一次函数专题一

培优专题二 一次函数

知识点1 一次函数和正比例函数的概念

形如 （k ，b 为常数，k 0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当 时，称y 是x 的正比例函数

【说明】 一次函数的自变量的取值围是 ，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

知识点2 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx 的图象是 ，必经过 ； （2）当k ＞0时，图象经过第 象限,y 随x 的增大而 ； （3）当k ＜0时，图象经过第 象限,y 随x 的增大而 ． 知识点3 一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是 ．

由于 确定一条直线，作一次函数图象时，只要描出适合关系式的 点，再连成直线即可，一般选取特殊点：直线与y 轴的交点（ ， ），直线与x 轴的交点（ ， ）.

画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（ ， ），（ ， ）即可. 知识点4 一次函数y=kx+b 的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向；

①k ＞0时，从左到右直线 ，y 的值随x 值的增大而 ； ②k ＜O 时，从左到右直线 ，y 的值随x 值的增大而 .

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度:|k|越大，直线的倾斜 ，与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡）；|k|越小，直线的倾斜 ，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；

①当b ＞0时，直线与y 轴交于 半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于 半轴上； ③当b=0时，直线经过 ，是正比例函数．

（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）； ②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）； ③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）； ④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第 象限（直线不经过第 象限）． （5）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．

①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；

②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=21

21,b b k k ⇔y 1与y 2平行；

④⎩⎨⎧==2

121,

b b k k ⇔y 1与y 2重合；

（6）从平移的角度分析，例如：直线y=kx＋b可以看作是正比例函数y=kx平移得到的．

知识点5 点P（x

0，y

）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x

0，y

）在图象上，那么x

,y

的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x

0，y

是满足函数解析式的一对对应值，那么以x

，y

为坐标的点必在

函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=kx+b，即x=1时，y=2，即k+b=2，则点P（1，2）在直线y=kx+b的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=kx+b，因为当x=2时，y≠1，所以点P′（2，1）不在直线y=kx+b的图象上．

知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）正比例函数y=kx只有一个待定系数k，故只需一个条件（如对x，y的值或个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这个条件通常是个点或对x，y的值．

知识点7 待定系数法

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值，得到函数表达式．

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

例1已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

例2 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x

1，y

1

）和点B（x

2

，y

2

），当

x 1﹤x

2

时，y

1

＞y

2

，则m的取值围是（）A．m﹤O B．m＞0

C．m﹤

2

1

D．m＞M

例2 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）求5年后的产值．

例3 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．

例4 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？

（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；

（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S

=4，求P点的坐标．

△ABP

例5 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.

（1）k为何值时，它的图象经过原点？

（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?

（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？

（4）k为何值时，y随x的增大而减小？

．

例6 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

例7 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？