初一二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法

考点名称：二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

二元一次方程组解的情况：

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：

1、有一组解。如方程组:

x+y=5①

6x+13y=89②

x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

2、有无数组解。如方程组：

x+y=6①

2x+2y=12②

因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3、无解。如方程组：

x+y=4①

2x+2y=10②，

因为方程②化简后为

x+y=5

这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：

ax+by=c

dx+ey=f

当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

二元一次方程组的解法：

解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c>0)

一、消元法

1）代入消元法

用代入消元法的一般步骤是：

①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或x = ay + b的形式；

②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；

④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

例：解方程组：

x+y=5①

｛

6x+13y=89②

解：由①得

x=5-y③

把③代入②，得

6(5-y)+13y=89

即 y=59/7

把y=59/7代入③，得

x=5-59/7

即 x=-24/7

∴ x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。

2）加减消元法

用加减法消元的一般步骤为：

①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；

②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），

再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单

的方程，求另一个未知数的值；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

例：解方程组：

x+y=9①

｛

x-y=5②

解：①+②

2x=14

即 x=7

把x=7代入①，得

7+y=9

解，得：y=2

∴ x=7

y=2 为方程组的解

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

3）加减-代入混合使用的方法

例：解方程组：

13x+14y=41①

｛

14x+13y=40 ②

解：②-①得

x-y=-1

x=y-1 ③

把③代入①得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入③得

x=1

所以：x=1,y=2

特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。

二、换元法

例：解方程组：

（x+5)+(y-4)=8

｛

（x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

三、设参数法

例：解方程组：

x:y=1:4

｛

5x+6y=29

令x=t，y=4t

方程2可写为：5t+6×4t=29

29t=29

t=1

所以x=1，y=4

四、图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，

两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。