数学北师大版八年级下册全等三角形判定专题
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！GUIDE导读初二数学下册知识点（※表示重点部分）第一章 三角形的证明※知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD⊥BC，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 ※等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等※知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。
它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形※知识点4 等腰三角形的判定定理内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”※知识点5 反证法概念 证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明 （2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；即：a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0三. 不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
直角三角形全等的判定课件18张度北师大版数学八年级下册
角边角（ASA） 角角边（AAS）
新知学习
如图，已知AC=DF，AB=DE，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
A BC
D
E
F
如果“SSA”中 所对的角是直 角呢?
经过证明，我们发现三角形全等不存在“SSA”定理.
探究
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 如图，已知线段a，c（ a < c ），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.
“斜边、 直角边”
前提条件
在直角三角形中
使用方法
在判定直角三角形全等时，只需找除 直角外的两个条件即可（其中至少有 一个条件是一组对应边相等）
解：根据题意可知∠BAC =∠EDF = 90°， BC =EF，AC =DF. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）. ∴∠B =∠DEF ∵∠DEF +∠F =90° ∴∠B +∠F =90°.
课堂练习
1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直
接得到△PEA≌△PFA的理由是( A )
a
c
作法如下：
M
（1）作∠MCN=∠ =90°.
C
N
M （2）在射线CM上截取CB =a.
B
C
N
（3）以点 B为圆心，线段 c的长为 M
半径作弧，交射线CN于点A.
B
C
（4）连接AB，得到Rt△ABC.
M
C
A N
A N
思考
比较小明作的直角三角形和已知三角形，发现它们全等.
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
∴ △ABC≌ △A′B′C′（SSS）
直角三角形全等的判定(HL)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
双基巩固
练习2：如图，点B、E、C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
A
D
B
CE
F
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
分析：要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，
只要证△ABC≌△DEF， 由AC⊥BF，DF⊥AF， BE=CF ， B E 可得∠ACB=∠DFE=90°BC=EF ， 又AB=DE，根据“HL”可证ABC≌△DEF. 请你将证明过程规范化写出来。
AD CF
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上，
求证：AC=DC。
E
证明：∵△BCE为等腰直角三角形，
A
∴∠BCA=∠ECD=90°，BC=EC，
∵在Rt△BCA与Rt△ECD中
BA ED
BC EC
∴Rt△BCA≌Rt△ECD
(HL)．B
C
D
∴AC=CD.
问1：△ACD是什么特殊三角形？ △ACD是等腰直角三角形.
问2：若将“BA=ED”与“AC=DC”互换，结论成立吗？
SSS
B. AB=DE， AC=DF，∠A=∠D SAS
C. AB=DE， AC=DF，∠B=∠E SSA D. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E ASA
A
D(D)
E
F
B
C
(E)
探究新知
当AC、DF分别变为与BC、EF分别垂直（即两边 分别相等及其中一组等边所对的角为直角时）
A
D
B
CCE
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质；
2.掌握HL定理的证明过程和判定方法；
3.学会运用HL定理解决实际问题时，正确识别直角三角形的直角边和斜边；
4.能够运用HL定理与其他全等判定方法（如SSS、SAS等）相结合，解决复合型全等问题。
4.强调HL定理在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的应用意识。
5.布置课后作业，让学生在课后进一步巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对直角三角形全等判定（HL定理）的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成教材课后练习题1-5题，要求学生在解题过程中，准确识别直角边和斜边，熟练运用HL定理进行判定。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现并理解HL定理；
2.采用问题驱动法，设计具有启发性和挑战性的问题，激发学生的求知欲和探究精神；
3.组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力；
4.引导学生运用HL定理解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力；
5.反馈评价，查漏补缺：通过课堂练习、小组互评等方式，了解学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导；
6.归纳总结，提炼方法：在课程结束时，引导学生对所学知识进行归纳总结，提炼解题方法，提高学生的几何素养。
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.关注学生个体差异，实施差异化教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高；
b.分享：组内成员在学习HL定理过程中遇到的困难和解决方法；
新北师大版八年级数学下册知识点总结
新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。
一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。
定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。
基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
第2课时直角三角形全等的判定课件北师大版数学八年级下册
探究学习
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
探究学习
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
而由条件知在Rt△BDF与Rt△ADC中有BF=AC,DF=DC,故
这两个三角形全等,从而问题得证.
典例
例1 如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点
F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
证明：∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°.
∴∠1+∠2=90°.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,ቊ
1.2
第2课时
直角三角形
直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握直角三角形全等的判定方法.
2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题.
3.灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，注意
“HL”与其它判定方法的区分与联系.
新课引入
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个
直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无
= ,
= ,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).∴∠2=∠C.
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°,
典例
例2：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，
垂足分别为E、F，CE=BF.
