概率统计在建模方法的简单案例
概率论与数理统计中的数学建模案例
概率论与数理统计中的数学建模案例孙建英【摘要】Three examples are presented to explain the application of mathematical modeling in probably and mathematical statistics ,w hich develops student’s ability ,arouses their learning interest and improves teaching quality .%通过3个数学建模案例说明数学建模在概率论与数理统计中的应用，培养了学生的应用能力，激发了学习兴趣，提高了教学质量。
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】3页(P224-226)【关键词】概率论与数理统计;数学建模;案例【作者】孙建英【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部，山东青岛 266106【正文语种】中文【中图分类】G6420 引言《概率论与数理统计》与《高等数学》、《线性代数》并称为理工类高等本科院校的三大基础学科，它的重要性已不言而喻。
尤其是随着计算机的迅猛普及，概率统计在经济、管理、金融、保险、医学、生物等方面的应用更是得到了长足的发展，但是概率论与数理统计中有很多抽象的概念、定理，学生理解起来都比较困难，更别提应用自如了，而且现在很多院校使用的教材从知识的讲解角度来讲，虽无可挑剔，堪为经典，但是案例过于陈旧，数量不足，这就要求高校教师要不断地自我学习，更新案例，使学生深刻体会到概率论与数理统计这门学科强大的生命力和发展动力［1－6］。
文中将数学建模的案例和思想引入概率论与数理统计课堂中，教学中从问题到理论，再从理论到应用，让学生体会到“学以致用”的真正含义，从而激发学生的学习兴趣和探索精神。
1 数学建模案例在概率论与数理统计中的应用1.1 案例1：概率论与数理统计课程的引入“兴趣是最好的老师”，紧紧抓住学生的好奇心，是概率论与数理统计课程第一堂课要做的事情。
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模中的蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，可以用于求解各种复杂的问题。
下面是一个详细的案例，以帮助你更好地理解蒙特卡洛模拟方法的应用。
案例：估计圆周率
假设我们要求解圆周率（π）的值。
我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计π的值。
1. 定义问题的概率模型：在这个案例中，我们使用一个简单的概率模型，即在一个边长为1的正方形内随机生成点，并计算这些点到正方形中心的距离。
2. 生成随机数：使用随机数生成器生成一系列的随机数，这些随机数代表点在正方形内的坐标。
3. 计算点到中心的距离：对于每个生成的点，计算它到正方形中心的距离。
4. 计算落在圆内的点的比例：将落在半径为1的圆内的点的数量除以总的点数。
这个比例近似于圆的面积与正方形的面积之比，也就是π/4。
5. 通过比例求解π：将步骤4中的比例乘以4，即可得到π的近似值。
通过多次重复上述步骤并取平均值，可以进一步提高估计的准确性。
需要注意的是，蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，其结果具有一定的随机性和误差。
因此，在应用蒙特卡洛模拟方法时，需要选择合适的随机数生成器和概率模型，以确保结果的准确性和可靠性。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
概率统计方法建模PPT课件
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5.5 随机状态转移模型
状态与状态转移 ➢随机变量Xn：第n年的状态 状态概率 ai (n)
Xn
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
ai (n) P(Xn i), i 1, 2, n 0,1,
➢今年处于状态i, 来年处于状态j的概率 pi:j 转移概率
存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可 能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过 库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量。
马氏链的两个重要类型
设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，则首达概率f ij (n) 实际上是i经n次转移被j吸收的概率。而
fij = fij (1) + fij(2) + … + fij(n) + …
则是从非吸收状态i出发终将被吸收状态j吸收的概率。 记 F={f ij} 则 F=MR
例如，可以算出前面第二种情况中
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5. 6 马尔可夫链的应用模型
模型求解 ➢ 估计这种策略下每周的平均销售量
第n周平均售量Rn
需求不超过存 量,销售需求
需求超过存量, 销售存量
3i
Rn [ jP(Dn j, Sn i) iP(Dn i, Sn i)] i1 j 1 3i [ jP(Dn j Sn i) iP(Dn i Sn i)]P(Sn i) i1 j 1
p23 p33
P(Dn k) e1 / k ! (k 0,1, 2 )
概率统计法建模
2
S2
1
2 i 1
2 2 ( X X ) ~ ( n 1); i
n
定理 设总体 X ~ N ( , ), X 1 , X 2 ,, X n 是取自
概率统计法
2015.5.27
概率统计法
一、方法原理 二、基础概念 三、建模过程 四、应用案例
一方法原理
实际系统中，许多系统过程或过程包含着随 机因素和随机事件，其特征可用随机变量 来描述，而概率分布是用数值表示的随机 事件或因素的函数，它反映了这些随机变 量的变化规律。利用概率统计学中的概率 分布及其数字特征建立随机系统或过程的 数学模型谓之概率统计法。这种方法的实 质就是通过理论分析和实验研究寻求适合 于系统随机特征的概率分布。在概率统计 建模中，贝叶斯定理占有相当重要的位置。
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率
S
x2
f ( x)d x 1
f ( x)d x
S1
1
o
x1
x1 x 2
S1
x
正态分布(或高斯分布)
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
P Ai P( Ai ). i 1 i 1
(2)条件概率的相关内容 在事件B, 已经发生条件下, 事件A发生的概率,称为 事件A在给定事件B的条件下的条件概率, 简称A对B的 条件概率, 记作P(A|B).
