专题02 指数型与对数型复合函数的性质(分层训练)教师版
专题02 指数型与对数型复合函数的性质(分层训练)学生版
专题02 指数型与对数型复合函数的性质A 组 基础巩固1．下列结论正确的是（ ）1=-B.lg(25)1+=C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=2.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠图像恒过定点P ,则P 坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)3.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 24.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--5.已知14e a -=，ln0.9b =，1e 1log c π=，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.b a c << 6．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()2log 5y x =+B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．y =D ．1y x x=- 7．已知23a =，2323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，232323c ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．设31log 5a =，131log 5b =，153c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >>D ．c b a >>9.若幂函数()2()22m f x m m x =--在()0,+∞单调递减，则(2)f =（ ）A.8B.3C.-1D.1210.若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,5B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．(),2-∞11．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )A，43，35，110 B43，110，35 C ．4335，110D ．43，110，3512．设函数()()2log 1,00x x f x x ⎧+≥⎪=<，则满足()12f x +<的x 的范围为（ ）．A ．()4,3-B ．()5,2-C ．()3,4-D ．()()34-∞-+∞,,13.计算下列各式： （1）)2 （2）92log 2663log 4log 3.2++14.已知函数()22()log 43f x ax x =-+. （1）若()f x 的定义域为R ，求a 的范围； （2）若()f x 的值域为R ，求a 的范围.B 组 能力提升15．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知函数()32|log |,031108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,317．已知A ，B 是函数()21x f x 图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x 的图象上，则点C 的横坐标的值为 ．18．若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单调函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数()2log ,2{1,2x x f x x x ≥=-<是单纯函数；②当2a >-时，函数()21x ax f x x++=在0,是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠④若函数()f x 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0f x =，其中正确的命题为__________．（填上所有正确的命题序号）19.若函数4()221xf x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.20.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x xm g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21．已知函数()f x 为偶函数，()g x 为偶函数，且1()()x e f x g x -=。
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a >1B.12<a <1C.a ≤1D.a >122. 函数f(x)=(14)x +(12)x −1，x ∈[0, +∞)的值域为( )A.(−54, 1]B.[−54, 1]C.(−1, 1]D.[−1, 1]3. 函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为（ ）A.(3, 3)B.(3, 2)C.(3, 6)D.(3, 7)4. 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)5. 函数f(x)=(a 2−4a +4)a x 是指数函数，则a 等于（ ）A.a >0，且a ≠1B.1或3C.3D.16.设α∈R ，函数f(x)=(13)x−1−a 的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点（ ）A.(0, 23)B.(0, 1)C.(23, 1)D.(1, 0)8. 已知函数f(x)=13x +2，则函数在(0, +∞)上（ ）A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值9. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=3x−2，则不等式f(2−x)>1的解集为( )A.{x|x<1或x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}10. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]11. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−412. 关于x的方程9x+(a+4)⋅3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(−∞, −8]C.(−∞, −8]∪[0, +∞)D.以上都不对13. 已知函数y=a x+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．14. 函数f(x)=a x−3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点P的坐标是________．15. 函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为________．16. 函数y=(13)|2−x|−m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为________．17. 函数y=2x−1在[0, 4)上的值域为________．18. 函数y=32−3x2的单调递减区间是________．19. 已知函数f(x)=a x+b(a>0且, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a−b=________．20. 若方程4x +(m −3)⋅2x +m =0有两个不相同的实根，则m 的取值范围是________．21. 已知函数y =(14)x −(12)x +1的定义域为[−3, 2]，则该函数的值域为________．22. 函数y =1+2x +4x a 在x ∈(−∞, 1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是________．23. 方程4x −3⋅2x+1+8=0的解集为________．24. 函数y =(12)x2−2x+2的值域为________．25. 已知关于x 的方程9x −(4+a)⋅3x +4=0有两个实数解x 1，x 2，则x 12+x 22x 1x 2的最小值是________．26. 求函数y =2x+2−3⋅4x ，x ∈[−1, 0]的值域．27. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明是 上的增函数.28. 已知函数y =4x −2x+1+2，x ∈[−1, 2]．（1）设t =2x ，求t 的取值范围；（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x 的值．29. 设函数f(x)=2（n−1）x 在全体实数范围内为减函数，求n 的取值范围．30. 若函数y=a2x+2a x，(a>0且a≠1)在区间[−1, 1]上的最大值为35，求a的值．31. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,−2)，(2,0).(1)求a与b的值；(2)当x∈[−2,2]时，求f(x)的值域．32. 已知：函数g(x)＝ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】指数函数y ＝a x ，当0<a <1时为定义域上的减函数，故依题意只需0<2a −1<1，即可解得a 的范围【解答】函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，∴ 0<2a −1<1解得12<a <1 2.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值指数型复合函数的性质及应用【解析】令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，由y 在(0, 1]递增，计算即可得到值域．【解答】解：令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，且在(0, 1]上单调递增，则有−1<y ≤1，则值域为(−1, 1]．故选C ．3.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】解析式中的指数x −3=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(0, 1)，故令x −3=0，解得x =3，当x =3时，f(3)=2，即无论a 为何值时，x =3，y =2都成立，因此，函数f(x)=a x−3+1的图象恒过定点的(3, 2)，故选B ．4.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：f(x)=2−|x+1|=(12)|x+1|， 设t =|x +1|，则y =(12)t ，为减函数，∴ 要求函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间，即求函数t =|x +1|的单调递减区间，∵ 函数t =|x +1|的单调递减区间是(−∞, −1)，∴ 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为(−∞, −1)，故选：A5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1求解即可． 【解答】解：根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1∴ {a 2−4a +3=0a >0,a ≠1解得a =3故选C6.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵ f(x)=(13)x−1−a 为减函数，∴ 当a =0时，函数f(x)>0，则函数不经过第四象限，若a =3，则f(0)=1−1=0，此时函数不经过第三象限，若a <3，则f(0)=1−a <0，则函数不经过第一象限，故函数f(x)的图象一定经过第二象限.故选B .7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据函数的解析式和a 0=1令3x −2=0，即可函数图象过的定点坐标．【解答】解：由题意得，函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)，令3x −2=0得，x =23， ∴ 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点是(23, 1)，故选：C ．8.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵ y =3x +2在(0, +∞)是为增函数，且y >2，∴ f(x)=13x +2在(0, +∞)上为减函数，则0<y <12，则函数在(0, +∞)上为减函数，无最大值和无最小值，故选：A9.【答案】A【考点】绝对值不等式指数型复合函数的性质及应用奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时， f (x )=3x −2，此时函数y =f (x )单调递增.因为函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且f(1)=31−2=1，由f(2−x)>1，得f(|x−2|)>f(1)，所以|x−2|>1，解得x<1或x>3，因此，不等式f(2−x)>1的解集为{x|x<1或x>3}. 故选A.10.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由二次函数的性质可得，x2+1≥1，∴1x2+1∈(0,1]，由指数函数的性质可得，21x2+1∈(1,2].故选A.11.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用【解析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：记u(x)=x2+ax=(x+a2)2−a24，其图象为抛物线，对称轴为x=−a2，且开口向上，∵函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，∴函数u(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，而u(x)在[−a2, +∞)上单调递增，所以，−a2≤1，解得a≥−2.故选C．12.B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】可分离出a ，转化为函数f(x)=−4−9x 3x −4的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：a =−4−9x3x−4，令3x =t(t >0)，则a =−−4−t 2t −4=−(t +4t )−4 因为t +4t ≥4，所以−4−9x 3x −4≤−8所以a 的范围为(−∞, −8]．故选B ．二、 填空题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ） 13.【答案】92【考点】指数型复合函数的性质及应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a +b ，a >1，b >0．即(a −1)+b =2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)， ∴ 3=a +b ，a >1，b >0．∴ (a −1)+b =2．∴ 4a−1+1b =12(a −1+b)(4a−1+1b )=12(5+4b a −1+a −1b) ≥12(5+2√4b a−1⋅a−1b )=92， 当且仅当a −1=2b =43时取等号．故答案为：92．14.【答案】(3, 4)【考点】指数型复合函数的性质及应用根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．【解答】解：由x −3=0得x =3，此时y =a 0+3=1+3=4， 故图象恒过定点P(3, 4)，故答案为：(3, 4)15.【答案】(−∞, 32] 【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．【解答】解：∵ y =x 2−3x +2在(−∞, 32]上是减函数， 在(32, +∞)上是增函数；又∵ y =(13)x 在R 上是减函数； 故函数y =(13)x 2−3x+2的单调递增区间为(−∞, 32]； 故答案为：(−∞, 32]．16.【答案】(0, 1]【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】函数y =(13)|2−x|−m 的图象与x 轴有交点可化为方程(13)|2−x|−m =0有解，从而可得m =(13)|2−x|，从而求函数的值域即可．【解答】解：由题意，∵ (13)|2−x|−m =0有解， ∴ m =(13)|2−x|，∵ |2−x|≥0，∴ 0<(13)|2−x|≤1，故0<m ≤1，故答案为：(0, 1]．17.【答案】{y|12≤y<8}【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得2−1<2x−1<23，即可求函数的值域【解答】解：∵0≤x<4∴−1≤x−1<3∴2−1<2x−1<23即12≤y<8故答案为：{y|12≤y<8}18.【答案】[0, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】原函数可看作由y=3t，t=2−3x2复合得到，复合函数单调性判断规则，原函数在定义域上的单调递减区间即为函数t=2−3x2的单调递减区间，根据二次函数图象与性质可求．【解答】解：由题意，函数y=32−3x2的是一个复合函数，定义域为R，外层函数是y=3t，内层函数是t=2−3x2，由于外层函数y=3t是增函数，内层函数t=x2+2x在(−∞, 0)上是增函数，在(0, +∞)上是减函数，故复合函数y=32−3x2的单调递减区间是：(0, +∞).故答案为：[0, +∞).19.【答案】52【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b =−1，1a =0不符合题意舍去；当0<a <1时，函数f(x)=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1，1a+b =0， 解得b =−2，a =12，符合题意， 综上a −b =52.故答案为：52. 20.【答案】(0, 1) 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根，故有△>0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：令t =2x ，则由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根， 故有 Δ=(m −3)2−4m >0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0， 解得0<m <1. 故答案为：(0, 1)． 21. 