2018年高考数学新课标3理科真题及答案

1.(2018 年新课标Ⅲ理)已知集合 A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则 A ∩B ＝()A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2}C 【解析】A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},则 A ∩B ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}.2.(2018 年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝()A .－3－iB .－3＋iC .3－iD .3＋iD 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i ＝3＋i .3.(2018 年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 .构件的凸出部分叫榫头 ,凹进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头 .若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()AB C DA 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从 图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外 3 边是虚线.故选 A .14.(2018 年新课标Ⅲ理)若 sin α＝ ,则 cos 2α＝()8 7 7A .B .C .－9 991 7B 【解析】cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ＝ .2 5.(2018 年新课标Ⅲ理) x ＋的展开式中 x 的系数为( )A .10B .20C .408D .－9D .802 3 29 925 4x2 2 C 【解析】 x ＋ 的展开式的通项为 T ＝C (x ) ＝2 C x r +1 5 5.由 10－3r ＝4,解得 r2 ＝2.∴ x ＋ 的展开式中 x 的系数为 2 C ＝40. 56.(2018 年新课标Ⅲ理)直线 x ＋y ＋2＝0 分别与 x 轴,y 轴交于 A ,B 两点,点 P 在圆(x －2) ＋ y＝2 上, △则△ ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[ 2,3 2]D .[2 2,3 2]A 【解析】易得 A (－2,0),B (0,－2),|AB |＝2 2.圆的圆心为(2,0),半径 r ＝ 2.圆心(2,0)到直线 x ＋y ＋2＝0 的距离 d ＝ |2＋0＋2|＝2 2,∴点 P 到直线 x ＋y ＋2＝0 的距离 h 的取值范围 1 ＋1 1为[2 2－r ,2 2＋r ],即[ 2,3 2].又△ ABP 的面积 S ＝ |AB |·h ＝ 2h ,∴S 的取值范围是 [2,6].7.(2018 年新课标Ⅲ理)函数 y ＝－x ＋x ＋2 的图象大致为( )A BCDD 【解析】函数过定点(0,2),排除 A ,B ；函数的导数 y ′＝－4x ＋2x ＝－2x (2x －1),由 y ′＞0解得 x ＜－2 2或 0＜x ＜ ,此时函数单调递增,排除 C .故选 D .2 28.(2018 年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX ＝2.4,P (X ＝4)＜P (X ＝6),25 r 2 5 r r r r 10 3r－ － x x25 4 2 2 x 22 2 2 24 2 3 2则 p ＝()A .0.7B .0.6C .0.4D .0.3B【解析】 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,为独立重复事件 ,满足 X ～1B (10,p ).由 P (X ＝4)＜P (X ＝6),可得C p (1－p ) ＜C p (1－p ) ,解得 p ＞ .因为 DX ＝2.4,所10 10 2以 10p (1－p)＝2.4,解得 p ＝0.6 或 p ＝0.4(舍去).9.(2018 年新课标 Ⅲ理 △)△ ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若△ ABC 的面积为a2＋b 4－c ,则 C ＝( )π πA .B .2 3π C .4π D .61 a ＋b －c a ＋b －c C 【解析】S ＝ ab sin C ＝,则 sin C ＝ ＝cos C .因为 0＜C ＜π,所以 π C ＝ .410.(2018 年新课标Ⅲ理)设 A ,B ,C ,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点 △△ ABC 为等边三 角形且面积为 9 3,则三棱锥 D -ABC 体积的最大值为()A .12 3B .18 3C .24 3D .54 3B 【解析】 △由△ ABC 为等边三角形且面积为 9 3,得 S ＝3 4·|AB |＝9 3,解得 AB ＝6.