八年级数学下册第一章直角三角形第2课时直角三角形全等的判定作业pptx课件新版北师大版
Rt△ABC≌Rt△DCB的是（
A.AB＝DC
B.AC＝DB
C.∠ABC＝∠DCB
D.CD＝BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.【教材P21习题T2变式】如图，BE＝CF，AE⊥BC，
DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加的一个条件是
（
D ）
放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，
小旭这样画的理论依据是（ B ）
A.SSA
B.HL
C.ASA
D.SSS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
6.【教材P34复习题T4变式】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足
分别为D，E，BE与CD相交于点O，连接AO，且∠1＝
∠2，则下列结论中：
＝，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.
∴DE＝DC.
∴AD＋DE＝AD＋DC＝AC＝8.
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13
两三角形全等的应用
5.数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的
方法.小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平
分线.如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置
∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
北师大版八年级下册数学期末知识点复习
北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。
判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。
等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。
判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。
等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。
等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。
判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。
直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。
角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。
判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。
二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。
北师大版八年级下册1.2直角三角形全等的判定(HL)(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形全等的判定（HL）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否全等的情况？”（例如，在修补破损的三角形桌面时）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形全等判定的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形全等判定（HL）的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对HL定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
关于学生小组讨论，我觉得主题的选择和引导方式还有待改进。在今后的教学中，我将尝试提供更具启发性的问题，引导学生深入思考直角三角形全等在实际生活中的应用。此外，我还将关注学生在讨论过程中的互动，培养他们的合作精神。
在总结回顾环节，我试图让学生对今天所学的知识点进行梳理。但从学生的反馈来看，他们对于如何将所学知识运用到实际问题中仍然有些迷茫。因此，我计划在接下来的课程中，加入一些实际的例题进行讲解，让学生更清楚地了解知识点的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会条件中选取合适的边和角来应用HL定理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形全等相关的实际问题。
北师大版数学八年级下册.2直角三角形全等的判定课件
新课讲授
证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条
件去找第三个全等条件，有以下几种情况：
(1)已知两边
找第三边； 找两边的夹角；
(2)已知两角找找两其角中的任夹意边一；角的对边；
(3)已知一边及其邻角找找夹任该意已一知角角；的边；
(4)已知一边及其对角，只能找任意一角．
新课讲授
练一练
判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； (2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； (3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相
求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
分析：根据AB＝CB，∠ABE＝ ∠CBF＝90°，AE＝CF， 可利用“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△CBF.
新课讲授
证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
新课讲授
练一练
1.如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一
端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗 杆底部的
距离相等吗？请说明你的理由.
解：两个木桩离旗杆底部的距离相等．
理由如下：在Rt△ABO和Rt△ACO中，
AB＝AC，
AO＝AO，
所以Rt△ABO≌Rt△ACO(HL)．
所以BO＝CO.
布置作业
请完成对应习题
新课讲授
知识点1 判定两直角三角形全等的方法
问题 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再 画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC， A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到 Rt△ABC上，你发现了什么？
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
数学北师大版八年级下册直角三角形全等的“HL”的判定定理
第一章三角形的证明2．直角三角形全等的“HL”的判定定理希望学校吕淑霞一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
因此本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC 中， AB=AC ．求证：∠B=∠C ．证明：过A 作AD ⊥BC ，垂足为C ，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ．∴∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。
质疑点在于“在证明△ABD ≌△ACD 时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD 和△ABC 中，AB=AB ，∠B=∠B ，AC=AD ，但△ABD 与△ABC 不全等)” ．也有学生认同上述的证明。
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生树立正确的数学学习信念。
3.培养学生具有良好的数学学习习惯和态度，提高学生的数学素养。
在教学过程中，我将注重营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感中学习数学。同时，我将积极引导学生在学习过程中体验数学的乐趣，让学生感受数学的美妙。对于学生在学习过程中取得的成果，我将及时给予表扬和鼓励，增强学生学习数学的信心。对于学生在学习过程中遇到的困难，我将给予关心和支持，帮助学生克服困难，使学生体验到数学学习的成就感。
