必修五解三角形练习题
完整版高中数学必修5解三角形测试题及答案
高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5分，共60分〕1．在VABC 中，AB 3,A 45,C 75，那么BC=A ．33 B ． 2C ．2D ．3 32．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是．．A ．在VABC 中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ．VABC 中,a=bsin2A=sin2Ba =b+cC ．VABC 中,sin AsinB+sinCD ．VABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大sinAcosB B 的值为3．VABC 中,假设 a,那么bA ．30B ．45C ．60D ．90ab c，那么VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosAcosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当a=4,b=5,A=30时，三角形有一解。
B ．当a=5,b=4,A=60时，三角形有两解。
A 〕B 〕B 〕〔B 〕．等腰直角三角形D 〕C ．当a= 3,b=2,B=120时，三角形有一解。
D ．当a=3 6,A=60时，三角形有一解。
2,b=26．ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,那么∠B 等于〔 B 〕A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°7． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔 D〕A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1,∠B=45°8． 假设 (a+b+c)(b+c － a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC 是〔 B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=,a= 3,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3－1(D)3uur10．〔2021 重庆理〕设ABC 的三个内角A,B,C ，向量m ( 3sinA,sinB)，ruurr1cos(AB)，那么C =〔n(cosB,3cosA)，假设mgnC 〕A ．B ．25C ．D ．66 3 311．等腰△ABC 的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ．3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),那么A 点离地面的高度 AB 等于〔A 〕Aasin sinasin sin A ．)B ．)sin(cos(asin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBD C题号 1234567891011 12答案二、填空题：〔每题 5分，共 20分〕13．a 2，那么 abc _______2_______sinAsinBsinA sinC14．在ABC 1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.中，假设S ABC =4415．〔广东2021理〕点A,B,C 是圆O 上的点， 且AB4, ACB450 ，那么圆O 的面积等于8．rrr rrr16．a2,b4,a 与b 的夹角为3，以a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____2 3________三、解答题：〔 17题10分，其余小题均为 12分〕17．在ABC 中，c 2,b2 3 ,B450，解三角形ABC 。
必修5解三角形测试题与答案
解三角形测试题一、选择题：1、 ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 ° ,则∠ B 等于（）A ．60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°2、切合以下条件的三角形有且只有一个的是（）A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2,∠ A=100 °C ． b=c=1, ∠ B=45 °3、在锐角三角形 ABC 中，有（）A ． cosA>sinB 且 cosB>sinA B ． cosA<sinB 且 cosB<sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinAD ． cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若 (a+b+c)(b+c －a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设 A 、B 、C 为三角形的三内角 ,且方程 (sinB － sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC － sinB)=0 有等根，那么角 B（）A ．B>60°B ．B ≥60°C ． B<60 °D ．B ≤60°6、知足 A=45,c= 6,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为（）A ． 4B ． 2C ． 1D ．不定7、如图： D,C,B 三点在地面同向来线上,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α (α <β),则 A 点离地面的高度AB 等于 （）a sin sin asinsinAA ．)B ．)sin(cos(DCBC ．a sin cos a cos sinsin(D ．cos())8、两灯塔 A,B 与大海察看站C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在C 北偏东30°,B 在 C 南偏东 60° ,则 A,B 之间的相距（）A ． a (km)B ．3 a(km)C ．2 a(km)D ． 2a (km)二、填空题：9、A 为ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=7ABC 是______ 三角形 ., 则1210、在 ABC 中， A=60 °, c:b=8:5, 内切圆的面积为 12π,则外接圆的半径为 _____. 11、在ABC 1中，若 S ABC =(a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.412、在ABC31中， a =5,b = 4,cos(A －B)=,则 cosC=_______.32三、解答题： 13、在ABC 中 ,求分别知足以下条件的三角形形状：① B=60 ° ,b 2=ac ；② b 2tanA=a 2tanB ； ③ sinC=sin A sin B④ (a 2－ b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A － B).cos A cos B14、已知ABC 三个内角1 1= －2 A 、 B 、 C 知足 A+C=2B,+, 求cos AcosCcos BcosAC的值.215、二次方程ax2－ 2 bx+c=0,此中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以 b 为最长 .①证明方程有两个不等实根；②证明两个实根α,β都是正数；③若 a=c,试求 |α－β |的变化范围 .16、海岛O 上有一座海拨1000 米的山 , 山顶上设有一个察看站A, 上午11 时 ,测得一轮船在岛北60°东 C 处 ,俯角30° ,11 时 10 分 ,又测得该船在岛的北60°西 B 处 ,俯角 60° .①这船的速度每小时多少千米？②假如船的航速不变,它何时抵达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千米？参照答案解三角形一、 BDBBD AAC二、（ 9）钝角（ 10）143（ 11）（ 12）1 348三、（ 13）剖析：化简已知条件，找到边角之间的关系，便可判断三角形的形状. ①由余弦定理cos 60 a 2c2b2a2 c 2b21 a 2c2ac ac( a c) 20 ，2ac2ac2a c .由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②由b 2 tan A a 2tan B b 2 sin Acos Aa 2 sin B sin B cos A b2sin 2 Bsin Acos A sin B cos B,sin 2 A sin 2B, cos B sin A cosB a2sin 2 A∴ A=B 或 A+B=90 °，∴△ ABC 为等腰△或 Rt△.③sin C sin Asin B ，由正弦定理：cos A cos Bc(cos A cos B)a b, 再由余弦定理：a2b2 c 2a2 c 2 b 2a b c2bcc2ac(a b)( c 2a22)0,c2a22,ABC为Rt .④由条件变形为sin( A B)a2 b 2b bsin( A B)a2b2sin( A B)sin( A B)a2,sin Acos B sin 2Asin 2 A sin 2B,或.sin( A B)sin( A B)b2cos Asin B sin 2B ABAB90∴△ ABC是等腰△或 Rt△.评论：这种判断三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转变为只含边的式子或只含角的三角函数式，而后化简观察边或角的关系，进而确立三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至能够混用.