【答案】[34,57] 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由于x ∈[−3, 2]，可得14≤(12)x ≤8，令t =(12)x ，有y =t 2−t +1=(t −12)2+34，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x ∈[−3, 2]， ∴ 14≤(12)x ≤8. 令t =(12)x ，则有y =t 2−t +1=(t −12)2+34， 故当t =12时，y 有最小值为34；当t =8时，y 有最大值为57. 故答案为：[34,57]．22. 【答案】(−34, +∞) 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由题设条件可化为∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求出−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上的最大值即可． 【解答】解：由题意，得1+2x +4x a >0在x ∈(−∞, 1]上恒成立， ∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立．又∵ t =−1+2x 4x=−(12)2x −(12)x =−[(12)x +12]2+14，当x ∈(−∞, 1]时t 的值域为(−∞, −34]， ∴ a >−34；即a 的取值范围是(−34, +∞)； 故答案为：(−34, +∞)．23.【答案】 {1, 2} 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】先将方程转化为关于2x 的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通过解简单的指数方程得方程的解集 【解答】解：4x −3⋅2x+1+8=0 ⇔(2x )2−6×2x +8=0 ⇔(2x −2)(2x −4)=0 ⇔2x =2或2x =4 即x =1或x =2 故答案为{1, 2} 24. 【答案】 (0, 12]【解析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可． 【解答】解：∵ x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1 ∴ 函数y =(12)x2−2x+2的值域为(0, 12]故答案为：(0, 12] 25.【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】由题设可先将3x 看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3x 1⋅3x 2=4，即可得到x 1+x 2=2log 32，进而再得到x 1x 2≤(log 32)2．代入即可求得x 12+x 22x 1x 2的最小值【解答】解：原方程可化为(3x )2−(4+a)⋅3x +4=0， ∴ 3x 1⋅3x 2=4， ∴ x 1+x 2=2log 32， 又(x 1+x 2)2≥4x 1x 2， ∴ x 1x 2≤(log 32)2．∴ x 12+x 22x1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=4(log 32)2x 1x 2−2≥2．故答案为2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 26.【答案】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43， 当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]．【解析】根据函数y 的解析式与自变量的取值范围，求出函数y 的最大、最小值即可． 【解答】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43，当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]． 27.【答案】解：∵ f(x)定义域为 ，关于原点对称。
专题02 函数(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)
一．基础题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，11】已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．【答案】19考点：分段函数求值2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，4】已知函数()221,1,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩，若()()04f f a =，则实数a 等于（ ） A ．12 B ．45C ．2D ．9 【答案】C 【解析】 试题分析：()()0(2)4242ff f a a a ==+=⇒=，选C.考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【江西南昌市2017届摸底考试，8】若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f > 【答案】D考点：函数性质4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，9】定义在R 上的函数()f x 满足在区间[)1,1-上,(),102,015x m x f x x x --≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩, 其中m R ∈,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f m =（ ） A ．85- B ．25- C ．35 D ．75【答案】B 【解析】试题分析：因为()()11 2.f x f x T +=-⇒=所以59111213()()||22222525f f f f m m ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-=--⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()325(3)(1)1.55f m f f =-=-=-+=-选B. 考点：分段函数性质5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】“2log (23)1x -<”是“48x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为2log (23)1x -<，所以3522x <<，又因为48x >，所以32x > ，所以3522x <<⇒32x >．即“2log (23)1x -<”是“48x >”的充分不必要条件，故选A. 考点：1、对数函数的性质及指数函数的性质；2、充分条件与必要条件.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,)2-∞ C ．1(1,0)(0,)2- D ．1(,1)(1,)2-∞-- 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、对数函数的.7.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，3】下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．cos y x =B ．21y x =-+ C ．2log ||y x = D ．xx y e e -=- 【答案】C【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.8.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，4】若0.2log 2a =，0.2log 3b =，0.22c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】B【解析】试题分析：0.2log y x =是减函数，所以0b a <<，又0c >，所以b a c <<.故选B. 考点：1、对数函数的性质；2、指数函数的性质.9.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，7】若3x a =，5x b =，则45x 等于（ ）A ． 2abB ．2a bC ．2a b +D ．22a b +【答案】A【解析】试题分析：()22459535x x xx x a b =⨯=⨯=.故选A.考点：指数的运算.10.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，9】已知函数(12),1,()1log ,13x a ax f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]3B ．11[,]32C ．1(0,]2D ．11[,]43【答案】A考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的单调性及数学的转化与划归思想.11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，10】若函数2()2(2)||f x x x a x a =+--在区间[-3,1]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[-4,1]B ．[-3,1]C ．（-6,2）D ．（-6,1） 【答案】C考点：1、分段函数的单调性；2、利用导数研究分段函数的极值点.12.【江西九江地区2017届高三七校联考，2】函数229log (1)x y x -=+的定义域是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(1,0)(0,3)-D ．(1,0)(0,3]-【答案】D 【解析】考点：函数定义域13.【江西九江地区2017届高三七校联考，4】幂函数2268()(44)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1 C.3 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：22441,6801m m m m m -+=-+>⇒=，选B. 考点：幂函数定义及性质14.【江西九江地区2017届高三七校联考，5】已知函数||()21x f x =-+，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A考点：分段函数奇偶性15.【江西九江地区2017届高三七校联考，7】若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]- C ．(,4)[2,)-∞+∞ D ．[4,4)- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得230x ax a -->在区间(,2]-∞-上恒成立且22a≥-，即2(2)(2)30a a ---->且4a ≥-，解得实数a 的取值范围是[4,4)-，选D.考点：复合函数单调性16.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），3】设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）A ．(2)()(3)f f f π-<<-B ．()(2)(3)f f f π<-<-C ．(2)(3)()f f f π-<-<D ．(3)(2)()f f f π-<-< 【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.17.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，4】设函数(),y f x x R =∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B .【解析】试题分析：当“()y f x =的图象关于原点对称”时，函数()y f x =为奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以)()(x f x f =-，所以()y f x =是偶函数；反过来，当“()y f x =是偶函数”时不能推出“()y f x =的图象关于原点对称”例如：2x y =，此时2x y =是偶函数，其图像不关于原点对称.所以“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的必要不充分条件，故应选B .18.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，8】设0x 是方程13xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 所在的范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B . 【解析】试题分析：构造函数x x f x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=31)(，所以01031)0(0>=-⎪⎭⎫⎝⎛=f ，031313131)31(213131>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，021312131)21(212121<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，所以由零点的存在性定理可得函数x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛=31)(在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点,故应选B .考点：1、函数与方程.19.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，6】设函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，求3(7)(log 12)f f -+=（ ）A ．8B ．15C ．7D ．16 【答案】C 【解析】考点：分段函数．20.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，4】若2a =，384b =，ln2c =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B考点：基本函数．21.【湖北2017届百所重点校高三联考，5】“11e eb dx x≤⎰”是“函数()2,03,0xx x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因e e b 1lnln -≤,即2≤b ；因函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数,故21≤+b ,即1≤b ,故2≤b 是1≤b 的必要非充分条件,应选B.考点：充分必要条件及运用.【易错点晴】本题是一道函数的单调性和充分必要条件整合在一起的综合问题．求解这类问题时，要充分借助题设条件，先搞清楚判定哪个命题是哪个命题的条件，再将问题转换为判定在一个命题成立的前提下，另一个命题的真假问题．本题求解时，要先将不等式“11eeb dx x≤⎰”翻译成2≤b 成立的前提下，命题“函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”是否成立的问题，当然这里要用到绝对值函数语指数函数的性质．验证必要性时，要考察这个命题的逆命题的真伪．显然命题不真；反之成立，故应选B.22.【江西九江地区2017届高三七校联考，13】若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是__________. 【答案】3m >【解析】考点：二次函数实根分布23.【江西九江地区2017届高三七校联考，15】若函数3211(),22()1log,2xaxf xx x-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（0a>，且1a≠）的值域是R，则实数a的取值范围是________.【答案】2[,1)2考点：分段函数值域【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.24.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，14】已知定义在R上的偶函数()f x在[0,)+∞上单调递减，且(1)0f=，则不等式(2)0f x-≤的解集是__________.【答案】(,1][3,)-∞+∞【解析】试题分析：因为()f x在R上为单调递减的偶函数，且(1)0f=，所以不等式(2)0f x-≤等价于|2|1x-≥，解得3x≥或1x≤，所以等式(2)0f x-≤的解集为(,1][3,)-∞+∞．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法．25.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，2】函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是▲．【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域26.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，4】设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+=▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义27.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，5】计算121(lg lg 25)1004--÷= ▲ ．【答案】－20 【解析】试题分析：11211(lg lg 25)100lg 10204100---÷=÷=-考点：对数式运算28.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，7】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-29.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，8】已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集是 ▲ ．【答案】[]2,4- 【解析】试题分析：当0x ≥时，()22xf x =-单调递增，又()33226f =-=()16|1|324f x x x ∴-⇒-≤⇒-≤≤≤考点：利用函数性质解不等式30.【四川巴中市2017届“零诊”，14】若31044=+-x x ，则=4log 3x .【答案】1±.考点：对数的运算.二．能力题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，10】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且(1,3]x ∈-时，21cos ,13,()2,11,x x f x x x π⎧+<≤⎪=⎨⎪-<≤⎩则()()lg ||g x f x x =-的零点个数是（ ） A ．9 B ．10C ．18D ．20【答案】C 【解析】试题分析：(4)()()4f x f x f x T -==-⇒=，只需考虑(0,10]x ∈上()y f x =与lg y x =交点个数，在第一个周期(0,4]x ∈上有3个交点，第二个周期(4,8]x ∈上有4个交点，在 (8,10]x ∈上有2个交点，共有9个交点，因此零点个数一共是18个，选C. 