概率论习题答案 第8章答案

7.设马克吐温与思诺特格拉斯的小品文中由 3 个字母组成的词的比例分别为 x, y ,并且由题
意可设 x ~ N (μ1,σ 2 ) , y ~ N (μ2 ,σ 2 ) ,本题是在显著性水平α = 0.05 下检验假设:
H 0 : μ1 − μ2 = 0 ↔ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为
t= x−y
sw
1+1 n1 n2
其中
s
2 w
=
(n1
− 1)s12
+
(n2
−
1)
s
2 2
n1 + n2 − 2
，拒绝域为 C
=
⎧ ⎨| t ⎩
|≥
tα
2
(n1
+
n2
−
⎫ 2)⎬ .
⎭
已 知 n1 = 8, n2 = 10 , 查 表 得 t0.025 (16) = 2.1199, , 经 计 算 得 , x = 0.2319, s1 = 0.01456,
H0
:σ 2
=
σ
2 0
↔
H1
:σ
>
σ
2 0
(其中σ 0 = 0.005 )
检 验 统 计 量 为 χ 2 = (n −1)s 2
σ
2 0
,
拒
绝
域
为
{χ 2
>
χ
2 α
(n
− 1)}
,
由
n
=
9, s
=
0.007,
χ
2 0.05
(8)
= 15.504
,算得
χ
2
= 15.68
> 15.504,
因此拒绝原假设
pˆ i
=
(2.8571)i i!
e −2.8571
i = 0,1,2,"
表 中 我 们 对 于 不 满 足 npi > 5 的 组 作 了 适 当 的 合 并 , 并 组 后 , k = 10 − 5 = 5 , 而
∑ α
= 0.05 , r
= 1,
χ
2 0.05
(5
−
1
−
1)
=
7.815,
因此有
⎭
由于 n1, n2 很大,故有 t0.025 (218) ≈ z0.025 = 1.96 将 x = 2805, y = 2680, 以上数据代入上式
计算可得 | t |= 8.206 > 1.96 ,故拒绝原假设 H 0 ,可以认为两个总体的平均值有显著差异,即
两种枪弹在速度方面有显著差异. 综上所述,两种枪弹在速度方面有显著差异但在均匀性方面没有显著差异.
故拒绝 H 0 , 即认为两个总体的均值有显著差异,即可以认为关紧闭对脑电波的影响显著.
10.设两台机器生产的部件的重量分别为
x,
y,
且设
x
~
N
(μ1
,σ
2 1
)
,
y
~
N (μ2 ,σ
2 2
)
.
由题意知，需在显著性水平下α = 0.05 检验:
H0
:
σ
2 1
=
σ
2 2
↔
H1
:
σ
2 1
>
σ
2 2
检验统计量为 F = s12 ,拒绝域为
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第八章 假设检验
（一）基本题
1.此题是在显著性水平α = 0.05 下检验假设: H 0 : μ = μ0 ↔ H1 : μ ≠ μ0 其中 μ0 = 1600
检验统计量为
u
=
x − μ0 σ/ n
,拒绝域为| u
|≥
zα
2
,已知 σ
= 150 , n
=
26,
=
(n −1)s 2
σ
2 0
(其中σ 0
= 0.04% ),拒绝域为
{χ 2
≤
χ2 1−α
2
(n
−1)} ∪{χ 2
≥
χα2 (n 2
− 1)}
查表得
χ
2 0.025
(9)
= 19.023,
χ
2 0.975
(9)
=
2.7 ,算得 χ 2
=
7.701 ,它没有落在拒绝域中,故接受
原假设 H 0 .
5.本题是在显著性水平α = 0.05 下检验假设:
s = 15,
t0.025 (36 − 1) = 2.0301, 算得
| t |= | 66.5 − 70 | 36 = 1.4 < 2.0301 15
所以接受原假设,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分.
3. 由 题 意 知 检 验 统 计 量 为
u = x −1000 σ/ n
,拒绝域为
F = s12 = 3.6615 > 3.5 s22
故拒绝原假设, 即可以认为第二台机器的加工精度比第一台机器的高.
9.
设没关禁闭和关禁闭的人的脑电波中的 x, y, 且设 x
~
N
(μ1
,σ
2 1
)
,
y
~
N
(
μ
2
,
σ
2 2
)
.
2
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(1)先在显著性水平下α = 0.05 检验:
H0
:
σ
2 1
=
σ
2 2
↔
H1
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
检验统计量为 F
= s12
s
2 2
,拒绝域为
C
=
⎧ ⎨F ⎩
≤
F1−α 2
(n1
−1, n2
− 1)或F
≥
Fα
2
(n1
−1, n2
⎫ − 1)⎬
⎭
已知 n1
= n2
= 10, 经计算得 x
= 10.58,
y
= 9.78,
s12
= 0.21,
s
2 2
= 0.36,
F0.975 (109,109) < 0.6993 ,可以算得, F = 1.315 ,显然 0.6993 < F = 1.315 < 1.43, 故检验没
有落在拒绝域内,故可以认为两个总体的方差相等,即两种枪弹在均匀性方面没有差异.
其次我们需在显著性水平α = 0.05 检验两种枪弹在速度方面有无显著差异,即需检验:
为利用 χ 2 拟合检验法则,将相关的计算结果列表表示(见下表).
i
vi
pˆ i
npˆ i
vi − npˆ i (vi − npˆ i )2 / npˆ i
0
4
0.0574
3.62
-1.96
0.2752
1
8
0.1641
10.34
2
14
0.2344
14.77
-0.77
0.0401
3
19
0.2233
14.07
由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为
t= x−y
sw
1+1 n1 n2
其中
s
2 w
=
(n1
− 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2
，拒绝域为 C
=
⎧ ⎨| t ⎩
|≥
tα
2
(n1
+
n2
⎫ − 2)⎬ .
⎭
查表得 t0.025 (18) = 2.093 ,经计算得 sw = 0.5338, | t |= 3.35 > 2.093 = t0.025 (18)
设: H 0 : X ~ N (μ,σ 2 ) 对正态分布中的参数 μ,σ 2 用极大似然估计法估计可得 μ,σ 2 的估计值为
μˆ = x = 80.1
σˆ 2 = n −1 s 2 = 92.72 n
为利用 χ 2 拟合检验法则,将相关的计算结果列表表示(见下表).
χ
2
=
5 i =1
(vi
− npˆ i )2 npˆ i
= 2.5021 <
χ
2 0.95
(3)
,
所以接受 H 0 ,即可以认为一年的暴雨次数服从泊松分布. 12. 设事故发生在星期 X ,则本题是要在显著性水平α = 0.05 下检验:
H0
: P{X
= i} =
1 ,i 6
= 1,2,3,4,5,6
1/6
10.5
1.5
0.2143
∑
1.6667
∑ 查表得
χ
2 0.05
(6
−
1)
=
11.071
,所以
χ
2
=
6 i =1
(vi
− npˆ i )2 npˆ i
=
1.6667
<
χ2 0.05
(5)
,所以接受
H0
,
所以可以认为事故的发生与星期几无关.
13. 设 考 试 成 绩 为 X , 则 由 题 意 知 需 在 显 著 性 水 平 α = 0.05) 下 检 验 假
x
= 1637, 查表得
zα = z0.025 = 1.96, 计算得 | u |= 1.258 < 1.96, 所以接受原假设 H 0 ,即认为这批产品的指标