3.操作情境：让学生动手操作几何模型，如拼组直角三角形，让学生在操作过程中感受直角三角形全等的问题，提高学生的实践能力。
在教学过程中，我将注重创设丰富的情景，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂学习。通过生活情境的展示，让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，我将设计具有挑战性的问题，激发学生的思考，引导学生深入探讨直角三角形全等的问题，提高学生的逻辑思维能力。此外，通过操作情境的创设，让学生动手实践，提高学生的动手操作能力和实践能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解HL定理的含义，掌握HL定理的判定方法，能够运用HL定理判断两个直角三角形是否全等。
2.能够运用HL定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.通过对HL定理的学习，使学生能够进一步理解三角形全等的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
在教学过程中，我将以生动的实例引入HL定理，通过引导学生观察、分析和归纳，使学生理解和掌握HL定理。同时，我将设计丰富的练习题，让学生在实践中运用HL定理，提高学生的应用能力。对于学生在运用HL定理过程中遇到的问题，我将进行及时的指导和解答，帮助学生克服困难，提高学生的学习效果。
北师大版八年级数学下册直角三角形全等的判定同步练习题
1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A.6个B.5个C.4个D.3个12A BCD第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ）BAEFCDA．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°二、填空题:9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.BAE CD23. 如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?B AE MF D参考答案一、选择题1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． 12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500三、解答题19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠AC B=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．（2）互相垂直，在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ，即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E ∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 和△CAE 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE23. 解：(1)EM=FM(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=FK在Rt △EHK 与Rt △FKM 中,Rt △EHM ≌Rt △FKM 得EM=FM.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)说课稿
在教学过程中，我预见到学生可能对HL定理的理解和应用存在困难，以及部分学生可能在学习过程中出现注意力不集中的问题。对于HL定理的理解困难，我将通过几何画板等教学工具进行直观展示，以及提供更多的练习机会让学生熟能生巧。对于注意力不集中的问题，我将采取互动提问、小组讨论等方式，提高学生的课堂参与度。课后，我将通过课后作业和学生的反馈来评估教学效果，并根据学生的掌握情况调整教学方法和节奏。具体的反思和改进措施包括：对于学生掌握较好的部分，可以适当加快教学进度；对于学生掌握困难的部分，可以重复讲解或提供额外的辅导资源。同时，我也会定期与学生沟通，了解他们的学习需求和困难，以便更好地调整教学策略。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生总结本节课所学的内容，回顾自己的学习过程，反思自己的学习效果。然后，我会根据学生的回答，给予肯定和鼓励，并对学生的学习方法和学习态度提出建议和改进意见。最后，我会布置课后作业，让学生在课后巩固所学知识。
（五）作业布置
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的学生是八年级的学生，他们正处于青春期的转折点，思维活跃，好奇心强，具备一定的逻辑思维能力。学生在之前的数学学习中，已经掌握了三角形的基本性质，全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），具备了观察、分析、归纳的能力。然而，对于HL定理的理解和运用，部分学生可能会感到困难，需要教师的引导和帮助。
（三）互动方式
在师生互动环节，我计划采用问题引导法和问答法。通过提出问题，引导学生思考，激发学生的思维碰撞。在生生互动环节，我计划采用小组合作学习法和讨论法。将学生分成若干小组，让学生在小组内讨论问题，共同解决问题。这些互动方式的目的是促进学生的参与和合作，培养学生的沟通能力，提高学生的团队协作能力。同时，教师要积极参与学生的互动，给予及时的指导和建议，引导学生正确思考。
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全等三角形课后练习（第一级/共六级）
第一级
1. 如图，AB=AE,∠B=∠E ，BC=DE 求证：△ABC ≌△ADE
2. 如图，∠B=∠E ，∠C=∠F ，AC=BD 求证：△ABC ≌△DEF
3. 如图，AC=BC ，AD=BD 求证：∠A=∠B
4. 如图，AC ⊥BF ，DE ⊥BF ，AC=DE ，AB=DF 求证：∠B=∠F
第二级
1. 如图：若∠A=∠D ，BC//EF ，AB=DE 求证：∠C=∠F
2.如图，若BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，AB=DE ，BC=EF 求证：AC//DF
3.在四边形ABCD 中，
①若 AB//CD,AD//BC 求证：AB=CD,AD=BC
②若 AB=CD,AD=BC 求证：AB//CD,AD//BC
4. 若AD 为△ABD 的中线，AB=AC ，求证：AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC
B
B
B
第三级
1、已知：如图，AD//BC，AD=BC，AE=CF。
求证：∠B=∠D
2、已知：如图，AC=BD，AE=DF，AE⊥AD于A，DF⊥AD于F求证：EB∥CF
3、已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。
求证：CE=BD
4、已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BE=CF。
求证：AB=DC
第四级
1. 已知，如图，AB=AC，BD=DC，AD与BC交于点O
求证：AD⊥BC
2. 如图，已知，在△ABC中，∠C=90°，点E在AC上且AE=BC，ED⊥AB于点D，过点A作AC的垂线，交ED 的延长线于点F.求证AB=EF
3. 已知，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD
第五级 1.赵爽弦图 如图： 已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90° AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD 2.（2012江苏盐城25．10分）如图①所示,已知A 、B 为直线l 上两点,点C
为直线l 上方一动点,连接AC 、BC,分别以AC 、BC 为边向△ACB 外作正方
形CADF 和正方形CBEG,过点D 作DD 1⊥l 于点D 1,过点E 作EE 1⊥l 于点E 1. (1)如图②,当点E 恰好在直线l 上时(此时E 1与E 重合),试说明DD 1=AB ；
(2)在图①中,当D 、E 两点都在直线l 的上方时,试探求三条线段DD 1、EE 1、
AB 之间的数量关系,并说明理由；
(3)如图③,当点E 在直线l 的下方时,请直接写出三条线段DD 1、EE 1、AB
之间的数量关系.(不需要证明)
图1 图2
第六级
1. (2012年探究九年级第15页第9
题) 如图7，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=45° 求证：EF=BE+DF
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD.
111
1。