离散数学 第二版 课后习题答案详解
(完整word版)离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(可编辑修改版).
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。
离散数学第二版罗熊课后答案
离散数学第二版罗熊课后答案第1章绪论 1 ．试述数据、数据库、数据库系统、数据库管理系统的概念。
答：( l ）数据（ Data ) ：叙述事物的符号记录称作数据。
数据的种类存有数字、文字、图形、图像、声音、正文等。
数据与其语义就是不可分的。
解析在现代计算机系统中数据的概念就是广义的。
早期的计算机系统主要用作科学计算，处置的数据就是整数、实数、浮点数等传统数学中的数据。
现代计算机能够存储和处置的对象十分广为，则表示这些对象的数据也越来越繁杂。
数据与其语义就是不可分的。
500 这个数字可以表示一件物品的价格是 500 元，也可以表示一个学术会议参加的人数有 500 人，还可以表示一袋奶粉重 500 克。
( 2 ）数据库（ DataBase ，缩写 DB ) ：数据库就是长期储存在计算机内的、存有非政府的、可以共享资源的数据子集。
数据库中的数据按一定的数据模型非政府、叙述和储存，具备较小的冗余度、较低的数据独立性和易扩展性，并可向各种用户共享资源。
( 3 ）数据库系统（ DataBas 。
Sytem ，缩写 DBS ) ：数据库系统就是所指在计算机系统中导入数据库后的系统形成，通常由数据库、数据库管理系统（及其开发工具）、应用领域系统、数据库管理员形成。
解析数据库系统和数据库就是两个概念。
数据库系统就是一个人一机系统，数据库就是数据库系统的一个组成部分。
但是在日常工作中人们常常把数据库系统缩写为数据库。
期望读者能从人们讲话或文章的上下文中区分“数据库系统”和“数据库”，不要引发混为一谈。
( 4 ）数据库管理系统（ DataBase Management sytem ，简称 DBMs ) ：数据库管理系统是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，用于科学地组织和存储数据、高效地获取和维护数据。
DBMS 的主要功能包含数据定义功能、数据压低功能、数据库的运转管理功能、数据库的创建和保护功能。
解析 DBMS 就是一个大型的繁杂的软件系统，就是计算机中的基础软件。
离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）?(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)? ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
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离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。
答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0；r、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。
( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。
并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。
另外6 能被2 整除，6 才能被4 整除。
答：p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为：p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1，所以这一段的论述为真19．用真值表判断下列公式的类型：4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答： ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答：(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式：⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解：( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式：( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为：(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明： ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) ：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提：p(q r),s p,q结论：s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s 结论： p证明：① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥ r ￢s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x)，在( a)中为假命题，在(b) 中为真命题。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案.docx
离散数学答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0； r 、S 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) p ∨ (q ∧ r)二 O V (0 ∧ 1) U 0(2) ( p? r )∧ (「q ∨ S)二 (0? 1)∧ (1 ∨ 1)二 0∧ 1= 0. (3)( 一 p ∧ 一 q ∧ r ) ? (P ∧ q ∧, r)二(1∧ 1∧ 1)? (0 ∧ 0∧ 0)=0(4) (一 r ∧ S )→(P ∧ 一 q) U (0∧ 1)→ (1 ∧ 0) = 0→O= 1 17 .判断下面一段论述是否为真：“二是无理数。
