深度优先搜索与回溯算法
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
深度优先搜索与回溯算法
深度优先搜索与回溯算法深度优先（Depth First Search，简称DFS）和回溯算法是两种常见的算法，它们可以用来解决图和树相关的问题。
尽管它们在一些情况下可能无法找到最优解，但在许多实际应用中都有着广泛的应用。
深度优先是一种常用的遍历算法，其基本原理是从起始节点开始，沿着图的深度遍历到达最深处，然后回溯到上一层节点，继续遍历其他子节点直到所有节点都被访问过为止。
DFS可以用递归或者栈来实现。
在深度优先中，每个节点只能访问一次，避免陷入死循环。
通常，我们需要维护一个访问过的节点列表，以确保不会重复访问。
深度优先的时间复杂度为O(，V，+，E，)，其中，V，表示图中节点的数量，E，表示边的数量。
在最坏的情况下，DFS需要遍历图中的所有节点和边。
深度优先的一个经典应用是在图中查找特定路径。
它也被广泛应用于迷宫问题、拓扑排序、连通性问题等。
回溯算法是一种通过枚举所有可能解的方法来解决问题的算法。
在过程中，如果当前路径无法达到目标，就返回上一层，寻找另一种可能的路径。
回溯算法通常使用递归来实现。
回溯算法通常包含三个步骤：1.选择：在当前节点选择一个可行的选项，并向前进入下一层节点。
2.约束：在进入下一层之前，检查当前节点的状态是否符合要求，即剪枝操作。
3.撤销选择：在下一层节点完毕后，返回上一层节点，撤销当前选择。
通过不断地进行选择、约束和撤销选择，回溯算法可以遍历所有可能的解空间，并找到满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束条件。
在最坏的情况下，回溯算法需要遍历所有的可能解，因此时间复杂度可以达到指数级。
回溯算法的一个经典应用是在数独游戏中寻找解。
它也被广泛应用于组合优化问题、八皇后问题、0-1背包问题等。
总结起来，深度优先和回溯算法是两种常用的算法，它们在图和树的遍历以及问题求解中有着广泛的应用。
深度优先通过遍历到达最深处再回溯，而回溯算法则是通过枚举所有可能解并进行剪枝来寻找解。
dfs通用步骤-概述说明以及解释
dfs通用步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述DFS（深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，它通过深度优先的策略来遍历图中的所有节点。
在DFS中，从起始节点开始，一直向下访问直到无法继续为止，然后返回到上一个未完成的节点，继续访问它的下一个未被访问的邻居节点。
这个过程不断重复，直到图中所有的节点都被访问为止。
DFS算法的核心思想是沿着一条路径尽可能深入地搜索，直到无法继续为止。
在搜索过程中，DFS会使用一个栈来保存待访问的节点，以及记录已经访问过的节点。
当访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其所有未访问的邻居节点加入到栈中。
然后从栈中取出下一个节点进行访问，重复这个过程直到栈为空。
优点是DFS算法实现起来比较简单，而且在解决一些问题时具有较好的效果。
同时，DFS算法可以用来解决一些经典的问题，比如寻找图中的连通分量、判断图中是否存在环、图的拓扑排序等。
然而，DFS算法也存在一些缺点。
首先，DFS算法不保证找到最优解，有可能陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
另外，如果图非常庞大且存在大量的无效节点，DFS可能会陷入无限循环或者无法找到解。
综上所述，DFS是一种常用的图遍历算法，可以用来解决一些问题，但需要注意其局限性和缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的搜索策略。
在下一部分中，我们将详细介绍DFS算法的通用步骤和要点，以便读者更好地理解和应用该算法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构：在本文中，将按照以下顺序介绍DFS（深度优先搜索）通用步骤。
首先，引言部分将概述DFS的基本概念和应用场景。
其次，正文部分将详细解释DFS通用步骤的两个要点。
最后，结论部分将总结本文的主要内容并展望未来DFS的发展趋势。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解到DFS算法的基本原理和它在实际问题中的应用。
接下来，让我们开始正文的介绍。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对DFS（Depth First Search，深度优先搜索）的应用和重要性进行介绍。
回溯算法的基本思想
回溯算法的基本思想回顾法也叫启发式。
回溯的基本方法是深度优先搜索，这是一种组织良好的穷举搜索算法，可以避免不必要的重复搜索。
回溯算法的基本思想是:往前走一条路，可以就往前走，不行就往回走，换一条路再试。
当我们遇到某一类问题时，它的问题是可以分解的，但是我们无法得到一个清晰的动态规划或者递归的解。
这时候可以考虑用回溯法来解决这类问题。
回溯法的优点是程序结构清晰，可读性强，易于理解，通过分析问题可以大大提高运行效率。
但对于可以迭代得到明显递推公式的问题，不宜采用回溯法求解，因为它耗时较长。
对于用回溯法求解的问题，要对问题进行适当的转化，得到状态空间树。