P(AB) P(A | B) = P(B)
数学建模概率模型案例
数学建模概率模型案例概率模型是数学建模的重要工具之一，广泛应用于各个领域。
以下是一个基于概率模型的数学建模案例。
问题描述：医院的急诊科接诊员需要根据患者的症状来判断是否需要进行心电图检查。
根据以往的医疗记录，我们知道有一种患者患有心脏病的概率是0.1，有心脏病的患者在进行心电图检查时有90%的准确率，没有心脏病的患者在进行心电图检查时有95%的准确率。
急诊科接诊员在给患者进行评估时会根据患者的症状判断是否需要进行心电图检查，但出于经济和时间的考虑，每天只能对20%的患者进行心电图检查。
问题分析：在这个问题中，我们需要建立一个概率模型来评估患者是否需要进行心电图检查。
我们需要考虑两个因素：患者是否有心脏病以及是否进行了心电图检查。
建立概率模型：1.定义事件：-A：患者有心脏病-B：患者进行了心电图检查-C：急诊科接诊员推荐患者进行心电图检查2.计算概率：-P(A)=0.1，患者有心脏病的概率-P(A')=0.9，患者没有心脏病的概率-P(B，A)=0.9，有心脏病的患者进行心电图检查的准确率-P(B，A')=0.95，没有心脏病的患者进行心电图检查的准确率3.根据贝叶斯定理计算后验概率：-P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)-P(A'，B)=P(B，A')*P(A')/P(B)4.根据给定条件计算先验概率：-P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，A')*P(A')5.根据条件概率计算P(C，B)：-P(C，B)=P(C,B)/P(B)进一步分析：根据模型，我们可以进行一些进一步的分析。
1.如果患者没有进行心电图检查，根据模型我们可以计算出他是否有心脏病的概率。
2.如果患者进行了心电图检查，根据模型我们可以计算出他有心脏病的概率。
3.根据模型的输出，急诊科接诊员可以根据患者的症状和推荐指标来判断是否进行心电图检查。
总结：这个案例展示了如何建立一个基于概率模型的数学建模问题。
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
数学建模之概率统计-1
概率与统计
概率论中所研究的随机变量的分布都是 已知的。 统计学中所研究的随机变量的分布是未 知的或部分未知的，必须通过对所研究 的随机变量进行重复独立的观察和试验， 得到所需的观察值（数据），对这些数 据分析后才能对其分布做出种种判断， 即“从局部推断总体”。
统计学
给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这
……
……
Matlab相关命令介绍
normfit 正态分布中的参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%
频率
随机试验进行次数
概率
基本知识
随机变量 数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数…）
统计分析（假设检验、相关分析、回归分析…)
Matlab 中的随机函数
rand(m,n)
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每
个元素都在 (0,1) 之间。
注：rand(n)=rand(n,n)
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
取整函数举例
x1=fix(3.9);
x2=fix(-3.9); x3=floor(3.9); x4=floor(-3.2); x5=ceil(3.1); x6=ceil(-3.9); x7=round(3.9); x1=3 x2=-3 x3=3 x4=-4 x5=4 x6=-3 x7=4 x8=-3 x9=-4
数学建模-第四章-概率统计模型PPT参考课件
8
数
学 4.1.2 风险型决策问题
建
模
1．最大可能准则
由概率论知识，一个事件的概率就是该事
件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，事件发生的可能性就越大。基于这种思 想，在风险决策中我们选择一种发生概率最 大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自 然状态的决策方法，这就是最大可能准则。 这个准则的实质是将风险型决策问题转化为 确定型决策问题的一种决策方法。
建 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的
模 最大效益值为
m i nj {a1 j } min{50,10,5} 5
m i nj {a2 j } min{30,25,0} 0
m i nj {a3 j } min{10,10,10} 10
所以最大效益的最大值为
ma
x
i
m
29
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
数 学 建 模
概率统计模型
2
数
学
建
概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型
建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
3
数