设半径为 4 的球的球心为 O △△ ABC 的外心为 O ′,显然 D 在 O ′O 的延长线与球的交点处(如 2 3图).O ′C ＝ × ×6＝2 3,OO ′＝ 4 －(2 3) ＝2,则三棱锥 D -ABC 高的最大值为 6,则三棱1 3 锥 D -ABC 体积的最大值为 × ×6 ＝18 3.3 4x y 11.(2018 年新课标Ⅲ理)设 F ,F 是双曲线 C : － ＝1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.1 2 a b过 F 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P ,若|PF |＝ 6|OP |,则 C 的离心率为()214 4 6 6 6 42 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2bc △ ABC △ ABC 2 2 23 232 22 2A . 5B .2C . 3D . 2b bcC 【解析】双曲线 C 的一条渐近线方程为 y ＝ x ,∴点 F 到渐近线的距离 d ＝ ＝b ,a 2 2 2即|PF | ＝b ,∴|OP | ＝|OF | 22 －|PF | 2＝c －b2b＝a ,cos ∠PF O ＝ .∵|PF | ＝6| OP |,∴|PF |2 c 11＝ 6a .△F △ PF 中,由余弦定理得|PF | ＝|PF | ＋|F F | －2|PF |·|F F |cos ∠PF O ,即 6a ＝b 12121 221 22b c＋4c －2×b ×2c × ＝4c －3b ＝4c －3(c －a ),化简得 3a ＝c ,∴e ＝ ＝c aca＝ 3.12.(2018 年新课标Ⅲ理)设 a ＝log 0.3,b ＝log 0.3,则( )0.2 2A .a ＋b ＜ab ＜0B .ab ＜a ＋b ＜0C .a ＋b ＜0＜abD .ab ＜0＜a ＋bB【 解 析 】 ∵a ＝ log 0.3 ＝ 0.2lg 0.3lg 0.3lg 0.3 lg 0.3 ,b ＝ log 0.3 ＝ ,∴a ＋ b ＝ － ＝ －lg 5 2 lg 2lg 2lg 55 10lg 0.3·lg lg 0.3·lglg 0.3(lg 5－lg 2) 2 lg 0.3 lg 0.3 3 10 5 lg 0.3＝ ,ab ＝－ · ＝ .∵lg ＞lg ,lg 2·lg 5 lg 2·lg 5 lg 2 lg 5 lg 2·lg 5 3 2 lg 2·lg 5 ＜0,∴ab ＜a ＋b ＜0.故选 B .13.(2018 年新课标 Ⅲ 理 )已知向量 a ＝(1,2),b ＝(2, － 2),c ＝(1,λ). 若 c ∥(2a ＋b ),则 λ ＝ ________.1 21 λ 1【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由 c ∥(2a ＋b ),得 ＝ ,解得 λ＝ .14.(2018 年新课标Ⅲ理)曲线 y ＝(ax ＋1)e在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则 a ＝________.－3 【解析】由 y ＝(ax ＋1)e ,可得 y ′＝a e ＋(ax ＋1)e .∵y ′| ＝a ＋1,∴a ＋1＝－2,解得 a ＝－3.π 15.(2018 年新课标Ⅲ理)函数 f (x )＝cos 3x ＋ 在[0,π]的零点个数为________.3【解析】令 f (x )＝cos3x ＋ ＝0,得 3x ＋ ＝ ＋k π(k ∈Z ),解得 x ＝ ＋ (k ∈Z ).当 k ＝0π 4π 7π 10π π时,x ＝ ；当 k ＝1 时,x ＝ ；当 k ＝2 时,x ＝ ；当 k ＝3 时,x ＝ .∵x ∈[0,π],∴x ＝ ,或 x 4π 7π＝ ,或 x ＝ .∴f (x )的零点的个数为 3.9 9a ＋b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 224 2 2x xxxx ＝06ππ π π k π 6 6 2 9 3 9 9 9 9 916.(2018 年新课标Ⅲ理)已知点 M (－1,1)和抛物线 C :y ＝4x ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A ,B 两点.若∠AMB ＝90°,则 k ＝________.2【解析】 ∵抛物线的焦点为 F (1,0),∴过 A ,B 两点的直线方程为 y ＝ k (x －1).联立y ＝4x ，4＋2k化简得 k x －2(2＋k )x ＋k ＝0.设 A (x ,y ),B (x ,y ),则 x ＋x ＝ ,x x＝ y ＝k(x －1)，41.∴y ＋y ＝k (x ＋x －2) ＝ ,y y ＝k (x －1)(x －1) ＝ k [x x －(x ＋x ) ＋1] ＝－ 4.