这棵树的每一条完整路径都代表了一个解决方案的可能性。
先用深度搜索这棵树，枚举每一个可能的解；从而得到结果。
但通过构造回溯法中的约束函数，可以大大提高程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，每一个解(不一定是完整的，其实这就是构造约束函数的意义)都在不断地与约束函数进行比较，删除一些不可能的解，这样就不必列出其余的解，节省了一些时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
利用回溯法解题的具体步骤首先，要通过读题完成下面三个步骤：(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
dfs回溯算法
dfs回溯算法
回溯算法是一种经典的递归算法，也被称为试探法。
该算法通过不断地递归和回溯，不断地尝试各种可能的解法，直到找到最优解或者穷尽所有的解法为止。
回溯算法在解决各种计算问题、搜索问题、排列组合问题等方面都有广泛的应用。
其中，dfs回溯算法是回溯算法的一种特殊的形式，也被称为深度优先搜索。
dfs的全称是Depth-First Search，即深度优先搜索。
dfs算法对于大部分回溯问题都有较好的解决效果，时间复杂度也相对较低。
在dfs回溯算法中，我们首先明确问题的状态和解法，然后将当前状态作为回溯的入口。
接着，dfs算法会选择一个可行的分支，并以此为起点开始递归搜索。
如果搜到了不符合要求的状态，就会返回上一个状态，继续往下搜索。
一旦找到了符合要求的解法，就会记录下来，并返回上一个状态，继续搜索其他可能的解法。
无论是在排列组合、数独、迷宫等问题的求解中，dfs回溯算法都有着重要的地位。
在实际的应用中，我们可以通过一系列的剪枝操作来减少搜索空间，从而尽快找到最优解，提高运算效率。
总的来说，dfs回溯算法是一种广泛应用于计算、搜索和排列组合等问
题的高效算法，尤其对于那些具有相对较大搜索空间的问题，dfs回溯算法能够给出较高的解决效率，而且实现也相对简单。
但是，随着问题规模的增大，其时间效率可能会受到挑战。
因此，在实际应用过程中，我们需要结合具体问题进行优化，尽可能地提高算法效率。
计算机求解问题的常用算法
计算机求解问题的常用算法
计算机求解问题的常用算法包括以下几种：
1. 搜索算法：例如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、A*搜索等，用于在状态空间中搜索最优解或满足
特定条件的解。
2. 贪心算法：每一步都选择当前最优的解，但不能保证能够找到全局最优解，常见的例子有最小生成树算法、最短路径算法等。
3. 动态规划：通过将问题划分为若干子问题，并逐步求解子问题的解，最后得到整个问题的解。
常见的例子有背包问题、最长公共子序列等。
4. 回溯算法：通过逐步尝试所有可能的解，并在每一步的尝试中进行剪枝，以提高效率。
常见的例子有八皇后问题、0-1背
包问题等。
5. 分治算法：将大问题划分为若干个小问题，分别求解，并将小问题的解合并得到整个问题的解。
常见的例子有归并排序、快速排序等。
6. 图算法：用于处理图结构的问题，例如图的遍历、最短路径、最小生成树等。
7. 近似算法：用于求解NP难问题的近似解，通过牺牲一定的
精度来提高求解效率。
常见的例子有近似最优解算法、近似最短路径算法等。
以上只是常见的一些算法，实际上还有很多其他的算法，不同的问题可能需要使用不同的算法进行求解。
如何使用深度优先搜索算法求解迷宫问题
如何使用深度优先搜索算法求解迷宫问题深度优先搜索算法是一种在解决迷宫问题时非常重要的算法。
迷宫问题是指一个由墙壁和路径组成的迷宫，其中寻找通往出口的路径是一个有趣和富有挑战性的问题。
深度优先搜索算法可以从起点开始搜索所有可能的路径，直到找到通向出口的路径为止。
本文将介绍如何使用深度优先搜索算法来解决迷宫问题。
1. 确定问题的规模和范围在开始解决迷宫问题前，我们需要确定迷宫的规模和范围。
迷宫的规模通常由迷宫的行数和列数表示。
例如，一个5行7列的迷宫由35个方格组成。
确定迷宫的范围还包括确定哪些方格是起点和终点，以及哪些方格是墙壁和路径。
2. 确定深度优先搜索算法的基本原理和步骤深度优先搜索算法是一种无向图算法，其基本原理是从起点开始搜索，沿着路径向前探索下去，每当遇到岔路口的时候就随机选择一条路径继续前进，直到走到终点或遇到死路为止。
搜索的顺序是从最深处开始向外扩展。
在搜索过程中，需要维护一个栈来存储当前路径。
深度优先搜索算法的步骤如下：（1）初始化：将起点加入栈中。
（2）循环：从栈中取出一个节点进行扩展。
（3）判断是否到达终点：如果当前节点是终点，则搜索结束。
（4）扩展节点：将当前节点的所有相邻节点加入栈中。
（5）递归深度优先搜索：从栈中取出下一个节点进行搜索。
（6）回溯：如果当前节点没有可扩展的节点，则从栈中取出上一个节点进行搜索。
3. 编写深度优先搜索算法的伪代码在深度优先搜索算法的基础上，我们需要编写具体的伪代码来实现解决迷宫问题。
算法输入：一个迷宫。
算法输出：通向终点的路径。
1. 初始化：将起点加入栈中。
记录起点的位置为（x1，y1）。
将起点标记为已访问。
2. 循环：如果栈不为空，则：取出栈顶节点进行扩展。
记录扩展节点的位置为（x，y）。
标记扩展节点为已访问。
如果当前节点是终点，则搜索结束。
如果当前节点不是终点，则：遍历当前节点的所有相邻节点：如果相邻节点未访问且不是墙壁，则：将相邻节点加入栈中。
回溯法的功能
