概率统计在建模方法的简单案例

>> save data x1 x2 x3 >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3']; >> Y=y' >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
结果如下：
参数
β β1
参数估计值
8.4238 1.9331
8.51
9.50 9.60
问题的分析
题中香皂的销售量受到价格以及广告 投入这两者的影响，单独分析销售量 与价格之间的关系，由作出散点图， 我们发现它们呈线性关系；同理观察 销售量与广告投入，可以发现销售量 与广告投入的平方呈线性关系，因此， 当两者共同作用时，我们建立了以下 模型。
模型的主要符号变量说明
销售周 本公司价格( 期 元) 1 3.85 其他厂家价 格 (元 ) 3.80 广告费用 (百万元) 1.62 价格差 （元） -0.05 销售量 (百万块) 8.38
2
29 30
3.75
3.70 3.90
4.00
4.29 4.50
5.61
6.79 6.80
0.25
0.59 0.60
（2）假设x1,x2对y的影响有交互作用，设 y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+β4x1x2+ε 程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> x4=[-0.81 1.4025 0.494 2.9385 0.315 0.313 2.8509 0.071 3.696 0.1687 0.2727 0.4476 0.6015 0.765 0.8892 1.1088 1.3296 1.6156 1.8476 2.0229 2.3864 2.6281 2.8644 3.0973 3.325 3.484 3.8418 3.9266 4.0061 4.08]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6]; >> save data x1 x2 x3 x4 y >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3' x4']; >> Y=y'; >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
x2=6.5
x1=0.2
（4）交叉作用影响的讨论
1.当X2>8.5时，价格差越小，销售量Y增长越快；即价格优势会 是销售量增加； 2. 加大广告投入会使销售量增加；
(5)结论：
价格差较小时增加的速率更大 价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客 的眼球。
由回归分析得出的商家销售策略
从上面的分析中我们可以看出，在同 一广告投入的条件下，商品价格与其 他商家的差值越小 ，销售量增长的 速率越快，因此商家可以保持商品价 格与其他商家的一致性；同时，广告 投入也会使商品的销售量有所增长， 所以商家也可以适量增加广告投入， 以吸引消费者的眼球，从而促进销售 量的增长。
概率统计在建模方法的简单案例
香皂的销售量
主讲人： 组员：朱小丹 丛轶颖 秦思思
问题的提出
在实际生产销售过程中，我们发现香 皂的销售量与香皂的价格以及广告投 入之间有很大的关系，不同的价格， 不同的广告投入会导致销售量的不同。 那么香皂的销售量与这两者有满足怎 样的关系呢？
现在我们收集了30个销售周期本 公司香皂销售量、价格、广告费用， 及同期其他厂家同类牙膏的平均售 价 ，并制成如下表格：
（1）假设x1,x2对y影响独立：设
y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+ε 由MATLAB解出回归系数，程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6];
结果如下：
参数 参数估计值 置信区间
β
8.0333
[7.6706 , 8.3960]
Fra Baidu bibliotek
β1
17.0089
[7.8054 , 26.2125]
β2
-0.4174
[-0.6174 , -0.2175]
β3
0.0467
[0.0219 , 0.0715]
β4
0.0467
[-3.1797 , -0.7731]
y ~公司香皂销售量 x1其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用 y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) β,β1,β2,β3,β4~回归系数 ε~随机误差（均值为零的正态分布随 机变量）
基本模型的建立与问题的求解
用EXCEL作出y 与 x1 的散点图，如图所示：
10
9.5 系列1 系列2 系列3 线性 (系列3)
9
8.5
8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
用EXCEL作出 y与 x2 的散点图，如图所示：
9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 0 2 4 6 8
y = 0.072x2 - 0.4042x + 8.7476 系列1 多项式 (系列1)
R^2=0.9724
F=220.5493
P=0
S^2=0.0069
（3）两模型销售预测量比较 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5 百万元 y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+ε y的估计值为8.66； y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+β4x1*x2+ε y的估计值为8.126； y略有减少
置信区间
[ 8.1001 , 8.7475] [ 1.1336 , 2.7325]
β2
β3 R^2= 0.9598
-0.1889
0.0255 F=207.0772 P=0
[ -0.3586 , 0.0192]
[0.0005 , 0.0504] S^2=0.0096
由上可知， y的95.98% 可由以上模型确定,F 远大于F检验的临界值,