学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
9
数
பைடு நூலகம்
概率统计在数学建模中的应用课件
人口发展方程
一阶偏微分方程
2019/11/27
太原理工大学
14
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
e t
1
（7）
Dt的大小表示人口Zt在平均值 Et附近的波动
范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净
增长率r 的增加而变大，而且即使当r 不变时， 它也随着 和 的上升而增长，这就是说，当出生和死 亡频繁出现时，人口的波动范围变大。
E E(t)+(t)
进一步假设
4)bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
模型建立
由假设1~ 3，可知Z t t n可分解为三个互不相
容的事件之和：
Z t n 1且t 内出生一人； Z t n 1且t 内死亡一人； Zt n且t 内无人出生或死亡。
n0
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
2019/11/27
太原理工大学
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实例1.3 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
6
1.2 常见概率分布及其数字特征
数学建模_概率统计建模的理论和方法
1 ( x) e 2
x2 2
x .
( x)dx b a a 12
b
X
N ( , 2 ) 时，我们有
b a
P{a X b} p( x)dx
poisspdf（x，λ），计算poisson概率，
例如，poisspdf(0:9,3.87)
问题：Poisson分布是又一类非常重要的用来
计数的离散型分布，它依赖于一个参数 。什么
样的随机变量会服从Poisson分布呢？
10
在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内等等）， 事件会发生多少次？把观测范围分成n个小范围： 1.给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少 次取决于小范围的大小； 2.在不同的小范围内发生多少事件相互独立； 3.在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相 比可以忽略不计，用 pn 表示在小范围内事件发生一次的概率。 那么在给定范围内发生的总事件数X近似服从 B(n, pn ) , npn 为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令 n ，则
4 5
678Fra bibliotek910
4
可以看出， P{X 6} 1 P{X 6} 0.000864 也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的 概率只有0.000864，即每
1 1147分钟 20小时 0.000864
中，才可能有一分钟电力不够用。还可以算出，八个或八 个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的 1/11还要小。 问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么 样的随机变量会服从二项分布？ 进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现 的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数 是一个服从二项分布B（n，p）。 5
数学建模概率统计方法
则有
D
(x
E )2
f
(x)dx
9
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（1）两点分布：
设随机变量 只取 0 或 1 两个值，它的分布列为 P( k) pk (1 p)1k , k 0,1，则称 服从于两点分 布，且 E p, D p(1 p) 。
（2）二项分布：
设随机变量 可能的取值为 0,1,2,, n ，且分布列为 P( k) Cnk p k (1 p)1k , k 0,1,2,, n
2. 常用的统计量
（3）表示分布形态的统计量
偏度： P1
1 S3
n i 1
Xi X
3。
当 P1 0 时称为右偏态；
当 P1 0 时，称为左偏态；
当 P1 0 时，则数据分布关于均值对称。
峰度： P2
1 S4
n i1
Xi X
4 ，是反映数据形态的另一个度量。
24
2021年4月17日
（4）均匀分布：
设
为连续随机变量，其分布密度为
f
(x)
b
1
a
,
x
[a, b]
，
0, x [a,b]
则称 服从[a,b] 上的均匀分布，且 E a b , D 1 (b a)2 。
2
12
11
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（5）正态分布：
若随机变量 分布密度函数为
f , (x)