∵M ( － 12 1 2 k 1 2 1 2 1 2 1 21,1),∴MA ＝(x ＋1,y －1),M B ＝(x ＋1,y －1).∵∠AMB ＝90°＝0,∴MA ·MB ＝0,即(x ＋112214 1)(x ＋1)＋(y －1)(y －1)＝0,整理得 x x ＋(x ＋x )＋y y －(y ＋y )＋2＝0,∴1＋2＋ －4－ 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 k4k＋2＝0,即 k －4k ＋4＝0,解得 k ＝2.17.(2018 年新课标Ⅲ理)等比数列{a }中,a ＝1,a ＝4a .n153（1）求{a }的通项公式；n（2）记 S 为{a }的前 n 项和.若 S ＝63,求 m . nnm【解析】（1）设等比数列{a }的公比为 q .n由 a ＝1,a ＝4a ,得 1×q ＝4×(1×q ),解得 q ＝±2. 153当 q ＝2 时,a ＝2 nn －1；当 q ＝－2 时,a ＝(－2) .n1×[1－(－2) ] 1－(－2) 1－(－2) （2）当 q ＝－2 时,S ＝ ＝ .由 S ＝63,得 ＝63,m ∈N ,无解；n 1－(－2) 3 m 3 1×(1－2 )当 q ＝2 时,S ＝ ＝2 n 1－2－1.由 S ＝63,得 2 m m －1＝63,解得 m ＝6.18.(2018 年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生 产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:2222 2 2 22 k 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 → → → →2 2 4 2 n 1 － n n mn n（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ,并将完成生产任务所需时间超过 m 和 不超过 m 的工人数填入下面的列联表:超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?n(ad －bc )附:K＝ (a ＋b )(c ＋d)(a ＋c )(b ＋d )P (K ≥k )k0.0503.8410.0106.6350.00110.828【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在 72～92 之间, 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65～85 之间,∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.（2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79＋8179 和 81,m ＝ ＝80.2由此填写列联表如下:第一种生产方式第二种生产方式总计超过 m15520不超过 m51520总计20204040(15×15－5×5) （3）K ＝ ＝10＞6.635,20×20×20×20∴有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.⌒19.(2018 年新课标Ⅲ文)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂2 2 22 2 CD⌒直,M是上异于C,D的点.（1）求证:平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解析】（1）证明:在半圆中,DM⊥MC.⌒∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,∴AD⊥平面DCM.又MC⊂平面DCM,∴AD⊥MC.又AD∩DM＝D,∴MC⊥平面ADM.∵MC⊂平面MBC,∴平面AMD⊥平面BMC.（2）∵△ABC 的面积为定值,∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M 为圆弧的中点.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,－1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的一个法向量为m＝(1,0,0).设平面MAB的一个法向量为n＝(x,y,z),则A B＝(0,2,0),AM＝(－2,1,1).n·AB＝2y＝0，∴n·AM＝－2x＋y＋z＝0.令x＝1,则y＝0,z＝2,∴n＝(1,0,2).m·n15∴cos〈m,n〉＝＝＝.|m|·|n|1×55设面MAB与面MCD所成的二面角为α,则sinα＝525 1－＝.55CDCD→→→→2xy 20.