考点：函数零点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.2.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，7】设e 是自然对数的底，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，则“log 2log a b e >”是“01a b <<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B3.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，11】函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C【解析】试题分析：取0a =，可知（4）正确；取4a =-，可知（3）正确；取1a =，可知（2）正确；无论a 取何值都无法作出（1）.故选C.考点：1、函数的图象和性质；2、选择题的“特殊值法”.【方法点睛】本题主要考查函数的图象和性质、选择题的“特殊值法”，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.4.【江西九江地区2017届高三七校联考，6】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是边1AA 、1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E 、M 、F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =， 则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A ．23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈B ．23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈ C ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈ D ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈【答案】A考点：函数解析式5.【江西九江地区2017届高三七校联考，8】函数221x x e x y e =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6.【江西九江地区2017届高三七校联考，11】已知函数()f x 和(1)f x +都是定义在R 上的偶函数，若[0,1]x ∈时，1()()2x f x =，则（ ）A ．15()()32f f ->B ．15()()32f f -<C ．15()()32f f -=D ．19()()32f f -<【解析】试题分析：()(),(1)(1)(2)()f x f x f x f x f x f x =-+=-+⇒+=-，所以5111(2)()2,()()()()2233f x f x T f f f f +=⇒==<=-，选A.考点：函数对称性与周期性7.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），8】已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为0x <时()()ln f x x x =--，()f x 在(0,)+∞上递增，0x >时，1()ln ,'()1f x x x f x x=-=-，可得()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以只有选项A 合题意，故选A.考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性.8.【河北衡水中学2017届上学期一调，6】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B考点：函数的奇偶性及函数的图象．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，12】已知函数()()()11 232 [2)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]08，内所有零点的和为（ ）A ．16B ．30C ．32D ．40 【答案】C 【解析】10.【湖北2017届百所重点校高三联考，8】函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出1,0±≠x ,且当0>x 时, x x y ln =,由于x y ln 1/+=,故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象的对称性可知应选D. 考点：函数图象的性质及运用.11.【湖北2017届百所重点校高三联考，11】设函数()()()211,ln 31f x x g x ax x =-+=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ） A ．94 B ．2 C ．92D ．4 【答案】A考点：函数的图象和性质及运用.12.【四川巴中市2017届“零诊”，11】定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足：xe x g xf =+)()(，给出如下结论：①2)(x x e e x f --=且)2()1(0g f <<；②R x ∈∀，总有1)]([)]([22=-x f x g ； ③R x ∈∀，总有0)()()()(=+--x g x f x g x f ； ④R x ∈∃0，使得)()(2)2(000x g x f x f >. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，()()()2()()()()()2x x x x x xe ef x f xg x e f x g x f x g x e e eg x ---⎧+=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=-+=+⎪⎩⎪=⎪⎩，①：1220(1)(2)222e e e e e f g ---+<=<<=，故①正确；②：2222[()][()]()()122x x x x e e e e g x f x --+--=-=，故②正确；③：()()()()()()()()0f x g x f x g x f x g x f x g x --+=-+=，故③正确；④：000000220002()()2(2)222x x x x x x e e e e e e f x g x f x ----+-=⋅⋅==，故④错误，即正确的结论为①②③，故选A.考点：函数的性质.13.【江西九江地区2017届高三七校联考，16】给出下列四个命题：①函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为2()||f x x x =-；③函数1||1y x =-的图象可由函数1||y x =图象向右平移一个单位得到；④函数1||1y x =-图象上的点到点(0,1)距离的最小值是3.其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】②④考点：函数性质14.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，16】已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．【答案】1724b <≤考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．15.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，10】已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 【答案】43【解析】试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3333,13,33b b b b b b b b a =⇒=>⇒==43a b +=考点：指对数式运算16.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，15】已知函数()()log 01a f x x a a =>≠且和函数()sin2g x x π=,若()f x 与()g x 的图象有且只有3个交点, 则a 的取值范围是 ．【答案】()11,5,973⎛⎫⎪⎝⎭考点：函数交点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.17.【湖北2017届百所重点校高三联考，16】设函数()f x 对任意实数x 满足()()1f x f x =-+，且当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，若关于x 的方程()f x kx =有3个不同的实数根，则k 的取值范围是___________． 【答案】(){}526,1322--+【解析】试题分析:因()()1f x f x =-+,故)()2(x f x f =+,即函数)(x f 是周期为2的周期函数,画出函数函数]1,0[),(∈=x x f y 的图象,再借助函数满足的条件()()1f x f x =-+及图象的对称性,画出函数)(x f y =的图象如图，结合图象可得12+=-kx x x ,故04)1(2>-+=∆k k ,解之可得1625<<-k 或223+-=k ,故应填(){}526,1322--+.y=kx+1yx-2-1O -2-12121考点：函数的图象等有关知识的综合运用．【易错点晴】函数图象和性质是高中数学教与学中的重点和难点之一,也是高考和各级各类考试的热点内容.本题以函数零点的个数的形式将二次函数与一次函数的零点问题进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先探求函数的周期性,再画出函数的图象,然后借助函数的图象进行分析探求建立不等式,进而求得实数k 的取值范围是(){}526,1322--+.18.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，15】若“m a >”是“函数11()()33x f x m =+-的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为__________. 【答案】1-三．拔高题组1.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，11】已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()fx a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，10】已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．2112⎫-⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．24⎫⎪⎪⎣⎭D ．2212⎫-⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】考点：对数函数的图象及二次函数的性质．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，9】已知()1145279722,,,log 979x x f x a b c --⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】B 【解析】试题分析：()22xxf x -=-为单调递增函数，而11144527997,log 09779a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>==< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f b f a <<，选B.考点：比较大小4.【河北邯郸2017届9月联考，12】已知函数42412sin4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++=（ ） A ．2017 B ．2016 C ．4034 D ．4032 【答案】D .考点：1、函数的基本性质；2、函数的奇偶性；3、函数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质、函数的奇偶性和函数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先将已知条件进行化简并得到222sin 2)21(xx x x f ++=+，并令222sin )21(xx x x g +=+，进而可判断出其奇偶性，再由奇函数的图像与性质可得出所求的结果即可.其解题的关键是正确的化简变形并判断出函数的奇偶性.5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，21】（本小题满分12分）已知函数()22xxf x -=+. （1）求方程5()2f x =的根； （2）求证：()f x 在[0,)+∞上是增函数；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，不等式(2)()f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）1x =或1x =-；（2）证明见解析；（3）0.（2）证明：设120x x ≤<，则211211221212(22)(12)()()22(22)022x x x x x x x x x x f x f x +-----=+-+=<， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数. （3）由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()f x f x m ≥-对于[0,)x ∈+∞恒成立，且()2f x ≥，2()(2)()[()]2m f x f x f x f x ≥-=-+.又0x ≥，∴由（2）知()f x 最小值为2， ∴()2f x =时，m 最小为2-4+2=0.考点：1、简单的指数方程；2、单调性的证明方法及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查、简单的指数方程、单调性的证明方法及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（3）是利用方法①求得m 的最小值的.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，18】（本小题满分12分）设222()(log )2log (0)f x x a x b x =-+>.当14x =时，()f x 有最小值-1. （1）求a 与b 的值；（2）求满足()0f x <的x 的取值范围. 【答案】（1）23a b =-⎧⎨=⎩；（2）11(,)82x ∈.考点：1、二次函数配方法求最值；2、简单的对数不等式.7.【江西九江地区2017届高三七校联考，17】（本小题满分10分）设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间3[0,]2上的值域. 【答案】（1）2a =，（2）215[log ,2]4【解析】试题分析：（1）由(1)2f =的log 42a =，解得2a =（2）因为22()log [(1)4]f x x =--+，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数.因此()f x 在区间3[0,]2上的值域是考点：函数定义域与值域8.【江西九江地区2017届高三七校联考，19】（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴2()x f x =-，的图象被x 轴截得的弦长为3(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若1(())2x f k >对[1,1]x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）由题意可得二次函数两个零点，所以用零点式设()(23)(23)f x a x x =++，再根据(0)1f =解得1a =（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题min 1(())2x f k >，而求函数最值，先确定内函数值域11()[,2]22x t =∈，即为外函数定义域，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最小值由(0)11f a =⇒=，∴2()(23)(23)41f x x x x x =++=++；………………6分（2）当[1,1]x ∈-时，11()[,2]22xt =∈，………………8分 ∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-.∴()f t 在1[,2]2t ∈上单调递增.………………9分 ∴min113()()24f t f ==.所以实数k 的取值范围是13(,)4-∞.………………12分 考点：二次函数解析式及最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.9.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，16】(本小题满分14分)已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈(1) 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论；【答案】(1) 偶函数(2) 27λ-≤考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，19】(本小题满分16分)已知函数()133x x af x b+-+=+．(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】试题分析：(1)根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3xf x =转化为一元二次方程：()2332310x x ⋅+⋅-=，再根据指数函数范围可得133x= ，解得1x =- (2) ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去 所以1,3a b ==， 所以()13133x x f x +-+=+ ………………………………………6分①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，所以440t ∆=+>，解得：1t >-，所以k 的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
21-22版：微专题2 与指数函数、对数函数有关的复合函数（步步高）
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∴函数 f(x)的值域是－14，2.
四、求复合函数的最值
例 4 求函数 y＝(log 1 x)2－12log 1 x＋5 在区间[2,4]上的最大值和最小值.
2
2
解 因为2≤x≤4，
所以 log 1 2 ≥ log 1 x ≥ log 1 4 ，
2
2
2
即－1≥log 1 x ≥－2.