如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试一试看.（14）剖析：A C2B,B60,A C120再代入三角式解得 A或 C.解：A C2B,180B2B,B60 .A C120 .∴由已知条件化为：1122.cos(120A)cos A22cos(120A)cos Acos Acos(120A),设A C, 则A60, C60.代入上式得：cos(60) 2cos(60) 2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得42 cos22cos3 2 0( 2 cos2)( 22 cos3)0,cos2,即 cos AC2.注：此题有多222种解法 . 即能够从上式中消去B、C 求出cosA，也能够象本例的解法 .还能够用和、差化积的公式，同学们能够试一试 .（ 15）剖析：证明方程有两个不等实根，即只需考证△＞0 即可 .要证α，β为正数，只需证明α β＞ 0 ，α + β＞ 0即可.解：① 在钝角△ ABC中，b边最长 . 1 cos B0且 b2 a 2c22ac cos B,(2b) 24ac2b 24ac2(a2c22ac cosB) 4ac2(a c)24ac cos B0. （此中2( a c) 2且4ac cos B0∴方程有两个不相等的实根. ②2b0,c0,∴两实根α、β都是正数 .a a2b2b2③ a=c 时， a ,() 2 a 222() 244c a21a2(a 2 c 22ac cos B) 4a 24 cos B,1cos B0,0 4 cos B4,所以 0|| 2 .a 2（ 16）剖析：这是一个立体的图形，要注意绘图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA tan 303(千米 )， OC 3 （千米）3则 BC OB 2OC 22OB OC cos12013（千米）3船速 v 131039 （千米/小时）3260②由余弦定理得：cos OBC OB 2BC 2OC 2 5 13,sin EBO sin OBC2OB BC261 (5 13)2339,cos EBO5 13,sin OEB sin[180( EBO30 )]262626sin(EBO30 )sin EBO cos30cos EBO sin 3013 .13再由正弦定理，得OE=1.5 （千米），BE 39 (),BE5（分钟） . 6千米v答：船的速度为 239 千米/小时；假如船的航速不变，它 5 分钟抵达岛的正西方向，此时所在点 E离岛千米.。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B ．473C ．3D ．232．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，3c =，则S =（ ） A ．3 B ．36C ．16D ．3 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且7c =，3C π=，则a =（ ）A ．1B ．221C ．1或221D ．21 4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．65．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．D ．7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，若sin sin CA=22b a -=，则cos C 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．158．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =, 则cos C ( )A ．63B ．3C ．3D ．139．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．210．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．二、填空题13．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.14．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.15．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．16．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.20．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.三、解答题21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．22．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a . 24．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.()cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,a b c =+=ABC 的面积.26．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 2sin 0b A -=. （1）求角B ；（2）若b =，5a c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以13cos ,sin 2C C ==.由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．3．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果． 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴sin3a ==②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =． 综上可得，a =1故选：C ． 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．4．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．5．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin a b B A B =⇒=,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由已知利用正弦定理可得c =，结合已知22b a -=，可求得2b a =，进而根据余弦定理可求cos C 的值． 【详解】sinsin CA=∴由正弦定理可得：ca=c =，又22b a -=，2223b a a ∴-=，可得2b a =，222222431cos 2222a b c a a a C ab a a +-+-∴===⨯，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性9．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+， 又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，设AC 中点为D ，再利用平面向量的线性运算可得1||||2BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，2sin cos sin B B B ∴=，又sin 0B ≠，1cos 2B ∴=，可得3B π=，设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1||||2BD BA BC =+， 平方可得()()2222221112()444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 2221()3()()124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c ==时取等号，故2BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.二、填空题13．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以（或）故答案为（或）【点睛】方解析：135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值. 【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．15．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值． 【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=， ∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++， 依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的， 可得6x x=， 解得6x =BC 6，6． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．16．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦 解析：23)，【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围． 