第五-八讲 概率统计建模(1-3)
概率统计数学模型
概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。
概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。
一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。
在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。
而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。
二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。
三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。
2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。
3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。
4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。
5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。
6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。
7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。
概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。
通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。
概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。
一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。
第五-八讲 概率统计建模(1-3)
命令形式4：normrnd(u,v,m,n) 功能：产生服从参数为u,v的正态分布的m n的矩阵
注：再matlab工具箱中，对每一种分布都提供了如下 的几类函数。 pdf—概率密度 cdf—分布函数 inv—逆累积分布函数 rnd—随机数生成
注：求某个分布的概率密度、分布函数等的格式： namepdf(),namecdf()…… 或者 pdf(‘name’,…),cdf(‘name’,…)…….
3、中心矩、偏度和峰度——表示分布形状的统计量
中心矩：
E( X EX )r
命令形式：moment(x,n) 功能：返回x的n阶矩。
偏度：随机变量的标准化的3阶中心矩
V1
E[(
X EX D(X )
)3
]
命令形式：skewness(x) 功能：返回x的偏度。
注：偏度反映分布的对称性。V>0时，称为右偏度，此时数据 位于均值右边比位于左边的多。V<0，称为左偏度。V接近于0 ，则认为分布时对称的。如正态分布，V=0。
问：是否有理由认为该元件的平均寿命大于225小时？
原假设：H0 : 225 备选假设：H1 : 225
x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,p,c]=ttest(x,225,0.05,1)
由第一个子图 看出X服从正态 分布。
由第二个子图 看出X和Y可看作 同分布的。
由第三个子图 看出Z不服从正 态分布。
由第四个子图 看出X和Z不是同 分布的。
七、回归分析
从拟合到回归
x=[ 0 1 2 3 4 ], y=[ 1.0 1.3 1.5 2.0 2.3 ] ( + 号) x=[ 0 1 2 3 4 ], z=[ 0.6 1.95 0.9 2.85 1.8 ]（*号）
概率统计模型决策模型教学课件
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过程能力分析
通过概率统计模型分析生产过程中的能力指数，评估生产 过程的稳定性和可靠性，为生产计划的制定提供依据。
故障模式分析
使用概率统计模型对生产过程中出现的故障模式进行分析 ，找出故障原因和解决方法，提高生产效率和产品质量。
在医疗诊断中的应用
疾病预测
基于大数据和概率统计模型，可以对患者的疾病风险进行预测和分 析，为医生提供更加准确的诊断依据。
不确定决策模型
不确定决策模型的概述
不确定决策模型是指在决策过程中，各种因素的发生概率是未知的，决策者需要 根据历史数据和经验进行推断。
不确定决策模型的应用场景
不确定ห้องสมุดไป่ตู้策模型广泛应用于风险管理、预测等领域，如天气预报、市场预测等。
基于偏好关系的决策模型
基于偏好关系的决策模型的概述
基于偏好关系的决策模型是指在决策过程中，决策者根据自身偏好进行决策，这些偏好关系可以用数学模型表示 。
02
概率统计模型在科学、工程、医 学等领域有广泛的应用，为决策 提供科学依据。
概率统计模型的基本概念
01
02
03
04
随机试验
指可能出现不同结果的事件， 且每个结果的出现具有不确定
性。
随机事件
指随机试验中可能出现的观察 结果，如扔硬币的正面或反面
。
概率
指随机事件发生的可能性，用 介于0和1之间的实数表示。
平均数
所有变量值的和除以变量值的 个数，反映变量的集中趋势。
标准差
衡量变量值离散程度的指标， 反映变量的波动大小。
推论性统计模型
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法， 如点估计和区间估计。
《概率统计模型》课件
在市场营销领域，回归分析可以用于预 测产品需求、销售量、市场份额等方面 。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势 ，制定有针对性的营销策略，提高市场 竞争力。
