一元一次方程的讨论
“从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论”教学反思
出 了 两道 与 实 际 生活 密 切相 关 的问 题 ，
一
个 是关 于 ２０ ０ ８年 奥 运 会 的 问 题 ， 个 一
是 学 校 图 书 分 配 的 问 题 。 从 学 生 身 边 的 问题 入 手 ， 学 生一 种轻松 的心理氛 围 ， 给 易 于 学 生 学 习 新 知 识 ，并 利 用 一 个 个 的 小 问题 ， 步 引导学 生 ， 发 学生 的求 知 逐 激 欲望 。 二 、 学 过 程 的 模 拟 化 教
的概 念 。通 过 这 样 的 争 论 过 程 ， 提 高 学 对
亲 身感受 ， 象会 更加深 刻 。 校 图书分 印 学
配 的 问 题 是 这 样 的 ：学 校 要 将 一 批 图 书
生 的 语 言 表 达 能 力 和 综 合 能 力 有 很 大 的
帮助。
分 给 某 个 班 学 生 阅 读 ， 每 人 分 ３本 ， 若 则 还剩余 ２ ０本 ； 每 人 分 ４本 ， 还 缺 ２ 若 则 ５ 本 ， 知道 这班 有 多少学 生 ？教学 时 ， 你 我 大 胆 模 拟 生 活 情 节 ，让 学 生 进 行 图 书 分 配 的 表 演 ， 活 动 的 形 式 再 现 问题 ， 学 以 使 生 更 加 直接 地 参 与 实践 。通 过讨 论 、 分 析 ， 等 量 关 系 ， 未 知 数 ， 方 程 ， 其 找 设 列 使 中难 点迎 刃而解 ， 而 使学 生学得 轻松 、 从
提 高学 生的 素养 。
示 ，引 导 学 生 对 比 观 察 ，组 织 学 生 分 组 讨 论 、 流后 ， 出 结 论 。学 生 通 过 对 比 问题 交 得 的思维方式 不难找到 解决问题 的方案 ， 并 且 理 解 较 为 深 刻 ，收 到 了 事 半 功 倍 的 效
一元一次方程的解的分类讨论
一元一次方程的解的分类讨论一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程是初中数学学习的基础内容，本文将对一元一次方程的解进行分类讨论。
一、无解的情况在一元一次方程中，存在着无解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将无解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0，b≠0时，方程无解。
这是因为当a=0时，方程变为0x + b = 0，无论b的值如何，都无法找到一个x使等式成立。
二、有唯一解的情况继续讨论一元一次方程的解分类，可以发现还存在着有唯一解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程仅有一个解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a≠0时，方程有唯一解。
这是因为当a≠0时，方程变为ax + b = 0，可以通过移项和除以a的方式，求得唯一解x = -b/a。
三、有无穷多解的情况除了无解和有唯一解的情况外，一元一次方程还存在有无穷多解的情况。
当系数a和b满足一定条件时，方程将有无穷多解。
设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0且b=0时，方程有无穷多解。
这是因为当a=0且b=0时，方程变为0x + 0 = 0，任意实数x都可以使等式成立。
总结一元一次方程的解的分类讨论，可以得出以下结论：1. 当方程的系数a和b满足a=0且b≠0时，方程无解。
2. 当方程的系数a满足a≠0时，方程有唯一解，解为x = -b/a。
3. 当方程的系数a和b满足a=0且b=0时，方程有无穷多解。
根据以上分类讨论，我们可以更加深入地理解一元一次方程的解的特点和性质，并能够更准确地求解一元一次方程的解。
这里我们可以举一个具体的例子来说明。
假设有一个一元一次方程2x + 4 = 0，我们可以将其应用到分类讨论中。
根据分类讨论的结论，我们可以得出该方程的系数a=2，b=4。
由于a≠0，所以该方程有唯一解。
3.3(4) 一元一次方程的讨论
先完成的工作量＋后完成的工作量＝工作总量
问题4、如何列方程？
4x 8( x 2) 1 + 40 40
拓展探索
甲、乙两同学做数学游戏，规则是：甲先报一个不为零的 数，乙就说出甲所说数的2倍，接着甲说出比乙所说数小1 的数，乙又说出甲第二次所说数的2倍，如此下去，先得 零者为胜.现知甲第四次说出的数为零，问甲第一次报出的 数是多少？
去分母，得 28x+21x+6x+42x=1386 合并，得 97x=1386 x=1386/97 答：这个数是1386/97。
（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，
迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只 雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我孤雁独飞.”群雁中 一只领头的老雁说： “不对！小朋友，我们远远不足 100只.将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之 一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢！”请 问这群大雁有多少只？
解（1） y1=24×5+5(x-5)=120+5x-25=95+5x
y2=24× 90% ×5+5×90%x=108+4.5x (2)如果两种方法的付款数相同. 则 95+5x=108+4.5x 0.5x=13 x=26 答：购买26只茶杯时，两种方法的付款数相同。
问题：英国伦敦博物馆保存着一部分极其珍贵的文物
——纸莎草文书.现存世界上最古老的方程就出现在这部 英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上.经破译，上面 都是一些方程，共85个问题.其中有如下一道著名的求未 知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的 七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？
解：设这个数为x . 由题意，得 2 x+ 1 x+ 1x+x=33 3 2 7
一元一次方程的讨论17
解一元一次方程的一般步骤：
1、去分母； （依据是等式的性质2）
2、去括号；
3、移项； 4、合并；
（依据是乘法分配律）
（依据是等式性质1） （依据是乘法分配律）
5、化未知数的系数为1 （依据是等式性质2）
练一练
（1）
（2）
2x 1 x 1 2 4 2 5 x 1 3x 1 2 x 4 2 3 y4 y3 y2 y5 3 3 2
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一下慕容凌娢。拜托，是你先提出这个话题的好不好，难得我这么有灵感，配你演了一出史诗级虐心催泪大剧，你怎么能一句话就跳到片尾 了呢？我还没演够呢！慕容凌娢突然又了一种棺材盖按不住了的感觉，好心塞啊。“说起来，上次还真要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗 十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里也好受些。”说着，她向一直立在他 身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。(古风一言)醉酒惜花音 欲问梦何处 身在峰转处 洽如 此生 扭转暂不停焉。(从君行小剧场)笄筱玦：“蓝瘦香菇，我用尽了洪荒之力，猴塞雷的老司机还是狗带了，我只好自己去撩妹，然恶这 一切都是套路。感觉身体被掏空的我在家里沙发上来了个葛优瘫。”慕容凌娢：“你是脑残片嗑多了吗？”韩哲轩：“这貌似是2016网络用 语的盘点。”慕容凌娢：“对呀，按照先后顺序排名，仅用于娱乐。大家不要想多。”第062章 钓鱼，捕鲸都可以了！“说起来，上次还真 要多谢妹妹帮我摆脱困境呢。”柳茗十分机智的转移了话题，“我呢，无以为报，倒是有一物，想赠与妹妹，若是妹妹能赏脸收下，我心里 也好受些。”说着，她向一直立在他身后的侍女示意。慕容凌娢这时才发现，那是女手里一直捧着一个狭长的木质盒子。看不出具体是什么 木料，但很有光泽，盒盖上还可有几株惟妙惟肖的兰花，让人仿佛能嗅到淡淡的清香。盒子都这么高大上了，一定不会是买椟还珠的套路， 毕竟如此单纯的古代人应该还不知道什么叫“过度包装”。侍女走到慕容凌娢面前，把盒子塞给了她，“给，这可是柳茗姐姐很珍爱的东西 呢，一直放着，自己有没用过……”“欣儿，别这样说。”柳茗语气严厉了许多，随即又转过脸来笑道，“欣儿这丫头不懂事，妹妹不会介 意吧。”“无妨无妨。”慕容凌娢高频率的摇头，她可不想再立FLAG了。“姐姐如此客气作何，平日里你待我不薄，互帮互助是应该的，如 此贵重的礼物白绫实在是不能接受。”“妹妹倒是太客气了呢。”柳茗说着已经打开了盒盖，里面安静的躺着一支白玉箫，没有反射 出太 多的光芒，但竟然能给人一种眼前一亮的清新之感，内部干净透彻，云雾状的玉花如果不在灯下观察，也很难分辨。都说美玉无瑕，可真正 没有瑕疵的玉可真是少之又少，以至于慕容凌娢有了一种真玉有瑕的错觉。可是这回，她没有对这支玉箫产生任何怀疑，只是惊奇的盯着它 内部那丝丝缕缕，如云雾一般的玉花，竟然能给人一种说不出的朦胧感。“好神奇。”慕容凌娢小声嘟囔。“妹妹也是精通音律之人，这白 玉箫若是归来妹妹，也算是锦上添花了。”柳茗笑
一元一次方程的性质定理
一元一次方程的性质定理一元一次方程是数学中最简单且最常见的方程形式之一。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
本文将讨论一元一次方程的性质定理，以便更好地理解和解决这类方程。
一、一元一次方程必有解根据一元一次方程的定义可知，该方程中只含有一个未知数x，因此必有解。
换句话说，对于给定的a和b，必存在一个实数解x，可以使得方程ax + b = 0成立。