【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<23,cos ()64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos 2cos (2,3)sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以a =，所以22222258cos 233b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==， 所以sin tan 3cos BB B==， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.19．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：23π 【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =， 所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-，因为()0,C π∈，所以23C π=， 则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正 解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 45CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3π；（2） 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解. 【详解】 （1）∵（A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C ＝π， ∴C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1．∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB∠＝sin 3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠＝232sin3π＝4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3． 【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.22．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③．因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=， 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225a c +=．（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.23．（1）3；（2） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =.（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC 的面积为21sin 244bc A c ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 2792327a b c bc A =+-=+-⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键. 24．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++， 所以22(2)(2)a b c b c b c =+++， 即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1cos sin sin 60122B B B =+=+=， 因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形.【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．25．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=； 方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =又()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C=-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -=即2cos sin sin ,A C C =又()0,C π∈，所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A =所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅- ()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 22ABC S bc A == 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.26．（1）3B π=；（2）2. 【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解.（2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵2sin 0b A -=， ∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角， ∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=，∵5a c +=，∴6ac =，∴ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】 方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．。
必修5解三角形练习题和答案
必修5解三角形练习题1.在ABC D 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（，则此三角形一定是（ ）A.等腰直角三角形等腰直角三角形B. 直角三角形直角三角形C. 等腰三角形等腰三角形D. 等腰或直角三角形等腰或直角三角形2. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为的值为A ．38 38B ．3737C C．．36D 36 D．．353.（2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题：1p ：$x ÎR, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R $Î, sin()sin sin x y x y -=- 3p : "x Î[]0,p ,1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y p =Þ+= 其中假命题的是其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p4．已知ABC D 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31s i n=A ，B b sin 3=，则a 等于等于 ．5.5.在△在△在△ABC ABC 中，已知边10c =,cos 4cos 3A b B a ==，求边a 、b b 的长。
的长。
的长。
6.已知A 、B 、C 为ABC D 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC D 的面积．的面积．7．已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m ·n =1．（1）若45A =°，求a 的值；（2）若4=+b a ，求△ABC 的面积．8.8.已知：△已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ×+×=.(1) (1)求角求角C 的大小；的大小；(2) (2)若若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ×= ，求c 边的长边的长. .9.已知ABC D 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =- 2(cos ,cos 2)2A n A = ，且72m n ×= . （1）求角A 的大小；的大小；（2）若3a =，试求当b c ×取得最大值时ABC D 的形状. 1010．在．在ABC D 中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值；的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC D 的面积．的面积．11..已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[p Îx ⑴ 求)(x f 的最大值及此时x 的值；的值；⑵ 求)(x f 在定义域上的单调递增区间。
高一必修5解三角形练习题及答案
