专题02 指数型与对数型复合函数的性质(分层训练)教师版
专题02 指数型与对数型复合函数的性质
A 组 基础巩固
1．下列结论正确的是（ ）
1
=-
B.lg(25)1+=
C.1
3
83
272-
??
=
?
??
D.24log 3log 6=
【答案】 C. 【解析】
A
选项
1=，B 选项 25lg(25)lg lg 1+≠+= .C 选项1
131
3
3
822327332--
-????
????
===?? ?
? ???
??
??
????
. D 选项
24log 3log 9=.故选C.
2.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）
A.)0,3(
B.4,0（）
C.(3,1)
D.(4,1)
【答案】 D.
【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =，
此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 3.已知函数3log 2,0,
()1,0,3x x x f x x ->??
=???≤? ???
?则((2))f f -的值为（ ）
A.4-
B.2-
C.0
D. 2
【答案】 C.
【解析】由题意知：2
1(2)93f -??
-== ???
，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.
4.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )
A ．)
31
(log )
3
()
3
(24334
f f f >>-
-
B ．)3()3()3
1
(log 34
432-->>f f f
C ．)
3()3()31
(log 43
34
2-->>f f f
D ．)3
1
(log )
3
()
3
(23443
f f f >>-
-
【答案】A
【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31
(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函
数， ∴3log 13
3
24
33
4<<<-
-，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)3
1
(log )
3
()
3
(24334f f f >>-
-
；选A.
5.已知14
e a -
=，ln0.9b =，1
e 1
log c π
=，则（ ）
A.a b c <<
B.c b a <<
C.a c b <<
D.b a c << 【答案】D 【解析】
104
0e
e 1a -<=<=，ln0.9ln10b =<=，1
1e
e 11
log log 1πe
c =>=，∴b a c <<，故D. 6．下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）
A ．()2log 5y x =+
B ．13x
y ??
= ???
C
．y =
D ．1y x x
=
- 【答案】A
【解析】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数，而5t x =+递增，
2log y t =递增，()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增；B 中，13x
y ??= ???
的底数为13，1013<<，∴函数在R 上递减，排除B ；C
中，y =在(0,)+∞
上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；D
中，1y x x =-，1
y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x
=-在(0,)+∞上递减，排
除D ； 故选A 。 7．已知2
3a =
，23
23b ??= ???，2
32323c ?? ???
??= ???
，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
【答案】D
【解析】由于指数函数23x
y ??= ???为R 上的减函数，2
3
2221333????∴=>> ? ?????
，因此，a c b <<， 故选D 。
8．设31log 5a =，131log 5b =，15
3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>
【答案】C 【解析】
3
31
log log 105a =<=，113311log log 153
b =>=，105331
c -=<=， 且c>0，b c a ∴>>.故选C 。
9.若幂函数()
2()22m f x m m x =--在()0,+∞单调递减，则(2)f =（ ）
A.8
B.3
C.-1
D.
1
2
【答案】 D.
【解析】 ∵()f x 是幂函数，∴222=1,m m --
解得3m =或1,m =-又函数()f x 在()0,+∞单调递减，则1,m =-
即有幂函数1()f x x -=，∴1
(2)2
f =，故选D.
