专题必修5解三角形

合集下载

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例

∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO

,
,

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
目标导航

Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点必修五数学解三角形知识点判断解法已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)①若ab，则AB有唯一解;②若ba，且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组知识点1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

高中数学必修5之解三角形(教师版)

高中数学必修5第一单元解三角形【第一部分】基础知识提要1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==.正弦定理推论：①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为三角形外接圆的半径）②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a Ab Bc C c C===④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。

任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

3、正弦定理确定三角形解的情况 A为锐4、任意三角形面积公式为：2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2ABC abcS bc A ac B ab C Rrp p a p b p c a b c R A B C =====---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=6、不常用的三角函数值αcos426+ 426- 426+- 426+-αtan32- 32+ 32-- 32+-1.2 应用举例（浏览即可）1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

人教版数学必修五解三角形知识点

人教版数学必修五解三角形知识点
人教版数学必修五中，关于三角形的知识点主要包括以下内容：
1. 三角形的基本概念：三角形是由三条线段组成的图形，其中包括三个顶点、三条边和三个内角。

2. 三角形的分类：根据三条边的长短，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据三个角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

3. 三角形的性质：三角形中，任意两边之和大于第三边；任意两角之和小于180度；任意两边之差小于第三边。

此外，三角形的内角和为180度。

4. 三角形的重要定理：包括三角形的角平分线定理、三角形的中线定理、三角形的高线定理、三角形的垂心定理等。

5. 三角形的相似性质：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

相似三角形的边比例相等，相似三角形的面积比等于边比例的平方。

6. 三角形的三边关系：根据三角函数的定义，可以得到三角形中的正弦定理、余弦定理和正切定理。

通过这些定理，可以解决与三角形边长和角度相关的问题。

7. 应用题：根据已知条件解决实际问题，如三角形的面积计算、角度测量、边长计算等。

以上是人教版数学必修五中关于三角形的主要知识点。

希望对你有所帮助！。

必修5解三角(章末整合提升课件)

本章思维总结
• 1．解斜三角形的常规思维方法是： • （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； • （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； • （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求 B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； • （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角 C。 • 2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，，… • 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，，… • 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合 “三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
专题一举例1
针对练习：
专题一举例2
针对练习：
专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用
针对练习：
专：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？
必修5解三角形
知识梳理1
知识梳理2
知识梳理3
专题一：正、余弦定理的应用
• 1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． • 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．

高中数学必修5全册知识点总结(理科)

高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n≥2，n∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）.⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

必修五《解三角形,不等式》专题典例参考资料

解三角形（理）知识要点：一、正弦定理及其变形： sin a A= （R 为三角形外接圆半径）变形1：=C B A sin :sin :sin 变形2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======)(sin ;)(sin ;)(sin ;C c B b A a 二、余弦定理及其推论：=2a=2b=2c推论：=A cos =B cos =C cos三、三角形面积公式=∆ABC S l r S ABC ⋅=∆21（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长） 1sin cos 22=+A A π=++C B A重要习题1、在△ABC 中，b ＝22，B ＝45°，则A=60°a ＝______；2、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 ;3、在△ABC 中，已知bc b c a =--2222123且32π=A △ABC 是三角形. 4、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于；最大角的余弦值为 ; △ABC 的面积为 ;5、在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A 且14=+c b 则△ABC 的面积为。

6、在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=_______；7、已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求边c 及S △ABC ‘《不等式》（理）一、一元二次不等式的解法：1、解一元二次不等式的步骤：当0a ≠时求解不等式：20ax bx c ++>（或20axbx c ++<）（1）将原不等式化为一般式（a ）.（2）判断的符号.（3）求（4）根据写解集. 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于，小于。

2、分式不等式求解步骤：，，，，如：⇒>a x g x f )()(⇒≤a x g x f )()( 3、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔4、[]n m x x f a ,)(∈<，恒成立⇔[]n m x x f a ,)(∈≥，恒成立⇔三．线性规划1、解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

高中数学必修5第一章：解三角形

外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一：根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.