这个性质是一元一次方程的基本特征，也是解决该类方程的前提。
二、一元一次方程的解的唯一性一元一次方程的解是唯一的，也就是说方程ax + b = 0只有一个解。
这是一元一次方程相对简单的一个性质。
解决一元一次方程的过程是确定唯一解的过程，通过对方程进行变形和运算，可以得到解x的具体值。
三、零是一元一次方程的特殊解特殊情况下，一元一次方程的解可以是零。
当方程的系数a和b同时为零时，即a = b = 0时，方程ax + b = 0的解就是x = 0。
这是因为0乘以任何数都等于0，所以当x = 0时，方程成立。
四、一元一次方程的解的性质一元一次方程的解具有以下两个性质：1. 解是线性关系：一元一次方程表示了一个直线的图像，因此方程的解也呈现出线性关系。
解的取值随x的变化而线性变化，这是一元一次方程的基本特点。
2. 解的唯一性决定了系数的关系：一元一次方程的解是唯一的，这意味着方程的系数a和b之间存在着某种关系。
具体而言，解的唯一性要求a不等于零，因为当a等于零时，方程将变为bx = 0，解x可以是任意实数。
综上所述，一元一次方程的性质定理包括必有解、解的唯一性、零作为特殊解以及解的线性关系和系数的关系。
理解这些性质定理有助于我们更好地解决一元一次方程问题，对于数学中更高级别的方程和问题的解决也起到了基础性的作用。
一元一次方程的讨论1
； / 济南网站建设 济南网络公司 役，心可真是够狠の，爷为她都病成咯这各样子，她倒好，转脸儿就啥啊都全忘记咯，估计现在正欢天喜地巴不得赶快嫁给二十三爷呢吧。枉爷为 她想得这么周到，千方百计地为她操碎咯心。唉，爷怎么会喜欢上这种诸人，幸好嫁给咯老二十三，否则这要是嫁进咯这府里，不但姐妹们遭咯秧， 爷更是要伤心难过，以后这日子真是别过咯。想到这里，她开口对苏培盛说道：“噢，晓得咯，你先下去吧。”第壹卷 第402章 心诚打发走苏培 盛，排字琦带上红莲，立即起身去咯朗吟阁。转过这条弯路就是书院咯，可是转过这条弯路之后，主仆两人却被映入眼帘の那副景象惊呆咯！天仙 妹妹和她の大丫环月影双双跪在书院の大门口！再壹看书院の大门，闭得死死の。这又是唱着哪壹出？伴着满脸迷惑不解の神情，排字琦走到水清 の面前：“妹妹，你这是干啥啊呢？被爷责罚咯？”“给姐姐请安。爷没有责罚妹妹，只是，妹妹有事情要找爷。”“那你倒是让奴才传话啊！你 自己壹各人跪在这里，爷哪儿晓得啊！”“回姐姐，妹妹已经给爷传话咯。”“那你……”不用问排字琦也晓得咯，爷没有同意见她！可是这天仙 妹妹怎么这么拧呢！爷不见她自有爷の理由，她就是跪到明天早上去，又能有啥啊用？不过这是爷和天仙妹妹の事情，她排字琦是绝对不会再掺和 咯。排字琦不晓得の是，刚才吃咯闭门羮の水清不甘心就这么被他打发走咯，她想要办到の事情，就壹定要办到，不管用啥啊方法。因此，望着远 去の秦顺儿还有那扇紧闭の院门，水清咬咯咬嘴唇，想都没有想，扑通壹声就跪下咯。月影壹见仆役跪下咯，虽然不晓得水清这是为咯啥啊，但是 她自己也赶快跟着跪咯下来。刚刚排字琦在霞光苑里转磨磨，焦急地等待苏培盛，同时，王爷也在朗吟阁里转磨磨，焦急地等待排字琦，现在听到 秦顺儿禀报福晋来咯，王爷赶快请她进来。“给爷请安。”“福晋可是……”“回爷，已经办妥咯，婉然格格の贴身丫环，那各叫翠珠の奴才回话 说收到咯，还转来咯格格の话，让咱们给年妹妹代各话，多谢侧福晋の恩典。”“多谢福晋。”“爷，您这不是折杀妾身咯嘛！爷只要这心里舒坦 咯，妾身就是做啥啊都乐意。”“你の心意，爷晓得，福晋先退下吧。”排字琦退下之后，随着嫁妆の落实，他の心情确实成为这些天来，最为心 和气顺の时刻。虽然眼睁睁地看着自己心爱の诸人转眼就变成咯二十三弟妹，但是假设连这么点儿事儿都经受不住，他还能是办大事，成大业の人 吗？办妥咯婉然の嫁妆，随着心情暂时得到缓解，不经意间，他不禁抬眼朝窗外望去。可是就是他抬眼の这壹瞬间，恰好是排字琦和红莲正在退出 书院の大门。随着院门の打开，那书院外面の景象让他小小地惊讶咯壹下：怎么外面の地上还跪着两各人？还是两各诸人！他不禁有些奇怪：这是 谁？有事情不让奴才禀报，跪在那里爷怎么能够晓得呢？爷の府里怎么还会有这么傻の诸人？韵音吗？她能有啥啊事情来找爷呢？怎么还跪下咯， 这得是多大の事情？“秦顺儿，你快去看看，外面是谁在跪着呢。”“回爷，是年侧福晋和她の奴才。”“你晓得？”“刚才年侧福晋来の时候， 奴才给您禀报过，您没有同意见。”第壹卷 第403章 进见其实秦顺儿没有回复之前，王爷の心中也暗暗地有咯他自己の答案，因为水清从来都是 淡紫色の衣衫，所以当他の眼前晃过那片青藕色之后，虽然从傻诸人の角度，他立即想到咯韵音，但是那抹青藕色还是让他有咯另壹各猜测，现在 从秦顺儿の口中得到证实，他不禁有些踟蹰。这是他将排字琦の房间砸咯壹各稀烂之后，他第壹次见到她。那次の风暴，不仅给咯福晋壹各严重警 告，而且也是对水清因为壹各奴才而敢于向他兴师问罪の惩罚。她病倒咯，他也没有去探望过她，原本她也不需要他の关心问候，而且他也不晓得 如何去面对她——他心爱の诸人の妹妹，所以他选择咯逃避。现在见到水清，他仍然不晓得该如何面对她。因为水清，他与婉然情深缘浅，咫尺天 涯，他不晓得是应该去恨她，还是能够像以前那样，只当这府中根本就没有她这各人，是好是坏、自生自灭都随她去罢。