、选择题b 1,c 1 2,c210.在厶 ABC 中，(1)若 sinC sin(B A) sin2A ，则△ ABC 的形状是 ________________________(2)若 sinA= sin B sinC ，则△ ABC 的形状是 ____________________________ .cos B cosC 三、解答题第一章解三角形在 ABC 中，（i ）b 2asin B ；（2） (a b c)(b c a)(2」2)bc , (3) a 3.2,C 3,C 300;sin B cos A ⑷ b ;则可求得角A450的是（A . (1)、 (2)、 (4)B . (1)、 (3)、(4)(2)、 (3)D . (2 )、(4)在ABC 中, 根据下列条件解三角形, 其中有两个解的是（ A . b 10, A 45 , C 70B . a 60 , c 48, B 60C . a 14,b 16, A 455, A 80ABC 中,45 ,30 , 2,cC .在厶ABC 中，已知cosA 5 13 sin B 3，则cosC 的值为（516十 56 165616A. —或 —B.—C .D.65 6565 65 65如果满足 ABC 60 , AC 12, BCk 的厶ABC 恰有 -个, k 8亦 B . 0 k 12C.k 12 D . 0k 12 或 k 8 3在ABC 中,60o , C15 ，则此三角形的最大边的长为在ABC 中, 已知b c 33 , 30，则 a若钝角三角形三边长为1、 a2、 3，贝U a 的取值范围是在厶ABC 中，AB=3 ,BC= ,AC=4 , 则边AC 上的高为5. A . 那么k 的取值范围是（二、填空题(I )求B 的值;(II )求 2sin 2 A cos(A C)的范围。
11.已知在ABC 中,cosA fgbc 分别是角A,B,C 所对的边.D ABC 内任一点，点 D 到三边距离之和为 d 。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =AB ．C ．2D ．42．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，(b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）．A ．133,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．133,244⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A ．12+B ．C ．D ．6+7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．80B ．803C ．160D ．8058．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．211．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若8cos 3ABC bc A S =△，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 17．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____ 18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．20．对于ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； ②若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形； ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； ④若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．三、解答题21．在①tan 2tan B C =，②22312b a -=，③cos 2cos b C c B =三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 及其对边,,a b c ，若2c =，且满足___________.求ABC ∆的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 23．已知ABC 中，51tan 43A π⎫⎛-=⎪⎝⎭． （1）求2sin cos2A A +的值；（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值． 24．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在①()cos cos 3cos 0C A A B +-=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2.∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，解得a =，∴24sin 2a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项. 2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D【分析】根据角A的平分线交BC于E，满足0AE BC⋅=，得到ABC是等腰三角形，再由2221sin24+-==ABCa b cS ab C，结合余弦定理求解.【详解】因为0AE BC⋅=，所以AE BC⊥，又因为AE是角A的平分线，所以ABC是等腰三角形，又2221sin24+-==ABCa b cS ab C，所以2221sin cos22a b cab C Cab+-==，因为()0,Cπ∈，所以4Cπ,所以ABC是等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.4．D解析：D【分析】根据cos cosa Ab B=，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cosA AB B=，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为cos cosa Ab B=，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由正弦定理进行边角互化可得9c b=，由余弦定理可得22819cos 18b b A +-=，进而可求出cos A 的范围【详解】因为3a =，223cos cos a b B b A =+，所以22cos cos a ab B b A =+， 所以()22sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin A A B B B A B A B B C =+=+=，即29a bc ==，所以9c b=，则22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==．因为(b ∈，所以()212,18b ∈，81y x x=+在()12,18上递增, 所以22817545,42b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则133cos ,244A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用b 表示cos A .6．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =， 2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是623a b c ++=+.故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒，由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ， ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案. 【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC ∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 1222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈sin 2sin cos 2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】由三角形的面积公式结合等式可求得然后利用二倍角余弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值【详解】因为所以则故故答案为：【点睛】本题考查利用三角形的面积公式二倍角余弦公式诱导公式以及弦化切求值考查解析：12-【分析】由三角形的面积公式结合等式8cos 3ABC bc A S =△，可求得3tan 4A =，然后利用二倍角余弦公式、结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为881cos sin 332ABC bc A S bc A ==⨯△，所以4cos sin 3A A =，则3tan 4A =，故()()22cos sin 1cos sin sin cos sin cos 22sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A A A A A A A A A π++-+++--===---- tan 112tan 12A A -==--. 故答案为：12-.【点睛】 本题考查利用三角形的面积公式、二倍角余弦公式、诱导公式以及弦化切求值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．19．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--， CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．20．③④【分析】举出反例可判断①②；由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④；即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析：③④ 【分析】举出反例可判断①、②；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断④；即可得解.