高二数学必修五第一章解三角形

高二数学必修五第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。

②.n a 的求法：i.归纳法。

ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。

iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。

iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =AB ．C ．2D ．42．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，(b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（）．A ．133,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．133,244⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（）A ．12+B ．C ．D ．6+7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（）A ．80B ．803C ．160D ．8058．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（） A ．24B ．22C ．1D ．211．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若8cos 3ABC bc A S =△，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 17．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____ 18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．20．对于ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； ②若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形； ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； ④若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)．其中正确说法的序号是_____．三、解答题21．在①tan 2tan B C =，②22312b a -=，③cos 2cos b C c B =三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 及其对边,,a b c ，若2c =，且满足___________.求ABC ∆的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 23．已知ABC 中，51tan 43A π⎫⎛-=⎪⎝⎭．（1）求2sin cos2A A +的值；（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值． 24．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在①()cos cos 3cos 0C A A B +-=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2.∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，解得a =，∴24sin 2a R A === ，解得R =2.本题选择C 选项. 2．D解析：D 【分析】先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D【分析】根据角A的平分线交BC于E，满足0AE BC⋅=，得到ABC是等腰三角形，再由2221sin24+-==ABCa b cS ab C，结合余弦定理求解.【详解】因为0AE BC⋅=，所以AE BC⊥，又因为AE是角A的平分线，所以ABC是等腰三角形，又2221sin24+-==ABCa b cS ab C，所以2221sin cos22a b cab C Cab+-==，因为()0,Cπ∈，所以4Cπ,所以ABC是等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.4．D解析：D【分析】根据cos cosa Ab B=，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cosA AB B=，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为cos cosa Ab B=，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形，故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由正弦定理进行边角互化可得9c b=，由余弦定理可得22819cos 18b b A +-=，进而可求出cos A 的范围【详解】因为3a =，223cos cos a b B b A =+，所以22cos cos a ab B b A =+，所以()22sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin A A B B B A B A B B C =+=+=，即29a bc ==，所以9c b=，则22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==．因为(b ∈，所以()212,18b ∈，81y x x=+在()12,18上递增, 所以22817545,42b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则133cos ,244A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用b 表示cos A .6．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =， 2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是623a b c ++=+.故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案；【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒，由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ， ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ．考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+，因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-，所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =，故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值．【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案. 【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC ∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 1222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈sin 2sin cos 2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】由三角形的面积公式结合等式可求得然后利用二倍角余弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值【详解】因为所以则故故答案为：【点睛】本题考查利用三角形的面积公式二倍角余弦公式诱导公式以及弦化切求值考查解析：12-【分析】由三角形的面积公式结合等式8cos 3ABC bc A S =△，可求得3tan 4A =，然后利用二倍角余弦公式、结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为881cos sin 332ABC bc A S bc A ==⨯△，所以4cos sin 3A A =，则3tan 4A =，故()()22cos sin 1cos sin sin cos sin cos 22sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A A A A A A A A A π++-+++--===---- tan 112tan 12A A -==--. 故答案为：12-.【点睛】本题考查利用三角形的面积公式、二倍角余弦公式、诱导公式以及弦化切求值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值．【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=，整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=，即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①，由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．19．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长．【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--， CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ．故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．20．③④【分析】举出反例可判断①②；由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④；即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析：③④ 【分析】举出反例可判断①、②；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断④；即可得解.【详解】对于①，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故①错误；对于②，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故②错误；对于③，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， ∴222sin sin sin A B C +<，∴根据正弦定理得222a b c +<，∵222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故③正确；对于④，∵,4,6C c a x π===，∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，∴8sin x A =，由题意566A ππ<<，且2A π≠，∴1sin 12A <<，∴48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题21．条件选择见解析；最大值为3. 【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到22312b a -=，再由余弦定理得28cos 2b A b -=，进而求得sin A ，利用面积公式求得ABCS ∆=，即可求解. 【详解】选择条件①：因为tan 2tan B C =，所以sin cos 2sin cos B C C B =，根据正弦定理可得cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯，又由2c =，可得22312b a -=，根据余弦定理得22228cos 22b c a b A bc b+--==，则sin A ===，所以1sin 22ABCSbc A b b ∆==⨯=，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件②：因为22312b a -=，由余弦定理得22228cos 22b c a b A hc h+--==，所以sin A ===，1sin 22ABC S bc A b b∆==⨯=，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3.选择条件③：因为cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯，因为2c =，可得22312b a -=，又由余弦定理得：22228cos 22b c a b A bc b+--==，所以sin 2A b===，1sin 2ABCS bc A b ∆===，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=；（2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 2224ABCSac B ==⨯=. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 23．（1）45；（2）2. 【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，1tan 2A =，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计算可得；【详解】解：（1）5tan tan 44A A ππ⎫⎫⎛⎛-=-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3A A -==+，解得1tan 2A =，故2222cos sin cos2sin cos AA A A A+=+214tan 15A ==+．（2）由（1）可知，sin 1tan cos 2A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；联立①②，解得sin A =，cos A =．又1sin 42S bc A ==，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．24．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=．因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==．因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-，所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==．因为()0,πC ∈，所以sin C =，在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③．因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =．因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-．在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<，所以sin20C >，所以cos20C >．又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =，所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b C b C b C c B C C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==．因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠ 所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =，所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =，所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12；若选择②：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=，解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去），又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，代入上式得sin sin cos 3C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。

数学-高中必修五-解三角形-经典题目.doc

解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

Q A:B :C1: 2: 3,而A B C .解：A, B ,C ,6 3 21 3a :b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.6 3 2 2 2【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：a b c2 6 sin A sin B sin C sin 30,∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） .∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 22 6 cos(75 °-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值22 6 =8+43 ；②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，∴＞22 6 cos75 °=22 6 ×6 24= 2+ 6 .综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 >考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA，判断三角形ABC的形状。

新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议

新课标必修数学5“解三角形"内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。

这些内容都是高中数学中的传统内容。

其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容,一直被保留下来。

在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》(以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》(以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。

本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议,供大家参考。

一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形"，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。