2
设t＝log1 x ，则－2≤t≤－1.
(2)f(x)＝log24x·log22x(1≤x≤4).
解 ∵f(x)＝log24x·log22x＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝log2x－322－14，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当
log2x＝32，即
x＝ 2
3 2
＝2
2时，f(x)取最小值－14；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，
即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数.
反思 感悟
形如y＝logaf(x)的函数单调性的判断：首先要求定义域D，当 a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性(在定义域D内) 保持一致，当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调 性(在定义域D内)相反.
解 f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 由f(x)＝loga(a－ax)(a>1)， 得a－ax>0，即x<1. 所以f(x)的定义域为(－∞，1). 任取1>x1>x2，因为a>1，
所以 a ax1 ax2 ，
所以0<a－ax1 <a－ax2 ， 所以loga(a－ax1 )<lo2－12t＋5，其图像的对称轴为直线 t＝14，
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 第2课时 对数的运算性质学业分层测评 北师大版必修
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.1 第2课时对数的运算性质学业分层测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.1 第2课时对数的运算性质学业分层测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
4.1 第2课时对数的运算性质(建议用时:45分钟)[学业达标］一、选择题1。
log242＋log243＋log244等于（)A．1 B．2C．24 D.错误!【解析】log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4）＝log2424＝1。
故选A。
【答案】A2。
化简错误!log612－2log6错误!的结果为( )A．6 2 B．12错误!C．log6 3 D.错误!【解析】原式＝log612－log62＝log6错误!＝log6错误!。
故选C.【答案】C3. 方程（lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的两根的积x1x2＝（）A．lg 2＋lg 3 B．lg 2lg 3C.16D．－6【解析】∵lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3），∴lg(x1x2）＝－lg 6＝lg 6－1＝lg 错误!，∴x1x2＝错误!。
故选C。
【答案】C4。
已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（)A．a＝b<c B．a＝b〉cC．a<b<c D．a>b>c【解析】a＝log23＋log23＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!>1，又c＝log32〈1，故a＝b〉c。
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
《指数函数对数函数》练习题(附答案)
指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数且叫做对数函数图象过定点，即当时，.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.指数函数习题一、选择题1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x)B ．f (b x )≥f (c x)C ．f (b x )>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a >5D ．a ≥ 55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3) B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1.解读：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，1 (x >0).答案：A2. 解读：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)．若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x)．∴f (3x )≥f (2x)． 答案：A3.解读：由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4. 解读：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x>1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B5. 解读：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6>(3－a )×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解读：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.答案：C7. 解读：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 解读：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解读：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]．11. 解：令a x＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时，y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立． 因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或13、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ） A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ）A 、lg5lg7B 、lg35C 、35D 、3515、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<10、2log 13a <，则a 的取值范围是（ ）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的 二、填空题13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===。
高中数学】含指、对数式的复合函数问题(解析版)
学习资料分享[公司地址]突破4含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】【考查角度1奇偶性问题】方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断.步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；第3步：得出结论.反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋•和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性.【分析】利用奇偶性定义判断；【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【练1.2】（2019春•福田区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；【分析】（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案．（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；【答案】解：（1）使解析式有意义的条件为，∴函数的定义域为x∈（﹣1，1）（4分）（2）函数的定义域关于原点对称，且，（6分）（7分）即f（﹣x）+f（x）＝0∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（x）为奇函数（8分）【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用．【练1.3】（2019秋•保康县校级期中）已知函数f（x）＝lg（x+）﹣lg判断函数f（x）的奇偶性．【分析】注意到﹣x+＝，直接由奇偶性的定义判断即可．【答案】解：函数f （x ）的定义域为R ，∵f （﹣x ）＝lg （﹣x +）﹣lg＝lg ﹣lg＝lg ﹣lg （x +）＝﹣f （x ）∴f （x ）为奇函数；【点睛】本题考查复合函数的奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．【考查角度2单调性问题】方法导入复合函数单调性遵循“同增易减”的原则.步骤第1步：换元，将原函数拆分成两个函数；第2步：判断这两个函数的单调性；第3步：根据同增异减得到复合函数的单调性.反思注意优先考虑定义域，单调区间为定义域的子区间.【例2】（2019秋•工农区校级期中）已知函数y ＝（）x ﹣（）x +1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间．【分析】由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t ＝，换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；【答案】解：令t ＝，则y ＝t 2﹣t +1＝（t ﹣）2+当x ∈[1，2]时，t ＝是减函数，此时t ，在此区间上y ＝t 2﹣t +1是减函数当x∈[﹣3，1]时，t＝是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]【点睛】本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤。
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具，有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习，可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，从集合与对应出发，进一步学习和研究函数的概念，深刻理解函数的本质；通过对函数图像与性质的研究，提升直观想象素养；利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题，体会函数的实际背景和实际应用，提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一：函数的概念（.约需3分钟）.内容包括：对应与映射的概念，函数的概念，定义域，函数值的求法. 学习水平一级水平：了解对应与映射的概念，会判断一些简单的对应是否为映射；理解函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则的概念；能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数？解：只要一个x对应唯一的一个y ，就是函数．所以第二个不是，其余两个都是函数．练习：下列三个图象中，能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解：第一个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数图象． 综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个． 故选C ．2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ，求)1(-f ，)2(f ，)1(+a f .解：513)1(21)1(-=--=-f ；13221)2(=-⨯=f ；1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习：已知函数32)(-=x x f ，求)1(+a f ，)2(a f 。
二级水平：理解函数的三要素，会求函数的定义域，会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域：（1）. 51)(-=x x f ;（2）12)(-=x x g ；（3）12)(-+=x x x h解：（１）．X ≠5；（2）. 21≥x ；（3）.012≥-+x x ；x ≥－2或x>1 . 练习：求下列函数的定义域：（１）．132)(2+-=x x x f （2）．x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中，哪个与函数y = x 是同一个函数？（1）xx y 2=; （2）2x y =; （3）s =t .解：函数y = x 中：R y R x ∈∈,；s =t 与y=x 是同一个函数. 练习：上例中，哪个与函数y = |x| 是同一个函数？三级水平：会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是（a ，b ）,求函数)1(+x f 的定义域. 解：∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习：知识点二：函数的表示法.约需3学时. 内容包括：函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平：能判断点与图像的关系，会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数，反比例函数，一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P （1，1），Q （-1，-3）是否在 f (x) =3x 2 ＋ x －5 的图像上. 解：３＋１－５＝－１，３－１－５＝－３．所以点Ｑ（－１，－３）在f(x)图像上 例3.2.2点A （a ，3）在函数352+-=x x y 上，求a. 解： 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点（4，81-），求解析式. 解：481k =-；k=21-;x y 21-=二级水平：掌握二次函数的图像及性质，能用待定系数法求二次函数的解析式；结合实例理解分段函数的意义，能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为（6，-12），与x 轴的一个交点为（8，0），求这个函数的解析式. 解：y=a(x －6)2－12；a(8-6)2-12=0；例3.2.5函数 y ＝ax ＋ a 和y ＝ax 2 的图像只可能是（ ）.练习：在图中，函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是（ ）A.B. C. D.根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；A 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＞0，不相符；B 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；C 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；D 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，相符． 故选D ．4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ，则(1).=)2(f ；(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔，每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克而不超过40克付邮资160分，试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，作出函数的图象.知识点三：函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括：函数单调性、奇偶性的定义，判断函数的单调性和奇偶性；函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平：结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义，能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像，判断函数的单调性： （1）函数y =2x+3在R 上是 函数；（2）函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ； （3）函数xy 1-=在（0，+∞）上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像，判断函数的奇偶性： （1） f (x)= x 3 ; （2） f(x)=2x2;（3） f (x)= x+1.二级水平：能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，能利用函数奇偶性求 函数值；能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10，那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1，5)上单调递减，比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平：能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性；能解决含有参数的实际问题，能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1，且 f (4) =3，求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2－1)x2＋(m －1)x ＋ (n ＋ 2) 为奇函数，则m ＝，n ＝.