【详解】 对于①，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故①错误； 对于②，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故②错误；对于③，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， ∴222sin sin sin A B C +<，∴根据正弦定理得222a b c +<，∵222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故③正确；对于④，∵,4,6C c a x π===，∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，∴8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，∴1sin 12A <<，∴48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故④正确．故答案为：③④． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题21．条件选择见解析；最大值为3. 【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到22312b a -=，再由余弦定理得28cos 2b A b -=，进而求得sin A ，利用面积公式求得ABCS ∆=，即可求解. 【详解】选择条件①：因为tan 2tan B C =，所以sin cos 2sin cos B C C B =， 根据正弦定理可得cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 又由2c =，可得22312b a -=，根据余弦定理得22228cos 22b c a b A bc b+--==，则sin A ===，所以1sin 22ABCSbc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件②：因为22312b a -=，由余弦定理得22228cos 22b c a b A hc h+--==，所以sin A ===，1sin 22ABC S bc A b b∆==⨯=，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3.选择条件③：因为cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 因为2c =，可得22312b a -=，又由余弦定理得：22228cos 22b c a b A bc b+--==，所以sin 2A b===，1sin 2ABCS bc A b ∆===， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 2224ABCSac B ==⨯=. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 23．（1）45；（2）2. 【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，1tan 2A =，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计算可得； 【详解】 解：（1）5tan tan 44A A ππ⎫⎫⎛⎛-=-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3A A -==+，解得1tan 2A =，故2222cos sin cos2sin cos AA A A A+=+214tan 15A ==+． （2）由（1）可知，sin 1tan cos 2A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；联立①②，解得sin A =，cos A =．又1sin 42S bc A ==，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．24．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③． 因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >．又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b C b C b C c B C C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =． 【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠ 所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，代入上式得sin sin cos 3C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①） 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。
高中数学必修五解三角形测试题及答案
高中数学必修五解三角形测试题及答案1.在三角形ABC中，如果C=90度，a=6，B=30度，那么c-b的值是多少？选项：A。
1 B。
-1 C。
2/3 D。
-2/32.如果A是三角形ABC的内角，那么下列函数中一定取正值的是什么？选项：A。
XXX3.在三角形ABC中，角A和角B都是锐角，并且cosA>sinB，那么三角形ABC的形状是什么？选项：A。
直角三角形 B。
锐角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形4.在等腰三角形中，一条腰上的高为3，这条高与底边的夹角为60度，那么底边的长度是多少？选项：A。
2 B。
3 C。
3/2 D。
2/35.在三角形ABC中，如果b=2sinB，那么角A等于多少？选项：A。
30度或60度 B。
45度或60度 C。
120度或60度 D。
30度或150度6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是多少？选项：A。
90度 B。
120度 C。
135度 D。
150度填空题：1.在直角三角形ABC中，如果C=90度，那么sinAsinB 的最大值是1/4.2.在三角形ABC中，如果a=b+bc+c，那么角A的大小是60度。
3.在三角形ABC中，如果b=2，B=30度，C=135度，那么a的大小是2.4.在三角形ABC中，如果5.在三角形ABC中，如果AB=2(6-2)，C=30度，那么AC+BC的最大值是5.解答题：1.在三角形ABC中，如果acosA+bcosB=ccosC，那么三角形ABC是等腰三角形。
2.在三角形ABC中，证明：b-a/c = c-b/a。
3.在锐角三角形ABC中，证明：XXX>XXX。
4.在三角形ABC中，如果a+c=2b，A-C=π/3，那么sinB 的值是1/2.1.在△ABC中，若 $\log(\sin A) - \log(\cos B) - \log(\sin C) = \log 2$，则△ABC的形状是（）A。
直角三角形 B。
高一必修5解三角形练习题及答案
第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中，a =,03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ． 7．在ABC ∆中，已知3=b ，， 30=B ，则=a _ _． 8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
高一必修5解三角形练习题及答案
高一必修5解三角形练习题及答案第一章解三角形一、选择题BC中，(1)b1．在A2ainB;(2)(abc)(bca)(22)bc,(3)a32,c3,C300;(4)inBbcoAa;则可求得角A450的是（）A．（1）、（2）、（4）B．（1）、（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）2．在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b10，A45，C70B．a60，c48，B60C．a14，b16，A45D．a7，b5，A803．在ABC中，若bc21，C45，B30，则（）A．b1,c2；B．b2,c1；C．b222,c12；D．b1222,c24．在△ABC中，已知coA513，inB35，则coC的值为（）A.1665或5665B.16561665C.65D.655．如果满足ABC60，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A．k83B．0k12C．k12D．0k12或k83二、填空题6．在ABC中，a5，A60，C15，则此三角形的最大边的长为．7．在ABC中，已知b3，c33，B30，则a__．8．若钝角三角形三边长为a1、a2、a3，则a的取值范围是．9．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为10.在△ABC中，（1）若inCin(BA)in2A，则△ABC的形状是.（2）若inA=inBinCcoBcoC，则△ABC的形状是.）三、解答题11.已知在ABC中,coA63,a,b,c分别是角A,B,C所对的边.(Ⅰ)求tan2A；(Ⅱ)若in(2B)223,c22,求ABC的面积.解:12.在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a2c2b28bc5，a=3,△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。
