2018年高考理科数学新课标全国1卷 逐题解析

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2018高考全国一卷理科数学答案解析与解析

2018高考全国一卷理科数学答案解析与解析

考虑到 f( x)为奇函数,可以求 f(x)最大值 .将 f( x)平方: f 2 ( x ) =4sin 2x(1+cosx) 2=4(1-cosx)(1+cosx) 3=4/3(3-3cosx)(1+cosx) 3 ≧ (4/3) (( 3-3cosx )
3(1+cosx))/4 ) 4= 4 ( 6 ) 4= 27
在 Rt△PHD 中 ,s ∠PDH=PH/PD= /2= . 【考点定位】立体几何点、直线、面的关系
19.(12 分)
设椭圆 C:
+y2= 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,
点 M 的坐标为( 2,0) .
( 1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;
( 2)设 O 为坐标原点,证明:∠ OM =∠ OM .
A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p 3
【答案】 A 【解析】 整个区域的面积: S1+S 半圆 BC =S 半圆 AB+S 半圆 AC +S △ABC 根据勾股定理,容易推出 S 半圆 BC=S 半圆 AB +S 半圆 AC ∴S1=S △ABC 故选 A 【考点定位】古典概率、不规则图形面积
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 如图平面α截正方体所得截面为正六边形,此时,截面面积最大,其中边长
截面面积 S=6× ×( ) 2=
GH=
【考点定位】立体几何 截面 【盘外招】交并集理论: ABD 交集为 , AC 交集为 ,选 A
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
15.从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 有种 .(用数字填写答案) 【答案】 16

(完整word版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

(完整word版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。

1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。

B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。

2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设z=+2i,则|z|=()A.0 B.C.1 D.2.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2﹣x﹣2>0},则∁R A=()A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2} D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3.(5分)(2018•新课标Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.(5分)(2018•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.125.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x6.(5分)(2018•新课标Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.﹣B.﹣C.+D.+7.(5分)(2018•新课标Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2 C.3 D.28.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则•=()A.5 B.6 C.7 D.89.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)10.(5分)(2018•新课标Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3 C.2 D.412.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为() A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设z=+2i,则|z|=()A.0B.C.1D.2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2>0},则∁R A=()A.{x|﹣1<x<2}B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2}D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12B.﹣10C.10D.125.(5分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x6.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.﹣B.﹣C.+D.+7.(5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.28.(5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则•=()A.5B.6C.7D.89.(5分)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)10.(5分)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3 11.(5分)已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3C.2D.412.(5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设121iz i i-=++,则z =( ) A .0 B .12C .1D 25.设函数()()321f x xa x ax=+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为( )A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( )A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144AB AC + D .1344AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A .217 B .25 C .3 D .2 8.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过点()20-,且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=( ) A .5 B .6 C .7 D .8 9.已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩,≤,,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( )A .[)10-,B .[)0+∞,C .[)1-+∞,D .[)1+∞,10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ,ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则( )A .12p p = B .13p p = C .23pp =D .123p p p =+11.已知双曲线2213x C y-=:,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若OMN △为直角三角形,则MN =( ) A .32 B .3 C .23 D .4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A .334B .233C .324D .32 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.14.记nS 为数列{}na 的前n 项和.若21nn Sa =+,则6S =________.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案) 16.已知函数()2sin sin 2f x x x=+,则()f x 的最小值是________.三、解答题(共70分。

