∵∠AEB ＋∠GEF ＝∠GEF ＋∠GFE ＝90°，∴∠AEB ＝∠GFE ，∴△AEB ≌△GFE (AAS)，∴AE ＝GF ，AB ＝EG ，又∵AD ＝AB ，∴EG ＝AD ，∴DG ＝AE ，∴DG ＝GF ，∴∠FDG ＝45°；(2)如解图①，过点F 作FO ⊥CD 于点O ，则四边形DGFO 为正方形，又∵DE ＝1，DF ＝22，∴FO ＝2，AD ＝AE ＋DE ＝GF ＋DE ＝3，∴DC ＝AD ＝BC ＝AB ＝EG ＝3，OD ＝OF ＝2，∴OC ＝DC －DO ＝1，∵FO ∥AG ，∴△EDM ∽△FOM ，∴DM OM ＝DE OF ＝12，∴DM ＝23，∴OM ＝43，∵FO ∥BC ，∴△OFN ∽△CBN ，∴ON CN ＝OF CB ＝23，∴ON OC ＝ON ON ＋CN ＝25，∴ON ＝25，∴MN ＝OM ＋ON ＝43＋25＝2615.第43题解图①第43题解图②【一题多解】解法一：如解图②，延长BC 交GF 的延长线于点H ，∵DE ＝1，DF ＝22，∠FDG ＝45°，∴DG ＝FG ＝2，∴AE ＝DG ＝2，∴AD ＝AE ＋DE ＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝3，∵DC ∥GH ，∠CDG ＝∠DGH ＝∠DCH ＝90°，∴四边形DCHG 为矩形，∴CH ＝DG ＝2，FH ＝GH －GF ＝DC －GF ＝1，∴△EDM ∽△EGF ，△BCN ∽△BHF ，∴ED EG ＝DM GF ，BC BH ＝NC FH ，即13＝DM 2，35＝NC 1，∴DM ＝23，NC ＝35，∴MN ＝DC －DM －NC ＝3－23－35＝2615.解法二：由(1)得AE ＝GF ，AB ＝GE ，∵DE ＝1，DF ＝22，∠FDG ＝45°，∴AE ＝GF ＝2，∴AB ＝AD ＝GE ＝3，如解图③，以点D 为坐标原点，建立平面直角坐标系，∴B (－3，－3)，F (2，－2)，E (－1，0)，设直线BF 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，将B (－3，－3)和F (2，－2)3k 1＋b 1＝－3k 1＋b 1＝－21＝151＝－125，∴直线BF 的解析式为y 1＝15x －125，令x ＝0，得y ＝－125，∴点N 的坐标为(0，－125)，设直线EF 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，将E (－1，0)和F (2，－2)k 2＋b 2＝0k 2＋b 2＝－22＝－232＝－23，∴直线EF 的解析式为y 2＝－23x －23，令x ＝0，得y ＝－23，∴点M 的坐标为(0，－23)，∴MN ＝(－23)－(－125)＝2615.第43题解图③44.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∵BE ＝DF ，∴BO －BE ＝DO －DF ，即OE ＝OF ，∴四边形AECF 是菱形．∵OA ＝OE ，∴OA ＝OC ＝OE ＝OF ，∴AC ＝EF ，∴四边形AECF 是正方形．45.(1)证明：∵正方形ABCD 和菱形EFGH ，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，DE ＝DG ，在Rt △ADE 与Rt △CDG 中，＝CD＝DG ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDG (HL)；(2)解：如解图，连接EG 交DF 于点O ，第45题解图∵AE ＝BE ＝2，由(1)得Rt △ADE ≌Rt △CDG ，∴CG ＝AE ＝2，BG ＝CB －CG ＝2，∵∠ABC ＝90°，∴在Rt △EBG 中，EG ＝EB 2＋BG 2＝22，∴EO ＝2，在Rt △ADE 中，AD ＝4，AE ＝2，∴EF ＝DE ＝AE 2＋AD 2＝25，在Rt △OEF 中，OF ＝EF 2－OE 2＝20－2＝32，∴DF ＝2OF ＝62，∵DB ＝2AB ＝42，∴BF ＝DF －DB ＝22.46.(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∵AB 1＝BC 1＝DA 1＝45AB ，∴AA 1＝BB 1＝15AB ，∴△AB 1A 1≌△BC 1B 1，∴A 1B 1＝B 1C 1，∠AB 1A 1＝∠BC 1B 1，又∵∠BC 1B 1＋∠BB 1C 1＝90°，∴∠BB 1C 1＋∠AB 1A 1＝90°，∴∠A 1B 1C 1＝90°.同理可证：B 1C 1＝C 1D 1＝D 1A 1＝A 1B 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是正方形；(2)解：∵AB 1＝BC 1＝CD 1＝DA 1＝45AB ，设AB ＝5a ，则AB 1＝4a ，∴B 1B ＝AA 1＝a ，∴A 1B 1＝17a ，∴A 1B 1AB ＝17a 5a ＝175；(3)解：结论1：螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段的比均为51717或175.证明：∵AB 1＝45AB ，∴BB 1＝15AB .同理，B 1B 2＝15A 1B 1，∴B 1B B 1B 2＝AB A 1B 1＝51717.同理可得B 1B 2B 2B 3＝51717，∴螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段的比均为51717或175.结论2：螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段夹角的度数不变．证明：∵B 1B BC 1＝B 2B 1B 1C 2＝14，∠A 1B 1C 1＝∠ABC ＝90°，∴△BB 1C 1∽△B 1B 2C 2，∴∠BB 1C 1＝∠B 1B 2C 2.∵∠C 1B 1B 2＝∠C 2B 2B 3＝90°，∴∠BB 1C 1＋∠C 1B 1B 2＝∠B 1B 2C 2＋∠C 2B 2B 3，即∠BB 1B 2＝∠B 1B 2B 3.同理可证∠B 1B 2B 3＝∠B 2B 3B 4＝…，∴螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段夹角的度数不变．。
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷含答案
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是( )A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.20°B.60°C.70°D.80°4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( )A.12B.1C.√32D.√36.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=°.7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件,使得菱形ABCD为正方形.8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.(1)实践与操作①任意作两条相交的直线,交点记为O;②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是:.(2)猜想与证明通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.B层·能力提升9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+1FG的最小值是( )2A.4B.5C.8D.1010.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF=4,AE=5,则AB的长为.511.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3√2,对角线AC,BD相交于点O,点E 在CA的延长线上,OE=5,连接DE.(1)线段AE的长为;(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为.C层·挑战冲A+12.(2024·济宁)综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动.【动手操作】如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平.第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平.第三步,连接GF.【探究发现】根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论.甲同学的结论:四边形AEFD是正方形.乙同学的结论:tan∠AFG=1.3(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由.【继续探究】在上面操作的基础上,丙同学继续操作.如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平.第五步,连接FM交GP于点N.根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论:FN·AM=GN·AD.(2)请证明这个结论.参考答案A层·基础过关1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(C)A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是(A)A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)A.20°B.60°C.70°D.80°4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C)A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(D)A.12B.1C.√32D.√36.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=57°.7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件AC=BD(答案不唯一),使得菱形ABCD为正方形.8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.(1)实践与操作①任意作两条相交的直线,交点记为O;②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD;③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是:.【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD的对角线互相平分∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)猜想与证明通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.【解析】(2)∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD =BC∴在△BAD 和△ABC 中,{AB =BAAD =BC BD =AC∴△BAD ≌△ABC (SSS) ∴∠BAD =∠ABC ∵AD ∥BC∴∠BAD +∠ABC =180° ∴∠BAD =∠ABC =90°∴四边形ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).B 层·能力提升9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 上的动点,且满足AE =BF ,AF 与DE 交于点O ,点M 是DF 的中点,G 是边AB 上的点,AG =2GB ,则OM +12FG 的最小值是(B)A .4B .5C .8D .1010.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 的中点,连接AE ,AF .若sin ∠EAF =45,AE =5,则AB 的长为2√653.11.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3√2,对角线AC,BD相交于点O,点E 在CA的延长线上,OE=5,连接DE.(1)线段AE的长为2;.(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为√102C层·挑战冲A+12.(2024·济宁)综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动.【动手操作】如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平.第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平.第三步,连接GF.【探究发现】根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论.甲同学的结论:四边形AEFD是正方形.乙同学的结论:tan∠AFG=1.3(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由.【继续探究】在上面操作的基础上,丙同学继续操作.如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平.第五步,连接FM交GP于点N.根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论:FN·AM=GN·AD.(2)请证明这个结论.【解析】(1)甲同学和乙同学的结论都正确,证明如下∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠BAD=90°∵折叠,∴∠D=∠AEF=90°=∠DAE,AD=AE,∴四边形AEFD是正方形;故甲同学的结论正确.过点G作GK⊥AF于点K设AE=2x,则AG=EG=x ∵四边形AEFD是正方形∴∠EAF=45°∴AF=2√2x,AK=KG=√22AG=√22x∴KF=AF-AK=3√22x∴tan∠AFG=KGKF =1 3 ;故乙同学的结论也正确.(2)方法一:过点G作GQ⊥PM,交PM的延长线于点Q∵折叠∴FP=PM,FG=GM,GH=GQ,∠FPG=∠MPG,PH=PQ∵AB∥CD,∴∠FPG=∠PGM∴∠PGM=∠MPG∴PM=GM∴PF=GM=PM=FG∴四边形FGMP是菱形∴∠FNG=90°∵∠GQP=90°=∠FNG,∠FGN=∠GPQ∴△GFN∽△PGQ∴FNGQ =GN PQ∴FN·PQ=GN·GQ∵AM=AG+GM=HF+FP=PH∴AM=PQ∵GQ=GH=AD∴FN·AM=GN·AD.方法二:连接DM,证△ADM∽△NFG也可.。
小学优生数学试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是奇数？A. 2B. 5C. 8D. 102. 一个长方形的长是6厘米，宽是3厘米，它的周长是多少厘米？A. 12B. 15C. 18D. 213. 下列哪个图形是正方形？A. 矩形B. 正方形C. 三角形D. 圆形4. 5个苹果加上7个香蕉，一共有多少个水果？A. 12B. 13C. 14D. 155. 小明有15个铅笔，他每天用3个，几天后他剩下5个铅笔？A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天6. 下列哪个分数小于1/2？A. 1/3B. 1/4C. 2/3D. 3/47. 一个数字加上它的两倍，结果是15，这个数字是多少？A. 3B. 4C. 5D. 68. 下列哪个数是质数？A. 8B. 9C. 10D. 119. 一个班级有30名学生，其中女生占40%，男生有多少人？A. 12B. 14C. 16D. 1810. 下列哪个算式的结果是5？A. 3 + 2B. 4 - 1C. 5 × 1D. 6 ÷ 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 7 + 8 = ______12. 24 ÷ 6 = ______13. 3 × 5 = ______14. 9 - 4 = ______15. 5 × 10 = ______16. 18 ÷ 3 = ______17. 2 + 3 + 4 = ______18. 100 - 50 = ______19. 4 × 7 = ______20. 6 ÷ 2 = ______三、应用题（每题5分，共20分）21. 小红有12个苹果，小明给她3个，小红还剩多少个苹果？22. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，行驶了3小时到达乙地。
甲地到乙地的距离是多少千米？23. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
湘教版八年级数学下册 正方形同步优生辅导测评(Word版含答案) (1)
湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步优生辅导测评（附答案）一．选择题（共8小题,满分40分）1．在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（﹣3,0）,则点C到y轴的距离是（）A．6B．5C．4D．32．如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°3．下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH．若BE：EC＝2：1,则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．65．如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°6．如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5,则四边形EFGH 的面积是（）A．30B．34C．36D．407．正方形ABCD中,点P,Q分别是边AB,AD上的点,连接PQ、PC、QC,下列说法：①若∠PCQ＝45°,则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝,∠PCQ＝36°,则；③若△PQC 是正三角形,若PB＝1,则AP＝．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D′处,则点C的对应点C′的坐标为（）A．（,1）B．（2,1）C．（1,）D．（2,）二．填空题（共6小题,满分30分）9．如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是．10．如图,在四边形ABCD中,∠ADC＝∠ABC＝90°,AD＝CD,DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18,则DP的长是．11．如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC＝1,CE＝3,H是AF的中点,那么CH的长是．12．如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE＝DF＝2,BE与AF 相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为．13．如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°,则∠AED等于度．14．如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为（2,3）,则点F的坐标为．三．解答题（共6小题,满分50分）15．如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1,若点E为线段AM的中点,BM：CM＝1：2,BE＝,求AB的长；（2）如图2,若DA＝DE,求证：BF+DF＝AF．16．如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）若点G在AD上,且∠GCE＝45°,则GE＝BE+GD成立吗？为什么？17．如图,正方形ABCD中,AB＝4,点E是对角线AC上的一点,连接DE．过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点,连接DF交AC于点M,请直接写出ME的长．18．已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE＝PD总成立．（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时,（1）中猜想的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由；（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图（3）画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）19．已知：如图四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝CD,E是对角线BD上一点,且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC,且∠CBE：∠BCE＝2：3,求证：四边形ABCD是正方形．20．如图1,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB ＝45°（1）求证：AG＝FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点,BM＝10,求FD的长．参考答案一．选择题（共8小题,满分40分）1．解：过点C作CE⊥x轴于点E,如图,则点C到y轴的距离为OE．∵点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（﹣3,0）,∴OA＝2,OB＝3．∵CE⊥x轴,∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝AB,∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中,,∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴点C到y轴的距离是5．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,又∵△ADE是等边三角形,∴AE＝AD＝DE,∠DAE＝60°,∴AB＝AE,∴∠ABE＝∠AEB,∠BAE＝90°+60°＝150°,∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°,又∵∠BAC＝45°,∴∠BFC＝45°+15°＝60°．故选：C．3．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．4．解：设CH＝x,则DH＝EH＝9﹣x,∵BE：EC＝2：1,BC＝9,∴CE＝BC＝3,∴在Rt△ECH中,EH2＝EC2+CH2,即（9﹣x）2＝32+x2,解得：x＝4,即CH＝4．故选：B．5．解：如图,连接BD,∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°,BC＝EC,∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°,∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°,∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线,M在AC上,∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．6．解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝DA,∵AE＝BF＝CG＝DH,∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）,∴EH＝FE＝GF＝GH,∠AEH＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形,∵∠BEF+∠BFE＝90°,∴∠BEF+∠AEH＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四边形EFGH是正方形,∵AB＝BC＝CD＝DA＝8,AE＝BF＝CG＝DH＝5,∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝,∴四边形EFGH的面积是：×＝34,故选：B．7．