例 3.3.7 已知函数 f (x)＝ x 2 ＋2(a －1)x ＋2 在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在（1，＋∞）上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数，在［－1，0］上是增函数，且最大值为5，那么 f (x)在［0，1）］是 函数，最大值是 .知识点四：函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括：选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平：学会将实际问题转化为数学问题，选择适当的函数模型（分段函数、二次函数）刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足，供电部门规定，每户每月用电不超过 200kW .h ，收费标准为 0.51 元/（kW . h ），当用电超过 200kW . h ，但不超过400kW . h 时，超过的部分按 0.8 元/（kW .h ）收费，当用电超过 400kW . h 时，就停止用电.（1）写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式，并求函数的定义域； （2）求出 f(150)，f(300)的值； （3）作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律，有一下函数的关系式 （1）比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小； （2）求在什么时候该物体温度最高？最高温度是多少？例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元，根据市场调查，如果售价为每件50 元时，每天可卖出 400 件；商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元（x ≥50，x ∈N ）.（1）求每天销售量与自变量x 的函数关系式； （2）求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数，在科技领域内应用广泛.本单元学习，可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念，利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质，提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养；在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法，认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用，提升数学抽象和数学应用素养.知识点一：有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括：n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念，根式、分数指数幂的互化，实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平：能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化，能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.（1）13= （2）431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）412= （2）324=例 5.1.3 计算：（1）3227= （2）31256.0=例 5.1.4 化简：（1）33231a a a ∙∙ （2）))((212212b a b a -+ .二级水平：能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简，并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算： 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算：543812793⨯⨯⨯三级水平：能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简：(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二：指数函数.约需 3 学时.内容包括：指数函数定义，指数函数图像及性质，指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平：理解指数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作指数函数图像，能理解 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的指数函数图像的总体特征，能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质（单调性、值域、定点）.例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性：y= 0.7x ; （2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是（ ）.二级水平：能作出指数函数简图，能判断指数函数的单调性，并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域，能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系，能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域：（1）121-=xy ; （2） 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性：（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 （2） 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ，求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小：(1). 313 1；(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平：能从实际情境中建立指数函数模型，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币，整存整取一年期的年利率为 3.20%，他按照一年期存入，如果每过一年连本带息转存，那么三年后连本带息共有多少元（结果保留两位小数）？例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后，每经过 1 小时，药物在体内的剩余量为32，问 4 小时后的剩余量为多少？知识点三：对数.约需 4 学时.内容包括：对数的概念（含常用对数、自然对数）及性质，对数与指数的关系，指数式与对数式的互化，积、商、幂的对数.学习水平一级水平：能熟练完成指数式与对数式的互化，能运用对数性质求值，初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式：（1）8134= ; (2)10x ＝ y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式：（1）log 10 1000 ＝ 3 ;（2）log 5 625＝4 .例 5.3.3 求下列对数的值：（1）log 5 5;（2）log 8 1 .例 5.3.4 用lgx ， lgy ，lgz 表示下列各式：（1）zxylg ; (2)x lg .二级水平：理解并熟记积商幂的对数公式，能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0，y >0，下列各式中正确的是（ ）.A. ln(x ＋ y) ＝lnx ＋lnyB. ln(xy) ＝lnxlnyC. ln(xy)＝lnx ＋lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值：（1）21lg 5lg - ; （2）lg125＋lg8.三级水平：能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算：（1）（lg 2）2＋ lg 20×lg5 ; （2）5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ，log 2 5＝b ，则59log 2＝（ ）. A. a 2－b B. 2a － b C.ba 2D. b a 2知识点四：对数函数.约需 3 学时.内容包括：对数函数定义，对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平：理解对数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作对数函数图像，能理解记忆 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的对数函数图像的总体特征，能结合图像分析基本型对数函数的有关性质（单调性、值域、定点），会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y ＝log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.（1）y ＝ log 2(x ＋1) ；（2）xy ln 1=.例 5.4.3 函数y ＝ log 3 x 的大致图像是（ ）.10 / 10例 5.4.4 若函数y ＝ log a x 的图像经过点（），则底数a ＝.二级水平：能结合对数函数简图，比较同底对数的大小关系，能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小：（1）log 2 7与log 2 9; （2）4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域：（1）x y ln =; （2）xy 3log 11-=三级水平：应用对数函数解决实际问题，体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨，计划每年比上一年增产5%，设经过 x 年后产量番一翻，则 x 的值是（ ）. A.(1＋5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%，要增长到原来的x 倍，需要经过y 年，则函数y ＝ f(x)的图像大致为（ ）.。
专题拓展指数型与对数型复合函数(技巧解密6考点过关检测)(原卷版)
专题拓展：指数型与对数型复合函数一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ，则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数，其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数．二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数． 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．三、复合函数的值域求解1、指数型复合函数值域的求法（1）形如()=xy f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令=xa t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围． （2）形如()=f x y a（0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用=y aμ的单调性求出()=f x y a的值域．2、对数型复合函数值域的求法（1）形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域．（2）形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域．考点一：判断复合函数的单调性例1．（2324高一上·河北石家庄·月考）已知函数24()2x xf x -=，则函数()f x 的递增区间为（ ）A ．(4,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【变式11】（2223高一上·广东·期末）函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【变式12】（2324高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（ ）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),1-∞-D ．()5,+∞【变式13】（2324高一上·广东广州·期末）函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(,6)-∞-B ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,C ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞考点二：根据复合函数的单调性求参数例2.（2324高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数()2232xax f x --=在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【变式21】（2324高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数()22321x x y a -+=-在区间[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．((),2,-∞+∞【变式22】（2324高一上·江苏连云港·月考）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式23】（2324高一上·湖北·期末）若函数()()212log 65f x x x =-+-在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点三：求复合函数的最值或值域例3.（2324高一上·浙江杭州·月考）函数()()22log 22f x x x =++的值域为（ ）A ．(),1-∞B ．[)0,∞+C ．[)0,1D ．(],0-∞【变式31】（2324高一上·重庆·期末）函数2231()4x x y ++=的值域是 .【变式32】（2324高一上·福建三明·期中）函数()1422x x f x +=-+ 在11x -≤≤时的值域是 ．【变式33】（2223高一上·山东·月考）已知()f x 对数函数，并且它的图象过点32⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式； (2)若()39x x g x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[3,27]x ∈，求()g x 的值域.考点四：根据复合函数的最值/值域求参例4.（2324高一上·四川成都·期末）已知函数()()()25112a x a x f x --+-=的值域为()0,∞+，()()23log 85g x x x b =-+的值域为[)2,+∞，则a b -=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【变式41】（2324高一上·江苏南京·期末）已知函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．(],4∞-C ．(]0,4D ．()(]0,11,4⋃【变式42】（2324高一上·山西长治·期末）已知函数()()23log 41f x x x a =-++-的最大值为2，则=a ．【变式43】（2223高一下·青海西宁·开学考试）若函数()f x =[)0,∞+，则a 的取值范围是 .考点五：复合函数的奇偶性及应用例5.（2324高一上·新疆伊犁·期中）已知3()31xx f x a =+-是奇函数，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【变式51】（2324高一上·辽宁·月考）设0a >且1a ≠，若函数()()32x x xf x a =-是R 上的奇函数，则=a （ ）A B ．12C D 【变式52】（2324高一上·广东汕头·期末）函数lnx ay x a-=+（a 为常数）的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．都不是【变式53】（2324高三上·福建莆田·月考）若函数()()1ln1x f x x a x -=-+为偶函数，则=a （ ） A ．1 B ．0C ．12D ．1考点六：与复合函数有关的不等式例6.（2324高一上·广东肇庆·期末）已知函数()f x 是定义在[][]4,11,4--⋃上的偶函数，当[]1,4x ∈时，2()log 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式(2)2()f x f x ≥.【变式61】（2324高一上·江西九江·期末）已知函数 ()221x x af x -+=+是定义域为R 的奇函数.(1)求()f x 并判断 ()f x 的单调性；(2)解关于 x 的不等式()()()()22log 2log 20f x f x ++->.【变式62】（2324高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R 的函数()2121x x a f x ⋅-=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)试判断()f x 的单调性，并用定义证明；(3)解关于x 的不等式()()44520x xf f --+-⋅<.【变式63】（2324高一上·广东深圳·期末）已知函数()y f x =的定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，()12f -=，且当0x >时，()0f x <.(1)求()1,12f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)已知0m >，且1m ≠，若2log 103m f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.一、单选题1．（2223高一上·河北石家庄·月考）函数241()3x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．[81,)+∞B ．1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,81⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．(,81]-∞-2．（2324高一上·浙江杭州·期中）函数()()()22log 2log 4f x x x =⋅的值域为（ ） A ．