而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中,独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。

2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题.(2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力.（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。

《标准》对“解三角形"的教学要求是:（1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题"的要求,而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思

苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思一、教学背景《解三角形》是高中数学必修5中的重要章节，这一章的重点是如何通过已知角度或边求解三角形的其他未知角度和边长。

在这一章中，学生需要掌握三角函数的基本概念和运用，特别是正弦、余弦和正切，同时还需要掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

本节课程旨在帮助学生深刻理解三角函数的概念和应用，掌握几何意义和图形意义，同时加强学生的数学思维和推理能力。

二、教学目标1.理解三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦和正切。

2.掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

3.能够运用所学的知识，解决实际问题。

4.提高学生的数学思维和推理能力。

三、教学内容1. 三角函数的基本概念正弦、余弦和正切•正弦函数：$\\sin A = \\frac{a}{c}$•余弦函数：$\\cos A = \\frac{b}{c}$•正切函数：$\\tan A = \\frac{a}{b}$其中，a、b、c分别表示三角形的三条边，A表示对应的内角。

2. 三角函数的运算法则和三角三边的关系三角函数的运算法则•$\\sin (A \\pm B) = \\sin A \\cos B \\pm \\cos A \\sin B$•$\\cos (A \\pm B) = \\cos A \\cos B \\mp \\sin A \\sin B$•$\\tan (A \\pm B) = \\frac{\\tan A \\pm \\tan B}{1 \\mp \\tan A \\tan B}$三角三边的关系•正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} =\\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$•余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cos A$•正切定理：$\\tan \\frac{A}{2} = \\frac{r}{s - a}$其中，R表示三角形外接圆半径，r表示三角形内切圆半径，s表示三角形半周长。

高一必修5解三角形练习题及答案

高一必修5解三角形练习题及答案第一章解三角形一、选择题BC中，(1)b1．在A2ainB;(2)(abc)(bca)(22)bc,(3)a32,c3,C300;(4)inBbcoAa;则可求得角A450的是（）A．（1）、（2）、（4）B．（1）、（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）2．在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b10，A45，C70B．a60，c48，B60C．a14，b16，A45D．a7，b5，A803．在ABC中，若bc21，C45，B30，则（）A．b1,c2；B．b2,c1；C．b222,c12；D．b1222,c24．在△ABC中，已知coA513，inB35，则coC的值为（）A.1665或5665B.16561665C.65D.655．如果满足ABC60，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A．k83B．0k12C．k12D．0k12或k83二、填空题6．在ABC中，a5，A60，C15，则此三角形的最大边的长为．7．在ABC中，已知b3，c33，B30，则a__．8．若钝角三角形三边长为a1、a2、a3，则a的取值范围是．9．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为10.在△ABC中，（1）若inCin(BA)in2A，则△ABC的形状是.（2）若inA=inBinCcoBcoC，则△ABC的形状是.）三、解答题11.已知在ABC中,coA63,a,b,c分别是角A,B,C所对的边.(Ⅰ)求tan2A；(Ⅱ)若in(2B)223,c22,求ABC的面积.解:12.在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a2c2b28bc5，a=3,△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。

⑴求角A的正弦值；⑵求边b、c；⑶求d的取值范围解：213．在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acoC,bcoB,ccoA成等差数列.（I）求B的值；（II）求2in2Aco(AC)的范围。

