离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学课后习题答案(第一章)
f) A → ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ ¬B) → C 证明：A→(B∨C)⇔ ┐A∨(B∨C) ⇔ (┐A∨B)∨C ⇔┐(A∧┐B)∨C ⇔ (A∧┐B)→C g) ( A → D ) ∧ ( B → D ) ⇔ ( A ∨ B ) → D 证明：(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D) ⇔(┐A∧┐B)∨D ⇔ ┐(A∨B)∨D ⇔ (A∨B)→D h) (( A ∧ B ) → C ) ∧ ( B → ( D ∨ C )) ⇔ ( B ∧ ( D → A)) → C 证明：((A∧B)→C)∧(B→(D∨C)) ⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ⇔ ((A∨┐D)∧B)→C ⇔ (B∧(D→A))→C （8）化简以下各式： A）((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C 解：((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C ⇔T∧C ⇔C B）A∨(┐A∨(B∧┐B)) 解：A∨(┐A∨(B∧┐B))⇔(A∨┐A)∨(B∧┐B)⇔T∨F⇔T
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(可编辑修改版).
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第四节习题答案
1.4 集合的运算习题1.41.全集},,,,,,,{h g f e d c b a U =，令集合A ，B ，C ，D 分别为},,,{g c b a A =，},,,{g f e d B =，},,{f c a C =，},{h f D =. 试分别计算(1)B A ⋃；(2)C B ⋂；(3)D A -；(4)C B A -⋂)(；(5)D ；(6)C B ⊕；(7))(C B A ⋃⋂；(8)C D A -⋃)(；(9)C A ⋃；(10)C B A ⋃⋃.解 (1)},,,,,,{g f e d c b a B A =⋃.(2)}{f C B =⋂.(3)},,,{g c b a D A =-.(4)}{},,{}{}{)(g f c a g C g C B A =-=-=-⋂. (5)},,,,,{g e d c b a D =.(6)},,,,{}{},,,,,{)()(g e d c a f g f e d c a C B C B C B =-=⋂-⋃=⊕.(7)},,{},,,,,{},,,{)(g c a g f e d c a g c b a C B A =⋂=⋃⋂. (8)},,{},,,,{},,,,,{)(f c a h g e d b h f g c b a C D A =-=-⋃. (9)},,{},,,,{h e d g f c b a C A ==⋃.(10)},,,,,,{g f e d c b a C B A =⋃⋃.2.设C A ⊆且C B ⊆，则C B A ⊆⋃，进而C B A ⊆⋂.证 对于任意B A x ⋃∈，则A x ∈或B x ∈. 因为C A ⊆且C B ⊆，所以有C x ∈，因此C B A ⊆⋃.由于A B A ⊆⋂且B A A ⋃⊆，而C B A ⊆⋃，所以C B A ⊆⋂.3.证明De Morgan 律.证 先证明B A B A ⋂=⋃. 对于任意B A x ⋃∈，则B A x ⋃∉，由此得出A x ∉且B x ∉，因此A x ∈且B x ∈，即B A x ⋂∈，所以B A B A ⋂⊆⋃. 另一方面，若B A x ⋂∈，则A x ∈且B x ∈，于是A x ∉且B x ∉，进而B A x ⋃∉，因此B A x ⋃∈，所以B A B A ⋃⊆⋂. 故B A B A ⋂=⋃.类似可证B A B A ⋃=⋂.4.对于集合B A ,，证明: B A ⊆当且仅当A B ⊆.证(⇒)假定B A ⊆. 若对于B x ∈，则B x ∉，因为B A ⊆，于是A x ∉，这时A x ∈，所以A B ⊆.(⇐)假定A B ⊆. 对于任意A x ∈，则A x ∉. 因为A B ⊆，所以B x ∉，即B x ∈，进而B A ⊆.5.设B A f →:，对于任意A X ⊆及A Y ⊆，证明: )()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂. 一般来说)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂，举例说明之.证 因为X Y X ⊆⋂，所以)()(X f Y X f ⊆⋂. 同样因为Y Y X ⊆⋂，所以)()(Y f Y X f ⊆⋂. 于是有)()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂.例如取},,{c b a A =，}2,1{=B ，令B A f →:，2)()(==b f a f ，1)(=c f . 再取},{c a X =，},{c b Y =，这时}2,1{)(=X f ，}2,1{)(=Y f ，因此}2,1{)()(=⋂Y f X f . 由于}1{})({)(==⋂c f Y X f ，所以有)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂.6.对于任意集合C B A ,,，证明: B C A C B A --=--)()(.证 )()()()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂=-⋂=-- = .)()(B C A B C A --=⋂⋂7.设C B A ,,是集合，下列命题是否成立，为什么?(1)若C A B A ⋃=⋃，则C B =.(2)若C A B A ⋂=⋂，则C B =.(3)若C A B A ⋃=⋃且C A B A ⋂=⋂，则C B =.解 (1)不成立. 例如，},,{c b a A =，},{b a B =，},{c b C =，这时显然有C A B A ⋃=⋃，但C B ≠.(2)不成立. 例如，}{a A =，},{b a B =，},{c a C =，这时显然有C A B A ⋂=⋂，但C B ≠.(3)成立. 因为)()()()(C B A B C A B B A B B ⋂⋃⋂=⋃⋂=⋃⋂= C C C A C B A C B C A =⋂⋃=⋂⋃=⋂⋃⋂=)()()()(.8.对于任意集合A 和B ，证明:(1))()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2))()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃，并举例说明)()()(B A P B P A P ⋃=⋃不成立.证(1)任意)()(B P A P X ⋂∈，则)(A P X ∈且)(B P X ∈，于是A X ⊆且B X ⊆，因此，B A X ⋂⊆，进而)(B A P X ⋂∈，所以)()()(B A P B P A P ⋂⊆⋂.又因为A B A ⊆⋂，于是)()(A P B A P ⊆⋂. 同样，)()(B P B A P ⊆⋂，所以)()()(B P A P B A P ⋂⊆⋂.故)()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2)因为B A A ⋃⊆，于是)()(B A P A P ⋃⊆. 同样，)()(B A P B P ⋃⊆，所以)()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃.例如},{b a A =，},{c b B =，于是{)(=A P ∅,}},{},{},{b a b a 且{)(=B P ∅,}},{},{},{c b c b ，因此{)()(=⋃B P A P ∅,}},{},,{},{},{},{c b b a c b a ，这时6|)()(|=⋃B P A P . 而},,{c b a B A =⋃，所以82|)(|3==⋃B A P . 显然有)()()(B A P B P A P ⋃≠⋃.9.设B A ,是集合，证明: B A ⊆当且仅当=-B A ∅.证(⇒)若B A ⊆，根据差运算的定义知=-B A ∅.(⇐)若=-B A ∅，对于任意A x ∈，则B x ∈，否则≠-B A ∅，因此B A ⊆.10.对于任意集合C B A ,,, 分别找出使下列等式成立的最简单的充要条件:(1)A C A B A =-⋃-)()(.(2)=-⋂-)()(C A B A ∅.