数学《等差数列的概念》课件
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4.2.1等差数列的概念(第1课时)课件(人教版)
五、作业布置 课本P15：练习 第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式(课件(人教版))
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
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等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
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等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
4.2.1等差数列的概念(第一课时)课件(人教版)
∴该数列不是等差数列． (2)∵7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， ∴该数列是等差数列．
新知探究
(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当 m＝2n 时，是等差数列； 当 m≠2n 时，不是等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝( C ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
新知探究
新知探究
例 3. 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列． 解：∵－1，a，b，c，7 成等差数列，
如果用{an}表示数列① ，那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 数列②—④ 也有这样的取值规律。
新知探究
练一练：判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； (2)7，7，7，7，7； (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d 均代表数字)； (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.(其中，m，n 均代表数字) 解：(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，
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第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问 题的能力. 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算. 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列.
01
复习导入
02
新知探究
新知探究
(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当 m＝2n 时，是等差数列； 当 m≠2n 时，不是等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝( C ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
新知探究
新知探究
例 3. 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列． 解：∵－1，a，b，c，7 成等差数列，
如果用{an}表示数列① ，那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 数列②—④ 也有这样的取值规律。
新知探究
练一练：判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； (2)7，7，7，7，7； (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d 均代表数字)； (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.(其中，m，n 均代表数字) 解：(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，
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第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问 题的能力. 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算. 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列.
01
复习导入
02
新知探究
2025届高中数学一轮复习课件《等差数列》ppt
第12页
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型
等差数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2＋a6＝10，a4a8＝
45，则 S5＝( )
本例可以用 a1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．
B．8
C．7
D．6
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－
n|＝( )
A．1
3 B.4
13 C.2 D.8
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为 S9＝9a5，所以 9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以 a3＋a5＋am＝3a5，即 a3＋am＝ 2a5，所以 m＝7.故选 C.
解析：由等差数列的求和公式可得ab77＝TS1133＝73××1133＋＋38＝9447＝2.
高考一轮总复习•数学
4．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－11，则数列{|an|}的前 n 项和 10n－n2，n≤5，
Tn＝_____n2_－__1_0_n_＋__5_0_，__n_≥__6______. 解析：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Tn＝－Sn－Sn，2Sn5，≤n5≥，6， 即 Tn＝n120－n－10nn2＋，5n0≤，5n，≥6.
②若{bn}是等差数列，则 b1＋b3＝2b2， 即a21＋1a23＝2×a62，所以 a2a3＋6a1a2＝6a1a3， 所以(a1＋d)(a1＋2d)＋6a1(a1＋d)＝6a1(a1＋2d)，
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
4.2.1等差数列的概念(教学课件)-高中数学人教A版选择性必修第二册
答案： 4
解析：设等差数列an 的公差为 d，且 d 为整数，
由题意得 a6 a1 5d 0 ， a7 a1 6d 0 ，
所以 23 5d 0 ，且 23 6d 0 ，解得 23 d 23 ，
5
6
又 d 为整数，则公差 d 4 .
根据题意得
aa1101
11 11 ，即
220 220
10d 11d
11 11
，
解这个不等式组，得19 d 20.9 .
所以，d 的取值范围为19 d 20.9 .
例 4 已知等差数列{an} 的首项 a1 2 ，公差 d 8 ，在{an} 中每相邻两项 之间都插入 3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn} . （1）求数列{bn} 的通项公式. （2） b29 是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是，说明理由.
答案：
an
3n 4
7 4
n
N
解析：设数列an 的公差为 d，由 a5 4a3 ，得 a1 4d 4a1 2d ，
又 a1
1 ，所以 d
3 4
，所以 an
1
(n
1)
3 4
3 4
n
7 4
n
N
.
12.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，若前 6 项均为正数，第 7 项起 为负数，则它的公差为_________________.
10.等差数列an 中， a1 1 ， a9 21，则 a3 与 a7 等差中项的值为________.