并且，如果3是无理数，则' 2也是无 理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:二是无理数 1q: 3是无理数 0 r:2是无理数 1s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除 0命题符号化为：p ∧ (q →r) ∧ (t →S)的真值为1,所以这一段的论述为真19.用真值表判断下列公式的类型: (4) (P → q) → (_q —_ P) (5) (P ∧ r)' (—p ∧ 一q) (6) ((P →q) ∧ (q → r)) →(p →r)(5) 公式类型为可满足式(方法如上例) (6) 公式类型为永真式(方法如上例)答:(4)_ p → q^q 1 1 1POOIOOI 1 1 1 0 所以公式类型为永真式P 1 1 0 0q —_p 1 1 0 1(p → q)→ (—q →-P) 1 1 1 1第二章部分课后习题参考答案3. 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值•⑴一(p∧q→q)(2) (p→(P ∨q))∨(p→r)(3) (P∨q)→(P∧r)答：(2) (p→(p∨q))∨(p→r)：= (一p∨(p∨q))∨(一p∨r)：= ^ p∨p∨q∨r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p∨q P ∧r (P∨q)→ (P∧0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4. 用等值演算法证明下面等值式：⑵(P → q) ∧(P → r)二(P → (q ∧r))⑷(P ∧- q) ∨ (—p∧q)= (p ∨q) ∧一(P ∧q)证明(2)(P →q) ∧(P →r)(^p∨q) ∧( 一p∨r)=^p∨(q ∧r))：=p→ (q ∧ r)(4) (P ∧— q) ∨ (—p∧q) = (p ∨ (—p∧q)) ∧(~ q∨ ( —p∧q)二(P∨— P) ∧(P∨q)∧(一q∨-P) ∧Cq∨q)U 1 ∧(P ∨q) ∧^ (P ∧q) ∧1U (P ∨q) ∧^ (P ∧q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1) ( ^P→q)→(一q∨P)(2) _(P→q) ∧q∧r(3) (P ∨(q ∧r)) →(P ∨q∨r)解：(1) 主析取范式(-p→ q) → (-q P)--(P q) (一q P)=(—P ^q) ( 一q P)=(-P ^q) (一q P) (一q -P) (P q) (P ^q)-(-P ^q) (P ^q) (P q)U m0m2m3U ∑ (0,2,3)主合取范式：(^P→q)→(一q P)--(P q) (一q P)U ( -p -q) (一q P)=(-p ( -q P)) ( -q (-q P))=1 (p — q)-(P _q) - M iU ∏ (1)(2) 主合取范式为：—(P → q) q r = 一(一p q) q r=(P _ q) q r = 0所以该式为矛盾式∙主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为：(P (q r)) → (P q r)u 一(P (q r)) → (P q r)=(一p ( 一q _ r)) (P q r)U ( 一p (P q r)) (( 一q ^ r)) (P q r)) =1 1所以该式为永真式•永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明⑵前提：p—；q, —(q r),r结论：_ P(4)前提：q“ p,q s,s I t,t r结论：P q证明：(2)①—(q r) 前提引入②—q 一r ①置换③ q • 一r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤一q ③④拒取式⑥p— q 前提引入⑦」P (3)⑤⑥拒取式证明(4):①t r 前提引入②t ①化简律③qι S前提引入④SI t 前提引入⑤q t ③④等价三段论®(q~ t)(t > q) ⑤置换⑦(q T )⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨ q—；P 前提引入⑩P ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理(1)前提：p— (q > r),S > p,q结论：S-；r证明①S 附加前提引入②Sr P 前提引入③P ①②假言推理④P- (q - r) 前提引入⑤ q—；r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p ■ —q, —r q,r - S结论：- P证明：①P 结论的否定引入② p—；「q 前提引入③厂q ①②假言推理r q 前提引入⑤「r ④化简律⑥r 「S 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后一步r 「r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意X,均有声-2=(x+ )(x T Q.(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): F=2=(x+遢)(x ：區).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为-XF(X),在(a)中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案之欧阳家百创编
离散数学答案屈婉玲版欧阳家百（2021.03.07）第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1)⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)⇔（0↔1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)⇔（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)⇔（0∧1）→(1∧0)⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r)↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q)⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，xF在(b)中为真命题。
离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
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习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1.答：否定式：. p：5 .q：5 q的真值为 1.（2.. p：. q：25 . 其否定式q的真值为 1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为 1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数. 其否定式q的真值为 1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧ ，其真值为 1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答：p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p q∧ ，其真值为 1.（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为p q∧¬ ，其真值为 1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧ ，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为¬ ∧¬p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3是偶数.