(2018 年新课标Ⅲ文)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C : ＋ ＝1 交于 A ,B 两点,线段 AB4 3的中点为 M (1,m )(m ＞0).1（1）求证:k ＜－ ；2（2）设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且F P ＋FA ＋FB ＝0,求证:|FA |,|FP |,|FB |成等差数列, 并求该数列的公差.【解析】（1）设 A (x ,y ),B (x ,y ).1122∵线段 AB 的中点为 M (1,m ),∴x ＋x ＝2,y ＋y ＝2m .1212xy 将 A (x ,y ),B (x ,y )代入 ＋ ＝1 中,1 12 2 4 3化简得 3(x ＋x )(x －x )＋4(y ＋y )(y －y )＝0,即 6(x －x )＋8m (y －y )＝0,121212121212y －y 6 3 ∴k ＝ ＝－ ＝－ .x －x 8m 4m 12 1 m 3点 M (1,m)在椭圆内,即 ＋ ＜1(m ＞0),解得 0＜m ＜ .4 3 23 1∴k ＝－ ＜－ .4m 2（2）证明:设(x ,y ),可得 x ＋x ＝2.3312∵FP ＋FA ＋FB ＝0,F (1,0),∴x －1＋x －1＋x －1＝0,y ＋y ＋y ＝0.123123∴x ＝1,y ＝－(y ＋y )＝－2m .3312∵m ＞0,∴P 在第四象限.2 2 → → → → → →2 2 12 2 → → →3 3∴y ＝－ ,m ＝ ,k ＝－1.3 2 41 1 1 3 ∵|FA |＝2－ x ,|FB |＝2－ x ,|FP |＝2－ x ＝ ,2 1 2 2 23 21则|FA |＋|FB |＝4－ (x ＋x )＝3.2 1 2 ∴2|FP |＝|FA |＋|FB |.y ＝－x ＋ ，联立化简得 28x 2－56x ＋1＝0.x y＋ ＝1， 4 31∴x ＋x ＝2,x x ＝ .1 2 1 2 283 21 ∴|x －x |＝ (x ＋x ) －4x x ＝ .1 2 1 2 1 2 71 3 21 ∴该数列的公差 d 满足 2d ＝± |x －x |＝± .2 1 2 143 21∴该数列的公差为± .2821.(2018 年新课标Ⅲ理)已知函数 f (x )＝(2＋x ＋ax )ln(1＋x )－2x .（1）若 a ＝0,求证:当－1＜x ＜0 时,f (x )＜0；当 x ＞0 时,f (x)＞0；（2）若 x ＝0 是 f (x )的极大值点,求 a .x【解析】（1）证明:当 a ＝0 时,f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x ＞－1),则 f ′(x)＝ln(1＋x )－ .1＋x x x令 g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－ ,则 g ′(x )＝ .1＋x (1＋x )当 x ∈(－1,0)时,g ′(x )≤0；当 x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )≥0.∴f ′(x )在(－1,0)递减,在(0,＋∞)递增.∴f ′(x )≥f ′(0)＝0.∴f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x 在(－1,＋∞)上单调递增.又 f (0)＝0,∴当－1＜x ＜0 时,f (x )＜0；当 x ＞0 时,f (x )＞0.（2）由 f (x )＝(2＋x ＋ax )ln(1＋x )－2x ,2＋x ＋ax ax －x ＋(1＋2ax )(1＋x )ln(1＋x ) 得 f ′(x )＝(1＋2ax )ln(1＋x )＋ －2＝ .1＋x 1＋x令 h (x )＝ax －x ＋(1＋2ax)(1＋x )ln(1＋x ),则 h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ).→ → → 742 2 22 22 2 2 2当 a ≥0,x ＞0 时,h ′(x )＞0,h (x )单调递增.∴h (x )＞h (0)＝0,即 f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴x ＝0 不是 f (x )的极大值点,不合题意.当 a ＜0 时,令 u (x )＝h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ),1－2a则 u ′(x )＝8a ＋4a ln(1＋x )＋ ,显然 u ′(x )单调递减.1＋x 1①令 u ′(x )＝0,解得 a ＝－ .∴当－1＜x ＜0 时,u ′(x )＞0；当 x ＞0 时,u ′(x )＜0.∴h ′(x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.∴h ′(x )≤h ′(0)＝0,则 h(x )在(0,＋∞)上单调递减.又 h (0)＝0,∴当－1＜x ＜0 时,h (x )＞0,即 f ′(x )＞0；当 x ＞0 时,h (x )＜0,即 f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.