回溯法的功能
回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的算法，以深度优先方式系统搜索问题解，适用于组合数较大的问题。
它的功能主要体现在以下几个方面：
1.系统性搜索：回溯法以深度优先的方式系统地搜索问题的所有解或任一解。
它从问题的初始状态开始，通过逐步构建解决方案，探索问题的所有可能解。
2.生成解空间：回溯法在搜索问题的解时，会生成一个状态空间树。
这个状态
空间树由每个可能的状态组成，每个状态对应一个可能的解决方案。
通过这个状态空间树，回溯法能够系统地搜索所有可能的状态。
3.剪枝优化：在搜索过程中，回溯法使用剪枝函数来避免无效的搜索。
当探索
到某一步时，如果发现当前选择并不优或达不到目标，它会退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。
4.满足约束条件：在使用回溯法解决问题时，需要确保生成的解满足问题的约
束条件。
请注意，回溯法的效率在很大程度上取决于所面临的具体问题及其约束条件。
在处理大规模或复杂的问题时，回溯法可能需要大量的计算资源和时间。
回溯算法（Backtracking）
回溯算法（Backtracking）
什么是回溯？
回溯是⼀种基本的搜索算法，通过在搜索过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就"回溯"返回，尝试别的路经。
在探索过程中，当探索到某⼀步时，发现原先搜索并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
搜索⽅式:
深度优先搜索(dfs)
宽度优先搜索(bfs)
基本思想
在包含问题的所有解的空间树中，按照dfs的策略，从根结点出发深度探索空间树。
当探索到某⼀结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。
（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若⽤回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可⾏的⼦树都要已被搜索遍才结束。
⽽若使⽤回溯法求任⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。
算法基本步骤
1. 满⾜⼀定条件下将当前数据加⼊到结果集(或检查到不满⾜要求当即返回)
2. 选择⼀条路经
3. dfs向前进⾏
4. 回退路经
⼀些情况下需要对数据进⾏预先处理，或在第2步直接检查以决定是否抛弃当前路经，以避免过多地递归，带来时间损耗。
换⽽⾔之，不满⾜条件的路经越早抛弃越好。
计算机算法回溯算法
计算机算法回溯算法计算机算法：回溯算法在计算机科学领域中，算法是解决问题的方法和步骤集合，这些方法和步骤可以利用计算机进行实现。
其中，回溯算法是一种常见的算法，它通过枚举所有可能的解决方案，来找到最优的解决方案。
本文将详细介绍回溯算法的定义、原理及其几种常见的应用。
一、回溯算法的定义回溯算法是一种基于深度优先搜索的算法。
它用于在搜索解空间中寻找问题的所有解或其中的最优解。
其基本思路是：在当前状态下，先从某一步开始搜索，如果搜索失败，则回到前一步重新搜索，直到找到问题的解或其它条件满足。
二、回溯算法的原理回溯算法的实现需要考虑到两点：1、搜索的方向；2、搜索的终止条件。
回溯算法的搜索方向是从根节点开始，深度优先遍历整颗搜索树。
当搜索到某个节点时，如果发现这个节点不是一个可行解，那么回溯到它的父节点，然后尝试它的下一个候选解。
如果所有的候选解都失败了，那么回溯到它的父节点，继续尝试它的下一个候选解，直到找到可行解或搜索结束。
回溯算法的终止条件是找到了目标解，或是确定了目标解不存在。
三、回溯算法的应用1、全排列问题全排列指的是从一个有限元素集合中取出元素，按照一定的顺序排列，使得每一个元素都只出现一次，并且不重复。
例如，给定一个包含3个元素的集合{1,2,3}，则它的全排列集为{123,132,213,231,312,321}。
回溯算法可以用于求解全排列问题。
2、数独问题数独是一种填数游戏，它的目标是将数字1-9填入一个9×9的网格中，使得每行、每列以及每个3×3的小九宫格都包含了1-9的所有数字。
回溯算法可以用于数独问题：从左上角开始，依次对每一个格子进行填数，在填数的过程中，需要考虑到当前行、当前列和当前小九宫格的限制条件，如果填数失败则要回溯到上一个格子。
如果最终的结果满足数独的规则，则问题的解就找到了。
3、迷宫问题迷宫问题是一个经典的搜索问题，在直线走迷宫中，我们需要尽可能短的距离找出迷宫的出口，而且不能长时间的在迷宫中徘徊。
信息学竞赛中的搜索与回溯算法
信息学竞赛中的搜索与回溯算法在信息学竞赛中，搜索与回溯算法起着重要的作用。
这些算法通过遍历可能的解空间来寻找最优解，解决了许多实际问题。
本文将介绍搜索与回溯算法的基本原理、应用场景以及算法的优化方法。
一、搜索算法搜索算法通常用于在给定的搜索空间中查找目标解。
常见的搜索算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和启发式搜索等。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索从根节点开始，沿着一条路径直到达到叶子节点或目标节点为止，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS算法非常适用于解决问题的完整解存在于较深路径的情况，例如迷宫问题、八皇后问题等。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索从根节点开始，逐层扩展搜索，直到找到目标解或者搜索空间被完全遍历。