（2）2或4是偶数.（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是偶数.答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4 是偶数, t:5是偶数(1)符号化: p q∨ ，其真值为1.(2)符号化：p r∨ ，其真值为1.(3)符号化：r t∨ ，其真值为0.(4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为1.(5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: (¬ ∧ ∨ ∧¬p q )(p q ) . 7.设p ：王冬生于 1971 年，q ：王冬生于 1972 年，说明命题“王冬生于 1971 年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式. 8.将下列命题符号化,并指出真值. （1）只要； （2）如果； （3）只有； （4）除非； （5）除非； （6）.答:设p:.）））））, 则:; 设 q: , 则:仅当 , 否则 , 才有 , 才有 , 则 , 就有）设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.(1)(2)(3)(4)14.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答:q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则 也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.” 是无理数s: 6能被2整除t ：6能被4整除符号化为: ，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。
q:小李会跳舞。
真值为1.真值为0.可得，p 真值为1，q 真值为0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型: （1） （2） p（3）（4）（5）（6）（7）. 解：（1）解： p : 是无理数 q: 3 是无理数 r:（2）（p （3）0 （4）（5）（6）1 （7）此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）（3）（4）解：0 1 1 0（3）的成真赋值是00，01,10 （4）的成真赋值是01，10,11 21.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（3）解：1 1 1（3）的成假赋值是100,10122.已知公式是矛盾式，求公式 成真和成假赋值.解：∵是矛盾式 ∴也是矛盾式。
由此可得：该式无成真赋值。
而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式是重言式,求公式 的成真和成假赋值.解：∵是重言式，∴也是重言式。
由此可得：该式无成假赋值。
而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11124.已知是重言式，试判断公式 及的类型.解：∵是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，∴都是重言式。
25.已知是矛盾式，试判断公式及的类型.解：∵是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，∴都是重言式。
26. 已 知 是 重 言 式 ，是 矛 盾 式 ， 试 判 断的类型.解：是矛盾式。
是重言式。
27.设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,证明:是重言式当且仅当A 和B 都是重言式. 及由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，是重言式。
28.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么?解：同样由真值表可得，的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,证明:是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式.解：由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，是矛盾式。
30.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,已知是重言式,能得出A和B都是重言式的结论吗?由真值表可得的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A和B都是重言式。
习题二1.设公式A p q= → ,B p q= ∧¬ ，用真值表验证公式A和B适合德摩根律：2.3成真赋值.（1）¬ ∧ →(p q q)答：原式=¬¬ ∧ ∨( (p q q) )=¬¬ ∨¬ ∨( p q q)= 0 是矛盾式.4.用等值演算法证明下面等值式.（1）p⇔ ∧ ∨ ∧¬（p q p q）（）答：右式= p q q∧ ∨¬（）= p∧1= p（2）((p q→ ∧ → ⇔ → ∧) (p r)) (p (q r))答：右式= ¬ ∨ ∧p q r( )=(¬ ∨ ∧ ¬ ∨p q) ( pr)= (p q p r→ ∧ →) ( )) =左式（3）¬ ↔ ⇔ ∨ ∧¬ ∧(p q) (p q) (p q) 答：左式= ¬¬ ∨ ∨¬ ∨¬( p q) (p q)= (p∨ ¬ ∧ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧( p q)) ( q ( p q))= (p q∨ ∧¬ ∧) (p q)（4）(p q∧¬ ∨ ¬ ∧ ⇔ ∨ ∧¬ ∧) ( p q) (pq) (p q) 答：左式= (p∨ ¬ ∧ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧( p q))( q ( p q))= (p q∨ ∧¬ ∧) (p q)5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）(¬p→q) → (¬q∨p)答：(¬ → → ¬ ∨ = ∨ → ¬ ∨ =¬ ∨ ∨ ¬ ∨p q) ( q p) (p q) ( q p) (p q) ( q p) = (¬ ∧¬ ∨ ¬ ∧ ∨¬ ∨ ∧ ∨¬p q) ( q p p( )) (p q q( )= (p q∧ ∨ ∨¬ ∨ ¬ ∧¬ =∨ ∨) (p p) ( p q m m m) 0 2 3成真赋值为00,10,11.（2）¬(p→q) ∧q∧r 答：¬ → ∧ ∧ =¬¬ ∨ ∧ ∧ = ∧¬ ∧ ∧=(p q q r) ( p q q r p q q) 0所以为矛盾式。