必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美

专题02 解三角形【重难点知识点网络】：【正弦定理】 2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===②2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++【三角形常用结论】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔>（2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角） ()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan b y a b x aϕϕ=+=+=其中【内角和定理】三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=题型一：正余弦定理选择例1．（1）中，角所对的边分别为．若，则边【解析】，即，解得或（舍去）．（2）．在中，，，则的外接圆面积为【解析】因为在中，，，所以，又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为. （3）．（2020·四川省都江堰中学高一期中）在ABC中，已知60,B b==sin sina bA B+=+（）.A．2 B．12C D．3【详解】由题意知60,B b==2sin sin60bB==根据正弦定理，可得2sin sina bA B===，所以2sin sin sina b aA B A+==+.故选：A.【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC中，若角π4B=，AC=AB=C=（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3【详解】由正弦定理可得：sin sinAC ABB C=，则sinsin22AB BCAC===，ABC∆,,A B C,,a b c3,60a b A===︒c= 2222cosa cb cb A=+-213923cos60c c⇒=+-⨯⨯︒2340c c--=4c= 1c=-ABC c=75A=︒45B=︒ABCABC75A=︒45B=︒60C=︒2c=r21sincrC===ABC214S rππ==因为AC AB <，所以B C <，故3C π=或23π.故选：D ．（2）已知分别为三个内角的对边且，则=____【解析】因为，所以，所以,,.故答案为. （3）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；再由正弦定理可得：，解得，由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：. 题型二：边角互换例2．（1）（2020·全国高二课时练习）在ABC 中，若cos sin c A a C =，则角A 的值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【详解】cos sin sin cos sin sin c A a C C A A C =⇒=，0C π<<，sin 0C ∴≠，cos sin A A ∴=，0A π<<，且2A π≠，tan 1A ∴= ，4A π∴=，故选：B （2）（2021·四川成都市·高三月考（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果sin sin sin A b c B C b a+=--，那么cos C 的值为（） A ．12 B ．2 C ．23 D ．2【详解】∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b c b c b a+=--，即：()()()a b a b c b c -=+- ,,a b c ABC ,,A B C 222b c a +=A ∠222b c a +-=222b c a +-=cos A =6A π∴=6πABC ∆A B C a b c 8b =3c =60A =︒ABC ∆222249a b c bccosA =+-=7a =2a R sinA =R =2493S R ππ==493π整理得：222c a b ab =+-，对照余弦定理可得1cos 2C =故选：A ．（3）中，分别是角对边,若,且，则的值为__ 【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得．【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·树德怀远中学高一期中）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且3b c ==，则a =（）A ．1 BC． D ．4【详解】2cos 2,b C c a += 由正弦定理可得()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin ,B C C A B C B C B C +==+=+sin 2cos sin ,sin 0,0,.3C B C C B B ππ∴=≠<<∴=由余弦定理可得2222cos ,13,3b a c ac B b c =+-== ，解得 4.a = 故选D（2）（2019·四川成都市·双流中学高二期中（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且cos22sin sin 1B A C +=，则a cb +的值为（） A ．1B C D ．2 【详解】cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，()sin 2sin cos sin A C B B B ∴+==，sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， ABC ∆,,a b c ,,A B C sin cos 0b A B =2b ac =a c b +ABC ∆sin cos0b A B =2b ac =sin sin cos 0B A A B-=(0,)A π∈sin 0A>sin 0B B =tan B =3B π=222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-()224b a c =+2a c b+=0B π<<，3B π∴=，cos22sin sin 1B A C +=，32sin sin 2A C ∴=， 232sin sin 34A A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭23cos sin 2A A A +=，11sin 2cos 2222A A -=，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，3ABC π∴===， ∴ABC ∆为正三角形，则2a c b +=.故选：D（3）（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆2sin b A =，则B 等于（）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或120【详解】32sin a b A =2sin sin A A B =，0180A <<，sin 0A ∴>，可得sin B =，0180B <<，60B ∴=或120.故选：D. 题型三：三角形面积例3．（1）（2019·四川成都市·双流中学高三月考（文））在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2,60,b B ABC ==︒∆a c +=( )A B ．4 C ．2 D ．4+【详解】因为ABC ∆中，2,60b B ==︒，所以ABC ∆的面积为11sin 222S ac B ac ==⋅=，则4ac =又2222cos b a c ac B =+-，即()()22224312a c ac a c ac a c =+-=+-=+-即()216a c +=，解得4a c +=，故选：B（2）（2020·四川宜宾市·高三二模（文））在ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（）A B ． C ．1 D ．3【详解】()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠，因为ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABDS AB BD B ∴=⋅⋅=A ．（3）（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224a b c --，则角A 等于（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒ 【详解】因为2224a b c --12bcsinA =，且2222a b c bccosA =+-，故可得sinA cosA =-，即1tanA =-，又因为()0,A π∈，故可得34A π=.故选：D. 【变式训练】．（1）（2021·全国高三专题练习（理））已知ABC 中，内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（）A ．B ．8C ．2D ．12【详解】11sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯=，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.（2）中，，，，，则__________．【解析】由题意，在中，，所以的面积为，解得，由余弦定理得，又由，所以. （3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，则的面积为【解析】由余弦定理可得，即，解得，因此，题型四：三角形形状判断例4．（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B.（2）（2020·四川省泸县第四中学高一期中）在ABC 中，cos cos a b A B c ++=，则ABC 是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形ABC ∆AB =1AC =30B =ABC ∆C =ABC ∆01,30AB AC B ===ABC ∆111sin 222S AB BC B BC =⋅⋅=⨯=2BC =2221431cos 22142AC BC AB C AC BC +-+-===⋅⨯⨯0(0,180)C ∈60C =︒ABC ∆a b c A B C 2b c =a =3A π=ABC ∆2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯236c =c =2b c ==11sin 22ABC S bc A ∆==⨯=【详解】因为cos cos a b A B c ++=，sin sin sin a b A B c C++= 所以sin sin cos cos sin A B A B C++=，所以sin cos sin cos sin sin C A C B A B +=+ 因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++即()()sin cos sin cos sin sin C A C B B C A C +=+++所以sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++所以sin cos sin cos 0B C A C +=，因为sin sin 0B A +≠，所以cos 0C =因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形，故选：D（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））△ABC 中，如果tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，那么△ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【详解】因为tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，所以由正弦定理可得sin sin sin tan tan tan A B C A B C ==，所以cos cos cos A B C ==，又函数cos y x =在(0,)π上为递减函数，且(0,),(0,),(0,)A B C πππ∈∈∈，所以A B C ==，所以△ABC 为等边三角形，故选：B【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b c A =，则ABC 的形状为（）．