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03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等 方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法， 用于探索变量之间的关系，并对未来趋 势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企 业做出科学合理的决策，提高市场占有 率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据 进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性 。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等 领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着 广泛的应用，如风险评估 、投资组合优化、期权定 价等。
概率论在金融领域的应用 还包括信用评级、保险精 算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参 数的过程，是统计推断的重要内容之 一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计 总体参数，常用的方法有矩估计和极 大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计 总体参数，常用的方法有置信区间和 预测区间。
假设检验的步骤
概率统计方法建模PPT课件
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5.5 随机状态转移模型
状态与状态转移 ➢随机变量Xn：第n年的状态 状态概率 ai (n)
Xn
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
ai (n) P(Xn i), i 1, 2, n 0,1,
➢今年处于状态i, 来年处于状态j的概率 pi:j 转移概率
存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可 能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过 库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量。
马氏链的两个重要类型
设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，则首达概率f ij (n) 实际上是i经n次转移被j吸收的概率。而
fij = fij (1) + fij(2) + … + fij(n) + …
则是从非吸收状态i出发终将被吸收状态j吸收的概率。 记 F={f ij} 则 F=MR
例如，可以算出前面第二种情况中
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5. 6 马尔可夫链的应用模型
模型求解 ➢ 估计这种策略下每周的平均销售量
第n周平均售量Rn
需求不超过存 量,销售需求
需求超过存量, 销售存量
3i
Rn [ jP(Dn j, Sn i) iP(Dn i, Sn i)] i1 j 1 3i [ jP(Dn j Sn i) iP(Dn i Sn i)]P(Sn i) i1 j 1
p23 p33
P(Dn k) e1 / k ! (k 0,1, 2 )
概率统计法建模
2
S2
1
2 i 1
2 2 ( X X ) ~ ( n 1); i
n
定理 设总体 X ~ N ( , ), X 1 , X 2 ,, X n 是取自
概率统计法
2015.5.27
概率统计法
一、方法原理 二、基础概念 三、建模过程 四、应用案例
一方法原理
实际系统中，许多系统过程或过程包含着随 机因素和随机事件，其特征可用随机变量 来描述，而概率分布是用数值表示的随机 事件或因素的函数，它反映了这些随机变 量的变化规律。利用概率统计学中的概率 分布及其数字特征建立随机系统或过程的 数学模型谓之概率统计法。这种方法的实 质就是通过理论分析和实验研究寻求适合 于系统随机特征的概率分布。在概率统计 建模中，贝叶斯定理占有相当重要的位置。
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率
S
x2
f ( x)d x 1
f ( x)d x
S1
1
o
x1
x1 x 2
S1
x
正态分布(或高斯分布)
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
P Ai P( Ai ). i 1 i 1
(2)条件概率的相关内容 在事件B, 已经发生条件下, 事件A发生的概率,称为 事件A在给定事件B的条件下的条件概率, 简称A对B的 条件概率, 记作P(A|B).
P(AB) P(A | B) = P(B)
建模(概率统计方法)
又随机变量 X 的分布律为
pi P X xi
i 1， 2，
j 1， 2，
随机变量 Y 的分布律为
p j PY y j
如果对于任意的 i， j , 有
p ij p i p j
则称 X， Y 是相互独立的随机变量 ．
17
（3）连续型随机变量的独立性
10
意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机 变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不 是概率！
注
我们不能认为： PX a f a
连续型随机变量的一个重要特点：
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数a，
有 PX a 0
11
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
P{X k} pk (1 p)nk
k 0、 1
E( X ) p
D( X ) p(1 p)
2. 二项分布B(n, p)
P{X
k k k} Cn p (1
n
p)
nk
k 0.1,...n
n! k nk E( X ) k p (1 p) k 1 k!(n k )!
标准正态分布的密度函 数为
x
1 2
e
x2 2
x
30
(7)
2
分布
构造性定义（重要）:
若随机变量X 1 , , X n相互独立，且都服从N (0,1), 则称
n
2 X 2服从自由度为n的 2 分布, 记作 2 (n).
i
i 1
2分布的性质：
这两个条件是概率密度 的充分必要条件 f (x)
概率统计与建模课程设计
概率统计与建模课程设计一、前言本文档是针对概率统计与建模课程设计的内容，主要介绍课程设计的目的、内容、方法和参考资源等方面。
旨在引导学生明确课程设计的目的，理解课程设计的重点和难点，并提供一些适当的参考资源。
二、课程设计目的本课程的设计旨在培养学生的概率和统计思维，以及建模和分析实际问题的能力。
通过本课程的学习和设计，学生将能够：1.掌握概率和统计基本概念，理解随机变量、概率分布、期望、方差和协方差等概念的意义和应用；2.能够使用概率和统计方法，解决实际问题，如数据采集、统计推断、假设检验等；3.能够运用概率建模和统计分析方法，解决实际问题，如风险评估、数据挖掘等；4.能够利用统计软件和编程工具，实现概率建模和统计分析，掌握数据处理和可视化方法。
三、课程设计内容本课程设计分为三个部分：1. 理论部分理论部分主要包括概率和统计基本概念、概率分布、随机变量、大数定理、中心极限定理、假设检验、回归分析等。
重点理解概率和统计的数学模型，掌握概率和统计方法的数学原理和应用。
2. 应用部分应用部分主要包括实际问题的建模和分析，如风险评估、数据挖掘、生物统计等。
通过实际案例和数据分析，引导学生理解概率和统计方法的实际应用和局限性。
3. 编程部分编程部分主要包括编程工具的使用和代码实现，如Python、R、SAS等。
通过编写概率建模和统计分析的代码，训练学生的编程能力和算法思维，加深对概率和统计的理解和应用。
四、课程设计方法本课程设计采用课堂教学和实践训练相结合的教学方法。
在课堂教学中，讲解概率和统计基本概念和理论，引导学生理解并掌握重点难点。
在实践训练中，引导学生通过实际问题的建模和分析，培养学生的实际运用能力。
在编程环节中，引导学生运用编程工具实现概率建模和统计分析，提高学生的算法思维和编程能力。
五、参考资源本课程设计推荐以下参考资料：1.古典概率统计教材，如《概率统计导论》、《概率统计原理与方法》等；2.最新概率统计教材，如《现代数学统计学》、《概率统计与R语言》等；3.硕士、博士论文，如生物统计、金融统计、社会统计等不同领域的最新论文；4.各种开源软件，如Python、R、SAS、SPSS等，以及各种数据处理和可视化工具。
概率统计建模方法
第1章概率方法建模简介第2章数据统计描述和分析第3章方差分析第4章回归分析第5章马氏链模型第6章时间序列模型第7章主成分分析及应用第8章判别分析简介及应用主讲：山东大学数学学院陈建良2第1章概率方法建模简介随机性模型，是指研究的对象包含有随机因素的规律，以概率统计为基本数学工具，其结果通常也是在概率意义下表现出来。
随机因素的影响可以用概率、平均值（即数学期望）等的作用来体现。
自然界中的现象总的来说可以概括为两大现象：确定性现象和随机现象在确定性现象中可以忽略随机因素的影响，在随机现象中必须考虑随机因素的影响。
确定性离散模型，主要使用差分方程方法、层次分析方法以及比较简单的图的方法和逻辑方法等方法建立模型；确定性连续模型，主要使用微积分、微分方程及其稳定性、变分法等方法建立模型；§2 概率方法建模实例分析实例一、报童的策略问题1．问题描述报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。
设每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回价为c，且设a>b>c，因此报童每售出一份报纸赚(a-b)，退回一份赔(b-c)。
若批少了不够买就会少赚，若批多了买不完就赔钱，报童如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收入？92. 分析显然应根据需求量来确定批发量。
一种报纸的需求量是一随机变量。
假定报童通过自己的实践经验或其它方式掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为X = x 份的概率为P(x)，则通过P(x) 和a, b, c 就可建立关于批发量的优化模型。
3．数学模型设每天批发量为n，因需求量x 是随机的，因此x可以小于、等于或大于n，从而报童每天的收入也是随机的，作为优化模型的目标函数，应考虑他长期（半年、一年等）卖报的日平均收入。
据概率论中的大数定律，这相当于报童每天收入的期望值（以下简称平均收入）。
1011设报童每天批发进n 份报纸时的平均收入为S (n )，若某天需求量x ≤n ，则他售出x 份，退回(n -x )份；若这天需求量x >n ，则n 份报纸全部卖出。
概率统计建模讲义
要紧内容例题、能量供给问题（二项散布）假定有10n =个工人世歇性地利用电力，估量所需要的总负荷。
第一咱们要明白，或是假定，每一个工人彼此独立工作，而每一时刻每一个工人都以相同的概率p 需要一个单位的电力。
那么，同时利用电力的人数确实是一个随机变量，它服从所谓的二项散布。
用X 表示那个随机变量，记做(,)XB n p ，且有()(1),kkn knP X k C p p -==-0,1,,k n =这是超级重要的一类概率散布。
其中E(X)＝np ， D(X)=np(1-p)。
第二，要依照体会来估量出，p值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在利用电力，那么应该有12p==。