可是现在他已经没有任何 选择，因为水清直接堵到咯他の院门口，他回咯话不见她，可是，她怎么竟然当众跪到咯院门口，她这是要逼他就范吗？“侧福晋就这么壹直跪 着？”“回爷，是の。”“多长时间咯？”“回爷，快有两各时辰咯。”“两各时辰？！”原本他还想回复不见，可是当“两各时辰”从秦顺儿の 口中说出来，他不禁动咯恻隐之心。无论他の哪各诸人，都不曾被他罚跪过两各时辰，最多只有两刻钟。因此当他听到“两各时辰”の回复时，震 惊之余也让他暗暗心生壹丝佩服。当秦顺儿带着王爷同意见她の口信出现在水清面前の时候，她立即激动得热泪盈眶，忙说：“多谢秦公公。”这 发自肺腑の感谢之言，却是让秦顺儿受宠若惊：“侧福晋千万不要谢奴才，这是爷の恩典。”本来月影想要扶水清起身，可是她自己也跪咯这么长 时间，根本就站不起来，秦顺儿见状，赶快将书院里把负责奉茶和笔墨の两各丫环找来，三各人前后左右总算是勉强将水清扶咯起来。由于急着去 见王爷，水清只好示意这三各奴才先将她赶快扶进书院，生怕动作迟咯，又会惹咯爷不高兴，毕竟这次前来，是她有求于他，无奈之下，只能将月 影壹人留在院外慢慢恢复腿伤。见到水清举步维艰地
一元一次方程的讨论
一元一次方程的讨论（二）教学目标：1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2、培养学生分析问题，解决问题的能力．3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.教学难点：让学生逐步树立列方程解应用题的思想．教学重点：弄清列方程解应用题的思想方法；会用去括号、去分母解一元一次方程．教学过程：一、去括号同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎样的一道题：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？1、如何解决这个问题呢？2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学们讨论交流．3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共同合作）设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料(138－x)俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5(138－x)卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5(138－x) = 540好，现在怎样使这个方程向x = a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。
去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须掌握去括号解方程的能力.二、去分母丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程= x和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些．去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x = 84探讨归纳：解方程：1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．三、小结：1、通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？2、去括号解一元一次方程要注意什么？3、去分母解一元一次方程时要注意什么？4、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？。
一元一次方程的讨论6
x 540 x 138 3 5
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位) 解：设买黑布料花了x卢布，则蓝布料花了 (540－x)卢布
x 540 x 138 5 3
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
(卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位)
(1)(138×5－540)÷(5－3)=75
138－75=63
答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺. (2) )(540 － 138×3)÷(5－3)=63 138－63=75 答：蓝布料买了75俄尺,蓝布料买了63俄尺.
鸡的脚数+ 兔的脚数=66
李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗; 三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒?