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2021年4月17日
2. 随机变量的数学期望与方差
（1）数学期望
设 为连续型随机变量，其分布密度函数为
f (x) ，如果 x f (x)dx 收敛，则称 xf (x)dx
概率图模型在医疗领域的应用案例分析(六)
概率图模型在医疗领域的应用案例分析概率图模型是一种用来建模随机变量之间关系的统计工具，它能够有效地描述变量之间的依赖关系，并用于推断未知变量的取值。
在医疗领域，概率图模型的应用可以帮助医生更好地理解疾病的发展和预测患者的病情，对于辅助临床决策和疾病管理具有重要意义。
本文将通过几个具体的案例分析，探讨概率图模型在医疗领域的应用。
第一种应用是基于概率图模型的疾病风险预测。
在医学诊断中，医生通常需要评估患者患某种疾病的风险，概率图模型能够通过对患者的临床数据进行建模，来预测患病的概率。
例如，研究人员使用概率图模型对乳腺癌患者的临床数据进行分析，包括年龄、家族史、乳腺X光检查结果等，建立了一个患者患癌的概率模型。
通过这个模型，医生可以更准确地评估患者患癌的风险，并采取相应的预防措施。
第二种应用是基于概率图模型的疾病诊断辅助系统。
医生在诊断疾病时，需要考虑多个症状和检查结果之间的复杂关系，概率图模型可以通过对这些变量之间的依赖关系进行建模，来辅助医生进行诊断。
例如，研究人员使用概率图模型对心脏病患者的临床数据进行建模，包括血压、心率、胆固醇水平等多个变量，建立了一个心脏病诊断模型。
通过这个模型，医生可以更准确地诊断患者是否患有心脏病，从而更好地制定治疗方案。
第三种应用是基于概率图模型的药物治疗效果预测。
在医学治疗中，选择合适的药物对于患者的治疗效果至关重要，概率图模型可以通过对患者的临床数据和药物信息进行建模，来预测不同药物的治疗效果。
例如，研究人员使用概率图模型对抗癌药物对癌症患者治疗效果进行预测，包括患者的基因信息、药物剂量、疾病分期等多个变量，建立了一个药物治疗效果预测模型。
通过这个模型，医生可以更准确地选择合适的药物，并预测患者的治疗效果，从而更好地指导临床治疗。
综上所述，概率图模型在医疗领域的应用有着广泛的前景和意义。
通过对患者的临床数据进行建模，概率图模型可以帮助医生更好地预测疾病的风险、辅助诊断、预测治疗效果，从而提高医疗决策的准确性和有效性。
数学建模简明教程课件：概率模型
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
概率统计课程中的数学模型举例
概率统计课程中的数学模型举例摘要: 结合概率统计课程的教学实践，举例说明如何建立概率统计课程中的某些分布的数学模型，以此激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，从而提高概率统计课堂教学质量。
关键词: 概率统计; 数学建模; 教学方法中图分类号: G642.0 文献标识码: A 文章编号:1.引言数学建模是借助数学知识和方法把实际问题转变为数学问题，来了解实际问题的主要规律，以达到解决实际问题的目的。
概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门数学学科，其思想和方法广泛应用于社会生产实践、科技实验及金融经济、化学工程、物理等各个学科领域中。
文献[1-3]表明: 逐步将数学建模的思想和方法渗透和融入到概率论统计的课程教学是必要的，也是切实可行的。
本文作者结合近几年指导学生参加全国大学生数学建模竞赛的经验体会，以及自己的教学实践，来谈谈如何在概率统计课程的教学过程中建立某些概率以及分布的数学模型，以此激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，从而提高课堂教学质量。
2.还原教材的某些概率模型或分布模型的原型现行高校本科的《概率论与数理统计》[4]教材都涉及到很多概率和分布模型，但是这些模型都已经都被高度抽象和概括，失去了具体的来源背景，由此导致学生在学习时只能机械地接受、掌握这些模型，而不会应用这些具体模型去解决现实生活中遇见的实际问题。
在课程教学的备课阶段应还原这些模型的具体背景，引导学生采用数学建模的方法学习这些模型，有助于提高学生数学建模和解决实际问题的能力。
案例1：学习正态分布时，教材直接给出了正态分布的概率密度和分布函数，但这两个函数对非数学专业的学生来说不是很熟悉，甚至有点生疏。
为帮助学生便于接受这个分布模型，可以整理几个学期的期末考试的成绩分布图表，这些分布图表大部分都成正态分布。
这不仅有助于学生在学习数理统计时接受正态分布模型，更能够让学生认识到他们所学的知识来源于实际生活。
然后引导学生采用数学建模的方法学习这个分布模型。
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2
29 30
3.75
3.70 3.90
4.00
4.29 4.50
5.61
6.79 6.80
0.25
0.59 0.60
10
9.5 系列1 系列2 系列3 线性 (系列3)
9
8.5
8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
用EXCEL作出 y与 x2 的散点图，如图所示：
9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 0 2 4 6 8
y = 0.072x2 - 0.4042x + 8.7476 系列1 多项式 (系列1)