答案：11
解析：根据题意，等差数列an 中， a1 1 ， a9 21 ，
则有 a1 a9 a3 a7 1 21 22 ，
等差数列的概念及通项公式课件
2n－12.
【名师点评】 根据等差数列的通项公式an＝ a1＋(n－1)d，由已知等差数列的任意两项，就 可以求出首项和公差，从而写出数列的通项公
式．
等差中项 若 a、A、b 成等差数列，即 A＝a＋2 b，则 A 就是 a 与 b 的等差中项，若 A＝12(a＋b)时，则 a、A、b 成等差数列，这是判定三个数成等差数列的条件．
等差数列的判定与证明
根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差 数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数， 要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝ d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要判断一个数列不 是等差数列，只需举出一个反例即可．
例3 已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2. (1)数列{a1n}是否为等差数列？说明理由；(2)求 an.
例1 已知{an}是等差数列，根据下列条件求它的 通项公式：a5＝－2，a9＝6. 【思路点拨】 由条件列方程求得其首项与公差，
即可由公 aa59＝ ＝－6，2， 则
aa11＋ ＋48dd＝ ＝－6，2， 解方程得ad1＝＝2－. 10，
所以数列{an}的通项公式为 an＝－10＋2(n－1)＝
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 列．
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数)⇔{an}是等差 数列．
警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意n∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{an}为等差数 列．
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这 五个数成等差数列，求此数列．
《等差数列的概念》课件
利用等差数列的求和公式，可快速计算前n项和。
实例分析
1
应用等差数列的概念解决实际问题
通过实际案例，展示如何使用等差数列的概念解决实际问题。
2
求解等差数列中的未知数
根据已知条件和等差数列的特性，推导计算出未知数的值。
3
计算等差数列的前n项和
利用等差数列的求和公式，计算前n项的总和。
总结
等差数列的概念和特 征
2 应用
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的 前n项和，从而解决实际问题。
等差数列的常见问题解答
1 如何判断一个数列是否为等差数列？
通过计算数列中相邻项的差值，若差值相等，则为等差数列。
2 如何求等差数列中的未知数？
利用等差数列的公式和已知条件，可从中解出未知数。
3 等差数列中的前n项和如何求解？
等差数列求和公式及 应用
等差数列常见问题的 解答
练习题
等差数列练习题1
计算等差数列的第n项。
等差数列练习题2
找出等差数列中的错误项。
等差数列练习题3
计算等差数列的前n项和。
更多资源
参考书籍
推荐一些关于
介绍一些可以在线学习等差数列的优秀平台。
等差数列的概念
本节课我们将学习等差数列的基本概念，包括定义、特征、求和公式以及常 见问题的解答，以及实际问题的应用。
什么是等差数列
定义
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相 等的数列。
特征
等差数列具有固定的公差，并且每一项与它的 前一项之差都相等。
等差数列的求和公式
1 推导过程
通过对等差数列进行变形和求和，可推导出 等差数列的求和公式。
实例分析
1
应用等差数列的概念解决实际问题
通过实际案例，展示如何使用等差数列的概念解决实际问题。
2
求解等差数列中的未知数
根据已知条件和等差数列的特性，推导计算出未知数的值。
3
计算等差数列的前n项和
利用等差数列的求和公式，计算前n项的总和。
总结
等差数列的概念和特 征
2 应用
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的 前n项和，从而解决实际问题。
等差数列的常见问题解答
1 如何判断一个数列是否为等差数列？
通过计算数列中相邻项的差值，若差值相等，则为等差数列。
2 如何求等差数列中的未知数？
利用等差数列的公式和已知条件，可从中解出未知数。
3 等差数列中的前n项和如何求解？
等差数列求和公式及 应用
等差数列常见问题的 解答
练习题
等差数列练习题1
计算等差数列的第n项。
等差数列练习题2
找出等差数列中的错误项。
等差数列练习题3
计算等差数列的前n项和。
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等差数列的概念
本节课我们将学习等差数列的基本概念，包括定义、特征、求和公式以及常 见问题的解答，以及实际问题的应用。
什么是等差数列
定义
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相 等的数列。
特征
等差数列具有固定的公差，并且每一项与它的 前一项之差都相等。
等差数列的求和公式
1 推导过程
通过对等差数列进行变形和求和，可推导出 等差数列的求和公式。
4.2.1等差数列的概念(1)PPT课件(人教版)
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
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(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0
(6) 0，0，0，0，0，…
公差 d=0
变式2 ：
如果将数列1,8,15,22,29中各项的次序作一次颠倒所 得的数列29,22,15,8,1;是否为等差数列？若是，是否与 原数列相同?公差是多少?若不是，说明理由
a20 ?