A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【详解】因为cos b c A =且222cos 2b c a A bc+-=，所以222222cos 22b c a b c a b c A c bc b +-+-==⨯=，即有222c a b =+，所以可判断ABC 为直角三角形，故选：B（2）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高一月考）在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形【详解】已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒，所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D ．（3）（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知ABC 中，()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．无法确定.【详解】因为()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，由两角和差的正弦公式可得2sin cos sin 2B A A =，所以sin cos sin cos B A A A =，若cos =0A ，即2=A π时，此时ABC 是直角三角形；若cos 0A ≠，即sin sin B A =，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形；综上，ABC 是等腰三角形或直角三角形；故选：C.题型五：三角形个数例5．（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A．k = B ．012k <≤ C ．12k ≥ D ．012k <≤或k =【详解】由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解得12sin 60k ===︒012k <≤，故选：D （2）（2020·遂宁市·高一期末）已知ABC中，4a b B π===，那么满足条件的ABC（）A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解【详解】由题可知：4a b B π===，sin 2==a B <=<b a 所以可知ABC 有两个解，故选：B（3）．8．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A ．k =B ．012k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =【详解】如图，由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰故选：D【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期中（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，已知60A =︒，b =a 满足的条件是（）A ．0a <<B ．0<<3aC ．3a <<D ．a ≥3a =【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3，∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．（2）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC ∆中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【解析】因为sin 12c B b ⋅=<<=，所以三角形只有一个解，故选B. （3）（2020·重庆市黔江新华中学校高一期中）已知满足30C =，4AB =，AC b =的ABC ∆恰有一个，那么b 的取值范围是_________. 【详解】根据正弦定理，sin sin 8b C bB c ==，若三角形有一解，即B 仅有一个解，所以0sin sin B C <≤ 或sin 1B =，即0b c <≤或18b=，解得(]{}0,48b ∈⋃.因此，b 的取值范围是(]{}0,48⋃.题型六：取值范围例6．（1）（2020·全国高三专题练习）在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（）A ．(2, B ．C ．4) D ．【详解】由题得3C B A A ππ=--=-，因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 26422032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.选：B. （2）．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B．(2,C．D．4)【详解】在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则cos 22A <<，因为2a =，2B A =，所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b b A B A A ==，得4cos b A =，因为cos 22A <<，所以4cos A <<b <<b的取值范围为.故选：C.【变式训练】．（1）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2ab +b 2＝1，c ＝1，a ﹣b 的取值范围为_____．【解析】因为，，所以.. 因为，所以.又因为，所以，，.因为，所以.，所以（3）在中，，，则角的取值范围是（）A ．B．C ．D ．【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故题型七：射影定理221a b +=1c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-===02C <<π6C π=12sin sin sin 6a b A B π===2sin a A =2sin bB =56B A π=-2sin b A B -=-52sin()6A A π=--552(sin cos cos sin )66A A A ππ=--cos 2sin()6A A A π=-=-025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈ABC ∆1AB =2BC =C 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin AB BC C A =1sin sin 2C A =10sin 2C <≤AB BC <C 0,6C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例7.（2020·四川省广元市八二一中学高一期中）在ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，．已知cos cos 2b C c B b +=，则ba=______ ．【详解】将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即()sin 2sin B C B +=，∵()sin sin B C A +=，∴sin 2sin A B =，可得：2a b =，则12b a =，故答案为12．【变式训练】．（2020·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，cos 3C =，1sin 3C =，即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π 题型八：解析几何中运用例8．（1）如图,在,已知点在边上,,,,则的长为【解析】由题意， ∴，．（2）的两边长分别为1，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为【解析】，设，在中，，即，①ABC ∆D BC AD AC ⊥sin 3BAC ∠=AB =3AD =BD sin()cos 23BAD BAD π∠+==∠2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠2232333=+-⨯⨯=BD =ABC ∆1,1AB AC AD ===BD CD x ==ABD ∆2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠2112cos x x ADB =+-∠在中，同理可得，②，①+②得，为等边三角形，，的外接圆直径为 .（3）（2020·全国高三专题练习）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin45C DAC ∴=∠+∠==.【变式训练】．（1）如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．【解析】连接BD ，在中，，在中，，所以=ACD ∆2312cos x x ADC =+-∠,cos cos 0ADB ADC ADB ADC π∠+∠=∠+∠=2422,1,x x ABD =+=∆3Bπ=ABC ∆2sin BCB==A B C D ABCD 180A C +=︒6AB =4BC =5CD =5AD =ABCD ABD ∆2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-BCD ∆2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-6060cos A -，因为，所以，所以，则，所以四边形面积（2）四边形中，，，，，，则的长为______【解析】连接AC ,设,则，故在中，，，又在中由余弦定理有,解得即.（3）在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则4141cos C -180A C +=︒cos cos A C =-1cos 5A =sin 5A =ABCD 11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯1165452525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ABCD 4AB =5BC =3CD =90ABC ∠=︒120BCD ∠=︒AD ACB θ∠=120ACD θ∠=-Rt ABC ∆sin θθ==()11cos 120cos sin 2222θθθ-=-+=-+=ACD ∆()2223cos 120AD θ+--==265AD =-AD =ABC ∆45B =︒D BC 75,1,BAD DC AC ∠=︒==AB =0120ADC ∠=22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅260AD AD +-=2AD =060ADC ∠=00sin 60sin 45AB AD=. 