数据结构 图的基本知识点

第8章 图
8.1 图的基本概念 8.2 图的基本存储结构
8.2.1 邻接距阵及其实现 8.2.2 邻接表及其实现 8.3 图的遍历 8.3.1 深度优先搜索遍历 8.3.2 广度优先搜索遍历 8.4 图的应用 8.4.1 连通图的最小生成树 8.4.2 拓扑排序
8.1 图的基本概念
一、现实中的图
图最常见的应用是在交通运输和通信网络中找出造价 最低的方案。通信网络示例如下图所示：
(弧)数e和每个顶点的度di之间满足以下的关系式：
e
1 2
n i 1
D(vi )
即在有向图或无向图中： 所有顶点度数之和 ：边数 = 2 ：1
3．完全图、稠密图和稀疏图
在图G中：
若G为无向图，任意两个顶点之间都有一条边，称G为无 向完全图。顶点数为n，无向完全图的边数：
e=Cn2 =n(n1)/2
1．邻接点
在无向图中，若存在一条边（Vi, Vj），则称Vi和Vj 互为邻接点（Adjacent）
在有向图中，若存在一条弧<Vi, Vj >，则称Vi为此 弧的起点，称Vj为此弧的终点，称Vi邻接到Vj，Vj 邻接自Vi，Vi和Vj互为邻接点。
2．顶点的度、入度和出度
在无向图中，与顶点v相邻接的边数称为该顶点的 度，记为D(v)。
任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通图有 多个连通分量。
在一个连通图中，含有全部顶点的极小(边数最少)连通子图， 称为该连通图的生成树。(包含图的所有 n 个结点，但只含 图的 n-1 条边。在生成树中添加一条边之后，必定会形成回 路或环)
图G1和G2为连通图
非连通图 G4
A
B
E FG
非连通图G4的三个连通分量
A
B
E
F
G
IJ
K
C
D
C
IJ
K D
连通图G5
A
B
连通图G5的两棵生成树
A
B
A
B
C
D
C
D
C
D
7．强连通、强连通分量和强连通图
在有向图G中：
存在从顶点Vi 到顶点Vj的路径，也存在从顶点Vj 到顶点Vi 的路径，则称Vi与Vj是强连通的。
如果图中任意两个顶点都是强连通，则称G为强连通图， 否则称为非强连通图。
8.2 图的基本存储结构
图需存储的信息：
V0
V1
各顶点的数据
V2
V3
V4
各个边（弧）的信息，包括：
哪两个顶点有边（弧）
V0
V1
若有权要表示出来
顶点数、边（弧）数
其中对偶可以表示成： ➢ (Vi, Vj)—无序的对偶称为边，即(Vi, Vj)=(Vj, Vi) ，其图称为 无向图 ➢ <Vi, Vj>—有序的对偶称为弧，即<Vi, Vj> ≠<Vj, Vi>，则称Vi 为弧尾，称Vj为弧头，该图称为有向图
有向图和无向图示例：
无向图G1的二元组表示： V(G1)={V1, V2, V3, V4} E(G1)={(V1, V2)，(V1, V3)，(V1, V4)，(V2, V3)，(V2, V4)，(V3, V4)} 有向图G3的二元组表示： V(G3)={V1, V2, V3} E(G3)={<V1, V2>，<V1, V3>，<V2, V3>，<V3, V2>}
在有向图G3中： 顶点序列（V2, V3, V2）是一个长度为2的有向简单 环。
6．连通、连通分量和连通图、生成树
在无向图G中：
如果从顶点Vi 到顶点Vj至少有一条路径，则称Vi与Vj是连通 的。
如果图中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为 非连通图。
在非连通图G中，任何一个极大连通子图称为G的连通分量。
若G为有向图，任意两个顶点Vi, Vj之间都有弧<Vi,Vj> 、 <Vj,Vi> ，称G为有向完全图。如顶点数为n，有向完全图 的弧数：
e=Pn2 =n(n1)
例如，无向图G1就是4个顶点无向完全图。 若一个图接近完全图，则称其为稠密图；反之，若一个图含
有很少条边或弧（即e＜＜n2），则称其为稀疏图。
在百度文库强连通图G中，任何一个极大强连通子图称为G的强连 通分量。
任何强连通图的强连通分量只有一个，即其自身，而非强 连通图有多个强连通分量。
有向图G和强连通分量示例：
8．权、带权图、有向网和无向网
在一个图中，各边(或弧)上可以带一个数值，这个数值称为 权。
这种每条边都带权的图称为带权图或网 有向网：带权有向图 无向网：带权无向图
路径长度定义为路径上的边数或者弧的数目。 若一条路径中不出现重复顶点，则称此路径为简单路径。 若一条路径的起点和终点相同（Vp=Vq）称为回路或环。 除了起点和终点相同外，其余顶点不相同的回路，称为简单
回路或简单环。
例如，在无向图G1中： 顶点序列（V1, V2, V3, V4）是一条从顶点V1到顶点 V4，长度为3的简单路径； 顶点序列（V1, V2, V4, V1, V3）是一条从顶点V1到 顶点V3，长度为4的路径，但不是简单路径； 顶点序列（V1, V2, V3, V1）是一条长度为3的简单 回路。
二、图的定义
图G是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。
记为二元组形式： G= (V, E) 其中:
➢ V是由顶点构成的非空有限集合，记为：V＝{V0, V1, V2, …Vn-1} ➢ E是由V中顶点的对偶构成的有限集合，记为：E={(V0, V2), (V3, V4), … }，若E为空，则图中只有顶点而没有边。
在有向图中，顶点v的度又分为入度和出度两种：
以顶点v为终点(弧头)的弧的数目称为顶点v的入度，记 为ID(v)；
以顶点v为起点(弧尾)的弧的数目称为顶点v的出度，记 为OD(v)；
有向图顶点v的度为该顶点的入度和出度之和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)
无论是有向图还是无向图，一个图的顶点数n、边
4．子图
若有图G=(V, E)和G′=(V′, E′)
且V′ 是V的子集，即V′V ， E′是E的子集，即 E′ E
则称图G′为图G的子图。
5．路径、回路和路径长度
在无向图G中，若存在一个顶点序列(Vp , Vi1 , Vi2 , … , Vin , Vq)， 使(Vp, Vi1)，(Vi1, Vi2)，…，(Vin, Vq)均为图G的边，则该称顶 点的序列为顶点Vp到顶点Vq的路径。若G是有向图，则路径 是有向的。