RB ．1,24⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．（2324高一上·湖南娄底·期末）函数()()22log 45f x x x =-++的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,5D ．1,24．（2324高一上·广东佛山·月考）函数232()2xx f x -+=的单调递减区间为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．(,0)-∞5．（2324高一上·山东济宁·月考）已知()2212x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,3上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)3,+∞6．（2324高三下·广东·一模）已知函数()ln (0,0)1m x f x m n n x +=>>--是奇函数，则12m n+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．3+D ．3+二、多选题7．（2324高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--则下列说法正确的有（ ）A ．当0a =时，函数()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．函数()f x 有最小值C ．当0a =时，函数()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(,3]-∞- 8．（2324高一上·湖北荆州·期中）已知函数243()2xx f x -+=，则（ ）A ．()f x 在[)2,+∞上单调递增B ．()f x 的值域为()0,∞+C ．不等式()256f x <的解集为()1,5-D ．若()2()ax g x f x -=⋅在(],1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围为[)2,-+∞三、填空题9．（2122高一上·山西忻州·期末）函数()22log y x x a ＝＋＋的值域为R ，则a 的取值范围为10．（2324高一上·广东茂名·期中）函数()()2lg 214lg 216x x y ⎡⎤=+-++⎣⎦的值域是 .11．（2122高一上·山东枣庄·期中）设0a >，且1a ≠，函数()21x xf x a a =+-在[]1,1-上的最大值为5，则实数a 的值为 .四、解答题12．（2324高一上·甘肃威武·月考）已知函数()24313ax x f x -+⎛⎫⎪⎝⎭=．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间 (2)若()f x 有最大值3，求a 的值 (3)若()f x 的值域是()0,∞+，求a 的值13．（2324高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数()4lg 4mx f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中0m >且()()011f f +-=．(1)求m 的值和函数()f x 的定义域； (2)判断并证明函数()f x 的奇偶性； (3)求不等式()0f x <的解集．。
高三物理 解读真题系列 专题02 函数 文
专题02 函数一、选择题1. 【指数函数与对数函数的性质】【2016，新课标1文数】若0a b >>,01c <<，则( ) A.log a c 〈log b c B.log c a <log c b C.a c〈b cD.c a >c b【答案】B2. 【函数图象与性质】【2016，新课标1文数】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A.B 。
C 。
D.【答案】D3。
【函数的定义域、值域,对数】 【2016，新课标2文数】下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（ ）A.y =x B 。
y =lg x C 。
y =2xD 。
y x=【答案】D4。
【函数的奇偶性、对称性】【2016，新课标2文数】已知函数f (x ）（x ∈R)满足f （x ）=f (2—x ），若函数y =｜x 2—2x -3|与y =f （x ） 图像的交点为（x 1,y 1)，（x 2,y 2)，…，（x m ，y m ），则1=mi i x =∑（ ）A 。
0B 。
m C.2m D. 4m 【答案】B5. 【幂函数的单调性】【2016，新课标Ⅲ文数】已知4213332,3,25a b c ===，则（ ） A. b a c << B.a b c << C.b c a << D. c a b <<【答案】A6。
【三角函数的图象】【2016，浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）A 。
B 。
C.D 。
【答案】D7. 【对数函数的性质】 【2016，浙江文数】已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1,若log >1a b ，则( ) A.(1)(1)0a b --< B 。
(1)()0a a b --> C 。
(1)()0b b a --<D 。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
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偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
03
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
02
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习专题强化1 与指数函数、对数函数有关的复合函数(教师版)
强化专题1与指数函数、对数函数有关的复合函数【方法技巧】指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．【题型目录】一、判断复合函数的单调性二、已知复合函数单调性求参数范围三、求复合函数的值域/最值四、与复合函数有关的不等式问题五、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．函数()243x f x -=的单调递增区间是（）A ．(),2-∞B ．(),0∞-C ．()2,+∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】根据指数函数、二次函数的单调性结合复合函数单调性的“同增异减”求解.【详解】令24t x =-，则3t y =是单调递增函数，当(,0)x ∈-∞时，24t x =-是增函数；当,()0x ∈+∞时，24t x =-是减函数，由复合函数单调性可知，当(,0)x ∈-∞时，()243x f x -=单调递增，故选：B2．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（）由图象可以1u x =-在∴|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,1-∞二、已知复合函数单调性求参数范围5．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围．三、求复合函数的值域/最值四、与复合函数有关的不等式问题五、判断复合函数的奇偶性7．若()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（A ．()22x x y f -=+C ．()22x x y f -=-【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.【详解】依题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x -=-，A 选项，对于函数()22x x y f -=+，()()2222x x x x f f --+=+，所以函数()22x x y f -=+不是奇函数.B 选项，对于函数()2x y f x =-，()()22x x f x f x -+≠--，所以函数()2x y f x =-不是奇函数.C 选项，对于函数()22x x y f -=-，()()2222x x x x f f ---=--，所以函数()22x x y f -=-是奇函数.D 选项，对于函数()2x y f x =+，()()22x x f x f x --≠-+，所以函数()2x y f x =+不是奇函数.故选：C。
高中数学讲义指数与指数函数2.板块二.教师版
题型四 其他综合题目【例1】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．【考点】关于指数的复合函数 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】这笔钱可分为四部分，第一部份为支付第一年的40000元，其现值为40000； 第二部份为支付第二年的40000元，其现值为0.0640000e -； 第三部份为支付第三年的40000元，其现值为0.1240000e -； 第四部份为支付第四年的40000元，其现值为0.1840000e -； 故这笔钱为0.0.60.120.1840000(1e e e )146558---+++≈．【答案】146558【例2】 求函数2232x x y -++=的单调区间．【考点】关于指数的复合函数 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】∵2230x x -++≥，223013x x x --⇒-≤≤≤∴函数定义域为[1,3]-，函数2223(1)4t x x x =-++=--+对称轴为1x =， ∴223u x x =-++在[1,1]-上单调递增，在[1,3]上单调递减， ∴函数2232x x y -++=在[1,1]-上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴其单调增区间是[1,1]-，减区间是[1,3]．【答案】单调增区间是[1,1]-，减区间是[1,3]典例分析板块二.指数函数【例3】 已知函数|22|x y =-，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．【考点】关于指数的复合函数 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴ 如右图，先画出函数2x y =的图象，再将其向下平移2个单位，然后将位于x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即得函数|22|x y =-的图象； ⑵ 由图象可知()f x 的单调递减区间是(,1]-∞，递增区间为 (1,)+∞；⑶ 由图象知函数的最小值min (1)0y f ==，无最大值．【答案】⑴⑵单调递减区间是(,1]-∞，递增区间为(1,)+∞； ⑶最小值min (1)0y f ==，无最大值【例4】 方程22x x =-的解的个数为 ． 【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】方程的解可看作函数2x y =和2y x =-的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．【答案】1【例5】 已知函数()||122x x f x =-， ⑴若()2f x =，求x 的值；⑵若()()220t f t mf t +≥对于[]12t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2008年，上海，高考【解析】⑴当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x xf x =-； 由条件可知1222x x -=，即222210x x -⋅-=， 解得21x =± ∵0x >，∴2log (1x =+． ⑵当[]12t ∈，时，2211222022t t t t tm ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 即24(21)(21)t t m ---≥，∵2210t ->，∴2(21)t m -+≥， ∵[12]t ∈，，∴2(21)[175]t -+∈--，， 故m 的取值范围是[5)-+∞，．【答案】⑴2log (1x =+⑵[5)-+∞，【例6】 函数()2lg 34y x x =-+的定义域为M ，当x ∈M 时，求()42234x f x =+-⨯的最值.【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由2340x x -+>，得x ＞3或x ＜1，∴{}31M x x x =><或，()()22125322232612x xx f x ⎛⎫=-⨯++=--+ ⎪⎝⎭.∵x ＞3或x ＜1， ∴28022x x ><<或， ∴当126x =，即21log 6x =时，()f x 最大，最大值为2512，()f x 没有最小值.【答案】当21log 6x =时，()f x 最大，最大值为2512，()f x 没有最小值.【例7】 设a 是实数，()221xf x a =-+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使()f x 为奇函数.【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)设1212x x R x x ∈<，，且则()()1212222121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=12212212+-+x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <,所以2122x x <即12220x x -< 又由20x >得1210x +>，2210x +> 所以()()120f x f x -< 即()()12f x f x <因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数. (2)若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=- 即22()2121x x a a --=--++变形得:2222(21)221x x xxa -⋅=++⋅+ =12)12(2++xx 解得1a =所以当1a =时，()f x 为奇函数.此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导a 值.应要求学生适应这种探索性题型.【答案】(1)证明：设1212x x R x x ∈<，，且则()()1212222121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=12212212+-+x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <,所以2122x x <即12220x x -< 又由20x >得1210x +>，2210x +> 所以()()120f x f x -< 即()()12f x f x <因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数. (2) 1a =【例8】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ===，，则()()f xg x ，复合后可得到函数()()2x g f x g ==⎡⎤⎣⎦和()f g x f==⎡⎤⎣⎦的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究． ⑴复合函数(){}f h g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数，使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【考点】关于指数的复合函数【难度】3星【题型】解答【关键词】2008年，首师大附中，期中考试【解析】⑴2x ；(0)+∞，．⑵不一定是．例如：y x =，2y x y x =⇒=非增函数．⑶122⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；由函数()2x f x -=为增函数，且(1)(21)f x f x +>-，∴10210121x x x x +⎧⎪-⎨⎪+>-⎩≥≥，解得：122x <≤ ⑷偶函数[()]g h x ；奇函数[()]k f x ；非奇非偶函数[()]h g x【答案】⑴2x ；(0)+∞，．⑵不一定是．⑶122⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ⑷偶函数[()]g h x ；奇函数[()]k f x ；非奇非偶函数[()]h g x【例9】 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．【考点】关于指数的复合函数【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴2()()()1x x af x a a f x a --=-=--，∴()f x 为奇函数 ⑵法一：若1a >，则210a ->，有201aa >-， 又101a <<，且1()x x a a-=， ∴x a -单调递减 ，∴x a --单调递增 ∵x a 单调递增，∴x x a a --单调递增，由201a a >-可知2()1x xa a a a ---单调递增若01a <<，则210a -<，有201aa <-，又11a>，且1()x x a a -=，∴x a -单调递增，∴x a --单调递减 ∴x a 单调递减， ∴x x a a --单调递减，由201a a <-可知2()1x x aa a a ---单调递增 综上，不论01a << 还是1a >，()f x 在R 上为增函数． 法二：设12x x <，则2211212()()()1x x x x af x f x a a a a a ---=--+- 若1a >，有210x x a a ->，120x x a a --->，且210a ->， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数若01a <<，有210x x a a -<，120x x a a ---<，且210a -<， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数【答案】增函数【例10】 已知2()()(0,1)2x x af x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围． 