第七章 静电场 习题教材

s2
Z3
（2）求电势，
rR

RQ
Q dr
Up
Edl
p
r
40R3 rdr
R 40 r2
Q
4 0R3
r2 2
R r
Q ( 1)
4 0 r R

Q
8 0R3
(R2

r
2
)

Q
4 0R
P

Q(3R2 r
8 0R3
2
)
E
Qr
4 0R3
d
R
cos
Ey

2

2
d Ey

4 0R

2

2
cos
d

2 0R
d
d
2 2

x2
4 0 0
d2 sec

4 0d2
arctan L d2
0
cosd

4 0d2
s in
arctan L d2
0
L
L
sin(arctan )
d2
L2

d
2 2
EQy d2
L

d22 L2 4 0
L2 d22

d2
L
Z2
用高斯定理求均匀带正电的无限长细 棒的场强分布。设棒上电荷的线密度为λ。
微元dx距B为x。
dq在Q点激发场强：
dE

1
4 0
dx
d22 x2
L 1 dx
EQx 0 4 0 d22 x2
x ( 1
d
2 2

x2
d2
1 ) d22 L2 40
EQy
L1
0 4 0
dx
d
2 2

x2
d2 d22 x2

L

d2 d22 L2 4 0
Z3
解 （1）求场强，
取与带电球体同球心的半径为r的高斯
面。利用高斯定理，可得
r R，4r2E 43 r3 Q
0 Qr E
4 0R3
r R, 4r 2E Q E Q 0 4 0r 2
43 R3
r S +
r +
+
++++OR+++++1+++++++

Q
4 0r 2
r
Z4
正电荷均匀分布在半径为R的圆环上， 计算在环的轴线上任意给定点的电场强度。
Z4 解
线密度 q
2πR
dl
R
xo
r

θ P dEx
x
x
dE dE
环上线元带电量 dq dl
线元在P点激发场强 dE 1 dl

4πε0 r 2
dE dEx dE E l dE 0
+q A+
C
-q
O
-B D
L3L
2L
Z5 解
(1)
UO

q
4 0 2L

q
4 0L


q
8 0L
UD

q
4 0 (4L)

q
4 0L

3q
16 0L
AOD

q0
(U O
UD
)

q0q
16 0L

q
16
0L（, q0
1C）
(2)
AD

q0 (U D
Z2 解
取以细棒为轴的圆柱形高斯面，半径为 R，长为L，圆柱侧面与E垂直，上下底 与E相切.
由高斯定理得
Φ E d S qi / 0 面内
RE
Φ E2RL L
L
0

E
2 0R
Z3
Q均匀分布在半径为R的球体内，证明 离球心r处（r<R）的电势为：
U=Q(3R2-r2)/8πε0R3
dx带电量： d q d x
dq在P点激发场强：d E 1
dx
4 0 (d1 L 2 x)2
L
E p
21
L 2
40
dx
(d1

L 2

x)2
( 1 d1
1 ) L d1 40
指向x轴的正方向。
A
dx B
P
L2
Ox L 2
d1
x
Z1 解
（2）取B坐标原点，B到A为x轴的正方向,取
A
y dE
Q
d2 dx B
xL
xO
数学求解过程：
x d2 tan ,
dx d2 sec2 d ,
d
2 2
x2
d22 sec2
x L arctan L , x 0 0
d2
L 1 dx
EQy
0
4 0
d
2 2

x2
d2

arctan L d2
牟艳秋
Z1
如图所示，长为L的均匀带电棒AB， 设电荷的线密度为λ。求： （1）AB棒延长线上P点的场强（P点到B点 的距离为d1）； （2）棒端点正上方的Q点的场强（Q点到B 点的距离为d2）。
Q
d2
P
A
L
B d1
Z1
解 （1）取AB中心为坐标原点，A到B为x轴的
正方向，在棒上取线元dx，距坐标原点x。
U)

3q0q
16 0L

3q
16 0L
, (q0

1C)
自测4.一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其
上电荷均匀分布，总电荷均匀分布，总电荷为
q。求半圆中心O点的场强。
y
dl
dl
电荷线密度 q R
d
d q d l R d
dE
d E
x
Leabharlann Baidu
d Ey

1
4 0
E
ldEx
dE cosθ
l

dl
4πε0r
2

x r

λx 4πε0 r 3
2πR
dl
0
qx
4πε0 (x2 R2 )3 2
Z5
如图所示，A点有电荷+q，B点有电荷-q， AO=2L，OCD是以B为中心，L为半径的半圆。 （1）将单位正电荷从O点沿OCD移到D点， 电场力做多少功？ （2）将单位负电荷从D沿AB延长线移到无穷 远处，电场力作多少功？