（1）证明：延长AB至点E,使BE＝DQ,连接EC,AC,∵正方形ABCD,∴∠BCA＝∠DCA＝45°,CD＝DA＝AB＝BC,∠D＝∠EBC＝90°,∴在△BEC和△DQC中,,∴△BEC≌△DQC（SAS）,∴CE＝CQ,∠BCE＝∠DCQ,∵∠PCQ＝45°,∴∠DCQ+∠PCB＝45°,∴∠BCE+∠PCB＝45°,即∠ECP＝45°,∵在△PCE和△PCQ中,,∴△PCE≌△PCQ（SAS）,∴PE＝PQ,∵PE＝PB+BE＝PB+QD,∴PQ＝PB+QD,（2）过点Q作∠PQC的角平分线,交PC于点E,∵正方形ABCD,∴∠A＝∠D＝∠B＝90°,AD＝AB＝BC＝CD,∵∠PCQ＝36°,AP＝AQ＝,∴PQ＝2,PB＝QD,∴PE＝PC﹣2,∵在△PBC和△QDC中,,∴△PBC≌△QDC（SAS）,∴QC＝PC,∴∠CPQ＝∠CQP＝72°,∴∠PQE＝∠EQC＝36°,∴QE＝QP＝EC＝2,∵△QPE∽△CQP,∴PQ：QC＝PE：PQ,即PQ2＝PE•PC,∵PQ＝2,∴PE•PC＝4,∵PE＝PC﹣2,∴PC2﹣2PC﹣4＝0,解得：PC1＝1﹣＜0（舍去）,PC2＝1+,∴PC＝+1,（3）取PC的中点E,连接BE,做BM⊥PC于点M,∵正方形ABCD,∴BC＝CD＝AB＝AD,∠D＝∠B＝∠A＝∠BCD＝90°,∵△PCQ为正三角形,∴QC＝PQ＝PC,∠QCP＝60°,∵在Rt△PBC和Rt△QDC中,,∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL）,∴∠BCP＝∠DCQ＝,PB＝QD,∵E为PC的中点,∴BE＝EC＝PE＝,∴∠BEM＝30°,∴2BM＝BE,∴4BM＝PC,∵PC＝AP,∴4BM＝AP,∵BM⊥PC,∠BCP＝15°,∴∠PBM＝15°,∵PB＝1,∴BC＝AB＝AP+1,∴AP＝+1,∴其中说法正确的共3个,故选：A．8．解：∵AD′＝AD＝2,AO＝AB＝1,∴OD′＝＝,∵C′D′＝2,C′D′∥AB,∴C′（2,）,故选：D．二．填空题（共6小题,满分30分）9．解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°．∵等边三角形ADE,∴AD＝AE,∠DAE＝∠AED＝60°．∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°,AB＝AE,∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°,∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．10．解：如图,过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC＝∠ABC＝90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP＝90°,∠ADC＝90°,∴∠ADP+∠CDP＝90°,∴∠ADP＝∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD＝90°,∴∠APD＝∠E＝90°,在△ADP和△CDE中,,∴△ADP≌△CDE（AAS）,∴DE＝DP,四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP＝＝3．故答案为：3．11．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC＝1,CE＝3,∴AB＝BC＝1,CE＝EF＝3,∠E＝90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM＝BC+CE＝1+3＝4,FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2,∠AMF＝90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD＝∠GCF＝45°,∴∠ACF＝90°,∵H为AF的中点,∴CH＝AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得：AF＝＝＝2,∴CH＝,故答案为：．12．解：∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAE＝∠D＝90°,AB＝AD,在△ABE和△DAF中,∵,∴△ABE≌△DAF（SAS）,∴∠ABE＝∠DAF,∵∠ABE+∠BEA＝90°,∴∠DAF+∠BEA＝90°,∴∠AGE＝∠BGF＝90°,∵点H为BF的中点,∴GH＝BF,∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3,∴BF＝＝,∴GH＝BF＝,故答案为：．13．解：∵正方形ABCD,∴AB＝AD,∠BAE＝∠DAE,在△ABE与△ADE中,,∴△ABE≌△ADE（SAS）,∴∠AEB＝∠AED,∠ABE＝∠ADE,∵∠CBF＝20°,∴∠ABE＝70°,∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°,故答案为：6514．解：如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H．过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形,∴OG＝EO,∠GOM＝∠OEH,∠OGM＝∠EOH,在△OGM与△EOH中,∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2,OM＝EH＝3,∴G（﹣3,2）．∴O′（﹣,）．∵点F与点O关于点O′对称,∴点F的坐标为（﹣1,5）．故答案是：（﹣1,5）．三．解答题（共6小题,满分30分）15．解：（1）设BM＝x,则CM＝2x,BC＝3x,∵BA＝BC,∴BA＝3x．在Rt△ABM中,E为斜边AM中点,∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2,即40＝x2+9x2,解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点,过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE,∴∠1＝∠2．∵DE＝DA,DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°,∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°,∠HAD+∠DAF＝90°,∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD,∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH,BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形,∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF,∴BF+DF＝AF．16．（1）证明：在正方形ABCD中,∵,∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF,∴∠BCE＝∠DCF,∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD,即∠ECF＝∠BCD＝90°,又∵∠GCE＝45°,∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵,∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．17．解：（1）如图,作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形,∴∠EAD＝∠EAB,∵EM⊥AD于M,EN⊥AB于N,∴EM＝EN,∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°,∴四边形ANEM是矩形,∵EF⊥DE,∴∠MEN＝∠DEF＝90°,∴∠DEM＝∠FEN,∵∠EMD＝∠ENF＝90°,∴△EMD≌△ENF,∴ED＝EF,∵四边形DEFG是矩形,∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,∴DG＝DE,DC＝DA＝AB＝4,∠GDE＝∠ADC＝90°,∴∠ADG＝∠CDE,∴△ADG≌△CDE（SAS）,∴AG＝CE,∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图,作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD＝4,AB∥CD,∵F是AB中点,∴AF＝FB∴DF＝＝2,∵△DEF是等腰直角三角形,EH⊥AD,∴DH＝HF,∴EH＝DF＝,∵AF∥CD,∴AF：CD＝FM：MD＝1：2,∴FM＝,∴HM＝HF﹣FM＝,在Rt△EHM中,EM＝＝．18．（1）解：①PE＝PB,②PE⊥PB．（2）解：（1）中的结论成立．①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴CD＝CB,∠ACD＝∠ACB,又PC＝PC,∴△PDC≌△PBC,∴PD＝PB,∵PE＝PD,∴PE＝PB,②：由①,得△PDC≌△PBC,∴∠PDC＝∠PBC．（7分）又∵PE＝PD,∴∠PDE＝∠PED．∴∠PDE+∠PDC＝∠PEC+∠PBC＝180°,∴∠EPB＝360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）＝90°,∴PE⊥PB．（3）解：如图所示：结论：①PE＝PB,②PE⊥PB．19．证明：（1）在△ADE与△CDE中,,∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE＝∠CDE,∵AD∥BC,∴∠ADE＝∠CBD,∴∠CDE＝∠CBD,∴BC＝CD,∵AD＝CD,∴BC＝AD,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AD＝CD,∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE＝BC∴∠BCE＝∠BEC,∵∠CBE：∠BCE＝2：3,∴∠CBE＝180×＝45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE＝45°,∴∠ABC＝90°,∴四边形ABCD是正方形．20．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点,∵∠CFB＝45°∴CH＝HF,∵∠ABG+∠BAG＝90°,∠FBE+∠ABG＝90°∴∠BAG＝∠FBE,∵AG⊥BF,CH⊥BF,∴∠AGB＝∠BHC＝90°,在△AGB和△BHC中,∵∠AGB＝∠BHC,∠BAG＝∠HBC,AB＝BC,∴△AGB≌△BHC,∴AG＝BH,BG＝CH,∵BH＝BG+GH,∴BH＝HF+GH＝FG,∴AG＝FG；（2）方法1、解：∵CH⊥GF,∴CH∥GM,∵C为FM的中点,∴CH＝GM,∴BG＝GM,∵BM＝10,∴BG＝2,GM＝4,∴AG＝4,AB＝10,∴HF＝2,∴CF＝2×＝2,∴CM＝2,过B点作BK⊥CM于K,∵CK＝CM＝CF＝,∴BK＝3,过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q,∴△BKC≌△CQD∴CQ＝BK＝3,DQ＝CK＝,∴QF＝3﹣2＝,∴DF＝＝2．方法2,如图3,∵CH⊥GF,∴CH∥GM,∵C为FM的中点,∴CH＝GM,∴BG＝GM,根据勾股定理得,BG2+（2BG）2＝100,∴BG＝2连接CG,∴CG⊥FM,∴CG＝CM＝CF,∵∠BCD＝90°,∴∠BCG＝∠DCF,∵BC＝CD,∴△BCG≌△DCF,∴DF＝BG＝2．。
矩形和正方形达标测试题及答案
矩形和正方形达标测试题及答案掌握好的学习方法非常重要，下面内容矩形和正方形达标测试题及答案，希望能给您带来一定帮助。
矩形和正方形达标测试题及答案第1题. 已知矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为，求矩形的边长.如图所示.答案：解：又是等边三角形.cm.第2题. 小明有7个大小相同的矩形纸片，他把这些纸片拼在一起时，恰好能拼成一个周长为68cm的大矩形，如图所示，求这个大矩形的面积.答案：解：设小矩形的长为 cm，宽为 cm.由图可知：，且 .即 .所以 .大矩形的一边长为，别一边长为 .大矩形的面积为 .第3题. 在正方形中，为边上一点，，垂足为，如果，那么等于()A.10B.7.5C.5D.2.5答案：C第4题. 已知矩形的一条对角线长8cm，则另一条对角线长的一半是 .答案：4cm第5题. 矩形的一组邻边之比为3∶4，对角线长为5，则此矩形的面积为 .答案：12第6题. 已知，如图所示，矩形中，是的中点，且，已知矩形的周长为36，求矩形的边长及对角线的长.答案：解：是的中点，又对角线 .第7题. 如图所示，在正方形中，是边上一点，，垂足为，，求的度数.答案：解：在和中， .第8题. 如图所示，在正方形中，点分别是的中点，(1) 和全等吗?为什么?(2)四边形是平行四边形吗?说明理由.答案：解：(1) 和全等，理由如下：四边形为正方形，是的中点.又.(SAS);(2)四边形是平行四边形.理由如下：四边形是平行四边形.第9题. 如图所示，在矩形中，是上的动点，于，于，则的值为多少?答案：解：连结矩形，四边形是矩形，而第10题. 有一块矩形的草地如图所示，中间有一条甬路，已知 cm， cm，且，求路宽.答案：解：且，四边形是平行四边形，故 .又，设路宽为第11题. 若四边形为平行四边形，请补充条件(一个即可)使四边形为矩形.答案：第12题. 如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 .答案：第13题. 在边长为的正方形内有任意五个点(包括落在四条边上)，将其中任意两点与正方形中心连接成三角形，则其至少有一个三角形面积满足()A. B. C. D.答案：A第14题. 如图，矩形纸片中，，现将重合使纸片折叠压平，设折痕为，则重叠部分的面积为多少?答案：解：设，则 .即：第15题. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点落在点处，设，求的面积.答案：解：设，则，由折叠的性质知：在与中，又即： .第16题. 如图所示，已知中，平分 .(1)你能判断四边形是菱形吗?并说明理由.(2) 满足什么条件时，四边形是正方形.答案：(1)四边形是菱形.因为，故四边形为平行四边形.又平分，又，故所以 .因为平行四边形的一组邻边相等，所以是菱形.(2)当满足时，四边形为正方形(有一角为直角的菱形是正方形).第17题. 如图，正方形中，，那么和是否相等?请说明理由.答案：解：和相等.延长至点，使，连结，则可证 (SAS)，且，又，又根据边角边公理可证，则得 .又，故第18题. 将长为12，宽为5的矩形纸片沿对角线对折后，相交于点，则的长为.答案：第19题. 在边长为的正方形内取一点，使这点到一边的两端点和到此边的对边的距离相等.则这一距离为 .答案：第20题. 分别是正方形的边上的一点，且的周长是正方形周长的一半， .答案：第21题. 矩形是轴对称图形，它有条对称轴，正方形有条对称轴.答案：2，4第22题. 如图，是正方形对角线的交点，是上任意一点，过点作交于点，求证：是等腰直角三角形.答案：证明：第23题. 是矩形内一点，且，则 ()A. B. C. D.答案：C第24题. 矩形中，点是的中点，，矩形的周长是20cm，则的长为()A.1cmB.2cmC.2.5cmD. cm答案：D第25题. 如图，正方形纸片边上有一点，，若把纸片对折，使点与点重合，则纸片折痕长为.答案：8第26题. 如图，正方形的边长为且，则 .答案：第27题. 在正方形中，如图所示，，四边形是菱形，求 .答案：第28题. 如图，正方形的对角线相交于点，点在和上，且，连结 .请说明：且 .答案：解：，第29题. 如图，为的中线，均为正方形.请说明： .答案：解：延长中线至，使，连结经证 .第30题. 如图所示，在正方形中，对角线交于点是的中点，是上任意一点，于点，于点 .请说明： .答案：解：连结，经证 .。
苏科版八年级下册9.4菱形、矩形、正方形提优训练(有答案)
八下9.4菱形、矩形、正方形提优训练姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.下列命题正确的是()A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A. 1B. √2C. 4−2√2D. 3√2−43.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是()A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直4.如图，菱形ABCD的周长为32，∠C=120°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是()A. 8B. 8√3C. 12√3D. 16√35.如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是()A. 164B. 132C. 116D. 146.如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为()A. 1B. 103C. 4D. 1437.如图所示，将一张长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(G在CD边上，不与C，D重合，F在BC边上，不与B，C重合)，使得C点落在长方形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足()A. 90°<α<180°B. α=90°C. 0°<α<90°D. α随着折痕的变化而变化二、填空题8.如图，在正方形纸片ABCD中，EF//AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN=13EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是______cm．9.已知菱形的周长为4√5，两条对角线的和为6，则菱形的面积为__________．10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点，CE=5,F为DE的中点.若ΔCEF的周长为18，则OF的长为________．11.如图，将正方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF=30°，则∠ABF的度数为____________．12.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为______cm．13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为_______．14.如图，正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2√2，点B在线段DG上，则BE的长为__________．三、解答题15.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．16.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，求∠ABE的大小．17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，当AB=4，AC=6时，求△BDE的周长．18.如图，在矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为(a,0)、(0,b)，且(a−3)2+√b2−10b+25=0．(1)直接写出点B的坐标；(2)若过点C的直线CD交AB与点D，且把矩形OABC的周长分为1:3两部分，求直线CD的解析式．答案和解析1.D解：A.对角线相等的四边形不一定是矩形，故此选项错误；B.对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项错误；C.对角线互相垂直且相等，但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形，因为这三种四边形的对角线都互相平分，故此选项错误；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项正确．2.C解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°−∠BAE=90°−22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°−45°−67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4√2，∴BE=BD−DE=4√2−4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=√22BE=√22×(4√2−4)=4−2√2．3.D解：要使四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，理由是：连接AC、BD交于点O，根据三角形的中位线定理得：EF//AC，EF=12AC，AC，GH//AC，GH=12∴EF//GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF//AC，EH//BD，∵BD⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．4.C解：∵菱形ABCD的周长为32，∴BC=CD=AB=AD=8，∵∠C=120°，∴∠B=60°，∠D=60°，∴△ABC和△ACD都为等边三角形，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠EAC=30°，∠FAC=30°，CE=BE=4，CF=FD=4，∴∠EAF=60°，AE=√3CE=4√3，AF=√3CF=4√3，∴△AEF为等边三角形，∴△AEF的面积=√3×(4√3)2=12√3．45.A解：∵第一个菱形的面积为1，∴第二个菱形的面积为原来的，第三个菱形的面积为，依此类推，第n个菱形的面积为，当n=4时，则第4个菱形的面积为．6.D解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠EHF，∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF，∴∠AED+∠HEF=90°，∵∠HEF+∠EFH=90°，∴∠AED=∠EFH，在△ADE和△EHF中，{∠ADE=∠EHF ∠AED=∠EFHAE=EF,∴△ADE≌△EHF(AAS)，∴AD=EH=4，由题意得：t+2t=4+10，解得：t=143，7.B解：如图，∵△GFE是由△GFC沿GF折叠，∴∠1=∠3=12∠CFE，∵FH平分∠BFE，∴∠2=∠4=12∠EFB，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=90°，即∠GFH=90°．8.2π解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=EF，∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，则MN=6π3=2πcm．9.4解：如图，四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，AB=√5，AC⊥BD，AO=12AC，BO=12BD，∴AO+BO=3，∴AO2+BO2=AB2，(AO+BO)2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AO⋅BO+BO2=9，∴2AO⋅BO=4，∴菱形的面积=12AC⋅BD=2AO⋅BO=4，10.72解：∵CE=5，△CEF的周长为18，∴CF+EF=18−5=13，∵F为DE的中点，∴DF=EF，∵∠BCD=90°，∴CF=12DE，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=√DE2−CE2=√132−52=12，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC−CE)=12(12−5)=72．11.60°解：补全正方形如图，由翻折的性质得，∠BEF=∠BEC，∠EBF=∠EBC，∵∠DEF=30°，∴∠BEC=12(180°−∠DEF)=12(180°−30°)=75°，∴∠EBC=90°−∠BEC=90°−75°=15°，∴∠ABF=90°−∠EBF−∠EBC，=90°−15°−15°，=60°．12.245解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，∴BO=12BD=12×8=4(cm)，CO=12AC=12×6=3(cm)，在△BCO中，由勾股定理，可得BC=√BO2+CO2=√42+32=5(cm)∵AE⊥BC，∴AE⋅BC=AC⋅BO，∴AE=AC⋅BOBC =6×45=245(cm)，即菱形ABCD的高AE为245cm．13.145解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8−x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=√32x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8−x)2=(√32x)2+(6−12x)2，解得，x=145，即BE=145，14.√2+√6解：过点A作AP⊥BD交BD于点P，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在△DAG和△BAE中，{AD=AB∠DAG=∠BAE AE=AG，∴△DAG≌△BAE(SAS)，∴DG=BE，∵∠APD=90°，∴AP=DP=√2，∵AG=2√2，∴PG=√AG2−PA2=√6，∴DG=DP+PG=√2+√6∵DG=BE，∴BE=√2+√6．15.(1)证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即EF=BC．∵在▱ABCD中，AD//BC且AD=BC，∴AD//EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；(2)解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=12AB⋅AF=12BF⋅AE．∴AE=AB⋅AFBF =6×810=245．16.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=12∠ABD=∠FDB，∴EB//DF，∵ED//BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)解：∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD，又∵∠ABE=∠EBD，∴∠ABE=∠EBD=∠FBD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE=30°．17.解：(1)OM=ON，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AD//BC，∴∠MAO=∠NCO，在△OAM和△OCN中，{∠MAO=∠NCOOA=OC∠MOA=∠NOC,∴△OAM≌△OCN(ASA)，∴OM=ON.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD=BC=AB=4，∴B0=√AB2−AO2=√42−(6÷2)2=√7，∴BD=2BO=2×√7=2√7，∵DE//AC，AD//CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=6，CE=AD=4，∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AC+(BC+CE)=2√7+6+(4+4)=14+2√7．即△BDE的周长是14+2√7．18.解：(1)由(a−3)2+√b2−10b+25=0.可知(a−3)2+|b−5|=0，∴a=3，b=5，∵矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为(a,0)、(0,b)，即A(3,0)，C(0,5)；∴B(3,5)，(2)∵过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，OC=AB>BD，OA=BC，则一定有CB+BD CO+OA+AB−BD = 13，即3+BD 13−BD =13，解得BD =1，∴AD =AB −BD =5−1=4，即D 点的坐标为(3,4)，设直线CD 的关系式为y =kx +b ，且经过(0,5)和(3,4)得，{b =53k +b =4， 解得{b =5k =−13，即直线CD 的关系式为：y =− 13x +5．。
