第二章习题及答案
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第二章 控制系统的数学模型
练习题及答案
2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。
解
（a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出
22)()(dt
y d m dt dy f t ky t F =-- 整理得
)(1
)()()(2
2t F m t y m k dt t dy m f dt
t y d =++
（b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt
dy
dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt
dy
dt dx f 21)(
=- （2） 联立式（1）、（2）可得：
dt
dx k k k y k k f k k dt dy
2112121)(+=
++
(c) 应用复数阻抗概念可写出
)()(
11
)(11
s U s I cs R cs R s U c r ++
= （3） 2
)()(R s Uc s I = （4）
联立式（3）、（4），可解得： Cs
R R R R Cs R R s U s U r c 212112)
1()()(+++=
微分方程为: r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1
21211
+=++
(d) 由图解2-1（d ）可写出
[]
Cs
s I s I s I R s U c R R r 1
)()()()(++= （5） )()(1
)
(s RI s RI Cs
s I c R c -= （6） []Cs
s I s I R s I s U c R c c 1
)()()()(++= （7）
联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和
)(s I R ，可得：
1312)()(2
22222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u R
C dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221
213++=++
2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式
的数学模型）。
解
(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图
解2-2(a)所示。对A 点有
)()()(1122y y f y x f y x k &&&&-=-+- (1)
对B 点有
1111)(y k y y f =-&& (2)
对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得
)()
(s X s Y = 21212121221212212121
()1()1f f f f
s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++
(b) 由图可写出
s
C R s U c 221)
(+
= s
C R s C R s
C R s U r 111112111
)(+
⋅
+
+
整理得
)()(s U s U r c = 1
)(1
)(2122112
2121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数
相同，所以两系统是相似的。
2-3 假设某容器的液位高度h 与液体流入量r Q 满足方程
r Q S
h S dt dh 1=+α， 式中S 为液位容器的横截面积，α为常数。若h 与r Q 在其工作点),(00h Q r 附近做微量变化，试导出h ∆关于r Q ∆的线性化方程。
解 将h 在0h 处展开为泰勒级数并取一次近似
h h h h dt h d h h h ∆⋅+=∆⋅+
=0
0021
|0 （1） 代入原方程可得
)(1)21()(00
00r r Q Q S h h h S dt h h d ∆+=∆⋅++∆+α （2）
在平衡工作点处系统满足
000
r Q h dt
dh =+α （3） 式（2），（3）相减可得h ∆的线性化方程 r Q h h dt h d S
∆=∆+∆0
2α
2-4 试求图2-29所示各信号)(t x 的象函数)(s X 。
解
（a ）Θ)(2)(0t t t x -+= ∴)(s X =
s t e s
s 0212-+ （b ）Θ)())(())(()(321t t c t t c b t t a b a t x -------+= ∴ )(s X = ])()([1321s t s t s t ce e c b e a b a s -------+
（c ）Θ)(t x = )(4
)2(4)2(442222T t T T t T T t T
t T -+----
∴ )21(4)(222Ts
s T
e e s
T s X --+-=
2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。
(1) 1
)(-=-s e s X s
(2) )
3()2(1
)(3++=s s s s X
(3) )
22(1
)(2
+++=s s s s s X 解
(1) 1
)(-=t e
t x