0.260最后，利用公式咱们求出随机变量X的表如下：Array为直观计，咱们给出如下概率散布图：能够看出，{6}1{6}0.000864P X P X >=-≤=，也确实是说，若是供给6个单位的电力，那么超负荷工作的概率只有0.000864，即每11147200.000864≈≈分钟小时中，才可能有一分钟电力不够用。
还能够算出，八个或八个以上工人同时利用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。
问题：二项散布是一个重要的用来计数的散布。
什么样的随机变量会服从二项散布？进行n次独立观测，在每次观测中所关切的事件显现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A显现的总次数是一个服从二项散布B（n，p）。
作业：用MATLAB计算此题。
binopdf(x,n,p) 计算x中每一个值对应的二项散布概率binocdf(x,n,p)计算x中每一个值对应的散布函数值binoinv(y,n,p) 计算使得散布函数值大于等于y的最小整数x：P（X<=x）>=ybinornd(n,p, mm, nn) 产生二项散布随机数，mm行nn列。
再如，产生两行五列的随机数用binornd(10,0.2,[2,5])例如binopdf(0:10,10,0.2), binoinv(0.9,10,0.2)=4,binoinv((0:10)/10,10,0.2)binornd(10,0.2,1,5)ans =2 2 1 1 4Rutherford 对裂变物质的观测（Poisson散布）英国闻名物理学家 Rutherford（1871－1937）在其放射性物质实验中，观测在时刻距离ΔT内放射性物质放射出的α粒子数。
概率统计模型讲座PPT
P { X 1 5 } 1 P { X 1 5 } 1 ( 1 5 0 .2 5 ) 1 ( 2 9 .5 ) 0 0 .5
2、“一年获利不少于10万元”等价于“X≦10” P { X 1 0 } (1 0 0 .2 5 ) (1 9 .5 ) 1
人寿保险问题的数学模型
问题分析
问题的关键在于，保险公司会面临多少理赔，即会 有多少参保者死亡？而这是具有随机性的。可以引 入随机变量X来表示参保者中的死亡人数。
容易理解： X是服从二项分布B(n,p)的，其中n为 参保总人数，p为死亡概率。根据中心极限定理还 可以知道，X近似服从正态分布N(np,npq)，可据 此解决上述问题。
1000
2.33 y 671
0.00010.9999y
即保险公司至少要吸引671人参加保险。
理论依据
德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace) 设随机变量ξn(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1)的二 项分布，则
n npw ~N(0,1).
生命线越长寿命越长？
利用所给数据可以计算出：
50
x66.66, y9.198, xi2 231933 i1
50
50
yi2 4308.57, xiyi 30549.75
i1
i1
Lxx 9755.22, Lxy 107.184, Lyy 78.4098
从而X与Y之间的相关系数的估计值为：
19590
71240
100%
洛伦兹曲线
用横坐标表示户数累积百分比，纵坐标表示 收入累积百分比，描点、连线便得到洛伦兹曲线， 它是一条向下凸的曲线。
概率统计模型决策模型教学课件
金融领域应用
风险评估与管理
概率统计模型用于评估金融风险，如股票价格波动、 信用风险等，帮助投资者制定风险管理策略。
投资组合优化
决策模型可以帮助投资者优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
保险精算
概率统计模型用于精算保险费和赔付概率，为保险公 司提供科学决策依据。
医学领域应用
疾病预测与预防
基于概率统计模型的疾病预测可以帮助医生 制定预防措施，降低发病率。
2
参数估计
讲解参数估计的基本原理和方法，包括 最大似然估计和最小二乘法等，通过实 例演示如何使用参数估计对未知参数进 行估计和误差分析。
3
假设检验
介绍假设检验的基本原理和常见假设检 验方法（如Z检验、t检验、卡方检验等 ），通过实例演示如何使用假设检验对 数据进行分析和推断。
决策模型案例
线性规划
介绍线性规划的基本原理和求解方法，通过实例演示如何使用线性规划解决资源分配和 生产计划等问题。
主成分分析模型
总结词
主成分分析模型是一种降维技术，通过找到数据的主要成分 来减少变量的数量。
详细描述
主成分分析模型通过将原始变量转换为新的正交变量（主成 分），使得新的变量能够最大程度地保留原始数据的变异信 息，同时减少变量的数量。该模型适用于处理高维数据集。
04
常用决策模型
决策树模型
01
决策树模型是一种常用的分类和回归方法，通过树状图的形式 展示决策过程。
决策树
讲解决策树的基本原理和构建方法，通过实例演示如何使用决策树解决分类和回归问题 ，并讨论如何评估和优化决策树的性能。
贝叶斯网络
介绍贝叶斯网络的基本原理和构建方法，通过实例演示如何使用贝叶斯网络进行概率推 理和决策分析，并讨论如何处理不确定性和不完整性。
概率统计建模方法共51页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
概率统计建模方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。•7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