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（39题）一 、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12 B ．1 C 3D 35．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴 D ．直线AC 为线段BD 的对称轴8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．410．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF ==．CE DF(1)求证：AE BF∥=时求证：四边形DECF是菱形．(2)若DF FC23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）(2)若直线MN分别交AD BC于E F两点求证：四边形AFCE是菱形AC BD交于点O分别以点,B C为圆心24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的对角线,11,22AC BD 长为半径画弧 两弧交于点P 连接,BP CP ．(1)试判断四边形BPCO 的形状 并说明理由(2)请说明当ABCD 的对角线满足什么条件时 四边形BPCO 是正方形？25．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中 D 是BC 的中点 E 是AD 的中点 过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：AF BD =(2)连接BF 若AB AC = 求证：四边形ADBF 是矩形．26．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M 在ABCD 的边AD 上 BM CM = 请从以下三个选项中①12∠=∠ ①AM DM = ①34∠∠= 选择一个合适的选项作为已知条件 使ABCD 为矩形．(1)你添加的条件是_________（填序号）(2)添加条件后 请证明ABCD 为矩形．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 为AB 边上任意一点（不与点A B 重合） 过点D 作DE BC ∥ DF AC ∥ 分别交AC BC 于点E F 连接EF ．(1)求证：四边形ECFD 是矩形(2)若24CF CE ==， 求点C 到EF 的距离．28．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ A C ∠=∠ BD 为对角线．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形．(2)已知AD AB > 请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF 顶点E F 分别在边BC AD 上（保留作图痕迹 不要求写作法）．三 填空题29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AD BC = AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______ 使四边形ABCD 成为菱形．30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AC BD 、为菱形的对角线60,10DBC BD ︒∠== 点F 为BC 中点，则EF 的长为_______________．31．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 40DAB ∠=︒ 连接AC 以点A 为圆心 AC 长为半径作弧 交直线AD 于点E 连接CE ，则AEC ∠的度数是________．33．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 60DAB ∠=︒ BE AB ⊥ DF CD ⊥ 垂足分别为B D 若6cm AB =，则EF =________cm ．34．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E 交BC 于点O 连接BE CE 过点C 作CF BE ∥ 交EO 的延长线于点F 连接BF ．若8AD = 5CE =，则四边形BFCE 的面积为______．.35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 点E F G H 分别是AB BC CD AD 上的点 且BE BF CG AH === 若菱形的面积等于24 8BD =，则EF GH +=___________________．36．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一 最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 任意切成多块小图形 几何图形的总面积保持不变 等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一 如图，在矩形ABCD 中 5AB = 12AD = 对角线AC 与BD 交于点O 点E 为BC 边上的一个动点 EF AC ⊥ EG BD ⊥ 垂足分别为点F G ，则EF EG +=___________．37．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为___________．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O E 为BC 上一点 7CE = F 为DE 的中点 若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．39．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 4AB = 6AD =．在边AD 上取一点E 使BE BC = 过点C 作CF BE ⊥ 垂足为点F ，则BF 的长为________．参考答案一 单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒ 进而即可求解．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形①,BD AC AB CD ⊥∥①1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒①120∠=︒①2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质 熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒【答案】C 【分析】首先根据正方形的性质得到45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO = 然后结合EF AD ∥得到OE OF = 然后证明出()SAS AOF DOE △≌△ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】①四边形ABCD 是正方形①45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO =①EF AD ∥①45OEF OAD ∠=∠=︒ 45OFE ODA ∠=∠=︒①OEF OFE ∠=∠①OE OF =又①90AOF DOE ∠=∠=︒ AO DO =①()SAS AOF DOE △≌△①15ODE FAC ∠=∠=︒①30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒①180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质 全等三角形的性质和判定 等腰直角三角形三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形 平行四边形 矩形 菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 正方形的对角线相等且互相垂直平分 描述正确B 对角互补的四边形不一定是平行四边形 只是内接于圆 描述错误C 矩形的对角线不一定垂直 但相等 描述错误D 一组邻边相等的平行四边形才构成菱形 描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质和判定 解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12B ．1C 3D 3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明ABD △是等边三角形 由AC BD ⊥ 得到1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ 即可得到1122OB AB == 利用勾股定理求出AO 的长度 即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥ AB AD = AC BD ⊥ 12AO OC AC ==①60DAB ∠=︒ 且AB AD =①ABD △是等边三角形①AC BD ⊥ ①1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ ①1122OB AB == ①2222111322AO AB OB ⎛⎫-= ⎪⎭=-⎝ ①23AC AO ==故选：D ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质 勾股定理 等边三角形的判定和性质 30︒角所对直角边等于斜边的一半 关键是熟练掌握菱形的性质．5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ：AB CD ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ：AD BC = ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A B ∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD =∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质 平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识 熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G 易得：,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥ 利用矩形的性质和三角形的面积公式 可得1212BCDES S S +=矩形 再根据1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形 得到12ABC S S S S -=- 即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G①矩形BCDE①,,BC BE BC CD BE CD ⊥⊥=①,FG BE FG CD ⊥⊥①四边形BFGC 为矩形①,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥①1211,22S BE AF S CD AG =⋅=⋅①()12111222BCDE BE AF AG BE B S C S S =+=⋅=+矩形又1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形①121122ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S =+---=矩形矩形 ①只需要知道ABC 的面积即可求出12S S S --的值故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质 求三角形的面积．解题的关键是得到1212BCDES S S +=矩形 7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D ．直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线 从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 故A 符合题意线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 故B 不符合题意矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线故C D 不符合题意故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义 矩形的性质 熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 【答案】C【分析】先根据正方形的性质 三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ 根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠ 再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠ 从而可得30DAM ∠=︒ 然后利用勾股定理 含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是边长为6的正方形6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒在ADM △和CDM 中 45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS ADM CDM ∴≅DAM DCM ∴∠=∠PM PC =CMP DCM ∴∠=∠22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒30DAM ∴∠=︒设PD x =，则22AP PD x == 6PM PC CD PD x ==-=-2236AD AP PD x ∴=-= 解得3x =663PM x ∴=-=- 243AP x ==(()43623631AM AP PM ∴=-=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 等腰三角形的性质等知识点 熟练掌握正方形的性质是解题关键．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B 【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD ==⨯= 再由勾股定理求出5BC = 然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：①菱形ABCD①AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD === ①由勾股定理 得225BC OB OC =+=①E 为边BC 的中点 ①1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质 勾股定理 直角三角形的性质 熟练掌握菱形的性质 直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形 2FH AB == 4GE BC == 由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：①将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH①EF GH ⊥ EF 与GH 互相平分①四边形EFGH 是菱形①2FH AB == 4GE BC ==①菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=． 故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠 菱形的判定和性质等知识 熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意 分别证明四边形1212E E F F 是菱形 平行四边形 矩形 即可求解．【详解】①四边形ABCD 是矩形①AB CD ∥ 90BAD ABC ∠=∠=︒①60BDC ABD ∠=∠=︒ 906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒①OE OF = OB OD =①DF EB =①对称①21DF DF BF BF ==， 21,BE BE DE DE ==①1221E F E F =①对称①260F DC CDF ∠=∠=︒ 130EDA E DA ∠=∠=︒①160E DB ∠=︒同理160F BD ∠=︒①11DE BF ∥①1221E F E F ∥①四边形1212E E F F 是平行四边形如图所示当,,E F O 三点重合时 DO BO =①1212DE DF AE AE ===即1212E E E F =①四边形1212E E F F 是菱形如图所示 当,E F 分别为,OD OB 的中点时设4DB =，则21DF DF == 13DE DE ==在Rt △ABD 中 2,23AB AD ==连接AE AO①602ABO BO AB ∠=︒==，①ABO 是等边三角形①E 为OB 中点①AE OB ⊥ 1BE = ①22213AE - 根据对称性可得13AE AE =①2221112,9,3AD DE AE ===①22211AD AE DE =+①1DE A 是直角三角形 且190E ∠=︒①四边形1212E E F F 是矩形当,F E 分别与,D B 重合时 11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形①在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 矩形的性质与判定 勾股定理与勾股定理的逆定理 轴对称的性质 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2【答案】D 【分析】连接AF 根据正方形ABCD 得到AB BC BE == 90ABC ∠=︒ 根据角平分线的性质和等腰三角形的性质 求得45BFE ∠=︒ 再证明ABF EBF ≌ 求得90AFC ∠=︒ 最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半 即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF四边形ABCD 是正方形AB BE BC ∴== 90ABC ∠=︒ 222AC ==BEC BCE ∴∠=∠1802EBC BEC ∴∠=︒-∠290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒ BF 平分ABE ∠1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAF BEF ∴△≌△45BFE BFA ∴∠=∠=︒90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒O 为对角线AC 的中点122OF AC ∴= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质 三角形内角和定理 正方形的性质 直角三角形特征 作出正确的辅助线 求得45BFE ∠=︒是解题的关键．二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF 分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠ 根据O 是BD 的中点 可得BO DO = 即可证明()AAS BOF DOE ≌△△（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF = 进而可得四边形EBFD 是平行四边形 根据对角线互相垂直的四边形是菱形 即可得证．【详解】（1）证明：如图所示①四边形ABCD 是矩形①AD BC ∥①12,34∠=∠∠=∠①O 是BD 的中点①BO DO =在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BOF DOE ≌△△（2）①BOF DOE ≌△△①ED BF =又①ED BF ∥①四边形EBFD 是平行四边形①EF BD ⊥①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质 全等三角形的性质与判定 菱形的判定 熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD = 然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理 （2）根据矩形的性质求得OCD 的面积 然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：①DE AC CE BD ∥,∥ ①四边形OCED 是平行四边形又①矩形ABCD 中 OC OD =①平行四边形OCED 是菱形（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=①OCD 的面积为13642⨯= ①菱形OCED 的面积为3232⨯=． 【点睛】本题考查矩形的性质 菱形的判定 属于中考基础题 掌握矩形的性质和菱形的判定方法 正确推理论证是解题关键．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形 其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)AOB 是直角三角形 理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD == 再根据勾股定理的逆定理 即可得出结论（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形 即可求证．