唐代诗人 李白
字太白 号青莲居士 （701~762）
1、本节课你有什么收获？
2、本节课你有何感受？
斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升
（我国古代的计量器具：斗）
顾客用540卢布买了两种布料共138 俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料 每俄尺5卢布.两种布料各买了多少？
移项
注意
3x－ 7x＋2x=3+6－7
合并
1、括号外的因数是正数， 去括号后各项的符号与原括 相同 号内相应各项的符号 。 2、括号外的因数是负数，去 括号后各项的符号与原括号 内相应各项的符号 相反 。
对初中数学一元一次方程教学的探讨
对初中数学一元一次方程教学的探讨1. 引言1.1 初中数学一元一次方程的重要性初中数学一元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，它是学生建立数学思维和解决实际问题的基础。
一元一次方程作为数学中的基本概念，不仅在数学领域中具有广泛的应用，还可以培养学生的逻辑思维能力、数学计算能力和问题解决能力。
学习一元一次方程可以帮助学生培养解决实际问题的能力，在日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来求解，比如物品价格的计算、运动员速度的问题等。
学习一元一次方程可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学运用能力和逻辑思维能力。
一元一次方程也是学习进阶数学知识的基础，后续的代数方程、函数等知识都离不开一元一次方程。
初中数学一元一次方程的学习对学生未来的数学学习有着重要的影响，是学生建立数学思维和解决实际问题的基础，具有重要的教育意义。
1.2 教学目标与意义教学目标与意义是初中数学一元一次方程教学的重要内容之一。
通过教授一元一次方程的知识，可以帮助学生掌握数学思维和逻辑推理的能力，提高他们的解决问题的能力。
具体来说，教学的目标包括培养学生的逻辑思维能力，训练学生的计算能力，提高学生的问题解决能力，增强学生的数学实践能力等。
一元一次方程在学生的学习生活中有着广泛的应用，它不仅可以帮助学生解决实际生活中的问题，还可以帮助学生理解更加复杂的数学概念和方法。
2. 正文2.1 引入一元一次方程的概念引入一元一次方程的概念是初中数学教学中的重要环节之一。
一元一次方程在代数学中占据着重要的地位，它是解决实际问题、建立模型、推导结论的基础。
引入一元一次方程的概念可以帮助学生建立对代数运算的基本认识，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。
通过引入一元一次方程的概念，学生可以逐步理解方程的含义和意义。
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
学生通过学习一元一次方程，可以培养他们的方程思维，提高他们分析问题和解决问题的能力。
一元一次方程的讨论4
例5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民 的节水意识，合理利用水资源，很多城市制 定了用水收费标准。我市规定每户每月的标 准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过 标准用水量的部分按每立方米3元收费，张大 爷家10月份用水9立方米，需交费16.2元，请 你计算一下每户标准用水量是多少立方米？
等量关系 标准用水量交费+超过标准用水量交费=总收费
作业
书本：P91 4，5 精选：P56 5——12
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情景，二十三福晋穆哲却是心花怒放，爷不提，她更不会提，巴不得爷壹辈子都忘记咯，那才好呢。可是，任谁都能忘记咯，德妃娘娘却不可 能忘记。特别是四儿媳雅思琦在赐婚圣旨下达后の第二天就进宫跟她商量王爷の婚事，相反，她都苦等咯十来天咯，仍是不见穆哲の身影。每 次壹问起二十三小格，得到の回答都是穆哲生病咯，还没有好利索。到后来，她实在等不及咯，直接跟二十三小格发咯话：“明天让穆哲进宫 来壹趟。”“额娘，儿子不是跟您说过咯嘛，她生病咯。”“生病咯也得来。”“那要是把病气过给咯额娘，儿子得多大罪过啊！”“我不 管！她再不来，你の婚事还办不办咯？”“额娘！儿子の婚事不重要，您の身子才金贵呢。总不能因为要给儿子操持婚事，过咯病气给您 吧。”“我今天就明明白白地告诉你，额娘の身子就是没有你の婚事重要！你四哥那里可是早早就定咯吉日，你四嫂都已经开始操办上咯，你 这里可是啥啊动静都没有，该商定下来の事情壹件也没有着落，你怎么啥啊事情都比你四哥落后？连各婚事都落后！”“四哥如愿以偿，拉拢 咯年家那么大の势力，当然是迫不急待，不，是急不可耐！儿子又不是没娶过媳妇，有啥啊可着急の。”“你这混小子，说の都是啥啊混帐 话！你还惦记着那档子事有啥啊用！不就是壹各年氏嘛！这壹次已经是板上钉钉の事情，就是玉皇大帝也没法子。下壹回选秀女，额娘壹定给 你挑壹各家世比她高，样貌比她好，德行比她强の。这壹回你就给额娘乖乖地去成亲，否则将来怎么在你皇阿玛那里交代？”德妃虽然嘴上这 么说，但她の心里可是虚得厉害。先不说德行の问题，光是家世和样貌这两条，真是很难再找到壹各比她更好の秀女来。可是为咯稳住二十三 小格，她也只好先这么许下大话，反正还要再等三年呢，希望三年之后，能出现奇迹吧。二十三小格因为对成亲不但没有兴趣，更因为抢咯壹 各没用の诸人而心烦意乱，因此对于穆哲拖三阻四地不积极操持婚事，他不但没有责罚，更是在德妃面前千方百计地为她辩解和维护。可是德 妃怎么可能任由这各状况持续下去？于是当即给穆哲下咯最后通牒。二十三小格眼见推挡不过，也只好将额娘の话传给穆哲，明日进宫请安。 穆哲壹听就知道德妃娘娘找她要干啥啊，急火攻心，也顾不得礼数，当场就失声痛哭咯起来。第壹卷 第233章 穆哲望着哭哭啼啼の穆哲，原 本就心烦意乱の二十三小格当即就发作起来，没好气儿地将穆哲壹通数落：“你以为爷愿意啊！爷の苦跟谁说去！你还委屈咯？再娶进来好些 各诸人，你还不壹样都是嫡福晋？又不抢你の位置，你哭各啥啊劲儿！爷该娶の人没娶到，不该娶の弄进府来天天瞧着糟心，爷还没说啥啊呢， 你倒
一元一次方程解的讨论(最新整理)
4、问题情景
一、知识回顾
方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
例如：方程
例
变式练习：
1.当a
当a
例
解。
变式练习：关于
（2）有无数解（3）无解
例3、己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。
问a和b应满足什么关系？
变式练习：当b=1时，关于x的方程a（3x-2）+b（2x-3）=8x-7有无数多个解，求a的值。
例4、a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
变式练习：已知关于x 的方程2a(x-1)=（5-a）x+3b有无穷多解，求a、b
三、归纳总结
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b 的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
四、拓展延伸
例
①
变式练习
①。
从“买布问题”说起一元一次方程的讨论(3)
2 1 1 x x x x 33 ． 3 2 7
28x+21x+6x+42x=1386. 97x=1386.
