用数学的眼光看世界

用数学的眼光看世界

很多俗语，其实都是人们对经验的概括。它们未必很准确，却总是有些道理。如果我们尝试数学的眼光去分析这些俗语，又会得到什么结果呢？

靠山吃山靠水吃水，住在山边的人，馋了上山打猎，病了上山采药，总之是经常与大自然亲密接触。但是，在古代，环境还没有被破坏得这么厉害，山上有老虎是常有的事。尽管一只老虎的领地可达数平方公里，它也不是天天在领地闲逛，所以上山打一次猎遇到老虎的概率也不高。但对于那些天天上山打猎的老猎人来说，在职业生涯中一次老虎都没有遇到过，倒是件稀有的事。所谓“上得山多终遇虎”，大概就是指的这种情况。

假设猎人每次上山打猎，遇到老虎的概率是p，也就是说遇不到老虎的概率是1-p。那么，在m次打猎中，每次都没有遇到过老虎的概率就是(1-p)^m。只要有可能遇到老虎，相当于说p>0，当m越来越大时，(1-p)^m就越来越小，趋向于0，也就是说，尽管每次倒霉遇上老虎的概率不高，但如果每天都去打猎的话，总有一天会倒霉的。

可能有人会反过来想：我每次买彩票，中头奖的概率不是0，那么，总有一天我会中头奖的。这种想法既对又不对，理论上来说，的确一直买下去的话总有一天会中奖，但是大概要买多少遍才会中头奖呢？以36选7为例，中头奖的概率是1/C(36,7)，所以大概要买C(36,7)期会有一期中头奖，那是大概八百万期，也就是大概两万年。两万年后，福彩是否存在还是个问题。

而对于猎人来说，每次上山遇虎的概率显然没有那么低。要是听到虎啸也算遇虎的话，千分之一应该算是一个不错的估算。这样算来，大概打一千次猎就会有一次遇到老虎，对于经常上山的猎人来说大概十多年就有这个数了，难怪“上得山多终遇虎”。

现在环境破坏得严重，要“遇虎“，大概只能到动物园去了，山里反倒非常安全。“盛世出猛虎”之类的，只能是笑话了。

坐吃山空

“坐吃山空”，大概是告诫那些只愿吃闲饭不愿干活的人，无论家里有多少钱，总有一天要吃光的。

在忽略货币变化的前提下，假设家里的存款是M，一顿饭只需要花费m，这些存款也只能支撑M/m顿饭，也就是说是不可能永远吃闲饭吃下去的。

用数学的语言来说，只要m不是0，无论m多么小，将很多同样的m加起来，我们可以得到要多大有多大的数。这种性质叫做实数的阿基米德性质。

利用阿基米德性质，我们能解释0.999...=1的问题。假设p=1-0.999...，如果p不等于0的话，p就是一个正实数。根据阿基米德性质，总存在一个整数M，使得M*p>=1。于是

p=1-p=0.999...。然而，这是不可能的，因为1/M总会在小数点后某一位开始非0，导致1-1/M 不等于0.999...。这个矛盾表明我们的假设是错误的，也就是说其实0.999 (1)

很多我们常见的数都有阿基米德性质，比如说有理数，实数，复数。当然，对于复数来说，“要多大有多大”就要重新定义了，一般是用它的范数——也就是在复平面上与原点的距离——来定义的。在复数里边，就应该讲是可以得到范数要多大有多大的数。

也有一些数是没有阿基米德性质的，比如说p进数。它们的结构普遍比实数的要复杂得多，也能表达更多的东西。

久赌必输

从来只听过开赌场而富甲一方的，没听过有赌徒能通过赌博而过上幸福生活的，反倒是家破人亡的不计其数。在赌场赌博的话，既有抽头，赌局也是对赌场有利的。说难听点，去赌场赌钱就相当于直接送钱给赌场老板。就算是一对一机会均等的赌局，要是一直赌下去的话，也总有一天会输光的。这就是“久赌必输”。

假设每盘赌局的赌注是1，而赌徒的财产是n。在每盘赌局中，赌徒有1/2的概率赢，有1/2的概率输。那么，如果一直这样赌下去的话，赌徒输光的概率是多少呢？

显然，赌徒的钱越多，输光需要的局数也越多。当赌徒的财产是n时，我们记输光的概率为p(n)。因为每次赌局有一半的可能赢，一半的可能输，赢的时候财产变成n+1，输的时候变成n-1，所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2。当n=0的时候，即使不用赌，所有东西都输光了，所以p(0)=1。

所以，p可以看作一个满足下列递推关系的数列：

p(0)=1

p(n+1)=2p(n)-p(n-1)，也就是p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1)

容易验证p(n)=n*p(1)-(n-1)正好符合上面的递推关系。因为p(n)>=0，所以对于任意的n，必定有p(1)>=1-1/n，所以p(1)=1，从而对于所有的n，p(n)=1。在无限次的赌博中，赌徒在某一次赌博中输光的概率是1。

赌徒的赌博轨迹，可以用所谓的马尔可夫链来描述。赌徒的财产作为状态，而每次赌局相当于在这些状态之间转移，赢钱时转移到钱多些的状态，输钱时转移到钱少些的状态。而破产的状态就像个陷阱，是跳不出的，因为已经没有赌本了。如果一条有限的马尔可夫链有这样的“陷阱”状态，而每一个状态都有可能到达“陷阱”的话，在不断的转移中，总有一天会掉到“陷阱”里去。而即使是无限的马尔可夫链，在赌徒和拥有无限本钱的赌场之间，即使是平等的对赌，由于赌徒赌本有限，也总有一天会输光。所谓“久赌必输”，其实说的就是这么一个道理。