数量变化与位置关系
相似三角形重要模型-手拉手模型(学生版)-初中数学
相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图，∠BAC =∠DAE =α，AD AB =AE AC=k ；结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图，∠AOB =∠COD =90°，OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB )；结论：△AOC ∽△BOD ；BD AC =k ，AC ⊥BD ，S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；结论：△BME ∽△CMF ；BE CF=3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；结论：△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景：(1)如图①，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：(2)如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE =60°，AC 与DE相交于点F ，点D 在BC 边上，DF CF=233，求AD BD 的值；拓展创新：(3)如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD =∠CBD =30°，∠BDC =90°，AB =4，AC =23，求AD 的长．2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现：材料阅读】如图，点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，AE ，BD 交于点F ，对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)△BCD ≌△ACE (2)△ACE 可以看作是由△BCD 绕点C 旋转而成；⋯【模型改编：问题解决】点A ，D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，直线AE ，BD 交于F ，如图1：点B 在直线CE 上，①求证：△BCD ∽△ACE ； ②求∠AFB 的度数．如图2：将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB 的度数为；④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”，则∠AFB 的度数为．(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=2，AD=ED=23，DG=6，连接AG，BF，求BFAG的值．图1 图2 图33(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α．点D是△ABC 所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD、BE．(1)如图1，当α=60°时，求证：BE=AD．(2)当α=120°时，请判断线段BE与AD之间的数量关系是，并仅就图2的情形说明理由．(3)当α=90°时，且BE⊥AB时，若AB=8，BE=2，点E在BC上方，求CD的长．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上)，其中∠ECF=90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究(1)如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系；(2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE=CF，∠BCD=∠FCE，其他条件不变，求证：BF=DE；深入探究：(3)如图4，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34，其它条件不变．①探索线段BF与DE的关系，说明理由；②连接DF，BE若CE=6，AB=12，直接写出DF2+BE2=．7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF．(1)如图1，当∠BAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；(2)如图2，当∠BAC=90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长．课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．则BDCE的值为()A.12B.22C.2D.22(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若GMCM=12，则CGBD=()A.12B.34C.255D.130133(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =22，CD =32，则EO ⋅FO 的值为( )．A.63B.4C.56D.64(2022·广西梧州·统考一模)如图，在△ABC 中，∠C =45°，将△ABC 绕着点B 逆时针方向旋转，使点C 的对应点C ′落在CA 的延长线上，得到△A ′BC ′，连接AA ′，交BC ′于点O ．下列结论：①∠AC ′A ′=90°；②AA ′=BC ′；③∠A ′BC ′=∠A ′AC ′；④△A ′OC ′∽△BOA ．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.45(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图，已知▱ABCD ，AB =3，AD =8，将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为．6(2022·安徽·模拟预测)如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D 的位置，使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若BB =1，则CE的长为．7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ，连接BB ，CC ，则△CAC 与△BAB 的面积之比等于．8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若AC=3，AE=8，求AD．9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．求证：(1)△BAE∽△CAD；(2)MP⋅MD=MA⋅ME．10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，AD的延长线交BF于点P．问题探究：(1)当点P在线段BF上时，证明EP+FP=2BP．①先将问题特殊化，如图2，当CE⊥AD时，证明：EP+FP=2BP；②再探究一般情形，如图1，当CE不垂直AD时，证明：EP+FP=2BP；拓展探究：(2)如图3，若AD的延长线交BF的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示EP，FP，BP之间的数量关系．