第五章角动量、关于对称性

② ，相应的有
但 ，（ （或 ）没变）
（力 对Z轴的力矩）
结论：力对Z轴上任意一点的力矩在Z周上的投影等于力对Z轴的力矩。
③ 和 共面且该平面垂直于Z轴，则有
（ ， ）
这正是中学中上到的力矩概念（定义）
当 时， 与Z轴同向；
时， 有心力；
时， 与Z轴反向。
④角动量在Z轴上的投影
由{
若 和 均在与Z轴垂直的平面内
1、行星运动问题（开普勒问题）
行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。
dt时间内：
位矢扫过的面积为：
掠面速度：
大小： （单位时间内位矢 扫过的面积）
方向： 和 所构成的平面，符合右手螺旋关系
天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：
（与行星有关）
讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。（由 所构成）
（四）质点对轴的角动量定理和守恒定律
如图，在惯性系中，取参考点为O。
由角动量定理：
有 在Z轴上的投影为：
相对Z轴的角动量定理
讨论：① 对O点的力矩 在Z轴上的投影
令 ， （ 在平面内 ，且 ）
其中： ， 在x,y平面内。
且
且
其中： ——质点到Z轴得垂直距离。
—— 在与Z轴垂直得平面上的分力。
—— 的夹角。
因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。
§5、1 质点的角动量
一、质点的角动量
我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。以有心力为例，天文观测表明：
地球相对太阳的运动
这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。
第五章 角动量、关于对称性
到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。
内容：§5、1质点的角动量
§5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律
②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。
2、如图所示：橡皮筋一端固定于O处，另一端与滑物块相系。将橡皮筋拉长后，再给滑块一与皮筋垂直的初速 。
轨迹：类似于螺旋线
速度：
但掠面速度： 恒矢量
3、匀速直线运动
恒矢量
轨道为直线
掠面速度： 恒矢量
在上述例子中，其共同特征是掠面速度为恒矢量，能否对他们提供统一的动力学描述呢？回答是肯定的。
4、定义质点对于参考点的O的位矢与其动量的矢积。
（1）
为质点对参考点O的角动量（又称动量矩）
大小： |（平行四边形的面积）
方向： 所在的平面（右手螺旋关系，小于180度的方向）
讨论：
：1、与参考系有关；
2、与参考点O的选取有关
5、角动量与掠面速度的关系（定义了质点的角动量以后，我们再来看一看角动量）
质点对参考点o的角动量定理
由此可见：质点对参考点o的角动量对时间的变化率等于作用与质点的合力对该点的力矩，叫做质点对参考点o的角动量定理。
讨论：当 时（角动量在运动过程中守恒条件）
有
①匀速直线运动：
②有心力， 通过力心O，
故，相对力心的力矩为零。
而
若以 为参考点， 为非有心力。
所以对 点，行星的角动量不守恒。这也再次表明角动量取决于参考点，而角动量是否守恒亦需视参考点的选择而定。
由 恒矢量，且
恒矢量
也就是说，再上述三个例子中，质点相对原选定的参考点掠面速度不变，其物理意义就是质点的角动量再运动中保持不变而守恒。
（二）力对参考点的力矩
为了研究质点对某一参考点的角动量的变化规律及在什么条件下守恒，需引入力矩的概念。
如图所示：以O为参考点， 为作用力，A为受力质点，力 对参考点O的力矩定义为：
由{ ,
当 时， ；
时， ；
时，
例题；P153
已知： 粒子：m， ，b
求：
取z轴垂直于运动平面且通过重核中心，则 粒子在有心力（静电斥力）作用下运动。其相对于z轴的力矩为零，即对z轴的角动量守恒：。
初时刻：{
任一时刻：{
当 时，有
（即 ， ）
故由角动量守恒定律：
或 ——（1）
有心力（静电力）为保守力，故系统的机械能守恒。
大小： ——平行四边形面积
方向： ——右手螺旋定则（小于180度方向）
显然， 的大小和方向均与参考点O的选取有关。
若质点A同时受到几个力的作用，则诸力矩的矢量和为：
由此可见：诸力矩的矢量和等于合外力对参考点的力矩。
（三）质点对参考点的角动量定理合守恒定律
利用质点的动量定理：
用 对上述两边做矢积：
其中：
初时刻：
末时刻： （静电势能）
即： ————（2）
把（1）式代入（2）式：
可求得：
其中：
上式中只取“＋”