考点八：综合运用例8．（1）在中，，向量在上的投影的数量为，则【解析】∵向量在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．② 由①②得，∵为的内角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴（2）（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=．（1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．【详解】（1）cos (2)cos 0a C c b A ++=，由正弦定理可得：sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ++=，sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，sin()2sin cos 0A C B A ++=，sin 2sin cos 0B B A +=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈，23A π∴=．（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2212()22cos3b c bc bc π∴=+--，即有1216bc =-，4bc ∴=，故ABC 的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 02sin 60sin 45AD AB ===ABC ∆3AC =AB AC 2,3ABC S ∆-=BC =AB AC 2-||cos 2AB A =-3ABC S ∆=13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==||sin 2AB A =tan 1A =-A ABC ∆34A π=2||3sin 4AB π==ABC ∆2222232cos323(294BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=BC =（3）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）已知向量(sin ,1)m x =，1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a =3c =，且5()2f A =，求角C. 【详解】（1）231cos23()()sin cos 222x f x m n m x x x -=+⋅=+⋅+=++cos 22sin(2)226x x π=-+=-+ 由222()26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈，所以单调递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈（2）由（1）知，51()sin(2)2sin(2)6262f A A A ππ=-+=⇒-=， a c <，(0,)2A π∴∈52(,)666A πππ∴-∈-，266A ππ∴-=，6A π∴=，于是，由正弦定理，3sin sin sin sin 2a c C A C C =⇒=⇒=，3sin 2c A a c ⨯=<<，∴两个解均成立，3C π∴=或23π 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·（理））在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2sin a C c A =．（1）求C∠的大小；（2）若2c a b ==，求ABC 的面积．【详解】（1）由tan 2sin a C c A =得sin 2sin cos a CA c C⋅=，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=，又(0,),sin 0A A π∈≠, ∴1cos 2C =,∵0C π<<, ∴3C π=（2）∵2222cos c a b ab C =+-，且2a b =．∴2222142232b b b b b =+-⋅⋅⋅=，∴2b =，∴4a =，∴1sin 2ABCSab C ==（2）（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考（理））已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的取值范围.【详解】（1）()211cos2cos sin sin 222xf x x x x x +==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期T π=，由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）∵sin 2322B f B π⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====∴11sin sin sin 22ABC S ac B A C B A C ==⋅⋅=△221sin (sin )18sin cos 322A A A A A A A Aπ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭1cos29sin 2226A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<，∴(ABC S ∈△ （3）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos 5A =，sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【详解】在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos A =，得sin 5A ===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C A C π==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，C C C =+．所以sin 3cos C C =②．如果cos 0C =，则sin 0C =与22sin cos 1C C +=③矛盾，所以cos 0C ≠．所以sin tan 3cos CC C==．（2）因为0C π<<，由tan 30C =>，得02C <<π，则sin 0C >，cos 0C >．将（1）中②代入（1）中③解得：sin10C=，cos10C=．于是sin102B C===．将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．课后训练1.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（理））在ABC∆中，若sin cosA Ba b=，则角B为（）A．6πB．4πC．3πD．2π【解析】因为sin cosA Ba b=,所以cos sin,tan1,4B BB Bb bπ=∴=∴=.2.（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（理））设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosb cBa+=，则A∠的大小为（）A．30B．60︒C．120︒D．150︒【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin2sin2cossinB CBA+=，即sin2sin2cos sinB C B A+=，因为()C A Bπ=-+,∴sin2sin()sin2sin cos2cos sin2cos sinB A B B A B A B B A++=++=，sin2cos sin0B A B∴+=，sin0B ≠，12cos0A∴+=，解得1cos2A=-，(0,180)A∈︒︒，120A∴=︒.故选：C3.（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在ABC中，60B=︒，1a=，ABCABC 外接圆面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．3π【详解】在ABC 中，11sin 1sin 60222S ac B c ==⨯⨯⨯︒=，则2c =，根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-2212212cos603=+-⨯⨯⨯︒=，则b =2sin sin 60b R B ==︒，则1R =， ∴外接圆面积221S R πππ==⨯=．故选：C4.（2020·四川眉山市·高一期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB =CB 在CA 方向上的投影为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】因为cos cos 2cos a B b A c C ，所以sin cos sin cos sin cos A B B A C C += ，即()sin cos A B C C +=，即sin sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos C =，所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 451BC C ⋅=︒=．故选：A ． 5.（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=．故选：C ． 6.（2019·四川成都市·树德中学高二开学考试）如果满足条件：3ABC π∠=，12AC =，BC k =的ABC ∆恰有两个，那么实数k 的取值范围是（）A ．012k <≤B ．12k ≥C ．12k <<D ．012k <≤或k = 【详解】要使满足条件的ABC ∆恰有两个，只需满足sin 12k ABC k ∠<<，即12k k <<，所以12k <<C 7.（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos B Ab a=，则ABC 的形状一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【详解】因为cos cos B A b a=，由正弦定理得cos cos sin sin B AB A =，所以sin cos cos sin A B A B =，即sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：A8.（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a =，2A B =，则cos B =( )A ．3B C D ．6【解析】∵在ABC 中a =，∴由正弦定理可得sin A B =①，又∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==②，由①②可得2sin cos B B B =，可得cos B =，故选B.9.（2020·四川成都市·高一期末）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为ABCS =△7a =，8b =，9c =，则ABC 的内切圆半径为（）A BCD【详解】由已知条件可知：ABCS =△7a =，8b =，9c =，所以ABCS ==△()12ABC S a b c r =++⨯△，则()17892r ++⨯=r =故选：D. 10.