11(2022·河南·九年级专题练习)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．(1)问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究：如图②，将(1)中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α(90°<α<180°)，其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．12(2023·山东青岛·模拟预测)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED ∥BC 时，则α=；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：；(3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在△ABC 与△CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，若BC =mAC ，CD =mCE (m 为常数)．保持△ABC 不动，将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．13(2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习)问题提出 如图1，在△ABC 中，AB =BC ，点D 是边BC 上一点，△ADE 是等腰三角形，AD =DE ，∠ADE =∠B =α0<α≤90° ，DE 交AC 于点F ，探究∠DCE 与α的数量关系.问题探究 (1)先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，直接写出∠DCE 的大小；(2)再探究一般情形，如图1，求∠DCE 与α的数量关系.问题拓展 将图1特殊化，如图3，当α=60°时，若CD BD =12，求CF AF的值.14(2023春·河南·九年级专题练习)由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD 、CE ，两线交于点P ，BD 和CE 的数量关系是；BD 和CE 的位置关系是；(2)【类比探究】如图2所示，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC 、PC 于点M 、N ．①求∠DMC 的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC 的值；(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C 为线段AE 上一点，AE =6，△ABC 和△CDE 为AE 同侧的两个等边三角形，连接BE 交CD 于N ，连接AD 交BC 于M ，连接MN ，直接写出线段MN 的最大值．15(2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习)类比探究【问题背景】已知D 、E 分别是△ABC 的AB 边和AC 边上的点，且DE ∥BC ，则△ABC ∽△ADE 把△ADE 绕着A 逆时针方向旋转，连接BD 和CE ．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形②若AB =4，AC =3，BD =2，则CE =．【迁移应用】在Rt △ACB 中，∠BAC =90°，∠C =60°，D 、E 、M 分别是AB 、AC 、BC 中点，连接DE 和CM ．①如图3，写出CE 和BD 的数量关系；②如图4，把Rt △ADE 绕着点A 逆时针方向旋转，当D 落在AM 上时，连接CD 和CE ，取CD 中点N ，连接MN ，若CE =23，求MN 的长．【创新应用】如图5：AB =AC =AE =25，BC =4，△ADE 是直角三角形，∠DAE =90°，tan ∠ADE =2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，且BFBE=25，连接CF，请直接写出CF的取值范围．16(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB> DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系是，位置关系是．(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由．17(2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8，△AEF 中，∠EAF=90°，AE=AF，连接BE．(1)如图1，当AE平分∠BAC时，EF与AB交于点D，若AE=32，求tan∠DBE的值；(2)如图2，当AE⊥BE时，连接CF，与AE交于点H．猜想AH与BE之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AN⊥BC于点N，取BE的中点M，连接AM、CM、MN．将△AEF绕点A旋转．若AE= 22，在旋转过程中，当线段CM最大时，请直接写出△AMN的面积．18(2022秋·广东深圳·九年级校联考期中)【模型发现】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．【深入探究】如图2，等边△ABC中，AB=3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．【应用拓展】如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若EG=12FG，则ABCF的值为．。
§数量和位置的变化关系
主备：黄广森
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教师寄语：世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力！
中档题：
1、按如图所示的程序计算，若开始输入的 x 的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2 次得到的结果为12，……，请你探索第2011次得到的结果为 .
x5
x 为奇数
输入 x
x 为偶数
1 2 x
学习过程：自学 1.日常生活中，我们不仅可以用表格表示变化的数量之间的关系，我们还可以用什么形式表示 变化的数量之间的关系?
2.台风中心移动的位置是通过什么量来确定的?它与前面确定舰艇具体位置的方法有什么不同?
基础题：
1：温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化 的情况. （1） 上午 9 时的温度是多少？12 时呢？ （2） 这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度是多少？ （3） 这一天的的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？ （4） 在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
38 温度/℃ 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 B 26 25 24 23 22 C
A
D
时间/ 时
0
3
6
5
9 12 15 18 21 24
10
2：物体以 3m/s 的速度匀速前进，试根据路程 S(m)与时间 t(s)关系完成下列问题 (1)填写下列表格 t 1 2 3 4 5 6 …… s (2)能够用图形描述 s 的变化规律吗? (3)能用数学式子描述 s 的变化规律吗? ……