要是有通项公式 该有多好啊！
证明：由已知得
证明：由已知得
an+1-an=[4(n+1)-3]-(4n-3)
an+1-an=[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n) =2n+2（变量）
=4（常数）
所以数列{an}不是等差数列
所以数列{an}是等差数列
等差数列的判定方法：
an+1-an=d（常数） 数列{an}是等差数列
课堂小结
(2)后一项与前一项的差
(3)同一个常数(公差d)，即an+1-an是不是同一个 常数；
2.公差d可以是正数，负数，也可以为0.
变式1：下列数列是等差数列吗?
观察数列 ( 1) 4，5，6，7，8，9，10; 公差 d=1
(2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
• •
1 2
..等在差数数列{列an{a}中n}中，，若是果否对有于a任n意a的n1正2a整n1数(nn(2n)?2 )
,都
有
an
an1an1(n2)，那么数列{an}一定是等差数列吗？ 2
拓展延伸
1.判断下列数列是否是等差数列
(1)an=4n-3;
(2)an=n2+n
(1)解：是等差数列
(2)解：不是等差数列
8844.43米
减少6.5
高度(km) 1 2 3
温度(℃) 28 21.5 15
45 8.5 2
6 7 …9
-15, 8.5, 2, …, -24.
建构数学：请观察： d=76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062
d=-
（2） 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24
数学应用
例1.判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出 公差
（1）4，7，10，13，16； （2）6，4，2，0，-2，-4； （3）2,2,2,2,2；
（4）-3，-2，-1，1，2，3 .
公差是3 公差是-2 公差是0 不是
1.判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进 行判断：
(1)从第二项开始
• 知识界面：
• 等差数列的定义 • 等差中项
• 能力点击：
anan1d（n 2）
A ab 2
(1)特殊到一般的数学思想；
(2)观察、分析、归纳、推理的能力 ；
(3)分析问题解决问题的能力 .
课后作业
思考题:根据规律填空? 你能求出该数列的通项公式吗？
1，4，7，10，13，16，( ),( )……
高中数学
欢迎指导
2.2.1等差数列的概念
等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
（1）2 ，3 ， 4
（2）-1，2 ，5
（3）-12，-6 ，0 （4）0， 0 ，0
如果在 a 与 b 中间插入一个数A，使 a ，A，b 成等差
数列，那么A叫做 a 与 b 的等差中项.
A ab 2
变式2：
若等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a5，-10a-1， 求a的值.
探究：
6.5
（3）1，1，1，1， ···.
d=0
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的
请前共一同问项特：点的它：差从都们等第有于2什项同起么一，个共常每同数一特，项点那么？这个数列
就与叫它做的等前差一数项列的. 差等于同一个 这表常个示数常. 。数叫做等差数列的公差，公差通常用 d
即 anan 1d(n2)或 an 1and(n1 )
公差d=-7
例2. 求出下列数列中的未知项： （1）3 ， a ， 5 （2）3，b，c， -9
解 （ :1 ）根据 a 题 35 意 a，， 解 a得 4;得
(2 )根据 题 b c b 3 c 意 9 bc ， ， 解 b c 得 5 1 .得
变式1：
• 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三 个数就会成为一个等差数列：