BFS算法适用于解决问题的完整解存在于较浅路径的情况，例如最短路径问题、迷宫最短路径问题等。
3. 启发式搜索启发式搜索通过使用启发函数来评估搜索的方向和选择。
它常用于解决复杂问题，如人工智能、路径规划等。
A*算法是一种常见的启发式搜索算法，它通过估计从当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点。
二、回溯算法回溯算法是一种通过不断尝试所有可能解的方法，直到找到满足条件的解或遍历所有可能解的算法。
它常用于组合优化问题、排列问题等。
回溯算法的基本思想是通过逐步构建解空间，并在每一步选择一个可能的解，继续向下搜索。
如果当前选择导致无法满足条件，就回溯到上一步，尝试其他的选择。
回溯算法的典型应用包括全排列问题、子集问题和图的着色问题等。
它在信息学竞赛中广泛应用，可以有效地解决各种组合问题。
三、搜索与回溯算法的优化在实际应用中，搜索与回溯算法可能会面临解空间过大、搜索耗时长的问题。
为了提高算法的效率，可以采取以下优化方法。
1. 剪枝剪枝是指在搜索过程中，通过一些条件判断来减少搜索的路径，以避免不必要的计算。
剪枝可以根据问题的特点设计，例如对于排列问题，可以通过检查当前选择是否合法来剪枝。
回溯算法与深度优先搜索
回溯算法与深度优先搜索回溯算法（backtracking）和深度优先搜索（DFS）是两种在计算机科学中常用的问题解决方法。
它们在不同的领域和场景中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍回溯算法与深度优先搜索的概念、原理及应用，并探讨它们之间的关系。
1. 回溯算法回溯算法是一种通过不断地尝试所有可能的解决方案来求解问题的方法。
在回溯算法中，我们从解空间的一点出发，逐步扩展搜索范围，并在搜索的过程中不断检查当前状态是否满足问题的要求。
如果当前状态不满足要求，则撤销上一步的操作，回溯到上一个状态，并继续搜索其他可能的解决方案。
回溯算法通常通过递归的方式实现。
在每一层递归中，我们选择一个可能的解决方案，并继续向下一层递归搜索。
如果搜索成功，则得到了一个解决方案；如果搜索失败，则回溯到上一层，选择其他的解决方案继续搜索。
回溯算法具有广泛的应用，如组合问题、排列问题、子集问题等。
它的优点是能够找到所有可能的解决方案，但缺点是搜索的过程比较耗时。
2. 深度优先搜索深度优先搜索是一种优先遍历深度的搜索方法。
在深度优先搜索中，我们从初始状态开始，不断选择可行的动作直到无法继续为止，然后回溯到上一个状态，并选择其他的动作继续搜索。
这个过程类似于在图中沿着一条路径一直向下搜索直到达到叶子节点，然后返回上一层，选择其他的路径继续搜索。
深度优先搜索通常通过递归或使用栈的数据结构实现。
在每一步搜索中，我们选择一个可行的动作，并将状态从一个节点转移到另一个节点。
如果搜索成功，则得到了一个解；如果搜索失败，则回溯到上一个状态。
深度优先搜索在图遍历、路径搜索等问题中有着广泛的应用。
它的优点是搜索效率较高，但缺点是可能会陷入局部最优解，无法找到全局最优解。
3. 回溯算法与深度优先搜索的关系回溯算法和深度优先搜索有着密切的关系。
在很多情况下，回溯算法可以看作是深度优先搜索的一种特殊形式。
回溯算法的核心思想是尝试所有可能的解决方案，并通过回溯到上一个状态来继续搜索。
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
回溯算法
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的
上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
演示
一、回溯的概念
像走迷宫这样，遇到死路就回头的搜索思路
就叫做“回溯”。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到
达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
二、回溯的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成 的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn） ∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组 中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足 D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分 量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…， n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元组为问题P的一个解。
骑士遍历
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