（2）假设x1,x2对y的影响有交互作用，设 y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+β4x1x2+ε 程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> x4=[-0.81 1.4025 0.494 2.9385 0.315 0.313 2.8509 0.071 3.696 0.1687 0.2727 0.4476 0.6015 0.765 0.8892 1.1088 1.3296 1.6156 1.8476 2.0229 2.3864 2.6281 2.8644 3.0973 3.325 3.484 3.8418 3.9266 4.0061 4.08]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6]; >> save data x1 x2 x3 x4 y >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3' x4']; >> Y=y'; >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
8.51
9.50 9.60
问题的分析
题中香皂的销售量受到价格以及广告 投入这两者的影响，单独分析销售量 与价格之间的关系，由作出散点图， 我们发现它们呈线性告投入的平方呈线性关系，因此， 当两者共同作用时，我们建立了以下 模型。
模型的主要符号变量说明
结果如下：
参数 参数估计值 置信区间
β
8.0333
[7.6706 , 8.3960]
β1
17.0089
[7.8054 , 26.2125]
β2
-0.4174
[-0.6174 , -0.2175]
β3
0.0467
[0.0219 , 0.0715]
β4
0.0467
[-3.1797 , -0.7731]
置信区间
[ 8.1001 , 8.7475] [ 1.1336 , 2.7325]
β2
β3 R^2= 0.9598
-0.1889
0.0255 F=207.0772 P=0
[ -0.3586 , 0.0192]
[0.0005 , 0.0504] S^2=0.0096
由上可知， y的95.98% 可由以上模型确定,F 远大于F检验的临界值,
概率统计在建模方法的简单案例
香皂的销售量
主讲人： 组员：朱小丹 丛轶颖 秦思思
问题的提出
在实际生产销售过程中，我们发现香 皂的销售量与香皂的价格以及广告投 入之间有很大的关系，不同的价格， 不同的广告投入会导致销售量的不同。 那么香皂的销售量与这两者有满足怎 样的关系呢？
现在我们收集了30个销售周期本 公司香皂销售量、价格、广告费用， 及同期其他厂家同类牙膏的平均售 价 ，并制成如下表格：
y ~公司香皂销售量 x1其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用 y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) β,β1,β2,β3,β4~回归系数 ε~随机误差（均值为零的正态分布随 机变量）
基本模型的建立与问题的求解
用EXCEL作出y 与 x1 的散点图，如图所示：
>> save data x1 x2 x3 >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3']; >> Y=y' >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
结果如下：
参数
β β1
参数估计值
8.4238 1.9331
（1）假设x1,x2对y影响独立：设
y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+ε 由MATLAB解出回归系数，程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6];
R^2=0.9724
F=220.5493
P=0
S^2=0.0069
（3）两模型销售预测量比较 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5 百万元 y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+ε y的估计值为8.66； y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+β4x1*x2+ε y的估计值为8.126； y略有减少
x2=6.5
x1=0.2
（4）交叉作用影响的讨论
1.当X2>8.5时，价格差越小，销售量Y增长越快；即价格优势会 是销售量增加； 2. 加大广告投入会使销售量增加；
(5)结论：
价格差较小时增加的速率更大 价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客 的眼球。
由回归分析得出的商家销售策略
从上面的分析中我们可以看出，在同 一广告投入的条件下，商品价格与其 他商家的差值越小 ，销售量增长的 速率越快，因此商家可以保持商品价 格与其他商家的一致性；同时，广告 投入也会使商品的销售量有所增长， 所以商家也可以适量增加广告投入， 以吸引消费者的眼球，从而促进销售 量的增长。