【详解】（1）解：AOB 是直角三角形 理由如下：①四边形ABCD 是平行四边形 ①142BO BD ==①222222345OA OB AB +=+==①AOB 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：AOB 是直角三角形①90AOB ∠=︒即AC BD ⊥①四边形ABCD 是平行四边形①四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 勾股定理的逆定理 菱形的判定 解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接证明()ASA AOB DOC ≌△△ 得出OA OD = 根据E F 分别是AO DO 的中点 即可得证（2）证明四边形BECF 是平行四边形 进而根据30A ∠=︒ 推导出BOE △是等边三角形 进而可得BC EF = 即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】（1）证明：在AOB 与DOC △中90ABO DCO OB OCAOB DOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA AOB DOC ≌△△①OA OD =又①E F 分别是AO DO 的中点①OE OF =（2）①OB OC OF OE ==，①四边形BECF 是平行四边形 22BC OB EF OE ==，①E 为AO 的中点 90∠=︒ABO①EB EO EA ==①30A ∠=︒①60BOE ∠=︒①BOE △是等边三角形①OB OE =①BC EF =①四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线 且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）先证AD BC ∥ 再证AE FC 从而四边形AECF 是平行四边形 又AE AF = 于是四边形AECF 是菱形（2）连接AC 先求得60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒ 再证AC AB ⊥9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒= 3AB AC= 得3AB AC = 再证AE BE CE == 从而根据面积公式即可求得AC =43 【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ BAD BCD ∠∠=①BEA DAE ∠∠=①AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线①BAE DAE ∠∠==12BAD ∠ BCF ∠=12BCD ∠①DAE BCF BEA ∠∠∠==①AE FC①四边形AECF 是平行四边形①AE AF =①四边形AECF 是菱形（2）解：连接AC①AD BC ∥ 60ABC ∠=︒①180120BAD ABC ∠∠=︒-=︒①60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒①四边形AECF 是菱形①EAC ∠=1230DAE ∠=︒①90BAC BAE EAC ∠∠∠=+=︒①AC AB ⊥ 9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒=①AE CE = tan 30tan AB ACB AC ︒=∠=3AB AC= ①3AB AC = ①BAE ABC ∠∠=①AE BE CE ==①ABE 的面积等于43 ①211338322ABC S AC AB AC AC AC =⋅=== ①平行线AB 与DC 间的距离AC =43【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离 熟练掌握平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形EBFD 为菱形 理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌即可（2）连接EB FD 根据DOE BOF ≌ 得出ED BF = 根据ED BF ∥ 证明四边形EBFD 为平行四边形 根据EF BD ⊥ 证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：①点O 为对角线BD 的中点①BO DO =①AD BC ∥①ODE OBF ∠=∠ OED OFB ∠=∠在DOE 和BOF 中ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS DOE BOF ≌（2）解：四边形EBFD 为菱形 理由如下：连接EB FD 如图所示：根据解析（1）可知 DOE BOF ≌①ED BF =①ED BF ∥①四边形EBFD 为平行四边形①l BD ⊥ 即EF BD ⊥①四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质 菱形的判定 平行线的性质 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F 连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析 (2)60︒【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE AF =．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出BAD ∠度数 再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出BAE ∠和DAF ∠度数 从而求出EAF ∠度数 证明了等边三角形AEF 即可求出AEF ∠的度数．【详解】（1）证明：菱形ABCD,AB AD B D ∴=∠=∠又,AE BC AF CD ⊥⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒．在AEB △和AFD △中AEB AFD B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≌．AE AF ∴=．（2）解：菱形ABCD180B BAD ∴∠+∠=︒=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒．又90,60AEB B ∠=︒∠=︒30BAE =∴∠︒．由（1）知ABE ADF ≌30BAE DAF ∴∠=∠=︒．120303060EAF ∴∠=︒-︒-︒=︒． =AE AFAEF ∴等边三角形．60AEF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等 菱形的性质 等边三角形的性质 解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形AEFD 是菱形 理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAF AFE ∠=∠ 结合角平分线的定义可得EFA EAF ∠=∠，则AE EF = 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD 是菱形理由：①矩形ABCD 中 AD BC ∥①DAF AFE ∠=∠①AF 平分DAE ∠①DAF EAF ∠=∠①EFA EAF ∠=∠①AE EF =①AE AD =①AD EF =①AD EF ∥①四边形AEFD 是平行四边形又①AE AD =①平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线 矩形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定 平行四边形的判定以及菱形的判定等知识 熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析 (2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF = 30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥ 依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明（2）如图，在Rt ACB △中 由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC == 60ABC ∠=︒ 由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒ 再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD 最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△AC DF =∴ 30CAB FDE ∠=∠=︒AC DF ∥∴四边形AFDC 地平行四边形（2）如图，在Rt ACB △中 90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6cm BC212cm AB BC ∴== 60ABC ∠=︒四边形AFDC 是菱形AD ∴平分CDF ∠30CDA FDA ∴∠=∠=︒ABC CDA BCD ∠=∠+∠603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BCD CDA ∴∠=∠6cm BC BD ∴==18cm AD AB BD ∴=+=故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质 平行四边形的判定 菱形的性质 30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余 三角形外角及等角对等边 解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF = CE DF =．。
白沙中学中考优生辅导专用卷 矩形存在性问题巩固练习(提优)
1、考试范围：中考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
矩形存在性问题巩固练习（提优）1．在平面直角坐标系中，△ACO为直角三角形，∠ACO＝90°，将线段AO绕着点O顺时针旋转90°得线段OB，连接AB，作BD⊥x轴于D，点A（﹣3，1）．（1）如图1，求线段AB的长度（2）如图2，若点M为线段AB的中点，作射线CM交DB的延长线于K，动点P从C出发，沿射线CM 以每秒2个单位长度的速度运动，连接OM．设△POM的面积为S，运动的时间为t秒，请用含t的代数式表示S；（3）在（2）的条件下，已知点N为平面内一点，请问动点P在运动的过程中是否存在点P，使得以P、O、B、N为顶点且以BO为一边的四边形为矩形？若存在，请直接写出t的值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）；（2）S＝；（3）存在P点，使得以P、O、B、N为顶点且以BO为一边的四边形为矩形，当t t s【解析】（1）由旋转得：OA＝OB，∠AOB＝90°，∵C（﹣3，0），∴OC＝3，AC＝1，由勾股定理得：，由旋转得：OB＝OA，∠AOB＝90°，；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵BD⊥x轴于D，∴∠BDO＝90°，∴∠OBD＋∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC＝OD＝1，OC＝BD＝3，∴B（1，3），∵M是AB的中点，A（﹣3，1），B（1，3），∴M（﹣1，2），如图，过M作ME⊥x轴于E，则OE＝1，ME＝CE＝2，∴∠MCE＝45°，设直线CM的解析式为：y＝kx＋b，把点C （﹣3，0），M （﹣1，2）代入得：，解得：k ＝1，b ＝3，∴直线CM 的解析式为：y ＝x ＋3，由题意得：CP ＝2t ，则P 的纵坐标为，当﹣3≤t ≤﹣1时，P 在线段CM 上，如图所示：S ＝S△CMO ﹣S △PCO ＝；当t ＞﹣1时，P 在线段CM 的延长线上，如图所示：S ＝S△POC ﹣S △COM ＝；（3）存在，理由如下：分两种情况讨论：①点P 为直线OA 与CM 的交点时，如图，∵A（﹣3，1），∴直线OA的解析式为：解方程组得：∵点P的纵坐标为，∴；②作BP⊥OB交CM于P，如图所示：则∠OBP＝90°，∵∠AOB＝90°，∴BP∥OA，设直线BP的解析式为：，把点B（1，3）代入得：，∴直线BP的解析式为：，解方程组，得；∵点P的纵坐标为，∴；综上所述：存在P点，使得以P、O、B、N为顶点且以BO为一边的四边形为矩形，当t＝或当t＝s2．如图抛物与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM＋MN＋NF的最小值；（2）如图2，在（1）中PM＋MN＋取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】（1）（2＝﹣3，【解析】（1）在抛物线中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：xx2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）∵∴抛物线对称轴为：直线x＝﹣1，∴D（﹣2，），设直线BD解析式为y＝kx＋b，将B（1，0），D（﹣2）代入得，解得：，∴直线BD，∴E（0，过点P作PG⊥x轴于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，连接CD，如图所示：设∵PG∥y轴∴∠PHD＝∠DEC，∵C、D关于直线x＝﹣1对称，∴∠DCE ＝∠PQE ＝90°∴△DCE ∽△EQP∴，即：PQ •DE ＝DC •PH ，，S △PDE 的最大值＝过点F 作∠SPN ＝60°，过N 作∠FNS ＝30°，∴∠FSN ＝90°，∴NS ＝NF •cos ∠FNS ＝NF •cos30°＝NF ，过M 作MK ∥NS ，且MK ＝NS ，当P 、M 、K 三点共线时，PM ＋MK 最小， ∴∠PMC ＝∠KME ＝∠FNS ＝30°∴PM ＝2PL ＝1，LM ＝MK ＝NS ＝，MN ＝1∴PM ＋MN ＋的最小值＝1＋1＝（2）如图2，由（1可求得直线PM，∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，∴∠LPM＝60°∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1∴M′、P、L，∵点G是MN的中点，M′G的解析式为：，令x＝﹣1，得l∥PM且过点H，∴直线l的解析式为：，设M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形∴可以分两种情形：M′G为边或M′G为对角线①M′G为边，∠RM′G＝90°时∴M′R2＋M′H2＝RH2，即：解得：，②M′G为边，∠M′GR＝90°时，∴GR2＋HG2＝HR2，解得：③M′G为对角线，∠M′RG＝90°∴M′R2＋RG2＝M′G2，综上所述，点S3．如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO 的面积为S，射线平移到O′C′，且O′C′与OA相交于点G．（1）求S关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；（3）当x＝3时，在直线O′C′是否存在点P，使得△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）S＝2＝x2（0＜x≤4）；（2）x＝4时，以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；（3）点P的坐标为（0，6）、（8，﹣2）、【解析】（1）∵AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∴∠AOB＝45°，∴∠yOA＝45°，∵∠yOC＝45°，∴∠AOC＝90°，∴△OO'G是等腰直角三角形，由平移知，OO'＝2x，在Rt△OO'G中，OG＝O'G＝OO'＝x，∴S＝OG2＝x2（0＜x≤4）；（2）由（1）知，△OO'G是等腰直角三角形，OO'＝2x，∴G（x，x），∵O（0，0），B（8，0）∴OB＝8，OG＝，∵以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；∴①当OB＝OG时，∴8＝，∴x＝（舍）②当OB＝BG时，∴8＝，∴x＝0（舍）或x＝8（舍），③当OG＝BG，∴x＝4，即：x＝4时，以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；（3）存在，理由：如图所示，由（2）知，G（x，x），当x＝3时，OO'＝6，∴O'（6，0），G（3，3），∴直线O'C'的解析式为y＝﹣x＋6，∵直线O′C′上的点P，使得△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形，∴△POB是直角三角形，①当∠POB＝90°时，P1（0，6），②当∠PBO＝90°时，令x＝8，则y＝﹣8＋6＝﹣2，∴P2（8，﹣2），③当∠OPB＝90°时，点P是以OB为直径的圆与O'C'的交点，设P（m，﹣m＋6），∵B（8，0），∴OB的中点M（4，0），，∵AB是△POB是直角三角形的斜边，∴PM AB＝4，∴4，∴m2﹣10m＋18＝0，∴，即：△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形时，点P的坐标为（0，6）、（8，﹣2）、4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作平行四边形CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m＝3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．【解答】（1）（2），0）；（3）m或0或或【解析】解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8．∴AB＝10，∵∠CEB＝∠AOB＝90°，又∵∠OBA＝∠EBC，∴△BCE∽△BAO，∴，即；（2）∵m＝3，∴BC＝8﹣m＝5，CE＝＝3．∴BE＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6．∵点F落在y轴上，如图所示：∴DE∥BO，∴△EDA∽△BOA，∴，∴OD，∴点D的坐标为（，0）．（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．则．（Ⅰ）当m＞0时，①当0＜m＜8时，如图3，易证∠GCP＝∠BAO，∴cos∠GCP＝cos∠BAO＝，∴CG＝CP•cos∠GCP＝∴OG＝OC＋CG．根据题意得，得：OG＝CP，∴；②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．（Ⅱ）当m＝0时，即点C与原点O重合（如图4）．（Ⅲ）当m＜0时，①当点E与点A重合时，（如图5），易证△COA∽△AOB，∴，解得：③当点E与点A不重合时，（如图6）．OG＝OC﹣CG＝，由题意得：OG＝CP，∴综上所述，m或0或5．已知如图，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y＝3x交于点C，且＝0，将直线y＝kx＋b沿直线y＝3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）求直线y＝kx＋b的解析式及点C的坐标；（2）求△BCE的面积；（3）若点P是直线y＝3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1，C （2，6）；（2）S△BCE ＝；（3）或【解析】（1）∵＝0，∴OA ＝6，OB ＝，∴A （﹣6，0），B （0，），∴，解得，∴直线AB ①，∵点C 是直线AB 与OC ：y ＝3x ②的交点，联立①②解得，，∴C （2，6）；（2）过点O 作直线MN ⊥OC 交直线AB 于M ，直线CE 于N ，如图所示：∵直线OC的解析式为y＝3x，∴直线MN的解析式为∵直线AB②，联立①②解得，由折叠知，M，N∵C（2，6），∴直线CE，∴E（0，），∴∴S△BCE＝×|x C|＝（3）当AC为矩形的边时，AP⊥AC，∵直线AC的解析式为，∴直线AP①∵点P在直线y＝3x②上，∵C（2，6），∴PC∵四边形APQC是矩形，∴M是AQ的中点，∴；当AC为矩形的对角线时，AP'⊥OC，∵直线OC的解析式为y＝3x，∴直线AP'③，∵点P'在直线OC上，∴点P'的坐标满足y＝3x∵A（﹣6，0），C（2，6），∴AC的中点坐标M'（﹣2，3），∵四边形AP'CQ'是矩形，∴M'是P'Q'即：满足条件的点或6．已知直线图象交于A，B两点，点A坐标为（4，m），点P是反比例函数图象上的一动点，过P、O作直线OP，与反比例函数图象的另一交点为Q．（1）求k的值；（2）如图1，若点P的纵坐标为8，求四边形APBQ的面积；（3）点P在运动过程中，是否存在以点P为顶点的矩形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）k＝8；（2）60；（3）P点坐标为（2，4）（﹣2，﹣4）【解析】解：（1）将x＝4代入y＝2，故A（4，2），把A点坐标代入可得k＝8；（2）过P作PD⊥x轴，作AE⊥x轴，如图所示：将y ＝8代入反比例函数解析式得：x ＝1，即P （1，8），∴DO ＝1，PD ＝8，∵A （4，2），∴EO ＝4，AE ＝2，∵S△AOP ＝S △POD ＋S 梯形AEDC ﹣S △AOE ，又由双曲线的对称性可知，四边形APBQ 为平行四边形，∴S 平行四边形APBQ ＝4S △AOP ＝4×15＝60，（3）当点P 在第一象限时，分别过点A 、P 作x 轴，y 轴的垂线AM 、PN ，如图所示：∵四边形APBQ 为矩形，∴AO ＝OP ，由双曲线关于一、三象限角平分线对称，∴△OAM 与△OPN 关于一、三象限角平分线对称，∴△OAM ≌△OPN ，∴ON ＝OM ＝4，PN ＝AM ＝2，∴点P 的坐标为（2，4），同理可得，当点P在第三象限时，点P坐标为（﹣2，﹣4），综上，P点坐标为（2，4）（﹣2，﹣4）．7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2＋2mx＋n（m＜0、n＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC＝，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣2，1）①求m，n的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）若四边形AOBD是平行四边形，求m与n的关系；（3）是否存在n，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出n的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）①，②平行四边形；（2）n＝m2；（3）n＝2.【解析】（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣2，1）．∴点C的坐标是（0，1）把A、C两点的坐标代入y＝﹣x2＋2mx＋n得，，解得；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋1，∴顶点D的坐标为（﹣1，2），过D点作DE⊥AB于点E，如图所示：则DE＝OC＝1，AE＝1，∵AC＝2，∴BC＝＝1，∴AE＝BC．∵AC∥x轴，∴∠AED＝∠BCO＝90°，∴△AED≌△BCO，∴AD＝BO．∠DAE＝∠OBC，∴AD∥BO，∴四边形AOBD是平行四边形．（2）过D点作DE⊥AB于点E，如图所示：∴AE＝，∵四边形AOBD是平行四边形，∴AD＝OB，∵AC∥x轴，∴∠BCO＝90°，∴∠AED＝∠BCO，∴△AED≌△BCO，∴DE＝OC，∴D的纵坐标等于A的纵坐标的2倍，∵y＝﹣x2＋2mx＋n＝﹣（x﹣m）2＋m2＋n，∴D（m，m2＋n），∴A代入y＝﹣x2＋2mx＋n得，4m2＋4m2＋n，解得n＝m2．（3）存在；要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB＝∠BCO＝90°，∵∠ABO＝∠OBC，∴△ABO∽△OBC，又∵AB＝AC＋BC＝3BC，∴OB＝BC，∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC＝，AC＝OC，∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC＝n，∴A点坐标为（±n，n），∴顶点横坐标m＝顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2n，顶点D的坐标为（2n）∵将D点代入可得2n＝﹣（2＋2×（）2＋n，解得：n1＝2，n2＝0（舍去），∴n＝2．。
《5.3正方形》同步优生辅导训练浙教版八年级数学下册