node、扩展节点）。 从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新 节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
dfs 和回溯算法
dfs 和回溯算法
深度优先搜索（DFS）和回溯算法是两种常用的搜索和遍历算法。
深度优先搜索（DFS）是一种用于搜索和遍历图或树的算法。
它从一个起始顶点开始，沿着一个路径尽可能远地搜索，直到到达不能继续搜索的节点，然后返回并尝试其他路径。
在搜索过程中，DFS使用一个栈来记录已经访问的节点，并在回溯时返回到上一个节点。
DFS通常使用递归或栈来实现。
回溯算法是一种通过试错的方式来搜索和求解问题的算法。
它尝试在解空间中搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，以忽略那些不可能得到正确解的路径。
回溯算法通常使用递归来进行问题的求解，通过不断地尝试不同的选择和条件，直到找到满足问题要求的解或者无法找到解为止。
DFS和回溯算法在实际应用中常常结合使用，特别是在求解组合优化问题、图遍历和搜索等领域。
它们的共同特点是都基于搜索空间，通过深度优先的方式进行搜索和回溯。
在编程实现时，可以通过递归或显式地使用栈等数据结构来实现DFS和回溯算法。
回溯算法
回溯算法回溯算法是程序设计中最重要的基础算法之一，也是搜索算法中的一种控制策略，回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，选择另外一条路再走。
它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优先搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。
回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。
一、回溯算法说明1.算法定义回溯算法是搜索算法中的一种控制策略。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯算法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
回溯算法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯算法。
2.算法描述回溯算法描述如下：procedure run（当前状态）；vari：integer；beginif当前状态为边界then beginif 当前状态为最佳目标状态then记下最优结果；exit；{回溯}end；{then}for i←算符最小值to 算符最大值dobegin算符i作用于当前状态，扩展出一个子状态；if (子状态满足约束条件) and (子状态满足最优性要求)then run(子状态)；end；{for}end；{run}二、经典例题分析[问题描述]八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。
该问题由19世纪著名的数学家高斯于1850年提出：在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
高斯认为有76种方案。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法思想：回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。
为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。
下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。
典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。
一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。
回溯方法的步骤如下：1) 定义一个解空间，它包含问题的解。
2) 用适于搜索的方式组织该空间。
3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。
在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。
因此，回溯算法的空间需求为O （从开始节点起最长路径的长度）。
这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。
所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。
算法应用：回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。
(1) 幂集问题(组合问题)(参见《数据结构》（严蔚敏）)求含N个元素的集合的幂集。
如对于集合A={1,2,3},则A的幂集为p(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{1},{2,3},{2},{3},Φ}幂集的每个元素是一个集合，它或是空集，或含集合A中的一个元素，或含A 中的两个元素，或者等于集合A。
反之，集合A中的每一个元素，它只有两种状态：属于幂集的元素集，或不属于幂集元素集。