2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)理科数学注意事项:1 •答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题(本题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.1•设z 1 2i,则zC.2•已知集合x|x2则e R Ax|C • x|x 1 U x|x3.某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍•实现翻番•为更好地解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.到如下饼图:则下面结论中不正确的是(A •新农村建设后,种植收入减少-1 -B •新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C •新农村建设后,养殖收入增加了一倍D •新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半uuur iuur 则 FM FN (C . 7围是( )10 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆4•记£为等差数列 a n 的前n 项和. 右 3S 3 S 2 S 4 , a 1 2 ,则 a 3 ( )A . 1210C . 10125・设函数f x 3 1 x 2ax • 若f x 为奇函数,则曲线在点0,0处的切线方程为(A . y 2xC . y 2x6.在△ ABC 中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点,则uu u EB3 mu 1 iurA . AB AC 4 43UJH 1 uur C . AB AC 4 41 mu 3 urnr B .AB AC 4 41 mu 3 uur D .AB -AC 4 47•某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 在此圆柱侧面上, M 到N 的路径中,最短路径的长度为(A • 2 17 C . 3&设抛物线C : 4x 的焦点为F ,过点且斜率为2的直线与C 交于M , N 两点,9 .已知函数fln x , x 0a ,右g x 存在2个零点,则a 的取值范B .0,C .1,上的点g c的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC , △ ABC 的三边所围成的区域 记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川,在整个图形中随机取一点,此点取自I ,n, 川的概率分别记为 p 1, p 2 , p 3,则()x 2y 2w 013 .若x , y 满足约束条件 x y 1 > 0 ,则y w 014 .记S n 为数列a n 的前n 项和.若W 2a n 1,则S 6 _____________________________________ . 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有 1位女生入选,则不同的选法共有 ________ 种.(用数字填写答案)16 .已知函数 f x 2sinx sin 2x ,贝U f x 的最小值是 __________________ . 三、解答题(共70分。

2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设z=+2i,则|z|=()A.0 B.C.1 D.2.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2﹣x﹣2>0},则∁R A=()A.{x|﹣1<x<2}B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2}D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3.(5分)(2018•新课标Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.(5分)(2018•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.125.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x6.(5分)(2018•新课标Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.﹣B.﹣C.+D.+7.(5分)(2018•新课标Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2 C.3 D.28.(5分)(2018•新课标Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则•=()A.5 B.6 C.7 D.89.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[﹣1,0)B.[0,+∞)C.[﹣1,+∞)D.[1,+∞)10.(5分)(2018•新课标Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C 的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3 C.2 D.412.(5分)(2018•新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2018年度高考全国一卷理科数学内容规范标准答案及其解析

2018年度高考全国一卷理科数学内容规范标准答案及其解析
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
整个区域的面积:S1+S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC+S△ABC
根据勾股定理,容易推出S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC
∴S1= S△ABC故选A
【考点定位】古典概率、不规则图形面积
11.已知双曲线C: -y²=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N. 若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=
=
从而KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB
综上所述,∠OMA=∠OMB【考Βιβλιοθήκη 定位】圆锥曲线20、(12分)
某工厂的某、种、产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的k概率都为P(0<P<1),且各件产品是否为不合格品相互独立。
f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3) 3-3cosx) 3(1+cosx))/4)4= ( )4=
当3-3cosx=1+cosx 即cosx 时,f2(x)取最大值
f(x)min=
【考点定位】三角函数的极值,基本不等式的应用
D.[1,+∞)
【答案】C
【解析】
根据题意:f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,
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2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设z=1-i1+i+2i ,则|z|= A .0 B .12 C .1 D . 2解析:选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i2.已知集合A={x|x 2-x-2>0},则∁R A =A .{x|-1<x<2}B .{x|-1≤x ≤2}C .{x|x<-1}∪{x|x>2}D .{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析:选B A={x|x<-1或x>2}3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:选A4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=A .-12B .-10C .10D .12 解析:选 ∵3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 ∴d=-3 a 5=-105.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A .y=-2x B .y=-x C .y=2x D .y=x解析:选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6.在ΔABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →= A .34AB → - 14AC →B . 14AB → - 34AC →C .34AB → + 14AC →D . 14AB → + 34AC →解析:选A 结合图形,EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A .217B .2 5C .3D .2解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →=A .5B .6C .7D .8解析:选D F(1,0),MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=89.已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧e x, x ≤0lnx ,x>0,g(x)=f(x)+x+a .若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是A .[–1,0)B .[0,+∞)C .[–1,+∞)D .[1,+∞)解析:选C g(x)=0即f(x)=-x-a ,即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点,结合y=f(x)图象可知-a<1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为p1,p2,p3,则A .p1=p2B .p1=p3C .p2=p3D .p1=p2+p3解析:选A ∵AC=3,AB=4,∴BC=5,∴12AC=32,12AB=2 , 12BC=52∴以AC 和AB 为直径的两个半圆面积之和为12×π×(32)2+12×π×22=258π∴以BC 为直径的半圆面积与三角形ABC 的面积之差为12×π×(52)2- 12×3×4=258π-6;∴两个月牙形(图中阴影部分)的面积之和等于258π-(258π-6)=6=ΔABC 面积∴p1=p211.已知双曲线C :x 23 - y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形,则|MN|=A .32B .3C .2 3D .4解析:选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3,方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3, 3),∴|MN|=3 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A .334B .233C .324D .32解析:选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。