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．6．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P．（1）求证：BH＝EC．（2）若AB＝3，EC＝4，求DP的长．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠F AD的度数．10．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．12．在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE．（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长．13．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）求证：BE⊥AF；（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE ＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．16．四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．17．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．18．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．19．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝45°，易证：AE+CF＝EF（不用证明）．（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，DA＝DC，∠DAB＝∠BCD＝90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC＝2α，DA＝DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．21．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．22．如图1，已知，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）证明BE＝DG且BE⊥DG；（2）如图2，已知AB＝4，AE＝，当点F在边AD上时，求BE的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．2．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．5．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．6．解：（1）根据题意可得四边形AHGD是平行四边形，BH＝BC+CH，CG＝HG+CH，即BH＝CG，根据正方形的性质得：BH＝EC；（2）由（1）得BH＝EC，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝5，同理FH＝5，连接AF延长AD交FG于点M，在Rt△AFM中，由勾股定理得，AF＝＝5，∵AH2+FH2＝50，AF2＝50，∴AH2+FH2＝AF2，即△AHF为直角三角形，∴AH⊥FH，由（1）得AH∥DG，∴DG⊥HF，S△FHG＝HG×FG＝HF×PG，⇒×3×4＝×5×PG，∴PG＝，∴DP＝DG﹣PG＝5﹣＝，故答案为：．7．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．8．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．9．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH＝ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴CD＝AB＝3，∵AE＝1，∴DE＝4，∵△FEH≌△ECD，∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，∴AH＝4，∴AH＝FH，∵∠FHE＝90°，∴∠F AD＝45°．10．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DF A＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．12．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，又∵BC＝AB，∠F AB＝∠EBC＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB＝1，∵AB＝2，∴BC＝2，∴CE＝＝＝，在Rt△CEB中，由CE•BG＝EB•BC得BG＝＝＝，∴，∵∠DCE+∠BCE＝∠BCE+∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD与△BGC中，，∴△CHD≌△BGC（AAS）∴CH＝BG＝，∴GH＝CG﹣CH＝＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH与△DCH中，，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴DG＝DC＝2．13．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∴BE⊥AF；（3）∵BE⊥AF，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，∴GH＝．14．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴P A＝PC，∵∠P AE＝∠E，∴P A＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．15．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．16．证明：如图1，∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．（1）如图2，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如图3，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，AB⊥AD．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．17．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）BP＝．证明如下：连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，设∠PBC＝α，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO＝，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC＝OC＝，即BP＝，∴BP＝．18．解：（1）取AB中点M，连接ME，∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，∴AM＝BM＝BE＝CE∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）图2：结论是AE＝EF理由如下：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．图3结论是AE＝EF，理由如下：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．19．解：（1）图2猜想：AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠DAB＝∠DCA'＝90°，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝120°，∴∠EDA'＝120°，∵∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠A'DF＝60°，又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE；（2）如图3，AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'＝180°∴∠DAB＝∠DCA'，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝2α，∴∠EDA'＝2α，∵∠EDF＝α，∴∠EDF＝∠A'DF＝α又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE．20．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴P A＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）P A＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴P A＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．21．证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．22．解：（1）如图1所示，∵正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，∴AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，又∵∠BMA＝∠DMN，∴∠BAM＝∠DNM＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图2所示，过E作EH⊥AB于H，∵点F在边AD上，∴∠F AE＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，又∵∠AHE＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝EH，∵AE＝，∴AH＝EH＝1，又∵AB＝4，∴BH＝3，∴Rt△BEH中，BE＝＝＝．。
2024学年八年级数学经典好题专项(矩形、菱形、正方形)练习(附答案)
2024学年八年级数学经典好题专项（矩形、菱形、正方形）练习一、选择题1、菱形不具备的性质是( )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°（2题） （3题） （4题）3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（ ）A．15 B．3215 C．7.5 D．315（5题） （7题） （8题） （9题）6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2， 3 )B ．( 3 ，2)C ．( 3 ，3)D ．(3， 3 )（10题） （11题） （12题） （13题）二、填空题11、如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形，小聪的说法 ．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝140°，则∠BAD ＝________°，∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°；13、如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，E 是BC 的中点，且AE ⊥BC ，则菱形ABCD 的面积为_____.14、如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一点，PE ⊥AD 于点E ，且PE ＝3 cm ，则点P 到AB 的距离为__ __ cm.（14题） （15题） （17题） （20题）15、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AO ＝3，点E 在BC 的延长线上，∠E ＝12∠ABC ，DE ＝16、菱形ABCD 的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．17、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，则该菱形的面积为________cm 2，周长为________cm.18、已知菱形ABCD 的面积为24 cm 2，若对角线AC ＝6 cm ，则这个菱形的边长为____ cm.19、四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE ＝3，则CE 的长为_________20、如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，则MP ＋PN 的最小值是______.三、解答题21、已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.参考答案一、选择题1、菱形不具备的性质是( B )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( D )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( D )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（ A ）A．15 B．3215 C．7.5 D．3156、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（C ）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为(D )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )A．50° B．60° C．70° D．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º解析：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，∴在平行四边形ABCD中．S△ABC=S△ACD，即BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，AB=BC．故B中结论成立；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A中结论成立；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C中结论成立：当四边形ABCD是矩形时，有∠DAB+∠BCD=180º．故D中结论不一定成立，故选D．10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )二、填空题11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；答案：40，70，2013、如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为__2 3 cm2 ____.14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3 cm，则点P到AB的距离为__3 __ cm.15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝12∠ABC，DE＝816、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．217、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.答案：24，2018、已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为__5 __ cm.19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为___43或23______20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是__1 ____.三、解答题21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？解：四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12ACꞏBD ＝12×6×8＝24(cm 2)．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，∴DH ＝S 菱形ABCD AB ＝4.8 cm.23、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝12 cm ，AC ＝6 cm.求菱形的周长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12 BD.∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ， ∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ，∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.24、已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ∥AC ，AE ∥BD.（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE 的面积.解答：（1）证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，∵在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴ AOD=90 , ∴平行四边形AODE 是是矩形；（2）∵∠BCD=120°，AB ∥CD ，∴∠ABC=180°‐120°=60°，∵AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=21×6=3, OD=OB=6×23=33,∴四边形AODE 的面积=OA ∙OD=9325、如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF .求证：(1)△ABF ≌△DAE ；(2)DE ＝BF ＋EF .证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC . ∴∠BP A ＝∠DAE .∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2)∵△ABF ≌△DAE ， ∴BF ＝AE ，AF ＝DE .∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .26、已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1＝∠2.(1)若CE ＝1，求BC 的长；(2)求证：AM ＝DF ＋ME.(1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD ，∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ， ∵CE ＝1，∴CD ＝2，∴BC ＝CD ＝2(2)证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC ，∴CF ＝CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠ACB ＝∠ACD ，CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM(SAS)，∴ME ＝MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ，∴∠G ＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ，∴AM ＝MG ，在△CDF 和△BGF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FC FB DFC GFB G 2,∴△CDF ≌△BGF(AAS)，∴GF ＝DF ， 由图形可知，GM ＝GF ＋MF ，∴AM ＝DF ＋ME。
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3 正方形》同步优生提高训练(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生提高训练（附答案）一．正方形的性质1．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN ＝（）A．B．C．6D．2．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2B．1cm2C．4cm2D．6cm23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH ＝3，那么CE的长是（）A．3B．4C．D．4．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④5．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④6．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为．7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD ＝2，则当四边形ABCD的形状是时，四边形AOBE的面积取得最大值是．8．正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是．9．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝3，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．11．如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．（1）BD的长为；（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为；（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝．12．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN 的最小值是．13．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是．14．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD 的长为．15．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，DG⊥AE于G，∠DGE 的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH．（1）求证：∠DHG＝∠DF A；（2）求证：FH∥BC；（3）求：的值．17．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．18．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．19．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．（1）求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．二．正方形的判定21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形B．添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形22．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．三个角都是直角的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形23．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．24．已知，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．（1）如图1，点O在线段AB上，P在线段CD上，OP∥BC，AD＝2AO，求证：四边形OBCP是正方形；（2）如图2，点M在线段BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在射线AD上，MN交CD于点E，请问：BM•AN的值能否等于27？请说明理由．25．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE＝AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A＝°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）26．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？27．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．28．如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）29．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形；（4）若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是正方形．30．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．（1）证明：四边形DEFG为菱形；（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．三．正方形的判定与性质31．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？33．如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CM＝DN．（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝4，当点E在什么位置时，四边形EFMN的周长最小？并求四边形EFMN 周长的最小值．34．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．35．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）（1）求证：EO平分∠AEB．（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．参考答案一．正方形的性质1．解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴CF＝＝＝13，∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝CF＝，故选：B．2．