【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】法一：设12,R x x ∈，且12x x <，则21()()f x f x -22112()2x x x x a a a a a a --=--+-2112122()(1)2x x x x x x a a a a a a a a -+=- ∵()f x 是增函数，∴21()()0f x f x ->又10x a >，20x a >，∴2122()02x x a a a ->-① ⑴当01a <<时，220a -<，21x x a a <，210x x a a -<，故①式成立 ⑵当1a >时，210x x a a ->，∴①式成立2201a a ⎧->⇔⎨>⎩，解得：a 综上，所求a 的取值范围是(0,1))+∞U法二：当1a >时，x a 单调递增，x a -单调递减，且x a --单调递减，有x x a a --单调递增 当01a <<时，x a 单调递减，x a -单调递增，且x a --单调递增，有x x a a --单调递减又()f x 为单调增函数，若1a >，则需使202aa >-，解得a >若01a <<，则需使202aa <-，解得a <01a <<，可得01a <<综上，a 得取值范围为(0,1),)+∞U【答案】(0,1))+∞U【例11】 已知函数()x f x b a =g (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B(3,24).(1)求()f x ；(2)若不等式1123xxm ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()1x ∈-∞，时恒成立，求实数m 的取值范围. 【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)把A (1,6)，B(3,24)代入()x f x b a =g ，得3624.ab b a =⎧⎨=⋅⎩ 结合2003a a a b =⎧>≠⎨=⎩且，解得： ∴()32x f x =g .(2)要使1123xxm ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.∵函数1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上为减函数，∴当1x =时，1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最小值56.∴只需56m ≤即可. 【答案】56m ≤【例12】 已知11()212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭．⑴求证：()0f x >；⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】法一：⑴原式可化成221(21)21()2(21)2(21)221x x x x x x x xf x x +-++===⋅---若0x >，则210x ->，有021xx>-； 若0x <，则210x -<，有021x x>-又∵2102x +>，∴21()0221x x x f x +=⋅>-成立．⑵原式可化为121()221x x f x x +=⋅⋅-由于2121x x +-为奇函数，x 为奇函数，∴()f x 为偶函数由0x t +≠，得()F x 的定义域{}x x t ≠±．而()()()()()()F x f x t f x t f x t f x t F x -=-++--=-++=． 故()F x 是偶函数． 法二：先证()f x 是偶数函数．由于1111()212122x xf x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭21211212212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11()212x x f x ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭故()f x 为偶函数．⑴当0x =时，()f x 无意义．当0x >，21x >，显然11()0212x f x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．当0x <时，0x ->．而()()0f x f x =->．故()f x 在其值域上，恒有()0f x >． ⑵由0x t +≠，得()F x 的定义域{}x x t ≠±．而()()()()()()F x f x t f x t f x t f x t F x -=-++--=-++=． 故()F x 是偶函数．【答案】⑴原式可化成221(21)21()2(21)2(21)221x x x x x x x xf x x +-++===⋅--- 若0x >，则210x ->，有021x x>-； 若0x <，则210x -<，有021x x>-又∵2102x +>，∴21()0221x x x f x +=⋅>-成立．⑵偶函数．【例13】 用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210x f x x x =+-，， (0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星【题型】解答【关键词】2009年，宁夏，高考 【解析】数形结合 【答案】C【例14】 已知函数()x f x a =满足条件：当(),0x ∈-∞时，()1f x >；当()0,1x ∈时，不等式，()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2008年，浙江省杭十四中【解析】∵()x f x a =，且当(),0x ∈-∞时，()1f x >，∴01a <<，∴()f x 为单调递减函数又()()()23112f mx f mx x f m ->+->+，对于(01)x ∈，恒成立∴2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⎪⇒⎨+-<+⎪⎩2210220x mx m x mx ⎧-++>⎪⎨+-<⎪⎩ 设2()10g x x mx m =-++>，要使()0g x >在(01)x ∈，恒成立，由2(2)0m ∆=-≥，且对称轴为2m x =可知， 有02(0)0(1)0m f f ⎧<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，①或12(0)0(1)0m f f ⎧>⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，② 解①得：10m -<<，解②无解设2()220h x x mx =+-<，要使()0h x <在(01)x ∈，恒成立， 需0(0)0(1)0f f '∆>⎧⎪<⎨⎪<⎩，解得：12m < 综上，m 的取值范围是{}10m m -<<． 【答案】{}10m m -<<【例15】 如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0,1)a a >≠且仔区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B．1⎫⎪⎪⎣⎭ C．(1, D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【考点】关于指数的复合函数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006年，天津，高考【解析】令x t a =，则22(31)y t a t =+--，对称轴为231122a t +=≥ ⑴当01a <<时，则01x a <≤欲使[)0,x ∈+∞递增，只需2312a +≥1，即2312a +≥，即213a ≥∴a或a ≤ ⑵当1a >时，则1x a ≥欲使[)0,x ∈+∞递增，只需2312a +≤1，解得213a ≤，与已知1a >矛盾 此种情况不成立综上a的取值范围是1⎫⎪⎪⎣⎭【答案】B【例16】 若关于x 的方程1125450x x m -+-+-⋅-=有实根，求m 的取值范围．【考点】关于指数的复合函数【难度】3星 【题型】解答【关键词】无 【解析】法1：当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x xf x =-； 设15x y -+=，则01y <≤，问题转化为方程240y y m --=在（0，1］内有实根．设()24f y y y m =--，其对称轴y=2，∴()00f >且()11f ≤，得30m -<≤．法2：当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x x f x =-； ∵24m y y =-，其中15x y -+=|∈（0，1］，∴()224m y =--[)30∈-，．【答案】30m -<≤【例17】 已知11235723511x y z x y z -+++=++=，，求11235x y z +-++的取值范围。
专题强化二 与指数函数、对数函数有关的复合函数(解析版)
强化专题二 与指数函数、对数函数有关的复合函数【题型目录】一、判断复合函数的单调性 二、已知复合函数单调性求参数范围 三、求复合函数的值域 四、求复合函数的最值五、与复合函数有关的不等式问题 六、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．设()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈R ，则()f x 是（ ）A ．奇函数且在(,0)-∞上单调递减B ．偶函数且在(,0)-∞上单调递减C ．奇函数且在(0,)+∞上单调递减D ．偶函数且在(0,)+∞上单调递减2．函数()ln(2)ln(4)f x x x =++-的单调递减区间是（ ）． A ．[1,)+∞ B ．(1,4)C ．(,1]-∞D ．(2,1)-【答案】B【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判定即可确定函数的单调区间.【详解】由题意知()ln(2)ln(4)f x x x =++-的定义域为(2,4)-， 又2()ln(2)ln(4)ln(28)f x x x x x =++-=-++，而函数228y x x =-++图象的对称轴为1x =，当1x >时，函数递减， 故当14x <<时，2()ln(28)f x x x =-++单调递减， 即2()ln(28)f x x x =-++的单调递减区间是(1,4)， 故选：B3．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数()25log 23y x x =+- 的单调递增区间是()1,+∞ ；故答案为：()1,+∞ . 4．求下列函数的单调区间： (1)232(1)xx y a a -++=>；(2)y ＝2|x －1|.（2）当[)1,x ∞∈+时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝2x －1为增函数；当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x .而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝21－x 为减函数． 故函数y ＝2|x －1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．5．求函数223x x y a ＋－＝（a >0，且a ≠1）的单调区间． 【答案】答案见解析【分析】根据指数复合函数的单调性的性质，运用分类讨论法，结合二次函数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】设y ＝au ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4，得u 在（－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞），减区间为（－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的增区间为（－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞）．二、已知复合函数单调性求参数范围 1．若函数221()x ax f x a -+=(0a >且1a ≠)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(,4]-∞2．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞()log f μ=2x μ∴=-①当0a <∴当(0,1x ∈3．已知函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3 B ．()1,3C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为0a >，所以()6t x ax =-为减函数．又由函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，可得函数()6t x ax =-在()0,2上大于零，且1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a ．故选：A ．4．若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．5．若函数()()22133x a x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．6．对于函数()()212log 24f x ax x =-+，解答下列问题： (1)若函数定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数在(],3-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．2193a，故实数三、求复合函数的值域1．函数212log (610)y x x =-+的值域是________.2．求下列函数的定义域、值域：(1)y=(2)2231.2x xy--⎛⎫= ⎪⎝⎭3．求函数11()()142x xy=++的值域．4．已知函数()24313x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间； (2)若[]1,4x ∈，求()f x 的值域.5．求下列函数的值域：(1)()22log 1y x =+；(2)()212log 2y x x =-．(1)211x +≥()22log 1x +2x -，则10u u >．，∴在()0+∞，12log 0u ≥．四、求复合函数的最值1．设函数()2212,0()log 2,0x x x f x x x ⎧--<⎪=⎨+≥⎪⎩，求()f x 的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．22．函数)04y x =≤≤的最大值是______．3．函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______.【答案】-24．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________.5．已知函数113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时函数有最值.图象（下图中虚线），再将函数||13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象向左平移1个单位得到函数|1|13x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭图象，函数图象如下图所示：(2)解：由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数，在(1,)-+∞上是减函数，即函数的单调递增区间为(,1]-∞-，单调递减区间为(1,)-+∞；(3)解：由图象知当1x =-时，函数有最大值1，无最小值.五、与复合函数有关的不等式问题1．已知函数||2()2log ||x f x x =+，且2(log )(2)f m f >，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1(,4)4B ．(4,)+∞C ．1(,)(4,)4-∞+∞ D ．1(0,)(4,)4⋃+∞ 【答案】D【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将2(log )(2)f m f >化为2|log |2m >，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.【详解】根据题意，||2()2log ||x f x x =+，则||2()2log ||()x f x x f x --=+-=，故||2()2log ||x f x x =+为偶函数；且当0x >时，()22log x f x x =+为单调增函数，故2(log )(2)f m f >即2(|log |)(2)f m f >，则2|log |2m >，所以2log 2m >或2log 2m <-，解得4m >或104m <<， 故实数m 的取值范围为1(0,)(4,)4⋃+∞， 故选：D2．已知函数()()2log 4,4041,0x x x f x x ⎧+-<<=⎨-≥⎩，若()()3f f a >，则a 点的取值范围是______.12,0)(,)2+∞．3．不等式23124x x -≥的解集为__________. [2,)+∞【分析】先将原不等式变形为4．已知()f x 是在定义域()0,∞+上的单调函数，且对任意()0,x ∈+∞都满足：()()22log 4f f x x -=，则满足不等式()()22log 3f x x -<的x 的取值范围是________.【答案】(0,3)【分析】由换元法求出()f x 的解析式，再解原不等式【详解】由题意得()22log f x x -为正常数，令()22log ,0f x x t t -=>，则22l )o (g x t f x =+， 且2()2log 4f t t t =+=，解得2t =，原不等式为222log log (3)x x <，可得203x x x >⎧⎨<⎩，解得03x <<， 故答案为：(0,3)5．已知函数()()222log log 2f x x x =--.(1)若()0f x ， 求x 的取值范围; (2)当184x ≤≤时， 求函数()f x 的值域.6．已知函数()31x f x a +=，()521x g x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0a >，且1a ≠.(1)求f （x ）在[1，2]上的取值范围；(2)求不等式()()f x g x ≥的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性求出函数的最大、小值即可；(2)根据题意可得3125x x a a +-≥，对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）当01a <<时，()31x f x a +=在[1，2]上是减函数，所以()()4max 1f x f a ==，()()7min 2f x f a ==，此时f （x ）在[1，2]上的取值范围是74a a ⎡⎤⎣⎦，.当1a >时，()31x f x a +=在[1，2]上是增函数，所以()()7max 2f x f a ==，()()4min 1f x f a ==，六、判断复合函数的奇偶性1．已知函数()()()1122log 4log 4f x x x =--+ (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(3)求不等式()0f x <的解集.2．已知函数()e e e ex xx x f x ---=+. (1)判断函数()f x 的奇偶性，并进行证明；(2)若实数a 满足()()2122log log 10f a f a f ⎛⎫++-≤ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. ()f x 定义域为()f x ∴为定义在(2)()e e f x =2e 1x y =+由（1）知：12log a =。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