当正六边形过正方体棱的中点时,面积最大此时正六边形的边长为22,其面积为6×34×(22)2=334二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0x-y+1≥0 y ≤0 ,则z=3z+2y 的最大值为_____________.解析:答案为614.记S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n =2a n +1,则S 6=_____________.解析:a 1=-1,n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n-1,a n =-2n-1,S 6=2a 6+1=-64+1=-63 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)解析:合条件的选法有C 63-C 43=1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是_____________.解析:由题意可得T=2π是f (x )=2sinx+sin2x 的一个周期,故只需考虑f (x )=2sinx+sin2x 在[0,2π)上的最小值。

∵ f ′(x )=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1), 令f ′(x )=0可解得cosx=12或cosx=-1, 可得此时x=π3,π或5π3;∴y=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在点x=π3,π或5π3和边界点x=0中取到,计算可得f (π3)=332,f (π)=0,f (5π3)=-332,f (0)=0, ∴函数的最小值为-332三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分。

17.(12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=900,∠A=450,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB ; (2)若DC=22,求BC.解:(1)在ΔABD 中,由正弦定理得BD sinA =AB sin ∠ADB .由题设知,sin ∠ADB=25.由题设知,∠ADB <900,所以cos ∠ADB =235. (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC= sin ∠ADB=25. 在ΔBCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2BD ·DC ·cos ∠BDC=25 所以BC=5. 18.(12分)如图,四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把ΔDFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF.(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.解:(1)由已知可得,BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,所以BF ⊥平面PEF. 又BF 平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD.(2)作PH ⊥EF ,垂足为H.由(1)得,PH ⊥平面ABFD.以H 为坐标原点,HF →的方向为y 轴正方向,|BF →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz. 由(1)可得,DE ⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE= 3.又PF=1,EF=2,故PE ⊥PF. 可得PH=32,EH=32. 则H(0,0,0),P(0,0,32),D(-1,- 32,0 ), DP→=(1, 32,32), HP →=(0,0, 32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则sin θ=|DP →·HP →| DP →|·|HP →||=34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 19.(12分)设椭圆C: x 22 + y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解:(1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1. 由已知可得,点A 的坐标为(1, 22)或(1,- 22). 所以AM 的方程为y= -22x+2或y= 22x- 2. (2)当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB =00.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2.由y 1=kx 1-k, y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k(x 1-2)( x 2-2)将y=k(x-1)代入x 22 + y 2 =1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0 所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1, x 1x 2=2k 2-2 2k 2+1. 则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k =4k 3-4k-12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0 从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&网 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.学.科网 (i )若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX; (ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f′(p)= C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2 C 202p(1-p)17(1-10p)令f′(p)=0,得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p ∈(0.1,1)时,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1.(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y ~B(180,0.1),X=40+25Y , 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii )如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 21.(12分) 已知函数f(x)= 1x - x+alnx .(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x 1,x 2,证明:f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= - 1x 2-1+a x =- x 2-ax+1x2. (i )若a ≤2,则f′(x )≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii )若a>2,令f′(x)=0得,x=a-a 2-42或x=a+a 2-42.当x ∈(0, a-a 2-42)∪(a+a 2-42,+∞)时,f′(x)<0;当x ∈(a-a 2-42,a+a 2-42)时,f′(x)>0.所以f(x)在(0, a-a 2-42)、(a+a 2-42,+∞)单调递减,在(a-a 2-42,a+a 2-42)单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0,所以x 1x 2=1,不妨设x 1<x 2,则x 2>1. 由于f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2= - 1 x 1x 2 -1+a lnx 1-lnx 2 x 1-x 2= -2+ a lnx 1-lnx 2 x 1-x 2=-2+ a -2lnx 21x 2-x 2,所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2等价于1x 2–x 2+2lnx 2<0.设函数g(x)= 1x - x+2lnx ,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0. 所以1x 2–x 2+2lnx 2<0,即f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2.(二)选考题:共10分。

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