解：如图，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，两边相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠F A1M＝90°，∴∠ENA1＝∠F A1M，A1E＝A1F，∴△A1EN≌△A1MF（ASA），∴四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1F A2的面积＝正方形ABCD的面积，同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于正方形ABCD的面积，∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD的面积＝4cm2，故选：C．3．解：连接AC，CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．∴∠ACF＝45°×2＝90°．∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝．在Rt△ACF中，CF＝＝．在Rt△ECF中，∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，∴CE＝CF＝＝．故选：D．4．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．6．解：延长GB交CD于点H，∵正方形ABCD，∴BA＝AC，∠BCH＝∠BAE＝90°，∵正方形BEFG，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∴∠ABE+∠GBC＝180°，∵∠HBC+∠GBC＝180°，∴∠ABE＝∠CBH，在△ABE与△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴BH＝BE，S△ABE＝S△CBH，∴BE＝BG，∴BH＝BG，∴S△BCG＝S△CBH＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝，∵，∴S△BCG＝30，故答案为：30．7．解：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB．∵OE＝CD，∴OE＝AB．∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA＝90°．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形；当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形，AB＝AD＝2，OE＝AB＝2，即四边形AOBE的面积取得最大值是2．故答案为：正方形，2．8．解：如图，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于点F，则∠BFC＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠DCB＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDE＝∠BCE．在△DCE与△CBF中，∵，∴△DCE≌△CBF，∴BF＝CE＝6，∴．故答案为：18．9．解：如图1，∵∠PEB＝∠PFC，∠PEB+∠CEP＝180°，∴∠CEP+∠CFP＝180°，∴C、E、P、F四点共圆，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴EF是直径，取EF的中点为O，以EF为直径作圆O，如图1，连接OP，ON，∵PN≥ON﹣OP，∵OP是定值，OP＝EF＝＝，即当O、N、P三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，PN最小，如图2，PN最小，延长NO交BC于Q，则OQ⊥CE，∴EQ＝EC＝1，由勾股定理得：OQ＝＝＝，∴PN＝6﹣﹣＝；即线段PN的最小值为．故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，故答案为2﹣2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，∴BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）解：当BD平分∠PBQ时，∵∠PBQ＝45°，∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP＝BQ，在△QBD和△PBD中，，∴△QBD≌△PBD（SAS），∴PD＝QD，故答案为：PD＝QD；（3）当BD不平分∠PBQ时，∵AB∥CQ，∴∠ABQ＝∠CQB，∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，∴∠BDQ＝∠BDP，∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，故答案为：18．12．解：如图，点N在以AO的中点Q为圆心，AO为直径的圆上，连接CQ与圆Q的交点即为点N，此时线段CN的值最小，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2，∴AO＝＝＝2，∴QN＝AO＝，过Q作QH∥AB，交OB于H，∴QH＝AB＝2，BH＝OB＝1，∴CQ＝＝＝，∴CN＝CQ﹣QN＝﹣，则线段CN的最小值是﹣．故答案为：﹣．13．解：过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形，BE＝BC＝2，∴EH＝2．∴△BEC的面积为×BC×EH＝．连接BP，则△BPE面积+△BPC面积＝2，即×BE×PR+×BC×PQ＝2，∴×（PR+PQ）＝2，解得PR+PQ＝2．故答案为2．14．解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．∵∠CFB＝45°∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝5，∴BG＝，GM＝2，∴AG＝2，AB＝5，∴HF＝，∴CF＝×＝，∴CM＝，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝，∵在△BKC和△CQD中，∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝，DQ＝CK＝，∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，∴DQ＝QF＝，∴DF＝×＝．故答案为．15．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∵DG⊥AE，∴∠DGE＝90°，∵GH平分∠DGE，∴∠DGH＝∠EGH＝45°，∴∠BDC＝∠EGH＝45°，∵∠DPH＝∠GPF，∴∠DHG＝∠DF A．（2）由（1）可知：∠BDC＝∠EGH＝45°，∠DPH＝∠GPF，又∵∠GPD＝∠FPH，∴△GPD∽△FPH，∴∠DGP＝∠HFP＝45°，又∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠HFP＝45°，∴FH∥BC．（3）连接P A，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DG于N，QP⊥GP交GD于Q，如图所示．由（2）证法，易证∠P AG＝∠PDG，∵PM⊥AE，PN⊥DG，GH平分∠DGE，∴PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PND（AAS），∴P A＝PD，∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝45°，∴∠APD＝90°＝∠GPQ，∴∠APG＝∠DPQ，∴△APG≌△DPQ（ASA），∴QD＝AG，∵∠PGQ＝45°，∴△PGQ是等腰直角三角形，∴GQ＝PG，∴DG﹣AG＝DG﹣DQ＝GQ＝PG，∴．17．解：（1）连接AM，如图，∵正方形AEFG，矩形ABCD，∴∠AEM＝∠ADM＝∠ABE＝90°，AD＝BC＝4，在Rt△AEM和Rt△ADM中，，∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），∴AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，BE＝＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；（2）分四种情况，1°当点F在CD上时，如图，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∠AEB＝∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB＝EC＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝1；2°当点F落在AD上时，如图，∵AF时正方形AEFG的对角线，∴∠EAF＝45°，∵矩形ABCD，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°＝∠AEB，∴BE＝AB＝3，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝3；3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设FM＝BE＝x，则MC＝4﹣3﹣x＝1﹣x，∵∠FCM＝∠ACM，∠FMC＝∠ABC，x＝，即FM＝BE＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设CE＝a，，则FM＝BE＝4+a，BM＝7+a，∵∠DBC＝∠FBM，∠FMB＝∠BCD＝90°，a＝5，∴BE＝4+a＝9，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝9；故所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝9或．18．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．19．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH＝∠CDE＝90°，在△HAD与△EDC中，，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；（2）如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G，∵FH⊥AO，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四边形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH＝AH．二．正方形的判定21．解：∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC垂直平分BD，当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC，∵∠BDC＝∠DBC，∴∠ABO＝∠CBO，又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC，∴△ABO≌△BOC（ASA），∴BA＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；当添加“∠BAD＝90°，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；当添加条件“OA＝OC”时，∵OB＝OD，∴四边新ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；当添加条件“∠ABC＝∠BCD＝90°”时，则∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，由证选项A可知四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．22．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A选项错误，故不符合题意；B．三个角都是直角的四边形是矩形，所以B选正确，故符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项错误，不符合题意；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误，不符合题意；故选：B．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．24．（1）证明：如图1，∵AD＝2AO，∵BC＝4，∴AO＝2，∴BO＝4，∴BO＝BC＝PC＝OP＝4，又∵∠B＝90°，∴四边形OBCP是正方形；（2）解：如图2，作NH⊥AM于H，∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠AMN＝∠AMB，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，在Rt△AMB中，AM2＝AB2+BM2＝36+BM2，∵BM≤4，∴36+BM2≤52，∴AN•BM≤26，故BM•AN的值不等于27．25．解：（Ⅰ）证明：连接CD，∵m∥AB，∴EC∥AD∵DE⊥BC，∴∠CFD＝90°，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∴∠DCA＝∠CDE，∴DE∥AC∴四边形DECA是平行四边形，∴CE＝DA（Ⅱ）（i）四边形BECD是菱形．∵由（Ⅰ）知：四边形DECA是平行四边形，∴CE＝DA，CE∥AD在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，∴BD＝DC＝DA，又∵CE＝DA，CE∥AD∴四边形BECD是菱形．（ii）当∠A＝45°时，由于四边形DECA是平行四边形，∴∠EDB＝∠A＝45°，又∵BE＝BD，∴∠BED＝∠EDB＝45°，∴∠EBD＝90°．由于四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°26．（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝3（cm）；（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．28．（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，∴QE、QF为△PBC的中位线，∴QE∥PF，QF∥PE，∴四边形PEQF是平行四边形；（2）解：①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP＝PD，由勾股定理得：PB＝，PC＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴PB＝PC，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴PE＝PF，由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD＝2AB时，①中的菱形PEQF是正方形，理由是：∵AD＝2AB，AD＝2AP，∴AB＝AP，∴△ABP是等腰直角三角形，∴∠APB＝45°，同理可得∠CPD＝45°，∴∠EPF＝90°，∴①中的菱形PEQF是正方形．29．证明：（1）由已知得AD∥BC，AD＝BC，∵M、N分别是AD和BC的中点，∴AM＝AD，CN＝BC，AM＝CN，∵AM∥CN，AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，∴∠AMC＝90°，∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是矩形；（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，∴AM＝CM，∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形；（4）∵AC＝CD，M是AD的中点，∴∠AMC＝90°，∵由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是矩形，∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，∴AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∴四边形AMCN是正方形30．（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴ED∥BC，ED＝BC．同理FG∥BC，FG＝BC，∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AE＝BE，FH＝BF，∴EF＝HA，∵BC＝HA，∴EF＝BC＝DE，∴▱DEFG是菱形；（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，理由是：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，∴CD＝AC，BE＝AB，∴CD＝BE，在△DCB和△EBC中，∵，∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DBC＝∠ECB，∴HC＝HB，∵点G、F分别为HC、HB的中点，∴HG＝HC，HF＝HB，∴GH＝HF，由（1）知：四边形DEFG是菱形，∴DF＝2FH，EG＝2GH，∴DF＝EG，∴四边形DEFG为正方形．三．正方形的判定与性质31．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．32．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．33．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CM＝DN，∴BE＝CF＝DM＝NA，又∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△BEF≌△CFM≌△DMN≌△ANE，∴EF＝FM＝MN＝NE，∴四边形EFMN是菱形．∵∠AEN＝∠BFE，且∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEN＝90°，∴∠FEN＝90°．∴菱形EFMN是正方形；（2）当EN最小时，正方形EFMN的周长最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝2，又四边形EFMN是正方形，∴四边形EFMN周长的最小值为．34．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．35．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AC⊥BD，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠AEB+∠AOB＝90°+90°＝180°，∴A、O、B、E四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OEB＝∠OEA，即EO平分∠AEB；解法二：如图，过点O作ON⊥AE于N，AM⊥EB交EB的延长线于M．证明△ONA≌△OMB，推出OM＝ON，可得结论．（2）解：AE+BE＝OE．理由：如图1，延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，∵由（1）知，∠OBE+∠OAE＝180°，∠OAE+∠OAF＝180°，∴∠OBE＝∠OAF，在△OBE与△OAF中，，∴△OBE≌△OAF（SAS），∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF．∵∠BOE+∠AOE＝90°，∴∠AOF+∠AOE＝90°，∴∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴2OE2＝EF2，即2OE2＝（AE+BE）2，∴AE+BE＝OE．（3）证明：如图2所示，∵ABCD是正方形，∠E＝∠H＝90°，∴AB＝AD．∵∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．在△ABE与△ADH中，，∴△ABE≌△ADH（ASA）．同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH，∴四边形EFGH为正方形．。
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷带答案
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M、N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=( )A.40°B.50°C.60°D.140°2.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )A.6B.5C.4D.33.(2024·广西中考)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为( )A.1B.2C.5D.104.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE 的长是( )A.245B.6C.485D.125.(2024·广西中考)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm.6.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为.7.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC.(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.B层·能力提升8.(2024·甘肃中考)如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到BC中点时,PO的长为( )A.2B.3C.√5D.2√29.(2024·泸州中考)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+1FG的最小值是( )2A.4B.5C.8D.1010.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为.11.(2024·牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC 边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为.C层·素养挑战12.(2024·盐城中考)如图1,E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点,连接AF,CE交于点M,连接AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”.(1)求证:中顶点四边形AMCN为平行四边形;(2)①如图2,连接AC,BD交于点O,可得M、N两点都在BD上,当▱ABCD满足_________时,中顶点四边形AMCN是菱形;②如图3,已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形,请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹,不写作法)参考答案A层·基础过关1.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M、N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=(A)A.40°B.50°C.60°D.140°2.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)A.6B.5C.4D.33.(2024·广西中考)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为(C)A.1B.2C.5D.104.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE 的长是(A)A.245B.6C.485D.125.(2024·广西中考)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为8√3cm.6.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为2.7.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC.(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;【解析】(1)选择①,证明:∵AD∥BC,AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;选择②,证明:∵AD∥BC,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.【解析】(2)∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°∵AB=3,AC=5,∴BC=√AC2-AB2=4∴四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.B层·能力提升8.(2024·甘肃中考)如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到BC中点时,PO的长为(C)A.2B.3C.√5D.2√29.(2024·泸州中考)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+1FG的最小值是(B)2A.4B.5C.8D.1010.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC 上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为10.11.(2024·牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC 边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为13或√109.C层·素养挑战12.(2024·盐城中考)如图1,E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点,连接AF,CE交于点M,连接AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”.(1)求证:中顶点四边形AMCN为平行四边形;【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC∵点E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点∴AE=12AB=12CD=CG,AE∥CG∴四边形AECG为平行四边形同理可得:四边形AFCH为平行四边形∴AM∥CN,AN∥CM∴四边形AMCN是平行四边形;(2)①如图2,连接AC,BD交于点O,可得M、N两点都在BD上,当▱ABCD满足_________时,中顶点四边形AMCN是菱形;②如图3,已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形,请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹,不写作法)答案:AC⊥BD【解析】(2)①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时,中顶点四边形AMCN是菱形由(1)得四边形AMCN是平行四边形∵AC⊥BD∴MN⊥AC∴中顶点四边形AMCN是菱形②如图所示,即为所求连接AC,作直线MN,交于点O,然后作ND=2ON,MB=2OM,然后连接AB,BC,CD,DA即可∴点M和N分别为△ABC和△ADC的重心,符合题意;证明:∵四边形AMCN是矩形∴AC=MN,OM=ON∵ND=2ON,MB=2OM∴OB =OD∴四边形ABCD 为平行四边形;分别延长CM ,AM ,AN ,CN 交四边于点E 、F 、G 、H 如图所示:∵四边形AMCN 是矩形 ∴AM ∥CN ,MO =NO 由作图得BM =MN ∴△MBF ∽△NBC ∴BF BC =BM BN =12∴点F 为BC 的中点同理得:点E 为AB 的中点,点G 为DC 的中点,点H 为AD 的中点.。