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅.解 (1) )()()()()(C B A C A B A C A B A ⋃⋂=⋂⋃⋂=-⋃-)(C B A C B A ⋂-=⋂⋂=，而A C B A =⋂-)(的充要条件是A 与C B ⋂没有公共元素，即=⋂⋂C B A ∅.于是，A C A B A =-⋃-)()(的充要条件是=⋂⋂C B A ∅. (2))()()()()(C B A C A B A C A B A ⋂⋂=⋂⋂⋂=-⋂-)(C B A C B A ⋃-=⋃⋂=，而=⋃-)(C B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.于是，=-⋃-)()(C A B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅ 的充要条件是C A B A -=-，这就是最简单的=-⊕-)()(C A B A ∅的一个充要条件.11.设B A ,是集合，定义⊗运算(称为环积运算，cycle product)如下:B A B A ⊕=⊗.证明:)()(B A B A B A ⋃⋂⋃=⊗，并讨论⊗运算具有的性质.证 由于)()()()(B A B A A B B A B A ⋂⋃⋂=-⋃-=⊕，所以B A B A B A B A B A B A ⋂⋂⋂=⋂⋃⋂=⊕=⊗)()()()()()(B A B A B A B A ⋃⋂⋃=⋃⋂⋃=.利用对称差运算的性质，容易证明⊗运算具有以下性质:(1)A B B A ⊗=⊗.(2)U A A =⊗.(3))()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗.12.对于任意集合A ，B 和C ，证明:(1))()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)A C A B A C B ⋂⊕⋂=⋂⊕()()(.证 )]()[()(B C C B A C B A -⋃-⋂=⊕⋂)]([)]([)]([)]([B C A C B A B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=-⋂⋃-⋂= = )()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂.而))()(())()(()()(B A C A C A B A C A B A ⋂-⋂⋃⋂-⋂=⋂⊕⋂ ])[(])[(B A C A C A B A ⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂=)]()[()]()[(B A C A C A B A ⋃⋂⋂⋃⋃⋂⋂=)]()[()]()[(B C A A C A C B A A B A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂=)()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=所以)()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)类似可证.13. 设C B A ,,是集合，举例说明)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃不成立.解 例如}{a A =，}{b C B ==，则⋃=⊕⋃A C B A )(∅A =. 由于C A B A ⋃=⋃，所以=⋃⊕⋃)()(C A B A ∅，因此)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃≠⊕⋃.14.根据集合⋃和⋂相互可吸收证明⋃和⋂满足幂等性.证 对于任意集合A 以及B ，有A B A A =⋂⋃)( (1)A B A A =⋃⋂)( (2)由(1)得，A B A A A =⋃⋂⋃))((，再由(2)得A A A =⋃. 同理可得，A A A =⋂.15.设C B A ,,是集合，利用两个集合的容斥原理证明:|||)||||(||)||||(|||C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=⋃⋃ 你能推广到更一般的n 个集合的情形吗?证 |)(||||||)(|||C B A C B A C B A C B A ⋂⋃-+⋃=⋃⋃=⋃⋃|)()(||||)||||(|C B C A C B A B A ⋂⋃⋂-+⋂-+=-+⋂-+=|||)||||(|C B A B A|)()(||||(|C B C A C B C A ⋂⋂⋂-⋂+⋂|||)||||(||)||||(|C B A C B C A B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=. 设n A A A ,...,,21是集合，则∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑.16. (错排问题) 有1, 2, …, n 共n 个元素进行排列，若第i 个元素都没有排在第i 位置(i = 1, 2, …, n )，称这样的排列为错排(derangement). 利用n 个集合的容斥原理计算错排的个数.解 设U 表示1, 2, …, n 所有全排列构成的集合，用A i 表示第i 个元素恰好排在第i 位置的全体排列构成的集合(i = 1, 2, …, n ), 则.,,2,1,)!1(||n i n A i =-=.,,,2,1,,)!2(||j i n j i n A A j i ≠=-=⋂...!.1||21=⋂⋂⋂n A A A因为|U | = n !且∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，!1)1()!2()!1(!n n n n -++-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=!1)1(!21!111!n n n . 17.( Euler 函数) 对于大于1的正数数n ，若k r k r r p p p n 2121=，其中p 1，p 2，…，p k 是不同的素数，r 1，r 2，…，r k 是正整数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n n 111111)(21 ϕ. 证 设全集U = {1，2，…，n }，用A i 表示能被p i 整除的U 中元素组成的集合，则.,,2,1,||k i p n A ii == .,,,2,1,,||j i k j i p p n A A ji j i ≠==⋂ ....||2121kn p p p n A A A =⋂⋂⋂ 因为|U | = n 且 ∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ ∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，k n k k k p p p n p p n p p n p p n p n p n p n n 211312121)1(-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n 11111121 .。
离散数学课后答案详解第二版
离散数学课后答案详解第二版离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书，在学习离散数学的过程中能够提供很大的帮助。
下面就是本书中的一些重要知识点和解答，希望对各位读者有所帮助。
一、命题逻辑1.什么是命题？命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。
2.什么是合取和析取？合取是将两个命题连接起来，且要求两者同时成立，符号用“∧”表示；析取是也将两个命题连接起来，但是只要求其中一个成立即可，符号用“∨”表示。
3.什么是条件和双条件？条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假，符号用“→”表示；双条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假；同时后者为真则前者也为真，反之后者为假则前者也为假，符号用“↔”表示。
4.什么是命题公式？命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式，构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。
二、谓词逻辑1.什么是一阶逻辑？一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。