⑴求角A的正弦值；⑵求边b、c；⑶求d的取值范围解：213．在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acoC,bcoB,ccoA成等差数列.（I）求B的值；（II）求2in2Aco(AC)的范围。
必修5解三角形测试题与答案
解三角形测试题一、选择题：1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ） A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA C ．cosA>sinB 且cosB<sinA D ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aAC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).14、已知ΔABC 三个角A 、B 、C 满足A+C=2B,A cos 1+ C cos 1=－ B cos 2 , 求2cos C A -的值.15、二次方程ax2－2bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长.①证明方程有两个不等实根；②证明两个实根α,β都是正数；③若a=c,试求|α－β|的变化围.16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处, 俯角60°.①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？参考答案解三角形一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）3314 （11）4π（12）81三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(b a b a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.（14）分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .∴由已知条件化为：22cos )120cos(.22)120cos(1cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A ),120cos(cos A A -︒设ααα-︒=+︒==-60,60,2C A CA 则.代入上式得：)60cos(α-︒)60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα222cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=∴=+-⇒C A 即ααα. 注：本题有多种解法. 即可以从上式中消去B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.（15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC 中，b 边最长.ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 122222-=--=∆-+=<<-∴且.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a （其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=+aca b αββα ∴两实根α、β都是正数. ③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,12222222a b a a c a bαββααβββααββα2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22222<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B a a B ac c a .（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA 3330tan =(千米)，3=OC （千米） 则313120cos 222=︒⋅-+=OC OB OC OB BC （千米）3926010313=÷=∴v 船速（千米/小时） ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,261352cos 222 =︒+∠-︒=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26135cos ,26393)26135(12EBO OEB EBO.131330sin cos 30cos sin )30sin(=︒⨯∠+︒⨯∠=︒+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639==vBEBE 千米（分钟）. 答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.。
必修五-解三角形练习题
必修五 解三角形练习题一、选择题1. 在△ABC 中, AB ＝5, BC ＝6, AC ＝8, 则△ABC 的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非钝角三角形2．在△ABC 中, 已知a ＝1, b ＝ , A ＝30°, B 为锐角, 那么A, B, C 的大小关系为( )A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B3．在△ABC 中, 已知a ＝8, B ＝60°, C ＝75°, 则b 等于( )A. 4B. 4C. 4D.4．在△ABC 中, A ＝60°, a ＝3, 则 等于( )A. B. C. D. 25．若三角形三边长之比是1: :2, 则其所对角之比是( )A. 1:2:3B. 1: :2C. 1: :D. : :26．在△ABC 中, 若a ＝6, b ＝9, A ＝45°, 则此三角形有( )A. 无解B. 一解C. 两解D. 解的个数不确定7．已知△ABC 的外接圆半径为R, 且2R(sin2A －sin2C)＝( a －b)sinB(其中a, b 分别为A, B 的对边), 那么角C 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8．在△ABC 中, 已知sin2A ＋sin2B －sinAsinB ＝sin2C, 且满足ab ＝4, 则该三角形的面积为( )A. 1B. 2C.D.9．在△ABC 中, A ＝120°, AB ＝5, BC ＝7, 则 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510. 在三角形ABC 中, AB ＝5, AC ＝3, BC ＝7, 则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π311. 有一长为1 km 的斜坡, 它的倾斜角为20°, 现要将倾斜角改为10°, 则坡底要加长( )A. 0.5 kmB. 1 kmC. 1.5 kmD. km12．已知△ABC 中, A, B, C 的对边分别为a, b, c.若a ＝c ＝ ＋ , 且A ＝75°, 则b 为( )二、A. 2 B. 4＋2 C. 4－2 D. －三、填空题13. 在△ABC 中, A ＝60°, C ＝45°, b ＝4, 则此三角形的最小边是____________.14. 在△ABC 中, 若b ＝2a, B ＝A ＋60°, 则A ＝________.四、15. 在△ABC 中, A ＋C ＝2B, BC ＝5, 且△ABC 的面积为10 , 则B ＝________, AB ＝________.五、16．在△ABC 中, 已知(b ＋c) : (c ＋a) : (a ＋b)＝8:9:10, 则sinA:sinB:sinC ＝________.六、解答题(10分)在△ABC 中, 若 ＝ , 判断△ABC 的形状.18. (12分)锐角三角形ABC 中, 边a, b 是方程x2－2 x ＋2＝0的两根, 角A, B 满足2sin(A ＋B)－ ＝0.求:(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积.19. (12分)在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且满足cos ＝ , · ＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6, 求a的值.20．(12分)在△ABC中, 已知内角A＝, 边BC＝2 , 设内角B ＝x, 周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值.21. (12分)△ABC中, A, B, C所对的边分别为a, b, c, tanC＝, sin(B－A)＝cosC.(1)求A, C；(2)若S△ABC＝3＋, 求a, c.。
必修5解三角形练习题