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练
2020-2021年度苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练（附答案）1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（）A．B．C．D．4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE 长（）A．B．2﹣2C．2﹣D．25．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线垂直C．邻边垂直D．邻角互补6．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）A．20B．22C．24D．267．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．2或8B．或18C．或2D．2或188．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD 于点E，则BE：ED等于（）A．1：3B．1：4C．2：3D．2：59．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.510．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．211．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为．14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝．15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．16．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．17．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．20．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO 的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．22．在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝6，点M是边BC上的一点．（1）如图1，在边CD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，使点C落在边AD上，记为点P．若DP＝1，求CN的长；（2）如图2，在边AD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，当点C′与点A重合时，求DN的长．23．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．25．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．26．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．27．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．28．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．故选：B．2．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，∴BO＝DO，EF⊥BD，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴EO＝FO，∵BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，∴BD＝13，设DE＝x，则AE＝12﹣x，在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，即52+（12﹣x）2＝x2，∴x＝，∴BE＝DE＝，在Rt△BEO中，OE＝，∴EF＝2EO＝，∴菱形BEDF的面积＝，故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，∵∠DCE＝45°，∴DE＝DC＝2，∴EC＝2，∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝45°，∵EB平分∠AEC，∴∠AEC＝∠AEC＝，∴∠BEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AEB＝∠BEC，∴BC＝CE＝2，∴AD＝BC＝2，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，故选：B．5．解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝＝＝4，则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．故选：B．7．解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°，∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线，∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AE⊥BD，∴BE＝OE＝OB，∴ED＝3BE，∴＝，故选：A．9．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．10．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，∵正方形ABCD的边长为2，∴OA＝AC＝＝．故选：C．11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴OD＝OC＝，∵S△ADC＝×AD×DC＝×AC×DH，∴2×4＝2×DH，∴DH＝，∴OH＝＝＝，∴HC＝﹣＝，∵CE⊥CA，DH⊥CA，∴CE∥DH，∴DE＝．12．解：如图1，当正方形ABDE在AB的右侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝50°，∴∠AEC＝65°；如图2，当正方形ABDE在AB的左侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝130°，∴∠AEC＝25°，综上所述：∠AEC＝25°或65°，故答案为：25°或65°．13．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，∵点G为HD的中点，∴HG＝DG，∵∠MGD＝∠CGH，∴△MGD≌△CGH（ASA），∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，∵F，G分别为CE和CM的中点，∴FG是△CEM的中位线，∴FG＝EM，∴EM＝2FG＝4，∵E，M分别为AB和AD的中点，∴AE＝AM，∵∠A＝120°，∴EM＝AE＝4，∴AE＝4，∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM ⊥CF于M，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠G，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，∴∠G＝∠ECF，∴EC＝EG，∴∠ECG是等腰三角形，∴CM＝MG，∵CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形，∵EM⊥CF，FH⊥CE，∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，∴EM＝FH＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），∴CM＝CD＝，∴CG＝5，Rt△CBG中，BG＝＝＝3，设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，解得：x＝，∴BE＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．16．解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．17．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故答案为：139．18．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，故答案为2﹣2．19．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，∴AB＝2CD＝2×2＝4，故答案为：4．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，∵四边形AODE的面积为12，∴OA•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，∴OA+OD＝7，∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．22．解：（1）矩形ABCD中，AB＝DC＝2，AD＝BC＝6，∠BAC＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ＝90°，设CN＝x，则DN＝CD﹣CN＝2﹣x，由折叠可得，PN＝CN＝x，在Rt△PDN中，DP2+DN2＝PN2，即12+（2﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CN＝；（2）当点C'与点A重合时，设DN＝y，则AN＝AD﹣DN＝6﹣y，由折叠可得，D'N＝DN＝y，AD'＝CD＝2，∠AD'N＝∠CDA＝90°，在Rt△AD'N中，AD'2+D'N2＝AN2，即22+y2＝（6﹣y）2，解得：y＝，∴DN＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF＝90°，∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形．24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．25．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．26．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．27．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．28．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。
{word试卷}年春人教版河北省数学九年级中考《矩形、菱形、正方形》专题复习(仅供参考)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：矩形、菱形、正方形1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．(2019·河北中考)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A．30°B．25° C．20° D．15°3．如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（）A．2 B．3C．4 D．54.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DA F＝∠BCE.(1)求证：AF＝CE；(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作E F∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF ＝8.则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．186．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．7.(2020·新疆中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．8．(2020·河北模拟)如图，O是AC的中点，将面积为16 cm2的菱形ABCD沿AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是（）A．8 cm2 B．6 cm2 C．4 cm2 D．2 cm29．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A＝________时，四边形BECD 是正方形．11．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ·BC＝CE·DF.矩形、菱形、正方形1．关于▱ABCD的叙述，正确的是(C)A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．(2019·河北中考)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D)A．30°B．25° C．20° D．15°3．如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(A)A．2 B． 3C．4 D．54.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DA F＝∠BCE.(1)求证：AF＝CE；(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°.∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE(ASA). ∴AF＝CE；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD. ∴∠CAB＝∠FCA.∵CE＝4，∴AF＝4.∵AC平分∠FAE，∴∠FAC＝∠CAB.∴∠FAC＝∠FCA.∴CF＝AF＝4.在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝12 AF＝2.∴CD＝DF＋CF＝6.5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作E F∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF ＝8.则图中阴影部分的面积为(C)A．10 B．12 C．16 D．186．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝12 AC，OD＝12 BD.又∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．7.(2020·新疆中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE ∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AED＝∠CFB.∵∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴AE＝CF；(2)由(1)知△ADE≌△CBF，则DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．又BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．8．(2020·河北模拟)如图，O是AC的中点，将面积为16cm2的菱形ABCD沿AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是(C)A．8 cm2 B．6 cm2 C．4 cm2 D．2 cm29．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为2.8.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A＝________时，四边形BECD 是正方形．【解答】(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∴∠ACB＝∠DFB＝90°.∴AC∥DE.又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD；(2)解：四边形BECD是菱形．理由：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AD＝BD＝CD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．又CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；(3)45°,11．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ·BC＝CE·DF.证明：(1)过点E作EM⊥BC于点M.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴EM∥AB.∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°.∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC.∴∠BAC＝∠ACB＝45°.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形；(2)∵∠BEF＋∠BCF＋∠EFC＋∠EBC＝360°，∴∠EBC＋∠EFC＝180°.又∠EFC＋∠QFD＝180°，∴∠QFD＝∠EBC.初中试卷 供大家学习参考11 / 11 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCE ＝∠FDQ ＝45°.∴△BCE ∽△FDQ .∴BC FD ＝CE DQ .∴DQ ·BC ＝CE ·DF .。
《9.4矩形、菱形、正方形》同步优生提高训练 苏科版八年级数学下册
2021学年苏科版八年级数学下册《9.4矩形、菱形、正方形》同步优生提高训练（附答案）1．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为（）A．600cm2B．600cm2C．450cm2D．900cm22．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（）A．24B．12C．4D．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE 垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．3B．5C．2.4D．2.54．如图，菱形中，对角线、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA ＝3，则OE的长等于（）A．B．C．5D．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个10．下列说法中，正确的是（）A．当x≠﹣1时，有意义B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6B．3C．8D．612．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF＝4，则BD的长为（）A．16B．8C．4D．813．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．1.2B．1.25C．2.4D．2.514．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．1215．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（）A．（8，0）B．（4，0）C．（4，0）D．（8，0）16．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．9C．9D．17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1B．2C．3D．418．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH ＝3，那么CE的长是（）A．3B．4C．D．19．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE+DF＝AF+DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④21．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．22．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）23．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．24．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．（1）求证：四边形HCGP是菱形．（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．26．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AF＝CF，说明四边形AFCE为菱形．28．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GE＝AO．29．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．30．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．（1）求证：EF＝AE+CF；（2）当AE＝1时，求EF的长．参考答案1．解：连接AE，如图所示：∵AE间的距离调节到60cm，木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，∴AC＝AE＝20（cm），∵菱形ABCD的边长为20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴这个活动衣帽架所围成的面积为：3S菱形ABCD＝3×2S△ABC＝3×2×AC2＝×202＝600（cm2），故选：B．2．