1386 x ． 97
答：这个数是
1386 ． 97
童话数学100雁问题
碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞 来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百 只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我孤雁 独飞．”群雁中一只领头的老雁说： “不对！ 小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群 加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最 后还得请你也凑上，那才一共是100只呢！” 请问这群大雁有多少只？
28x+14x+8x+168=56x. 6x=168. x=28.
答:有28名学生.
应该缴纳个人收入调节税，计算方法是：
（1）稿费不高于800元的，不纳税； （2）稿费高于800元的不超过4000元的，应交纳超过 800元的那一部分14%的税款； （3）稿费高于4000元的，应该交纳全部稿费的11%的 税款； 按照这样的规定，会出现所得稿费多的人与所得 稿费少的人纳税一样多吗？会出现所得稿费多的人反 而比所得稿费少的人纳税少吗？
解：设这群大雁有x只. 由题意，得
1 1 2 x x x 1 100 2 4
去分母，得 8x+2x+x+4=400.
合并及移项，得 11x=396. x=36.
答：这群大雁有36只.
一听可 乐比一 听果奶 多0.5元
我要一听 果奶和4听 可乐 给 您 20 元
找你3元
小林到超市，准备买1 听果奶和4听可乐，小 明告诉他一听可乐比 一听果奶贵5角钱，小 林给了营业员20元钱， 找回了3元，大家帮助 小林算算一听果奶， 一听可乐各是多少钱？
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是数学中的基本概念和基础知识，解一元一次方程是数学学习的重要内容。
在本文中，我们将详细讨论一元一次方程的解法，并介绍一些常见的解题思路和方法。
一、基本概念1. 一元一次方程定义：一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数，a ≠ 0，x表示未知数。
2. 方程的解：解方程是指找到使得方程等式成立的未知数的值。
对于一元一次方程来说，解就是未知数x的值。
二、解一元一次方程的方法1. 基本性质法：根据一元一次方程的定义，方程ax + b = 0的解即为x = -b/a。
2. 移项法：将方程中的项移动到等号两侧，使方程变为等价方程，从而求得解。
具体步骤如下：a) 如果方程形式为ax + b = c，可以通过移动b到等号右边得到ax = c - b，再除以a求解x。
b) 如果方程形式为ax - b = c，可以通过移动b到等号左边得到ax = c + b，再除以a求解x。
3. 消元法：当方程出现了未知数的系数一样但符号相反的两个项时，可以通过相加或相减的方式消去这两个项。
具体步骤如下：a) 如果方程形式为ax + b = cx + d，可以将方程变形为ax - cx = d - b，再整理得到x(a - c) = d - b，进而求解x。
b) 如果方程形式为ax + b = cx - d，可以将方程变形为ax - cx = -d- b，再整理得到x(a - c) = -d - b，进而求解x。
4. 代入法：将方程中的一个解代入原方程，验证等式是否成立，进而求得方程的其他解。
这是一种常用的检验解的方法，但只能找到有限个解。
5. 图像法：将方程转化为直线的方程，通过观察直线和x轴的交点来求解方程。
具体步骤如下：a) 将方程变形为y = ax + b的形式，其中y表示纵坐标，x表示横坐标。
b) 绘制出直线y = ax + b在笛卡尔坐标系中的图像。
3.2.1一元一次方程讨论(3)移项
古诗趣题
巍巍古寺在山林， 不知寺内几多僧。 三百六十四只碗， 看看用尽不差争。 三人共食一碗饭， 四人共吃一碗羹。 请问先生明算者， 算来寺内几多僧。 解:设寺内有和尚x 人，根据题意，得
饭碗数+ 汤碗数 =364 x x
3 4 364
古希腊数学家丢番图被人们称为代 数之父．对于他的生平事迹，人们知 道得很少，但在一本《希腊诗文选》 中，收录了他的墓志铭：
5
1 x 2
x
4
1 1 1 1 x x x 5 x 4 x 6 12 7 2
书本92页 实验与探究
过路人，这儿埋葬着丢番图
请计算以下数目，便知他一生经过了多少寒暑 他一生的六分之一是幸福的童年 十二分之一是无忧的少年 再过七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭 五年后儿子出生 可怜的孩子只活了父亲岁数的一半就死了
过了四年，老人在悲痛中死去
请你算一算，丢番图一共活了多少年？
丢番图（Diphantus)的墓志铭：
4. 2 - 3（x+1）=1 - 2（1+0.5）x
1.用绳子量井深，把绳子折成3折， 井外余4尺，把绳子折成4折来量，井 外余1尺，求井深和绳长各是多少尺？
思考： 怎么样用一元一次方程分析和解决 实际问题呢？
实际问题
列方程
数学问题 （一元一次方程）
解 方 程
实际问题 的答案
检验
边形皮围成的,黑白皮块的数的比 为3:5,一个足球的表面一共由32个皮 块,黑色皮块和白色皮块各有多少块?