第一章《解三角形》练习题知识点归纳：1．.正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径） 变形：C B A c b a sin :sin :sin ::=. 另：三角形的内切圆半径cb a S r ABC ++=∆2. 2．余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bca cb A 2cos 222-+=； B ac c a b cos 2222-+=； acb c a B 2cos 222-+=； C ab b a c cos 2222-+=. abc b a C 2cos 222-+= 变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=B C A C A B cos sin sin 2sin sin sin 222-+=C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=3．三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）C B A sin )sin(=+ nC B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（3）2cos 2sin C B A =+ 2tan 2cos C B A =+ 2cot 2tan C B A =+ （4）tanA+tanB+tanC= tan A ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔B cos cos <（6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ） （7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC（8）ma=nb ⇔ msinA=nsinB (9)a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC(10)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.一、选择题1．在ABC ∆中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．3182．在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45C ． 60D ． 903．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ）A ． 30或 60B ． 45或 60C ． 60或 120D ． 30或 1504．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．10=b ， 45=A ， 70=CB ．60=a ，48=c ， 60=BC ．7=a ，5=b ， 80=AD ．14=a ，16=b ， 45=A5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．616．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ）A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1507．在ABC ∆中，若 60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ） A ．620 B ．75 C ．51 D ．498．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．33 9．在ABC ∆中，若12+=+c b ， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c bD ．22,221=+=c b 10．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k 二、填空题11．在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于_________________．12．在ABC ∆中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为____________________．13．在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ， 30=B ，则=a __________________．14．在ABC ∆中，12=+b a ， 60=A ，45=B ，则=a _______________，=b _______________．三、解答题15．△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．16．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△ABC 的形状．17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
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一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2）3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（）A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（）A．B．C．D．或10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．二．填空题（共1小题）11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则的值为．三．解答题（共7小题）12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=2，求b+c的值．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=．（1）求角B的大小；（2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．15．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（A﹣C）的取值范围．16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2c﹣b）cosA=acosB．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．17．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2﹣b2=bc，AD为角A 的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）若AD=，求△ABC的面积．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小．（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．（3）求y=sin2A+sin2C的取值范围．必修五22222练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的不必要条件．【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB 是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断．解题的时候注意条件的先后顺序．2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）【分析】先利用正弦定理表示出x，进而根据B=45°可知A+C的值，进而可推断出若有两解，则A有两个值，先看A≤45°时推断出A的补角大于135°，与三角形内角和矛盾，进而可知A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据A的范围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题．考查了学生推理能力和分类讨论的思想的运用．3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2） D．【分析】由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可．【解答】解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜解得，又余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴＜＜故选A【点评】本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的范围确定不准确．4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（）A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA【分析】直接利用正弦定理判断选项即可．【解答】解：由正弦定理可知：csinA=asinB，即sinCsinA=sinBsinB，不恒成立．bcosA=acosB，即sinBcosA=sinAcosB，不恒成立．asinA=bsinB，即sinAsinA=sinBsinB，不恒成立．asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，基本知识的考查．5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理，和差化积公式可得cos（A﹣B）=cosC，A=B+C，或B=A+C，再由三角形内角和公式可得A=，或B=，即可得答案．【解答】解：在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则：sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，∴sin2A+sin2B=sin2C，2sin（A+B）cos（A﹣B）=2sinCcosC，∴cos（A﹣B）=cosC，∴A﹣B=C，或B﹣A=C，即：A=B+C，或B=A+C．再根据A+B+C=π，可得：A=，或B=，故△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到cos（A ﹣B）=cosC 是解题的关键，属于基本知识的考查．