可降阶的二阶微分方程
二阶阶微分方程的解法及应用
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
机动
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
机动
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结束
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
结束
微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
二阶微分方程及其模型
x 4 y (1 ) . 2
3 4
3 4 1 4
3 4
二、二阶线性微分方程
一阶线性微分方程 二阶线性微分方程
dy P( x) y f ( x) dx
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
1
)dx.
dp 1 x 解：令y p, p xe（一解线性方程） dx x
C1 2 y [ xe xC1 ]dx ( x 1)e x C2 . 2
x
[ xe e
x
1 dx x
dx C 1 ]dx xe x xC 1 ,
(3) y f ( y, y) (方程右端不显含 x)
,
y1 x Qm e
k ( 2) m
( j ) x
,
y x e [Qm e
k
x
jx
Qm e
jx
]
x e [ R ( x ) cosx R ( x ) sinx ],
k
x
(1) m
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m次多项式，m maxl , n
( 2)
的一个特解 , Y 是与(2) 对应的齐次方程 (1) 的通 解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解.
2. 二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
可降阶的二阶微分方程
代入方程，得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p dp f ( y, p)
dy
这是关于y, p的一阶微分方程，设它的通解为
则原方程的通解为 y' p (x,C1)
分离变量并积分,便可得方程的通解为
y
dy
( y,C1)
x
C2
例1.3 求 yy'' y' 2 0 的通解，并满足初始条件y|x=0=1, y′|x=0=2的特解.
当y≠0, p≠0时, 积分得
dp dx py p C1 y
再分离变量后积分，得通解为
y C2eC1x 利用初始条件y|x=0=1, y′|x=0=2可得C1=2, C2=1 故所求特解为
y e2x
高等数学
dx
C
eln
x
xex
1 x
dx
C
xe x
Cx
即
dy x ex C
dx
所以原方程的通解为
y
xex Cx
dx
xex
ex
C1 2
x2
C2
xex ex C1x2 C2
例1.2 求微分方程 y'' 3y' 2 0 满足初始条件y|x=0=0, y′|x=0=-1 的特解.
高等数学
可降阶的二阶微分方程
定义1.1 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程. 其中最简单的阶微分方程为 y(n) f (x)
对方程两边逐次积分,得 y(n1) f (x)dx C1
y(n2)
f
(
x)dx
C1
dx
C2
……
连续积分n次后,得到其通解y的表达式(其中含n个任意独立常数.
可降阶的二阶微分方程
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例７.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
锗考溶倦肮评令赡算亢镰锨诽狈牛风月奈禁修践鄂群自柬秀渭禹育朝全狐可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
金啄辜八落底斋幢业齐趋妊腿意彤校隅菠疾践糠晤股源肉茅娄秩雇暑谰炭可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
佐古拖蕾氯官保站拆言痉已掐护杯角逾格蘑傲磐沉杯湛葛汐郁告充宴纺评可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
诧塘些啸邢磅堆蒙秉巡蕉宁锰想坊弹早撼镭墨辩黄泳钦蛊硕排梆间颐饥矣可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
去分母后两边对 x 求导, 得
又由于
设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2 [例 2] 求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解. 解 令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 2 x p p 1 p , 程,得
2 pd p d x 分离变量得 , 两边积分得 2 1 p xLeabharlann 第七章微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
y 0的通解.
2
dP 解 设 y P( y ), 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , C1 y , dx dy
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a
1 2 y ' ' 1 y ' a 于是有 y (0) a, y(0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
a 2 2C1 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p( x) ,则 y p( x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
4-2可降阶的二阶微分方程
微积分
例5、悬链线方程
如下图所示 张力大小为 , 绳索仅受重力作用
4.5
微分方程
, 其线密度为 , A 处 .
H , 沿水平方向 . 试建立悬链线方程
y
T A
a
M ( x, y)
Hox来自返回微积分例6、目标追踪问题
如图 , A 点有一目标沿平行于 从 O 点发射一导弹 若要击中目标 时的位置 .
返回
微积分
四、应用
4.5
微分方程
例4、交通事故勘察
如图 : 若在事故现场测得拖痕 刹车前的车速 长度为 10 m , 试判定
.( 车轮与地面摩擦系数为
)
10 m O
若 1 . 02 , g 9 . 81 m / s
2
x
则 v 0 14 . 15 m / s 50 . 9 km / h
4.5
微分方程
y 轴方向以速度
v 0 前进 ,
, 始终以对准目标
5 v 0 速度飞行 . 目标被击中
, 求导弹运行曲线方程及
y
y y( x )
P( x, y)
Q (1 , v 0 t )
o
y 5 8
4
A (1 ,0 )
x
5 24
返回
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
.
问题： 若 y ( n ) f ( x ), 怎么解 ?
返回
微积分
二、 y f ( x , y ) 型 特点：不显含 y . 解法： （1）换元
令 y p ( x ), 则 y dp dx .
4.5
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
x e x , e 2 x 线性无关; 例如 当x ( , )时， e ，
1， cos2 x , sin2 x 线性相关.
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) ( 2) 的 一 个
*
特解 , Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解 , 那么
y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
考研复习 可降阶的二阶微分方程
y=∫
(∫ f (x)dx) dx + C x + C .