10.若函数()213
()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A ．()2,5
B ．()1,2-
C ．()2,+∞
D ．(),2-∞
【答案】 A ． 【解析】
令245t x x =-++，则13
log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，
∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，又∵13
log y t =在定义域上单调递减，
由复合函数的单调性可得：
()213
()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选A
11．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a
43，35，1
10
四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )
A
，43，35，110 B
43，110，3
5 C ．43
3
5，110
D ．43
，110，35
【答案】A 【解析】
由已知中曲线是对数函数log a
y x =的图象，
由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ， 由a
43，35，1
10
四个值， 故1C ，2C ，3C ，4C 的a
43，35，110
， 故选：A ．
12．设函数()(
)2log 1,00
x x f x x ?+≥?=<，则满足()12f x +<的x 的取值范围为（ ）．
A ．()4,3-
B ．()5,2-
C ．()3,4-
D ．()
()34-∞-+∞,,
【答案】B 【解析】
由题意，()(
)2log 1,0
0x x f x x ?+≥?=<，
所以()()
2lo 1g 2,1
1
x x x f x ?+≥-+
=<-，
①当1x ≥-时，()12f x +<，即()2log 22x +<， 解得2x <，所以12x -≤<；
②当1x <-时，()12f x +<
2<， 解得5x >-，所以51x -<<-；
综上是，()12f x +<时x 的取值范围为()5,2-. 故选：B
13.计算下列各式：
（1）
)
2 （2）92log 2
663log 4log 3.2
++ 【答案】：（1）2 （2）
3 【解析】：
)
()0
(1)
213|2|422.
ππππ=+-+-=-+-=
92
332log 266
2log
2
666log 2663(2)log 4log 32
2log 2log 3log 23log 2log 333.
++=+-+=++=
14.已知函数()
22()log 43f x ax x =-+.
（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围.
【答案】（1）4+3a ??∈∞ ???，；（2）403a ??
∈????
，. 【解析】
（1）∵函数()f x 的定义域为R ，∴2430ax x μ=-+>在R 上恒成立 分类讨论：当0a =时，430x μ=-+>不恒成立； 当0a ≠时，041620
3a a a >??>?
?=-
∈+∞ ???. （2）∵函数()f x 的值域为R ，
∴243ax x μ=-+能取到大于0的一切实数；
分类讨论：当0a =时，43x μ=-+，满足题意；当0a ≠时，04
01620
3a a a >??<≤?
?=-≥? 综上，403a ??
∈????
，.
B 组 能力提升
15．下列四个图中，函数10ln 11
x y x +=
+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】函数10ln 11
x y x +=
+的图象可以看作是由函数10ln x y x
=
的图象向左移动1个单位得到的，
而函数10ln x y x
=是奇函数，所以排除A 和D ；又因为当0x >时，ln 111,01
x x x ++>∴
>+，
故选C 。
16．已知函数()32|log |,031108,333x x f x x x x <≤??
=?-+>??，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足
1234x x x x <<<则
()()
3412
33x x x x --的取值范围是（ ）
A ．()0,3
B ．(]0,4
C ．(]3,4
D ．()1,3
【答案】 A
【解析】
将问题进行转化，借助函数的图象，确定1x ，2x ，3x ，4x 之间关系，来解决问题．
解：作出函数()f x 的图象如图：
根据条件，结合图形可知01m <<，且12=1x x ，34=10x x +，其中334x << 则
()()
()()()()()2
343333312
3331033754x x x x x x x x x --=---=--=--+，中其中334x <<，
因为()2
354x --+在()3,4上单调递增，故()()
()3412
330,3x x x x --∈，故选A ．
17．已知A ，B 是函数()
21x f x 图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()
2x g x 的图象
上，则点C 的横坐标的值为 ． 【答案】
12
． 【解析】（湖北咸宁 吴威）
解法一：不妨设1
1,12x A x ，2
2,2
x B x ，3
3,2
1x C x ，由题意得
31
2132
12221
2x x x x x x ，
令3
12
12221
01x x x t t ＜＜，则222log 1log 12log t t t ，解得2t
， 故2
12
x ． 解法二：21,0
()2
1
12,0
x x
x
x f x x ≥＜， 设A ，B 的坐标分别为11,21x x ，22,12x x ．
则1
2
2
112x x ，线段AB 的中点1
21
222,
22
x x x x C ， ∵线段AB 的中点C 在函数()2x
g x 的图象上，∵
121
22
2222
x x x x ，
把1
2
2
22x x ，代入
121
2
2
222
2
x x x x ，
化为：2222(12)(2
2)2x x x ，化为：222
22x ，1
22
22
x ，
∵1
2
1
22
x x ，解得12
1x x ．则点C 的横坐标的值为
12
． 18．若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单调函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2
f x x =不是单纯函数，下列命题：
①函数()2log ,2
{
1,2
x x f x x x ≥=-<是单纯函数；
②当2a >-时，函数()21
x ax f x x
++=在0,
是单纯函数；
③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠
④若函数()f x 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0f x =，其中正确的命题为__________．（填上所有正确的命题序号） 【答案】①③ 【解析】
由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数。因为
2x ≥时，2()log f x x =单调，所以2()log f x x =是单纯函数；当2x <时，()1f x x 单调，所以()
1f x x 是单纯函数，故命题①是正确的；对于命题②，由于1
()f x x a x
=++不单调，
故不是单纯函数；由于单调函数一定是单纯函数，故当12x x ≠，则()()12f x f x ≠，即命题③是正确的；对于命题④，由于单纯函数一定是单调函数，所以在定义域内不存在极值点，故是错误的，应填答案①③。
19.若函数4
()221
x
f x =
-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；
（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.