6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可．【解答】解：∵cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，∴cosAsinB﹣cosAsinC=0，即cosA（sinB﹣sinC）=0，则cosA=0或sinB﹣sinC=0，即A=或B=C，则△ABC的形状等腰或直角三角形，故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（）A．B．C．D．【分析】通过正弦定理及=求出tanB的值，进而求出B的值．【解答】解：由正弦定理得：，而=，两式相乘得tanB=，由于0＜B＜π，从而B=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力．9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（）A．B．C． D．或【分析】由正弦定理可得，可得，结合b＜a可得，从而可求B．【解答】解：由正弦定理可得，∴==∵b＜a∴∴故选B．【点评】本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用，注意不要漏掉了大边对大角的考虑，不然会错写完B=．10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．二．填空题（共1小题）11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．【分析】先利用面积公式，求出边a=2，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，∴c=2∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴a=∴故答案为2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．三．解答题（共7小题）12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角C；（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=，则cos2A﹣cos2B=（sin2A﹣sin2B），即sin2B﹣cos2B=sin2A﹣cos2A，∴sin（）=sin（）∵a≠b，且A、B∈（0，π），∴A≠B，则≠，∴，解得A+B=，∴C=π﹣A﹣B=；（2）由（1）知，C=，且c=，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则3=a2+b2﹣ab，即a2+b2=ab+3≥2ab，解得ab≤3，∴△ABC的面积S==ab≤，故△ABC的面积的最大值是．【点评】本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=2，求b+c的值．【分析】（I）利用三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出．（II）利用余弦定理及其（I）的结论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC的面积为2，∴=2，∴bcsinA=4．∵bccosA=3，∴3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，联立，解得cos2A=．∵cosA＞0，∴A为锐角，从而cosA=．（Ⅱ）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，∵a=2，由（1）知cosA=，=20，又由（Ⅰ）得bc==5，∴（b+c）2﹣2bc﹣=20．∴（b+c）2=36．∵b+c＞0，∴b+c=6．【点评】本题考查了三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=．（1）求角B的大小；（2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．【分析】（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：==，整理得：sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=；（2）∵△ABC外接圆半径R=，∴由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=+sinA+sin（﹣A）=+sin（A+），∵＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，则三角形周长范围为（，]．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．15．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（A﹣C）的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦即可由（2a﹣c）cosB=bcosC求得cosB=，从而可求△ABC中角B的大小；（2）利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可将2cos2A+cos（A﹣C）转化为1+sin（2A+），再由0＜A＜与正弦函数的单调性即可求2cos2A+cos（A ﹣C）的取值范围．【解答】解：（1）∵在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理==得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，B∈（0，π），∴B=；（2）∵B=，故A+C=，∴C=﹣A，∴2cos2A+cos（A﹣C）=1+cos2A+cos（2A﹣）=1+cos2A﹣cos2A+sin2A=1+cos2A+sin2A=1+sin（2A+），∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴﹣1＜sin（2A+）≤1，∴0＜1+sin（2A+）≤2．即2cos2A+cos（A﹣C）的取值范围是（0，2]．【点评】本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos2A+cos（A﹣C）=1+sin（2A+）是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题．16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2c﹣b）cosA=acosB．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数．（2）利用正弦定理，结合辅助角公式，表示出面积，即可求△ABC面积S的最大值．【解答】解：（1）利用正弦定理可得（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，则2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，所以，故﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由得，所以==，∵，∴，∴△ABC面积S的最大值为﹣﹣12分【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2﹣b2=bc，AD为角A 的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）若AD=，求△ABC的面积．【分析】（1）由a2﹣b2=bc得，由正弦及余弦定理化简整理可得A=2B，由AD为角A的平分线，且S△ACD ：S△ABD=1：2，解得，由正弦定理可得cosB ，即可求得B ，A 的值．（2）由已知可求BD ，CD ，AC ，根据三角形面积公式即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由a 2﹣b 2=bc 得， 由正弦及余弦定理得：，…（2分）可得：2sinAcosB=sinB +sin （A +B ），整理得sin （A ﹣B ）=sinB ，即A=2B ，…（4分） 因为AD 为角A 的平分线，且S △ACD ：S △ABD =1：2， 所以，所以，…（6分）即…（8分） （2）∵所以，…（10分） ∴． …（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（2a +c ）cosB +bcosC=0 （1）求角B 的大小． （2）若b=，a +c=4，求△ABC 的面积．（3）求y=sin 2A +sin 2C 的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B 的大小．（2）利用余弦定理求出ac的值，即可求△ABC的面积．（3）利用倍角公式，结合三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=02sinAcosB+sin（B+C）=0，即2sinAcosB+sinA=0，∴cosB=﹣，即B=．（2）若b=，a+c=4，则b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即13=16﹣2ac+ac，则ac=3，∵a+c=4，∴a=1c=3或a=3，c=1，则△ABC的面积S=．（3）∵B=，∴A+C=，即C=﹣A，0＜A＜，则y=sin2A+sin2C==1﹣[cos2A+cos（﹣2A）]=1﹣[cos2A+sin2A]=1﹣sin（2A+），∵0＜A＜，∴＜2A+＜π，则0＜sin2A+≤1，则1﹣sin（2A+）＜1，即y=sin2A+sin2C的取值范围是y＜1．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，涉及的公式较多．。