1 2
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
解
′ = ∫ ( xe x + cos x )dx y
= xe x − e x − sin x + C1 y = ∫ ( xe x − e x − sin x + C1 )dx = xe x − 2e x + cos x + C1 x + C 2
即 y′ = C1 x,
1 y = C1 x2 + C2 , 2
2
即 y = Cx + C0 ,
例2 解
求方程 x2 y′′ + xy′ = 1的通解.
设 y′ = P(x),
则 y′′ = P′(x)
代入原方程 x 2 P ′ + xP = 1 , 即P′ + 1 P = 1 , x x2 1 解线性方程, 解线性方程 得 P = (ln x + C1 ) x 1 即 y′ = (ln x + C1 ) x 两端积分,得原方程通解为 两端积分 得原方程通解为 1 2 y = ln x + C1 ln x + C2 , 2
解
yy′′ = 2( y′ 2 − y′) 即求初值问题 y(0) = 0 , y′(0) = 2
dP , 设 y′ = P( y), 则 y′′ = P dy dy dP 2( P − 1) 代入原方程得 = dy y dP dy =∫ ln( P − 1) = ln y 2 + C ∫ P −1 y ∴ y′ = P = y 2 + 1 , 将 y = 1 , P = 2 代入 , 得 C = 0 ,
高等数学-十八 贝努力方程、 可降阶的二阶微分方程
代入 yf(y,y) 得 p dp f ( y, p) dy
这是 p 关于 y 的一阶微分方程
p(y,C 1)
dy dx
( y, C1)
dy dx
( y, C1)
dy(y,C1)dx
dy(y,C1)dx
y(y,C 1)dxC2
例4 求 y 2yy 满足初始条件
y2
1(1x2)c(1x2)14
3
例3 求方程 xyyy2lnx0 的通解
解 先化成标准形式 y1 y lnx y2 2
xx
两边除以 y 2
y2y1y1 lnx
x
x
设 z y 1 dz 1y2 y
dx
y2 y dz dx
dz 1 z lnx dx x x
1dy[q(x)p(x)]dx y
3. 当 0,1 时 dyp(x)yq(x)y
dx
它不是一阶线性微分方程,可通过变量代换,将该
方程化成线性方程,两边同除以 y
y d y p(x)y1 q ( x ) 令 z y1
dx
两边对 x 求导得 z(1)yy
dz zy y3 dy
dz yz y3 dy
p(y) y q(y)y3
z[ y3eydydyc]eydy [ y3e1 2y2dyc]e1 2y2
[ y2e1 2y2d1y2c]e1 2y2 2
[
y2de12y2
1y2
dz 1 z lnx
dx x
x
dz 1 z lnx
dx x
x
p(x)1 q(x)lnx
x
x
z[ lnxe1 xdxdxc]e1 xdx
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
微积分：二阶微分方程
若有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
b, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 b)u (r12 br1 c)u 0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例6求初值问题
y
y 2 y x0 4, y
y x0
0 2
解 特征方程
r 2 2r 1 0 r1 r2 1
y (C1 C2 x)ex .
将y x0 4代入， 得C1 4，
y (4 C2 x)ex , y (4 C2 x C2 )ex .
2、不含自变量x： y=f （y，y） 这时应把y视为新变量。
令y=P，
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
方程化为 p dp f ( y, p). dx
例 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
将y x0 2代入， 得C2 2，
y (4 2x)ex .
3.二阶常系数线性非齐次微分方程
y+by+cy=f(x) 现在讨论f(x)为： Pm(x) ; Pm(x)ex ; Pm(x)excosx 或Pm(x)exsinx 等 特殊情况。以上可合并为
f (x)=Pm(x)e ( + i) x
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
二阶微分方程
这就是说， 是方程(6)的解 的解， 这就是说，如果函数 y = e rx 是方程 的解，那么 r 必须满 足方程(8)． 足方程 ． 反之， 是方程 的一个根， 是方程(8)的一个根 则 反之，若r是方程 的一个根， 是方程(6)的一个特解 的一个特解． e rx是方程 的一个特解． 方程(8)是以 为未知数的二次方程 为未知数的二次方程， 方程 是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分 2 的系数， 方程(6)的特征方程， 方程 的特征方程，其中 r 和 r 的系数，以及常数项恰好 依次是微分方程(6)中 的系数． 依次是微分方程 中 y′′ 、y ′ 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根． 特征方程的根称为特征根． 特征根
y = (C1 + C 2 x )e r2 x
（10）
(3)特征根是一对共轭复根 1,2=α±βi ， 这时y1 = e (α + βi ) x 特征根是一对共轭复根r 特征根是一对共轭复根 ±
y 2 = e (α − βi ) x 是方程 的两个特解，但这两个解含有复数， 是方程(6)的两个特解 但这两个解含有复数， 的两个特解， 和
11
1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
C x ln y = C1 x + ln C 2 或 y = C 2 e 1
显然它也满足原方程． 如果P 显然它也满足原方程．但 y =C 如果 = 0，那么立刻可得 y = C， 那么立刻可得 Cx 已被包含在解 y = C 2 e 1 中了 (令 C1 = 0 就可得到它 ).