则求幂集P（A）的元素的过程可看成是依次对集合A中元素进行“取”或“舍”的过程，并且可以用一棵状态树来表示。
求幂集元素的过程即为先序遍历这棵状态树的过程。
程序：#include <stdio.h>#include <malloc.h>#define ERROR 0#define OK 1typedef int ElemType;typedef struct LNode{ElemType data;struct LNode *next;} LNode,*LinkList;//初始化LinkList ListInit(){LNode *base=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); base->data=0;base->next=NULL;return base;}//插入一个元素int ListInsert(LinkList L,int i,ElemType e){LNode *p,*s;int j=0;p=(LNode *)L;while(p&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!p||j>i-1)return ERROR;s=(LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->data=e;s->next=p->next;p->next=s;return OK;}//删除一个结点int ListDelete(LinkList &L,int i,ElemType &e) {LinkList p=L,q;int j=0;while(p->next&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!(p->next)||j>i-1)return ERROR;q=p->next;p->next=q->next;e=q->data;free(q);}//长度int ListLength(LinkList L){LinkList p=L;int j=0;if(!L)return ERROR;while(p->next){p=p->next;++j;}return j;}//查找一个元素int GetElem(LinkList L,int i,ElemType &e) {LNode *p=L;int j=0;while(p->next&&j<i){p=p->next;++j;}if(!p||j>i)return ERROR;e=p->data;return OK;}//输出链表元素void Display(LinkList L){LNode *p=L;if(!(p->next)){printf("NULL,");return;}elsep=p->next;while(p){printf("%d,",p->data);p=p->next;}}//求幂集void PowerSet(int i,LinkList A,LinkList &B) {int k=0;ElemType e=0;if(i>ListLength(A)){Display(B);printf("\n");}else{GetElem(A,i,e);k=ListLength(B);ListInsert(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);ListDelete(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);}}int main(){LinkList list=ListInit(); //初始化LinkList list2=ListInit();//初始化ListInsert(list,1,1);//插入元素ListInsert(list,2,2);ListInsert(list,3,3);Display(list);//输出元素printf("\npower set is:\n");PowerSet(1,list,list2);//求幂集}(2)迷宫问题(参见《数据结构》（严蔚敏）)计算机解迷宫时，通常用的是"试探和回溯"的方法，即从入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的通路都探索到为止,如果所有可能的通路都试探过，还是不能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。
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8、字符序列(characts) 【问题描述】 从三个元素的集合[A，B，C]中选取元素生成一个N个字符组成的序列，使 得没有两个相邻字的子序列（子序列长度=2）相同。例：N = 5时ABCBA是合 格的，而序列ABCBC与ABABC是不合格的，因为其中子序列BC，AB是相同的。 对于由键盘输入的N(1<=N<=12)，求出满足条件的N个字符的所有序列和其 总数。 【输入样例】 4 【输出样例】
72
•9、试卷批分(grade) •【问题描述】
•某学校进行了一次英语考试，共有10道是非题，每题为10分，解答用1表示“是”， 用0表示“非”的方式。但老师批完卷后，发现漏批了一张试卷，而且标准答案也丢 失了，手头只剩下了3张标有分数的试卷。
•试卷一：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