∴x ＝0 是 f (x )的极大值点,符合题意.1 ②若－ ＜a ＜0,则 u ′(x )＝1＋6a ＞0,u ′1＋6a － 4a －11 ＝(2a －1)(1－e ＋6a 4a )＜0,∴u ′(x )＝0 在(0,＋∞)上有唯一一个零点,设为 x .∴当 0＜x ＜x 时,u ′(x )＞0,h ′(x )单调递增,h ′(x )＞h ′(0)＝0,即 f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,x )上单调递增,不合题意；1 ③若 a ＜－ ,则 u ′(x )＝1＋6a ＜0,u ′ 1 e－1 ＝(1－2a )e ＞0,∴u ′(x )＝0 在(－1,0)上有唯一一个零点,设为 x .1∴当 x ＜x ＜0 时,u ′(x )＜0,h ′(x )单调递减,h ′(x )＞h ′(0)＝0,h (x )单调递增,h (x )＜h (0)＝0,即 f ′(x ) 1 ＜0.∴f (x )在(x ,0)上单调递减,不合题意.11综上,a ＝－ .6x ＝cos θ，22.(2018 年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为(θ 为参数),y ＝si n θ过点(0,－ 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A ,B 两点.（1）求 α 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.6 6 e6 2 2【解析】（1）将⊙O 的参数方程化为普通方程,得为 x ＋y ＝1,圆心为 O (0,0),半径 r ＝1. π 当 α＝ 时,过点(0,－ 2)且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 x ＝0,成立；π 当 α≠ 时,过点(0,－ 2)且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 y ＝tan α·x ＋ 2.∵直线 l 与⊙O 交于 A ,B 两点,∴圆心 O (0,0)到直线 l 的距离 d ＝| 2| ＜1. 1＋tan α ∴tan α＞1,解得 tan α＞1 或 tan α＜－1. π π π 3π ∴ ＜α＜ 或 ＜α＜ .π 3π 综上,α 的取值范围为 ， .（2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ＝m (y ＋ 2).设 A (x ,y ),B (x ,y ),P (x ,y ). 1 1 2 2 3 3x ＝m (y ＋ 2)， 联立 x ＋y ＝1， 化简得(m 2 ＋1)y ＋2 2m y ＋2m －1＝0. 2 2m 2m －1 ∴y ＋y ＝－ ,y y ＝ . 1 2 m ＋1 1 2 m ＋12 2m ∴x ＋x ＝m(y ＋ 2)＋m (y ＋ 2)＝－ ＋2 2m , 1 2 1 2 m ＋1x ＋x 2m y ＋y 2m x ＝ ＝ ,y ＝ ＝ . 3 2 m ＋1 3 2 m ＋12m m ＋1 ∴AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 (m为参数),(－1＜m ＜1). m ＋123.(2018 年新课标Ⅲ理)设函数 f(x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.（1）画出 y ＝f (x )的图象；（2）当 x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b ,求 a ＋b 的最小值.112 2 2 2 22 4 2 2 44 42 2 2 2 22 2 2 23 2 2 1 2 1 2 2 2 x ＝ ， 22 2my ＝ 21 【解析】（1）当 x ≤－ 时,f (x )＝－(2x ＋1)－(x －1)＝－3x ；2 1 当－ ＜x ＜1,f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2； 2当 x ≥1 时,f(x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x .－3x ，x ≤－ ， 2∴f (x )＝ 1 x ＋2，－ ＜x ＜1， 2 3x ，x ≥1.对应的图象如图所示.（2）当 x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b .当 x ＝0 时,f (0)＝2≤0·a ＋b ,∴b ≥2；当 x ＞0 时,要使 f (x )≤ax ＋b 恒成立,则 f (x )的图象恒在直线 y ＝ax ＋b 的下方或在直线上. ∵f (x )的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2,且各部分直线的斜率的最大值为 3,1∴当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax＋b在[0,＋∞)上成立,∴a＋b的最小值为5.。