除了命题外，一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系，以及用于描述这些关系的“量词”。
2.什么是量词？量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”，前者表示存在至少一个使谓词成立的个体，后者表示所有个体都满足该谓词。
3.什么是命题函数？命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。
4.什么是名词？名词是指代对象的标签，它是一般化的名词。
例如，女人是一般化的名词，梅丽莎是特定的名词。
三、集合论和图论1.什么是集合？集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。
2.什么是集合的理论？集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。
3.什么是图？图是用来描述一些个体之间的关系的工具，由节点和边构成。
其中节点表示个体，边表示个体之间的某种关系。
4.什么是路径？路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。
四、树和排序1.什么是树？树是一种数据结构，它由一组节点和边构成。
节点可以包含数据，边用于连接节点并表示关系。
2.什么是排序？排序是一种对数据进行重新排列的操作，目的是使数据具有某种有序结构。
离散数学第二版课后答案pdf
离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。
答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。
第1章 集合、映射与运算
有限集合A的元素个数|A|.
Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集, 记为或 不含有任意元素的集合称为空集, 记为 { }.
1.1.2 子集 A B, 特别地是任意集合的子集. A = B. Theorem 1-2(P3) (1) A A. (2) A B, B A A = B. (3) A B, B C A C.
Theorem 1-3 A = B A B 且 B A.
注意 ∈与 的不同. 例1-2 由A B, B∈ C可否得出A C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 1.1.3 幂集 P( X ) = {A| A X} X = {a, b} P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
B × A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}
B×C = {(1, ), (2, )}
C×A×B = {(, a, 1), (, b, 1), (, a, 2), (, b, 2)}.
Theorem Hint
| A|= m,| B |= n A× B |= mn. | A× B = {( x, y) | x ∈ A, y ∈B}.
(x, y, z)
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
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离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣ 1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N ⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z ，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z ，f (x ) ≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z 且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R ，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R ，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N ⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意(x 1, x 2) ∈N ⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N ，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N ⨯N ，而任意x ∈N 均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B 且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N ，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A ，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A ，由于f (x ) ∈B ，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A ，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A ，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A 且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A ，f (x ) =a ，显然f :A →A 且f ≠I A . 而对于任意x ∈A ，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(fg )(A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C ，因为g 是满射，于是存在y ∈B 使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A 使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A ，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α, β, γ, δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f (b )) =g (2) =β, 于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A ，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G ，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G ，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G 且对于任意f ∈G ，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G ，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n ，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n ，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B ⨯D ，对任意(a , c ) ∈A ⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A ⨯C ，(a 2, c 2) ∈A ⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B ⨯D ，则b ∈B , d ∈D ，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C 使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A ，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N 的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。