•0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 得分：70
【例6】数的划分(NOIP2001) 【问题描述】 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同 (不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。 • 1，1，5； 1，5，1； 5，1，1； • 问有多少种不同的分法。 • 【输入格式】 • n,k (6<n≤200，2≤k≤6) • 【输出格式】 • 一个整数，即不同的分法。 • 【输入样例】 • 7 3 • 【输出样例】 • 4 { 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3; 2,2,3 说明部分不必输出 }
【课堂练习】
1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。 【参考过程】 int Search(int i) { Int j; for (j=1;j<=n;j++) if (b[j]) { a[i]=j; b[j]=false; if (I<n) Search(i+1); else print(); b[j]=true; } }
【上机练习】
1、全排列问题(Form.cpp) 【问题描述】 输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一 数字序列中不允许出现重复的数字。 【输入格式】 n(1≤n≤9) 【输出格式】 由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。 【输入样例】Form.in 3 【输出样例】Form.out 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
•试卷二：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 得分：50
•试卷三：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 得分：30
•待批试卷：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 得分：？
2、组合的输出(Compages.cpp)
【问题描述】 排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且 r<＝n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。 现要求你用递归的方法输出所有组合。 例如n＝5，r＝3，所有组合为： l23 l24 125 l34 l35 145 234 235 245 345 【输入】 一行两个自然数n、r(1<n<21，1<＝r<＝n)。 【输出】 所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三 个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。 【样例】 compages.in compages.out 5 3 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
【例3】素数环:从1到n（<=20）这n个数摆成一个 环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
【算法分析】 非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20 种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边 相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的 和是否素数。
【例4】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇 后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后 能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）
2、找出n个自然数(1,2,3,…,n)中r个数的组合。例如，当n=５,r=3时，所有 组合为： 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 total=10 //组合的总数 【分析】：设在b[1],b[2],…,b[i-1]中已固定地取了某一组值且b[i-1]=k的前 提下，过程Search(i,k)能够列出所有可能的组合。由于此时b[i]只能取k+1 至n-r+i，对j=k+1,k+2,…,n-r+i，使b[i]:=j，再调用过程Search(i+1,j)，形成 递归调用。直至i的值大于r时，就可以在b中构成一种组合并输出。
3、N皇后问题(Queen.cp源自)【问题描述】 在N*N的棋盘上放置N个皇后（n<=10）而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和 任一对角线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。