（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【详解】在ABC ∆中，15030,753045.1000603o o o oBAC ACB AB ∠=∠=-==⨯=根据正弦定理，503sin 45sin 30o o BC BC =∴=,sin 75sin(4530)11.5oo o BC ∴=+≈ 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km .故选：C11.（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC DB =，则sin C 的值为（）AB．6CD．6【详解】设AB x =，则,,AD x BD x BC x ===，在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅，所以sin =A ，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BD ADB A=∠，则sin sin 233AB x ADB A x BD ∠==⨯=，所以sin BDC ∠=在BDC 中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =∠，则sin sin x BD BDC C BC ⋅∠===D11.（2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.故答案为2． 12.（2019·四川省成都市第八中学校高二期中（理））已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =，若()sin sin C A B +-=sin 2B ，则ABC 的面积为______．【详解】∵在ABC 中，()sin sin sin 2C A B B +-=，则()()sin sin 2sin cos B A A B A B ++-=，∴2sin cos 2sin cos A B B B =，故有sin sin A B =或cos 0B =．①sin sin A B =，则有a b =，又1c =，π3C =．在ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入整理可得，21a =即1a b ==，此时，1sin 24ABC S ab C ==△．②cos 0B =即π2B =，ABC 为直角三角形，又1c =，π3C =，∴3a =，3b =，此时11236ABC S =⨯⨯=△．故答案为：413．（2020·四川成都市·高一期中（理））已知函数()2cos(2)2cos 213f x x x π=+-+，若ABC 为锐角三角形且()0f A =，则b c的取值范围为_____.【详解】()2cos 2cos2sin 2sin2cos 2133f x x x x ππ=⋅-⋅-+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭()2sin 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，72666A πππ∴<+<则5266A ππ+=，3A π=，1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 62C ππ<<，tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭，则302<<，11,222⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 即bc 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭14.（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）如图，海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处行驶到D 处时，若灯塔B 在方位角120︒的方向上，则灯塔C 与D 处之间的距离为_______海里.【详解】在ABD∆中,75,60,45AB DAB ADB ABD =∠=∠=∠=由正弦定理可得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠,代入可得sin 60sin 45AD=解得sin 4524sin 60AD ==在ACD ∆中AC =,由余弦定理可得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠代入可得21925762242CD =+-⨯⨯2192CD = 所以CD=:15.（2020·四川省泸县第一中学高一月考）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a C b C c B =+.（1）求角C ；（2）若8b =，4c a =+，求ABC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，由2cos cos cos a C b C c B =+，可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=，因为A 为ABC 内角，所以sin 0A >，所以1cos 2C =因为C 为ABC 内角，所以3C π=，（2）在ABC 中，8b =，4c a =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()2224828cos3a a a π+=+-⨯⨯,解得3a =，所以11sin 38sin 223ABCSab C π==⨯⨯⨯=. 16.（2020·四川成都市·高一期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且角C 是锐角，若ABC的外接圆半径为R ，c =.（1）求角C ；（2）若4ABC S =△，求ABC 的周长.【详解】（1）由题知：2sin c R C =，所以sin =C解得1sin 2C =，又角C 是锐角，所以6C π=.（2）因为1sin 26△π==ABC S ab ，所以ab =.又因为2222cos 6c a b ab π=+-，所以()22232=+=+-a b a b ab ，即()(22123+=+=a b ，3+=+a b所以ABC 的周长为3a b c ++=+17.在中，，，分别为角，，所对边，若. （1）求角的大小.（2）若，求周长的取值范围.【解析】（1）由正弦定理知：，即由余弦定理知：，因此（2）由正弦定理知：，则，故，则，故，因此18.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2)cos cosa c Bb C-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2b=，求ABC∆的面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）()2cos cosa c Bb C-=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cosA CB B C-=()2sin cos sin cos sincos sin sinA B C B B C B C A∴=+=+=()0,Aπ∈，sin0A∴≠，1cos2B∴=，()0,Bπ∈，3Bπ∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sinsinb AaB=，a A∴==，同理：c C=ABC∆a b c A B C(sin sin)sin sina A B c Cb B+=-C c=ABC∆22()a abc b+=-222a b c ab+-=-2221cos22a b cCab+-==-23Cπ=4sin sin sina b cA B C====4sina A=4sinb B=4sin4sinABCC a b c A B∆=++=++24sin4sin()4sin4sin3A A C A Aπ⎛⎫=+++=+++⎪⎝⎭2sin4sin3A A Aπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭0,3Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin3Aπ⎫⎛⎫+∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABCC∆∈+1sin 1s in sin 233in 223ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=⨯21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭203C π<<，72666C πππ∴-<-<，1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(19．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝23π，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝23π，EC .(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长.【详解】(1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin BE BCE ∠＝sin CE B，因为B ＝23π，BE ＝1，CE ，所以sin ∠BCE ＝sin BE B CE ⋅＝14.(2)因为∠CED ＝B ＝23π，所以∠DEA ＝∠BCE ，所以cos ∠DEA ＝14.因为2A π=，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝cos AEDEA∠.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2××12⎛⎫-⎪⎝⎭＝49.所以CD ＝7.20.（2020·四川成都市·高一期末（文））如图，在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,B AC D ∠==是边AB 上一点，所以由余弦定理得：(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC ==+-⋅∠=+-⋅≥⋅所以(202AB BC ⋅≤=+，所以(1sinB 522ABCS AB BC =⋅≤+所以ABC ∆的面积的最大值为5(2+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以11sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯=，所以255sin ,cos θθ，由余弦定理，得，2222cos 204816AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin A =，此时sin sin BC AC A B=，所以sin 4sin AC A BC B ==．所以BC 的长为4 21.（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=,∴AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC =⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6DAC ,∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=,又∵4B π∠= ，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B =∠,2=,∴BC =。