解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，∴AO＝CO＝BO＝DO，∵BE＝DF＝8，∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，∴四边形AECF是菱形，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×12×4＝24，故选：A．3．解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的长为3．故选：A．4．解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3，∴AC＝2AO＝6，∵菱形ABCD的面积为24，∴＝24，∴BD＝8，DO＝4，又∵AC⊥BD，∴AD＝＝＝5，又∵E为AD边中点，∴OE＝AD＝，故选：A．5．解：∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB，故①、②正确；当点E，F分别是AB，AD中点时，由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE＝∠DBG＝30°，∴DG＝BG，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG＝∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故③错误；∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：B．6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故选：A．8．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，∴BO＝＝＝2，∴BD＝4，∴四边形ABCD的面积＝＝4，故选：A．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．10．解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴选项C符合题意；D、∵0＜a＜b，若m＝0时，则m2a＝m2b，∴选项D不符合题意；故选：C．11．解：∵BE＝BC，∴点B为CE的中点，∵点F为DE的中点，∴BF为△CDE的中位线，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD为中线，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC＝＝＝6．故选：A．12．解：∵E是OC的中点，BE⊥AC，∴直线BE是线段OC的垂直平分线，∴BO＝BC，∵四边形ABCD为矩形，∴BO＝CO，∴BO＝BC＝CO，∴△OBC为等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO，∠ABC＝∠DAB＝90°，∵OF⊥AB，∴AF＝BF，∴OF为△BAD的中位线，∴AD＝2OF＝8，在Rt△BAD中，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2AD＝16．故选：A．13．解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．14．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．15．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝8，设OA＝OB＝x，Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，∴x2+x2＝82，解得x＝4，∴OA＝4，即A（4，0），故选：C．16．解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM的最大值为9，∴AD的最大值为．故选：D．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，故①正确；∵∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，故②正确；∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG，故③正确；∵∠ECF＝90°，EG＝FG，∴CG＝EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，∴CG＝EF＝x＝CE，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．18．解：连接AC，CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．∴∠ACF＝45°×2＝90°．∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝．在Rt△ACF中，CF＝＝．在Rt△ECF中，∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，∴CE＝CF＝＝．故选：D．19．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．20．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠F AD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，∴③正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴④正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：B．21．解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∵四边形ABCD为菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝8﹣m，在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，∴D（5，4）；当AB为菱形的边时，如图2，AB＝＝4，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D（4，4），综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．故答案为（5，4）或（4，4）．22．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故②错误；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；故答案为：①③．23．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．24．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．25．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EG∥BC，FH∥DC，∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，∴BE＝CG，CH＝DF，∵BE＝DF，∴CG＝CH，∴平行四边形HCGP是菱形；（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，∵四边形BHPE是菱形，∴BE＝BH，∴BE＝BH＝CH＝BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴BE＝AB，∴点E是线段AB的中点．26．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．27．（1）证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE；（2）说明如下：由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，又∵AF＝CF，∴平行四边形AFCE为菱形．28．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OEA，∵AD2＝OD2+AO2，∴（1+OA）2＝25+AO2，∴AO＝12，∴AC＝24，∴菱形ABCD的面积＝＝120；（2）如图，过点G作GH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，AD＝CD，∠DAC＝∠DCA，∵OE＝OD，∴∠DEO＝∠EDO＝45°，∵GH⊥AC，∴∠HED＝∠HGE＝45°，∴GH＝HE，GE＝GH，设∠DAC＝∠DCA＝x，∴∠EDC＝45°﹣x＝∠GDF，∵AF⊥CF，∴∠FGD＝90°﹣∠GDF＝45°+x，∵∠DAF＝90°﹣2x，∴∠ADC＝180°﹣∠GAD﹣∠AGD＝45°+x，∴∠ADC＝∠AGD，∴AG＝AD，在△AHG和△DOA中，，∴△AHG≌△DOA（AAS），∴GH＝AO，∴GE＝GH＝AO．29．（1）证明：∵BE∥AC，EC∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BOCE是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，∵四边形BOCE是矩形，∴BF＝CF＝BC＝1，∴AF⊥BC，∠BAF＝∠BAC＝30°，∴∠AFB＝90°，∴AF＝BF＝．30．解：（1）证明：延长BC至H，使CH＝AE，连接DH，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．∴△DAE≌△DCH（SAS）．∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°．∴∠FDC+∠CDH＝45°．即∠FDH＝45°．∴∠EDF＝∠FDH＝45°．在△EDF和△HDF中，．∴△EDF≌△HDF（SAS）．∴EF＝FH．∵FH＝FC+CH＝FC+AE，∴EF＝AE+FC．（2）设EF＝x，则FH＝x．∵正方形ABCD的边长为3，∴AB＝BC＝3．∵AE＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x＝．∴EF＝。
《矩形的性质与判定》优生辅导训练 北师大版九年级数学上册
北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》优生辅导训练（附答案）1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝°．2．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．3．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C 出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝时，△PQA为等腰三角形．4．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是．5．如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．7．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．8．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为．9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是10．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为．11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（填写一个即可）．12．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．14．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．15．如图四边形ABCD是平行四边形，若（添加一个条件），四边形ABCD是矩形．16．如图，请你添加一个适当的条件，使平行四边形ABCD成为矩形．（答出一个即可）17．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是．18．▱ABCD，补充条件（一个即可）时，▱ABCD为矩形．19．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是．20．将两块全等的含30°角的三角尺如图①所示摆放在一起，设较短直角边为1，如图②所示，Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时四边形ABC′D′为矩形．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．24．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．26．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，M为斜边AB上一动点，过M 作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小为．28．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是cm．29．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．30．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．参考答案1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案为：55．2．解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．3．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；当P A＝PQ时，∠P AQ＝∠AQP＝∠ACB，∴t＝0（舍去）；当QP＝QA时，∠QP A＝∠QAP＝∠ECA，∵∠P AQ＝∠CAE，∴t＝5．综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．故答案为：4或5．4．解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故答案为60°5．解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案为：cm．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案为18．7．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案为：3或．8．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，若点E在BO上时，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等边三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若点E'在OD上时，∴AE'＝＝＝，故答案为：或．9．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M．则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE＝∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1或或2﹣．10．解∵对角线长为13，一边长为5，∴另一条边长＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案为：60．11．解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．12．解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形13．解：添加的条件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．14．解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．故答案是：∠ABC＝90°．15．解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以添加∠ABC＝90°；根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加AC＝BD；故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°时，平行四边形ABCD成为矩形；故答案为：AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°．17．解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．18．解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD19．解：因为门窗所构成的形状是矩形，所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．20．解：如图：当四边形ABC′D是矩形时，∠B′BC′＝90°﹣30°＝60°，∵B′C′＝1，∴BB′＝，当点B的移动距离为时，四边形ABC′D′为矩形．故答案为：．21．解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．22．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．23．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．24．解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．25．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．26．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D＝∠B＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴DE＝BF＝，∴△ECD的面积＝DE×CE＝××1＝；故答案为：．27．解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC＝∠MEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE＝CM，∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，∴CM的最小值＝，∴线段DE的最小值为；故答案为：．28．解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，∴∠A＝90°，又∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴四边形ADME是矩形，连接AM，则AM＝DE，由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，此时，S△ABC＝BC•AM＝×5•AM＝×3×4，解得AM＝2.4，即DE＝2.4cm．故答案为：2.4．29．解：如图，连接AP，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．30．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．。
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7、矩形、正方形、多边形
一、填空题：
1、 对角线 _____________ 的四边形是平行四边形；对角线 __________________ 的平行四边形是矩形；对角线 _________________ 的平行四边形是菱形；对角线 __________________________ 的平行四边形是正方形。
2、 正方形具有 ________ 、 ____________ 、 ____________ 的一切性质，它既是特殊的 ____________ ，又是特殊 的 _________ ，因此有一个角是直角的 ____________ 是正方形，或有一组邻边相等的 ____________ 是正方形。
3、 一个多边形的每个内角都等于 140°,那么这个多边形是 ___________ 边形。
4、 如果一个多边形的边数增加 1，那么这个多边形的内角和增加 ____________ 度。
5、 在梯形ABCD 中，AD // BC , AD+BC=3 , AC= 3 , BD= ■. 6，则该梯形的面积为 ______________ 。
6、 如图1,菱形ABCD 的两条对角线分别长 6和8,点P 是对角线AC 上的一个动点，点 M 、N 分别是边 AB 、BC 的中点，贝U PM + PN 的最小值是 ______________ 。
7、 如图2,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由
6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个 正方形的边长为1,则这个矩形色块图的面积是 _______________。
A .只能画出一个 B .能画出2个
C •能画出无数个
D •不能画出 13、（ 09内江）如图，小陈从 O 点出发，前进5米后向右转20°, 再前进5
米后又向右转20°, ，这样一直走下去，他第一 次回到出发点O 时一共走
了（ ）
A . 60 米
B . 100 米
C . 90 米
D . 120 米 14、在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（
） 15、一个多边形截取一个角后形成的多边形的内角和是 8、如图3,在菱形 ABCD 中，/ A=110 则/
CPF 的度数为
,E 、F 分别为AB 、BC 的中点, EP 丄CD 于P ,连接EF 、FP , F B
E
A D C
二、选择题
9、平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是（
10、
11、 A •梯形 B •矩形
下列说法正确的是（ ） A .一组对边平行的四边形是梯形
C .有两个角是直角的四边形是直角梯形 四
边形的四个内角的度数比是 2: 3: 3: 4, D .不是平行四边形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C. 只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形 则这个四边形是（
） C .平行四边形
12、 以线段a =16, b =13为梯形的两底，c =10, d =6为腰画梯形，这样的梯形（ D .不能确定 ） 2520。
，则原多边形的边数是（
C
图1 C .正方形 图2
A . 14
B . 15
C . 15 或 16
D . 15 或 16 或 17
则这个多边形的边数为(
C . 9
D .
16、一个多边形共有 27条对角线, A . 8 B . 10
三、解答题
17、如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠使点C 落在点C z 处，BC /交AD 于E , AD=8 , AB=4 , BE=5 ,
求厶BED 的面积。
18、（ 09乐山）在等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , G 是边AB 上的一点，过点 G 作GE // DC 交BC 边于点 E , F 是EC 的中点，连结 GF 并延长交DC 的延长线于点 H 。
求证：BG=CH 。
求下底BC 的长。
20、 已知：如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=AD + BC , M 为CD 的中点.求证： AM , BM 分别平
分/ DAB 和/ CBA .
19、如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC 。
对角线 AC 丄 BD ，且 AC=15
,
BD=13，高 AE=12，上底 AD=3
,
21、如图，在△ ABCD中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN // BC,设MN交/ BCA的平分线于点E，
交/ BCA的外角平分线于点F。
(1)求证：0E= OF ;
(2)当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；
(3)当点0运动时，若四边形AECF是正方形，则△ ABC是什么形状的三角形？说明理由。
22、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，/ B=90° AD=18 cm, BC=21 cm,点P从点A 开始，沿AD 边向
D以1 cm/s的速度移动，点Q从C点开始，沿CB边向B以2 cm/s的速度移动。
如果P, Q分别从A ,
t为何值时，四边形t为何值时，四边形t为何值时，四边形t (s)。
PDCQ为平行四边形?
ABQP为矩形？PDCQ为等腰梯形？
C同时出发，设移动时间为
(1)t为何值时，四边形
(2)t为何值时，四边形
(3)t为何值时，四边形
A
P D
Q。