【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，
∴()()212144
=222121x x f x f x ---+++()
()()
12
1
24222121
x x x
x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()
124220x x
-<，∴()()210f x f x -<，
∴函数()f x 在定义域上单调递减.
（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x
x x x f x f x ---???-=-==--- ?+++??
， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，
又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-， 又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-
20.已知函数()42+=x x b
f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；
（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23
202
--+
m g x mf x （0>m ，且1≠m ） ，问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1=-b ；（2）32??+∞???? ,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x x b f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b . （2）∵()44112222+-===-x x x x x x b f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+ 212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立， ∴()12141>++ -+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312 == +∞????,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23?? ∈???? t ，()() 2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23?? ∈????t 上恒成立， ∴min 2??<+ ???m t t ，则176 ∈ ??? m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2 =m t ，∴11170,,22212????∈ ? ?????m ∴对称轴一直位于38,23??????的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23?? ???? 上单调递增， 则()min 3317224??==-+ ???d t d m ，()max 8882329?? ==-+ ??? d t d m ， 假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法， 可知()() 2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224?? =-+= ??? d m ， ∴()160,13=?m （舍），同理可知，当171,6?? ∈ ??? m 时，73171,246??=? ???m （舍）， 综上所述，不存在实数m 满足条件成立. 21．已知函数()f x 为偶函数，()g x 为偶函数，且1 ()()x e f x g x -=。 （1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）若(2)()f x ag x >在(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）记(1) ()1(1) g x H x f x += ++，若,a b R ∈，且1a b +=，求(4)(1)H a H b -+++的值. 【答案】 （1）11()()2x x f x e e =+，11 ()()2x x g x e e =- （2）421(1)e a e e +≤- （3）2. 【解析】 （1）∵()()f x f x -=，()()g x g x -=-，∵1()()x f x g x e -= ,将x 换成x -可知：()()x f x g x e ---=，化简可得：()()x f x g x e +=，联立方程组()()1()()x x f x g x e f x g x e ?+=??-=?? ，解得11()()2x x f x e e =+，11()()2x x g x e e =- . （2）由(2)()f x ag x >，∴2211()()x x x x e a e e e + >-，令1x x e t e -=，∵1x >可知1(,)t e e ∈-+∞， ∴2 2at t <+，即2a t t <+，又∵1e e ->，∴42 1 (1)e a e e +≤-. （3）∵11()()2x x f x e e = +为偶函数，11()()2x x g x e e =-为奇函数，∴() ()g x f x 为定义在R 上的奇函数，∴ (1)(1)g x f x ++的函数图象关于（-1，0）中心对称，∴(1) ()1(1) g x H x f x += ++的函数图象关于（-1，1）中心对称，∵1a b +=，∴(4)(1)(4)(2)2H a H b H a H a -+++=-++-=.