人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件

数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
高效测评知能提升
当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．
答案： B
数学必修5
第一章解三角形
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
自主学习新知突破
合作探究课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°，从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高一数学期末复习专题——解三角形
复习要点
1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
一．正、余弦定理的直接应用：
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
（）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120° 2.（2012广东高考题文科）在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ A. 43 B. 23 C.
3 D. 32 3、在ΔABC 中，若S ΔABC =4
1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 4.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且2b +2c -2a =2bc .则A =________
5．已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33，则=c ．
二．判断三角形的形状
6.若△ABC 的三边分别为,5=a ,11=b 13=c ，则△ABC 为__________三角形。

7.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定（）
A.等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
8、若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是
（）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 9.在△ABC 中acosA=bcosB ，判别三角形的形状
10.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边
（1）若ABC ∆面积,60,2,2
3︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值；（2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．
三．测量问题
11．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003
m
13.如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，
则该四边形的面积等于( )
A.3 B ．53 C ．63 D ．73
14如图，从山顶A 望地面上D C ,两点，测得它们的俯角分别为45°和
30°，已知CD =100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（）
A ．100米
B ．350米
C ．250米
D ．)13(50+米
15. 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，
这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在
B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的
距离是（）
A ．27海里
B ．214海里
C ．7海里
D ．14海里
四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用
16. （2008-2009期末统考卷）在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,5,61a b c ===. 求：（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积.
17. （2009-2010期末统考卷）
已知ABC △的周长为31+，且sin sin 3sin A B C +=，ABC △的面积为
3sin 8C ，（1）求边AB 的长；（2）求tan()A B +的值．
18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，且3
1cos =A . （Ⅰ）求A C B 2c o s )c o s (++的值；（Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.
高一数学解三角形复习专题答案
1．B 2.B 3。

45° 4. 45° 5. 13 6。

钝角三角形
7．C 8。

B 9。

等腰或直角三角形
10解：（1）23sin 21==∆A bc S ABC ，2
360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b 由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以3=a
（2）由余弦定理得：2222
222c b a ac
b c a c a =+⇒-+⋅=，所以︒=∠90C 。

在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a c
a c
b =⋅=。

所以ABC ∆是等腰直角三角形； 11．A 13。

B 14.D 15. A
16．（1）依题意，由余弦定理得
22222245(61)1c o s 22452
A C
B
C A B C A C B C +-+-===-⋅⨯⨯. ∴120C ∠=︒ . （2）113sin 4553222
ABC S BC AC C ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 17（1）因为ABC △的周长为31+，所以31AB BC AC ++=+．----------1分又sin sin 3sin A B C +=，由正弦定理得3BC AC AB +=．--------------3分两式相减，得1AB =．--------------------------------------------------------------------4分
（2）由于ABC △的面积13sin sin 28BC AC C C ⋅=，得34
BC AC ⋅=，-----6分由余弦定理得222
cos 2AC BC AB C AC BC
+-=⋅ --------------------------------------------8分 22()2123
AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，---------------------10分又0180C <<，所以222sin 1cos 3
C C =-=．-----------------------------12分故tan()tan 22A B C +=-=-.------------------------------------14分
18. (Ⅰ) 911-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴222223
2a bc a c b bc -≥-+=, 又∵3=a ∴.49≤bc 当且仅当 23==c b 时, bc =49,故bc 的最大值是4
9.。