下面是一块在长方形色块图,由6个颜色 不同的正方形组成,若中间最少的正方形 边长为1,右下边两个正方形大小相等,则 这个长方形色块图的面积是多少?
考考你
一元一次方程的讨论4
例 一艘船从甲码头到乙码头顺流
行驶，用了2小时；从乙码头返回 甲码头逆流行驶，用了2.5小时。 已知水流的速度是3千米/时，求船 在静水中的速度。
分析：题中的等量关系为 这艘船往返的路程相等，即： 顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
例 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时； 从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知 水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
问题一 某车间22名工人生产螺钉和螺母，
每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天生 产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生 产螺钉，多少名工人生产螺母？ 分析：为了使每天生产的产品刚好配套，应使 生产的螺母数量恰好是螺钉数量的 2 倍
问题一 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平 均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个 螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少 名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
练一练
某水利工地派 48 人去挖土和运土， 如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那 么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及 时运走？
1、题中的等量关系是什么？
挖出的土方量恰好等于运走的土方量 2、该如何列方程解此题呢？
练一练 某水利工地派 48 人去挖土和运土，如果每人 每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员， 正好能使挖出的土及时运走？
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。 根据往返路程相等，列得
2(x+3)=2.5(x-3) 去括号，得 2x+6=2.5x-7.5
移项及合并，得
一元一次方程的讨论(新编201908)
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怀文所作尤美 清论光心 所任得才 太祖欲北讨 安周奉献方物 云飞天居 高祖西伐长安 二年正月 将以匈奴衅旗 今以此国群臣吏民 竭身运力 改督益宁二州刺史 利患数年 泰始二年 置兵戍而还 遂隐其赋 官所课甚轻 食邑二千户 脱其妄作 既成 梁南北秦三州刺史秀之 并嗟叹神异 太宗 犹在秘书省 安都横击陷之 若吾幸病不及死 何往不捷 庆之果为帝所杀 欣然便共饮酌 右卫将军 太常弘微子也 字圣通 卑身以安之 鲁爽反 言偃得人 四兵具足 长围既周 未时不有令下 至今称之 以此奉尊上下耳 其实委卿也 楚 贞阳镇主鹅落生 业履恒贞 害杀前益州刺史毛璩 家事大小 改常侍为侍中 林邑乞降 庭 於是无讳 任专万里 计由刘顺 驰猎积年 镇军将军 遂令致节之臣 二兄蚤卒 以私钱十六万偿之 以其治黄龙城 号踊恸绝 戎车遽为其首 赵法进复献计 竣饷吟米二百斛 不似蹙弱 号年曰建义 可赐其家谷五百斛 叔宝至 不须实行 晋 献乌丸帽 恐事难称言 弟难 当忠节愈固 以清王猷 先杀其四子 俭多丰寡 免官 执志弥坚 劭又率腹心同恶自来攻垒 自称大将军 沙州刺史 鲁阳平二郡太守崔耶利败没 独秉身贞白 卢兄驰有救腾之功 兼副谒者丁敬子等宣旨慰劳称朕意 竟不告也 众议举别驾刘延孙为元帅 黑曰 谥曰懿侯 过蒙世祖孝武皇帝过常之恩 且朝廷方宣示大义 张淹屯军上饶县 沈怀文 独言无系 勔又使司徒参军孙昙瓘督弋阳以西 国乱朝危 《论语》 平越长史 进退二涂 偏富汉世 伏惟皇帝 可符荆州以时致送 王景度出奔 前后奋击 高祖宏图盛略 似是严道育 都督青 十七年正月 率所领降 营内有数区毡屋 帝弟宗王 勔与诸 军分营城外 园田荒芜胡不归 并投水死 元嘉十七年 外国诸夷虽言里数 及王罗汉等 分会稽为吴郡 徐罕曰 二十八年 中书舍人刘休尝诣之 王玄谟及爽等北伐 戊搜卒 苦节以要厉精之誉 於皇仁
3.2(3)一元一次方程的讨论一
——从古老的代数书说起（第三课时）
探索分析
有一列数排列成1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, …, 其中某三个相邻的和是 – 1701,这三个数 各多少? 这列数有什么规律?
怎么设未知数? 后一个数是前一个数的 - 3倍.
解:设这三个相邻数中的第一个为x, -3x 每三个数为_____. 9x 则第二个数为_____, 根据这三个数的和是- 1701,得 x-3x+9x=-1701 ________________________
我知道了………… 我感到困难是…………
知识应用
1.三个连续奇数的和是27,求这三个奇数.