八皇后的两组解 【输入格式】 输入：n 【输出格式】 每行输出一种方案，每种方案顺序输出皇后所在的列号，各个数之间有空格 隔开。若无方案，则输出no solute! 【输入样例】Queen.in 4 【输出样例】Queen.out 2 4 1 3 3 1 4 2
回溯法算法框架
Procedure dfs( s ) //访问状态s Begin if 边界 then begin 判断是否为目标状态；exit; end; for i：= 状态变换规则数 begin si = s + 规则I 保存局面 dfs（si） 还原局面 end； End;
【例1】设有n个整数的集合 ｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数 （r<n），试列出所有的可能的情况。 例如{1,2,3} ，r=2。那么有3种可能， （1,2），（1,3），（2,3）
4、有重复元素的排列问题
【问题描述】 设R={ r1, r2 , …, rn}是要进行排列的n个元素。其中元素r1, r2 , …, rn可能相同。试 设计一个算法，列出R的所有不同排列。 【编程任务】 给定n 以及待排列的n 个元素。计算出这n 个元素的所有不同排列。 【输入格式】 由perm.in输入数据。文件的第1 行是元素个数n，1≤n≤500。接下来的1 行是待排 列的n个元素。 【输出格式】 计算出的n个元素的所有不同排列输出到文件perm.out中。文件最后1行中的数是排 列总数。 【输入样例】 4 aacc 【输出样例】多解 aacc acac acca caac caca ccaa 6
②D ④D
A C B E C A
E B
6、有红球4个，白球3个，黄球3个，将它们排成一排共有多少种排法？ 【分析】：可以用回溯法来生成所有的排法。用数组b[1..3]表示尚未排列 的这3种颜色球的个数。设共有I-1个球已参加排列，用子程序Search(i)生 成由第I个位置开始的以后n-I+1位置上的各种排列。对于第I个位置，我们 对3种颜色的球逐一试探，看每种颜色是否还有未加入排序的球。若有， 则选取一个放在第I个位置上，且将这种球所剩的个数减1，然后调用 Search(I+1),直至形成一种排列后出。对第I个位置上的所有颜色全部试探 完后，则回溯至前一位置。
【例2】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n 的自然数之和。
当n=7共14种拆分方法： 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+3 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+2+3 7=1+1+5 7=1+2+2+2 7=1+2+4 7=1+3+3 7=1+6 7=2+2+3 7=2+5 7=3+4 total=14
深度优先搜索与回溯算法
回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种 确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯 是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题 的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发 现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索， 如此反复进行，直至得到解或证明无解。 如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步 步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走， 这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该 方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向 是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此 原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口 处无解为止。
6、工作分配问题 【问题描述】 设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij。试设 计一个算法，为每一个人都分配一件不同的工作，并使总费用达到最小。 【编程任务】 设计一个算法，对于给定的工作费用，计算最佳工作分配方案，使总费用 达到最小。 【输入格式】 由文件job.in给出输入数据。第一行有1个正整数n (1≤n≤20)。接下来的n 行，每行n个数，第i行表示第i个人各项工作费用。 【输出格式】 将计算出的最小总费用输出到文件job.out。 【输入样例】 3 4 2 5 2 3 6 3 4 5 【输出样例】 9
3、输出字母a、b、c、d，4个元素全排列的每一种排列。 4、显示从前m个大写英文字母中取n个不同字母的所有种排列。 5、有A、B、C、D、E五本书，要分给张、王、刘、赵、钱五位同学，每人只 能选一本，事先让每人把自已喜爱的书填于下表，编程找出让每人都满意的所 有方案。