对数与对数函数.板块二.对数函数.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
一、对数函数的图像及性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：()0,+∞； 值域：R ； 过点()1,0，即当1x =时，0y =. 当0a >时，在()0,+∞上是增函数；当01a <<时，在()0,+∞上是减函数。
二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y x =对称.。
题型一 对数函数的基本性质【例1】 下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 两个函数的定义域不同，2log a y x =的定义域为{}|0,x x x R ≠∈，而2l o g ay x =的定义域为{}|0,x x x R >∈.【答案】C典例分析板块二.对数函数【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 43，15，310B. 43，310，15 C. 15，310，43D. 43，310，15【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】A【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.B. 2C.D.4【关键词】2007年,全国卷.高考 【解析】【答案】D【例5】 若23log 1a <，则a 的取值范围是A.203a <<B.23a >C.213a << D.203a <<或a ＞1 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 显然答案中应该包括1，而只有B 选项包含1，故应选B.【答案】B【例6】 比较两个对数值的大小：ln7 l n 12 ； 0.5log 0.7 0.5l o g 0.8. 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】 <, > ；【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【答案】C【例8】 已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【关键词】2005年，天津文，高考【解析】 ∵1012<<，111222log log log b a c << ∴b a c >>，又21>，∴222b a c >>【答案】A【例9】 下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【答案】B【例10】 下列大小关系正确的是（ ）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<<【考点】对数函数的基本性质【难度】2星【题型】选择【关键词】2005年，山东卷文，高考【解析】 在同一坐标系中分别画出0.4x y =，3x y =，4log y x =的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【答案】C【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 做直线y =1，与三个图象分别交于横坐标为,,a b c 三点，显然b a c <<，故选A【答案】A【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =.由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【答案】两个函数图象关于直线y x =对称.【例13】 如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围. 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由log 20log 1a a <=，可判断01a <<，同理可得01b <<；然后比较两个同真数的对数的大小，利用换底公式很快可找到大小关系.log 20a <即log 2log 1a a <，∴01a <<，同理可得01b <<.又log 2log 20a b <<，∴110log 2log 2a b >>，即22log log b a <， ∴b a <.即01b a <<<【答案】01b a <<<【例14】 若log 2log 20a b <<，则（）A.01a b <<<B.01b a <<<C.1a b >>D.1b a >>【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 法一∵log 2log 20a b <<，即22110log log a b<<，∴22log log 0b a <<，∴01b a <<<； 法二由log 2log 20a b <<得01a b <<、，再由对数函数的图象得01b a <<<；【答案】B.【例15】 若log 3log 3m n <，求m n 和的关系。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及
3.2 指数扩充及其运算性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题【答案】 B2. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )【答案】 C3. 如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为( )A.x＋1x－1B.x＋1xC.x－1x＋1D.xx－1【解析】由x＝1＋2b，得2b＝x－1，由y＝1＋2－b＝1＋12b，得y＝1＋1x－1＝xx－1.【答案】 D【答案】 A 5. 化简－1a的结果是( )A.1a－aB ．－1a－aC ．a －aD ．－a －a【解析】 由式子可知a <0，原式＝－a a 2＝1|a |－a ＝－1a－a . 【答案】 B 二、填空题6. 将3a ·a 用分数指数幂表示为________． 【解析】【答案】 21a7. 212-＋－402＋12－1－1－5·328-＝________.【解析】 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.【答案】 22－38. 如果a ＝3，b ＝384，那么＝________.三、解答题【解】 (1)原式＝10. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【导学号：04100044】【解】 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b >0，∴a －ba ＋b>0. ∵⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，∴a －ba ＋b＝15＝55. [能力提升]1. 设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．21a B ．65a C ．67aD ．23a【答案】 C2. 3a ·6－a 等于( ) A ．－－a B ．－a C.－aD.a【答案】 A【答案】64334. (1)已知2x＋2－x＝3，求8x ＋8－x的值；【解】(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] ＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝3×(32－3)＝18.(2)∵a≠0，a－27b≠0，。
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专题02 指数型与对数型复合函数的性质A 组 基础巩固1．下列结论正确的是（ ）1=-B.lg(25)1+=C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】 C. 【解析】A选项1=，B 选项 25lg(25)lg lg 1+≠+= .C 选项113133822327332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. D 选项24log 3log 9=.故选C.2.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D.【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =，此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 3.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C.【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.4.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数， ∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.5.已知14e a -=，ln0.9b =，1e 1log c π=，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.b a c << 【答案】D 【解析】1040ee 1a -<=<=，ln0.9ln10b =<=，11ee 11log log 1πec =>=，∴b a c <<，故D. 6．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()2log 5y x =+B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．y =D ．1y x x=- 【答案】A【解析】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数，而5t x =+递增，2log y t =递增，()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增；B 中，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的底数为13，1013<<，∴函数在R 上递减，排除B ；C中，y =在(0,)+∞上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；D中，1y x x =-，1y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x=-在(0,)+∞上递减，排除D ； 故选A 。
7．已知23a =，2323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，232323c ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D【解析】由于指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，232221333⎛⎫⎛⎫∴=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，a c b <<， 故选D 。
8．设31log 5a =，131log 5b =，153c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C 【解析】331log log 105a =<=，113311log log 153b =>=，105331c -=<=， 且c>0，b c a ∴>>.故选C 。
9.若幂函数()2()22m f x m m x =--在()0,+∞单调递减，则(2)f =（ ）A.8B.3C.-1D.12【答案】 D.【解析】 ∵()f x 是幂函数，∴222=1,m m --解得3m =或1,m =-又函数()f x 在()0,+∞单调递减，则1,m =-即有幂函数1()f x x -=，∴1(2)2f =，故选D.10.若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,5B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．(),2-∞【答案】 A ． 【解析】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，又∵13log y t =在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选A11．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )A，43，35，110 B43，110，35 C ．4335，110D ．43，110，35【答案】A 【解析】由已知中曲线是对数函数log ay x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ， 由a43，35，110四个值， 故1C ，2C ，3C ，4C 的a43，35，110， 故选：A ．12．设函数()()2log 1,00x x f x x ⎧+≥⎪=<，则满足()12f x +<的x 的取值范围为（ ）．A ．()4,3-B ．()5,2-C ．()3,4-D ．()()34-∞-+∞,,【答案】B 【解析】由题意，()()2log 1,00x x f x x ⎧+≥⎪=<，所以()()2lo 1g 2,11x x x f x ⎧+≥-+=<-，①当1x ≥-时，()12f x +<，即()2log 22x +<， 解得2x <，所以12x -≤<；②当1x <-时，()12f x +<2<， 解得5x >-，所以51x -<<-；综上是，()12f x +<时x 的取值范围为()5,2-. 故选：B13.计算下列各式：（1）)2 （2）92log 2663log 4log 3.2++ 【答案】：（1）2 （2）3 【解析】：)()0(1)213|2|422.ππππ=+-+-=-+-=92332log 2662log2666log 2663(2)log 4log 322log 2log 3log 23log 2log 333.++=+-+=++=14.已知函数()22()log 43f x ax x =-+.（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围.【答案】（1）4+3a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，；（2）403a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】（1）∵函数()f x 的定义域为R ，∴2430ax x μ=-+>在R 上恒成立 分类讨论：当0a =时，430x μ=-+>不恒成立； 当0a ≠时，0416203a a a >⎧⇒>⎨∆=-<⎩综上，4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵函数()f x 的值域为R ，∴243ax x μ=-+能取到大于0的一切实数；分类讨论：当0a =时，43x μ=-+，满足题意；当0a ≠时，04016203a a a >⎧⇒<≤⎨∆=-≥⎩ 综上，403a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.B 组 能力提升15．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数10ln 11x y x +=+的图象可以看作是由函数10ln x y x=的图象向左移动1个单位得到的，而函数10ln x y x=是奇函数，所以排除A 和D ；又因为当0x >时，ln 111,01x x x ++>∴>+，故选C 。
16．已知函数()32|log |,031108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【答案】 A【解析】将问题进行转化，借助函数的图象，确定1x ，2x ，3x ，4x 之间关系，来解决问题．解：作出函数()f x 的图象如图：根据条件，结合图形可知01m <<，且12=1x x ，34=10x x +，其中334x << 则()()()()()()()23433333123331033754x x x x x x x x x --=---=--=--+，中其中334x <<，因为()2354x --+在()3,4上单调递增，故()()()3412330,3x x x x --∈，故选A ．17．已知A ，B 是函数()21x f x 图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x 的图象上，则点C 的横坐标的值为 ． 【答案】12． 【解析】（湖北咸宁 吴威）解法一：不妨设11,12x A x ，22,2x B x ，33,21x C x ，由题意得312132122212x x x x x x ，令3121222101x x x t t ＜＜，则222log 1log 12log t t t ，解得22t， 故212x ． 解法二：21,0()2112,0x xxx f x x ≥＜， 设A ，B 的坐标分别为11,21x x ，22,12x x ．则122112x x ，线段AB 的中点121222,22x x x x C ， ∵线段AB 的中点C 在函数()2xg x 的图象上，∵121222222x x x x ，把12222x x ，代入121222222x x x x ，化为：2222(12)(22)2x x x ，化为：22222x ，12222x ，∵12122x x ，解得121x x ．则点C 的横坐标的值为12． 18．若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单调函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数()2log ,2{1,2x x f x x x ≥=-<是单纯函数；②当2a >-时，函数()21x ax f x x++=在0,是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠④若函数()f x 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0f x =，其中正确的命题为__________．（填上所有正确的命题序号） 【答案】①③ 【解析】由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数。