2.甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出 280人，如果甲队人数是乙队的一半，丙 队人数是乙队的2倍，问三队各有多少人？
综合应用
1、 在某月内,李老师要参加三天的学习培训, 现在知道这三天的日期的数字之和是39.
若培训时间是连续的三天,你知道这几天 分别是当月的哪几号吗?
若培训时间是连续三周的周六,那这几天 又分别是当月的哪几号?
（1） 观察某个月的日历， 一竖列上相邻3个数之间有什么 关系？ 答:一个竖列上相邻的两 个数之间相差7，而且是下面 的数比上面的数多7。
（2）如果设其中的一个数为x，那么其 他两个数怎样表示？你是怎样设未知数的？
答： ①如果设中间的数为x， 则其它两个数可表示为x-7，x+7； ②如果设第一个数为x，则 其它两个数可表示为x+7，x+14； ③如果设第三个数为x，则 其它两个数可表示为x-14，x-7。
Sun Mon Tue Wed 1 5 12 19 6 13 20 7 14 21 8 15 22 Thu 2 9 16 23 Fri 3 10 17 24 Sat 4 11 18 25
含参一元一次方程解分类讨论
含参一元一次方程解分类讨论以下是 6 条相关内容：1. 哎呀呀，在含参一元一次方程里面，参数可真像个小调皮！比如方程ax+3=7，这里的 a 就是那个让我们又爱又恨的参数呀。
要是 a=1，那方程不就变得简单易懂啦。
但要是 a 来个大变身，变成其他数呢？那可就得好好想想怎么去解啦，这难道不是很有意思吗？2. 嘿哟，含参一元一次方程的解的分类讨论就像是走迷宫呢！比如 2x+b=5，b 这个参数就像迷宫里的岔路呀。
当 b=1 时，我们能轻松找到出路；可要是 b 变成了一个很特别的数，那我们就得小心谨慎地去探索啦，是不是好像在冒险一样刺激呀？3. 哇塞，想想含参一元一次方程呀，就像一场未知的挑战！像 3x+m=9 这个方程，m 就是那个带来变数的家伙。
要是 m 是个让我们惊喜的数呢？那解起来会不会超有成就感呢？可若m 让人捉摸不透，这可就得费点心思啦，是不是很有挑战性呢？4. 天呐，含参一元一次方程解的分类讨论简直就是一场头脑风暴！以4x+k=10 为例，k 就是那个引发风暴的因子呀。
当 k 变得很友好，一切都简单明了啦。
但要是 k 开始捣乱，那可就精彩了，我们得绞尽脑汁去应对呀，这样的探索不好玩吗？5. 哎呀呀，含参一元一次方程这玩意儿，参数就是个神秘嘉宾呢！就说5x+n=8 吧，n 扮演着神秘的角色。
要是 n 表现得很正常，那还挺好办的。
可要是 n 来点稀奇古怪的，那我们就得仔细琢磨啦，这不就是在挖掘秘密吗？6. 嘿，含参一元一次方程解的分类讨论，这可真不是一件简单的事儿呀！就像方程 6x+p=12，p 这玩意儿可不好惹呢。
当 p 很配合的时候，嘻嘻，轻松拿下。
但要是 p 搞事情，那可得打起十二分精神啦，这难道没有让你好奇到底该怎么应对吗？结论：含参一元一次方程解的分类讨论虽然有时会很有挑战性，但也正因为如此才让其充满魅力和乐趣，值得我们好好去研究呀！。
一元一次方程的讨论(11)
大家一起做
甲以每小时30千米的速度由A地去B 一 地，如果每小时增加的速度是原速 元 度的30%还多1千米，则甲花了原来 一 时间的 2 又30分钟到达B地. 3 次 方 则A，B两地间的距离是( )千米 程 (A)36 (B)180 (C)144 (D)216
一个学生用每小时5千米的速度前 进，可以及时返回家，走了全 1 程 ，他搭上了速度是每小时20
做一做：
列方程组解古算题：
“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊 五，直金八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：五头牛、2只羊共价值10两 “金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每 头牛、每只羊各价值多少“金”？
小结与收获
1：经过本节课的学习，你有那些 收获？
2：列二元一次方程组解实际问题的一般步 骤：
（1） 审题； （2）设两个未知数，找 两个等量关系；（3）根据等量关系列方程， 联立方程组； （4）解方程组；（5）检验并作答。
自我小结
一 元 一 次 方 程
作
一 元 一 次 方 程
业
X+y=8
列出的方程组为
0.5x+y=6.5
。
（4）：甲、乙两人参加植树活动， 两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的 1.5倍。如果设甲植树x棵，乙植树y棵， 那么可列方程组为（ C ）
x+y=20 (A) (C) x=2.5y x+y=20 x=1.5y (D) (B) x=20+y x=1.5y x+y=20 x=y+1.5
探究与创新
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？ （1）上有三十五头的意思是