概率统计在数学建模中的应用课件
人口发展方程
一阶偏微分方程
2019/11/27
太原理工大学
14
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
e t
1
（7）
Dt的大小表示人口Zt在平均值 Et附近的波动
范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净
增长率r 的增加而变大，而且即使当r 不变时， 它也随着 和 的上升而增长，这就是说，当出生和死 亡频繁出现时，人口的波动范围变大。
E E(t)+(t)
进一步假设
4)bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
模型建立
由假设1~ 3，可知Z t t n可分解为三个互不相
容的事件之和：
Z t n 1且t 内出生一人； Z t n 1且t 内死亡一人； Zt n且t 内无人出生或死亡。
n0
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
2019/11/27
太原理工大学
25
实例1.3 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
6
1.2 常见概率分布及其数字特征
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注：峰度时分布形状的另一种度量。正态分布的峰度是3。 若V比3大的多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中有较多 远离均值的数据。因而峰度可以作为衡量偏离正态分布的尺度 之一。
四、常见的概率分布
1、正态分布：
1 e 2 ( x )2 2 2
f ( x)
, xR
命令形式1：normpdf(x,u,v) 功能：计算参数为u,v的正态分布密度函数在x处的值 命令形式2：normcdf(x,u,v) 功能：计算参数为u,v的正态分布的累积分布函数的值
一般地，称由 y 0 1 x 确定的模型为一元线性回归模型， 记为
y 0 1 x 2 E 0 , D
固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
Y 0 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
命令形式：median(x) 功能：返回x的中位数 命令形式：nanmedian(x) 功能：返回除了NaN外x的中位数
三、统计量
统计量：反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量。 2、标准差、方差和极差——表示变异程度的统计量 标准差：
1 n 2 2 S [ ( X X ) ] i n 1 i 1
直线拟合： a=polyfit(x,y,1), b=polyfit(x,z,1), 得到 a= 0.33 b= 0.33 0.96 0.96
1.95
3
0.9
2.85
1.8 ]（*号）
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
同一条直线 y=0.33x+0.96(z=0.33x+0.96) 问题：你相信哪个拟合结果？怎样给以定量评价?
先把上面表格里的数据保存在txt文本里，再在matlab里面 导入该数据；最后整理数据。
high=data(:,1:2:9); high=high(:); （2）直方图命令： 返回M个 小区间的 频数
weight=data(:,2:2:10); weight=weight(:);
[N,X]=hist(Y,M) 返回M个小 区间的中点 样本数组
注：偏度反映分布的对称性。V>0时，称为右偏度，此时数据 位于均值右边比位于左边的多。V<0，称为左偏度。V接近于0 ，则认为分布时对称的。如正态分布，V=0。
峰度：随机变量的标准化的4阶中心矩
X EX 4 V2 E[( ) ] D( X )
命令形式：kurtosis(x) 功能：返回x的峰度。
三、统计量
统计量：反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量。 3、中心矩、偏度和峰度——表示分布形状的统计量 中心矩：
E ( X EX )r
命令形式：moment(x,n) 功能：返回x的n阶矩。
偏度：随机变量的标准化的3阶中心矩
X EX 3 V1 E[( )] D( X )
命令形式：skewness(x) 功能：返回x的偏度。
2、区间估计：
P (1 2 ) 1
称 [1 , 2 ] 为 的置信区间
1 为置信水平
为显著水平
命令形式：[ ]=namefit(x,alpha) 样本数据 显著水平，缺省 时默认为0.05
例如 [mu,sigma,muci,sigmaci ]=normfit(x,alpha) 返回均值u 的点估计 返回标准差v 的点估计
2006 B 艾滋病的评价体系及疗效的预测 （统计回归分析）
常用的概率模型
统计概率分布（古典概型、二项分布、正态分布等） 随机服务模型 （排队服务模型） 时间序列模型 （马氏模型） 回归模型 （一元、多元、逐步回归）
聚类分析 （主成分分析、方差分析） SPSS、Matlab
一、样本总体
1、总体：人们研究对象的全体。 2、个体：总体中的每一个基本单位。 3、样本：从总体中随机产生的若干个个体的集合。
