高一物理人教版必修二 5.1绳、杆连接物体速度的分解方法教案

绳、杆连接物体速度的分解方法

重/难点

重点：绳、杆连接物体速度的分解方法。

难点：绳、杆连接物体速度的分解方法。

重/难点分析

重点分析：在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题。

难点分析：处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：

（1）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v s

、）互不干扰。

分分

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

突破策略

我们的研究对象是物体，用什么手段研究它的运动。为解决问题，对几个速度及研究对象加以说明：

几个速度：

1. 绳端速度：即绳子末端的速度，也就是与绳末端相连的物体的速度，是合速度。

2. 绳自身的“移动”速度：是指绳子通过滑轮的速度，其大小对于同一根绳来说，每个点均相同，其方向总是沿着绳子方向。绳身移动速度是联系两端物体速度关系的纽带，它在绳的两端往往又扮演着不同角色，可能等于物体速度，也可能是物体速度的一个分量。判断方法是：看绳端物体速度方向是否沿着绳子方向，如果绳端速度沿着绳子的方向，那么绳身移动的速度就是物体的速度。

3. 绳身的“转动”速度：当绳身移动速度作为绳子某端物体速度的一个分速度时，该绳端物体速度的另一个分速度，就是与绳子垂直的“转动”速度，该速度反映绳子以滑轮为轴，向上或向下转动的快慢。

连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。速度的分解要从实际情况出发。

例1. 如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v 0拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于v 1=v 0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将v A 按图示方向进行分解。所以v 1及v 2实际上就是v A 的两个分速度，如图所示，由此可得01cos cos A v v v θθ

==。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC ∆可近似看做是一直角三角形，因而有cos L x θ∆=∆，两边同除以t ∆得：

cos L x t t

θ∆∆=∆∆。 即收绳速率0cos A v v θ=，因此船的速率为：

总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出0cos A v v θ=的错误结果；②当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，v A 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

例2. 如图所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A 的运动情况是( )

A. 加速上升，且加速度不断增大

B. 加速上升，且加速度不断减小

C. 减速上升，且加速度不断减小

D. 匀速上升

解析: 物体A 的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v 沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A 的速率v A =v 1=v sin θ。随着汽车的运动，θ增大，v A =v 1增

大，故A应加速上升。

由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，曲线y=sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。答案B。

点评本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一般情况下，物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。

例3. 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比

v v:。

a b

解析：a、b沿杆的分速度分别为v a cosα和v b sin

α

∴v a∶v b= tanα∶1 。

突破反思

绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。所以本次课通过对几个典型例题的详细分析，帮助同学们消除解题中的困惑。