第五讲
概率统计建模方法及其在 Matlab中的实现
历年的建模竞赛题
2002 B 彩票中的ห้องสมุดไป่ตู้题 （古典概型） （多元线性回归）
2004 B 电力市场的输电阻塞管理
2005 A 长江水质的评价和预测（多元统计综合评价） 2005 B DVD在线租赁 （概率分布-正态分布等） （主成分分析、方差分析）
2006 A 出版设资源管理配置
原假设为： H0 : 0 备选假设： H1 : 0 ; H1 : 0 ; H1 : 0
2 已知，关于u的检验 （1）
命令形式：
样本
均值
备选假设 的选择
[h,p,c]=ztest(x,mu,sigma,alpha,taic) 接受与否 的参数 在原假设 条件下样 本均值出 现的概率 均值的 置信区间
由第一个子图 看出X服从正态 分布。 由第二个子图 看出X和Y可看作 同分布的。 由第三个子图 看出Z不服从正 态分布。 由第四个子图 看出X和Z不是同 分布的。
七、回归分析
从拟合到回归
x=[ 0 1 2 3 4 ], y=[ 1.0 1.3 1.5 2.0 2.3 ] ( + 号)
x=[ 0 1 2 3 4 ], z=[ 0.6
name bino geo poiss unid f norm logn ncf ncx2 weib
函数说明 二项分布 几何分布 泊松分布 离散均匀分布 Ｆ分布 正态分布 对数正态分布 非中心Ｆ分布 非中心卡方分布 Weibull分布
五、参数估计
1、点估计：用样本统计量确定总体参数的值。它是用一个 值去估计另一个值，所以称为点估计。
这两者的区间估计
例：
分别用金球、铂球测定引力常数 (2)用金球测定观测值为： 6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672; (2)用铂球测定观测值为： 6.661,6.661,6.667,6.667,6.664; 设测定总体服从正态分布，其参数未知， 分别 求该参数的置信度为0.9的置信区间。
命令形式：std(x,1) 功能：返回
1
命令形式：std(x) 功能：返回x的标准差
1 n S [ ( X i X )2 ]2 n i 1
1
方差：标准差的平方。 命令形式：var(x) 功能：返回x的方差 命令形式：var(x,1) 功能：返回std(x,1)的平方 极差：最大值与最小值之差。 命令形式：range(x) 功能：返回x的极差
X=[6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672]; Y= [6.661,6.661,6.667,6.667,6.664]; [a1,b1,c1,d1]=normfit(X,0.1) [a2,b2,c2,d2]=normfit(Y,0.1)
六、假设检验
2 1、单个总体 N (, ) 均值u的检验
命令形式3：norminv(a,u,v) 功能：计算临界值x
a F ( X x)
命令形式4：normrnd(u,v,m,n) 功能：产生服从参数为u,v的正态分布的m n的矩阵 注：再matlab工具箱中，对每一种分布都提供了如下 的几类函数。 pdf—概率密度 cdf—分布函数 inv—逆累积分布函数 rnd—随机数生成
100名学生的身高和体重表 身高 体重 身高 体重 身高 体重 身高 体重 身高 体重
20 行
172 75 169 55 169 64 171 62 168 67 165 52 …… …… …… 177 64 184 70 166 49
171 65 167 47 169 62 168 65 …… …… 171 71 170 59
统计的主要任务 从样本推断总体
二、频数表和直方图
1、频数：将数据的取值范围划分为若干个区间，统计这组数 据在每个区间出现的次数。 2、直方图：以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标画出的 阶梯形图。
区间的划分有等距划分和非等距划分。
3、直方图的matlab实现
（1）数据输入： 直接输入——针对数据较少 间接输入——针对数据较多（先写一个纯文本数据） 例 学生的身高和体重 学校随机抽取100名学生，测量他们的身高和体重，所得 数据如下表
原假设：H0 : 225 备选假设：H1 : 225
x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,p,c]=ttest(x,225,0.05,1)
结论：拒绝原假设，认为寿命不大于225小时。
标准差 显著水平
注：
0, H1 : 0 (默认值) taic 1, H1 : 0 1, H : 1 0
0, 表示接受H 0 h 1,表示拒绝H 0
2 （2） 未知，关于u的检验
命令形式： [h,p,c]=ttest(x,mu,alpha,taic) 例 某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布， 其均值和方差均未知。现得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问：是否有理由认为该元件的平均寿命大于225小时？
一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计； 2、对回归系数 0 、 1 作假设检验； 3、在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值， （x1，y1） ， （x2，y2） ，„， （xn，yn）
三、统计量