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东台市苏东双语学校 2012-2013 学年度第一学期 初二年级数学教学案
图形推理技巧
行测图形推理之四三四四口诀一、四大特性：考生在一拿到题目的时候，要首先判断题目有没有以下4种特性。
特性一：对称性，有两种情况，一是图形本身具有的轴对称性和中心对称性。
二是格子的对称，比如5+1(题干为5个格子，加上答案的1个格子)、4+1(题干为4个格子，加上答案的1个格子)。
可以从中间划线，两边的格子形成左右对称。
特性二：封闭性，有封闭和开发两种。
特性三：曲直性，有完全由曲线构成的图形和完全由直线构成的图形两种。
特性四：立体性，这个非常简单，就是平面图形和立体图形的区别。
二、三大基本题型：题型一：“数量”题型：标志是同种图形数量的变化。
比如题目中有几根线、几个面、几个点、几个角，几种图形(种数)等等。
题型二：“位置”题型：标志是图形形状数量上不变，只是位置变化。
比如，图形在图中上下移动，旋转等。
题型三：“样式”题型：有两种，一是图形形状部分变化(与位置题的区别);二是样式遍历，也叫做样式守恒。
三、四个需要注意的问题：这四个问题都是在解题中需要特别注意的，一旦出现其中一种情况，就要非常敏捷地捕捉到。
题型一：内外，内外分开看，用于有内外两层的图形。
题型二：字母，变化有三种，一是字母顺序，二是封闭曲直性，三是笔画数。
题型三：汉字，也有三种变化，一是结构，比如上下、左右、中间等;二是笔画;三是含有同一种部分，比如“旁”、“站”都含有一个“立”字。
题型四：阴影，就是出现黑白的情况。
四、四种热点题型：有四种题型比较热门，专门提出来给大家进行介绍，希望大家要重视：题型一：平面移动题，把平面图形的几个组成部分拆开，拼成一些新的图形，判断哪个选项是原来的图形。
题型二：六面骰子题，就是把一个6面的骰子拆开成平面，然后问组合在一起是什么样子，本来一个骰子只有3面可以被人看到，所以考察的是空间组合后三个面的关系。
这个题考了很多年，考的可能性很大。
题型三：部分拼图题，就是给考生4个部分，然后问这4个部分拼在以一起是什么图形。
逻辑判断
图形判断：图形推理就三类变化：数量位置样式数字规律推理：特点：乱—数—素—位置—样式的内在属性变化类型：点（交点，断点）;线（线段，笔画）；角（个数，角度）；面（个数，面积）；素（种类，个数）。
整体不行了的时候就分部分：分样式；分位置(上下左右，里外)位置规律推理类特点：各图元素组成基本相同，位置上变化明显变化类型:：静态关系：上下左右里外；相切与外离；平衡位置动态变化：平移：移动距离，移动方向旋转：旋转角度；顺时针和逆时针（使用箭头标识）时针法（三点来确定）翻转样式规律推理:特点：各图元素组成相似；图像部分元素非实质性残缺变化类型：内在属性：封闭；曲直；对称；凹凸；外在形状：形状不变，样式遍历（补全）：形状数目不变，顺序可以变化；形状变化，加减同异空间重构类：折叠图形型：一个面，寻找特殊面；两个面，就看相对关系：看且仅能看到一个面；相邻关系：观察公共边和公共交线三个面，用时针法，答案同构的不是正确答案平面组成型（拼图中间的线还在）：数个数，数时针平面拼合型：平行等长消去线条拼合型：答案比较求异类比推理:本质：二元关系；方法：3个技巧集合概念：全同关系；并列关系；包容关系。
映射关系：必然属性和或然属性；一一对应和非；充分条件和必要条件解题方法：看词性；造句子；想逻辑逻辑判断：显性结论类：有真有假型：首先看矛盾，其次看包容，然后看反对，最后带题中。
矛盾关系：矛盾双方主体要相同，一真一假A ---A ；A且B —（A且B）—A或—B；A或B —(A或B) —A且—B；A→B A且—B；所有有的不；必然可能不；甲、乙、丙和丁是同班同学。
甲说：我班同学都是团员。
”乙说：丁不是团员。
”丙说：我班有人不是团员。
”丁说：乙也不是团员。
”已知只有一个人说假话，则可推出以下判定肯定是真的一项为（）。
A.说假话的是甲，乙不是团员B.说假话的是乙，丙不是团员C.说假话的是丁，乙不是团员D.说假话的是甲，丙不是团员包容关系：一真前假，一假后真（一真假是题型，后面的是箭头位置假真是结果）甲、乙、丙、丁四同学在一起议论本班参加A 活动的情况。
八年级数学位置与数量的变化
一、知识要点1、表示平面上的物体位置时，一定是一个物体相对另一个物体的位置，不能孤立起来考虑。
2、表示平面上的物体位置时，每一个物体的位置要用两个数据来表示，一个数据不能准确表示位置。
3、在x轴上的点的纵坐标为0，即表示为（a，0），在y轴上的点的横坐标为0，即表示为（0，b）。
4、在坐标平面内的点与有序实数对一一对应，即坐标平面内每一个点对应着一对有序实数，反之，每对有序实数在平面内都对应着一个点。
5、在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移n 个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）；图形向上（下）平移n 个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）。
（简记为“左负右正x ，上正下负y”。
）6、点的坐标特点（1）象限内的点的坐标特点：点P（x，y）在第一象限→x＞0,y＞0；第二象限→x＜0，y＞0；第三象限→x＜0，y＜0；第四象限→x＞0，y＜0。
反之亦然。
（2）坐标轴上点的坐标特点点P（x，y）在x轴上→x为任意实数，y＝0，点P在y轴上→y为任意实数，x＝0。
（3）对称点的坐标特点点P（x，y）关于x轴的对称点是P1，坐标为P1（x，－y）；点P（x，y）关于y轴的对称点是P2，坐标为P2（－x，y）；点P（x，y）关于原点对称点是P3，坐标为P3（－x，－y）。
（4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征过点（a，b）且与x轴平行的直线上的点的是（x，b），即横坐标为任意实数，纵坐标y＝b。
过点（a，b）且与y轴平行的直线上的点的是（a，y），即纵坐标为任意实数，横坐标x＝a。
(5)各象限角平分线上的坐标特点一、三象限角平分线上的点（x，y）的特点是x＝y。
二、四象限角平分线上的点（x，y）的特点是x＋y＝0二、复习练习1、坐标平面内的点与_______是一一对应的．点P(5,-12)到原点的距离是_______。
2、已知P点坐标为（2a+1，a-3），①点P在x轴上，则a= ；②点P在y轴上，则a= ；③点P 在第三象限内，则a的取值范围是。
折叠性问题
可得PH＝ 23，EH＝32.
3 .又PF＝
则H(0,0,0)，P0，0，
23，D－1，－23，0，D→P＝1，32，
23，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H→P＝0，0，
23为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，
[解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF EF 平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.
又BF 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
平面PEF，
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得， PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点， H→F 的方向为y轴正方 向，|B→F|为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系H-xyz.
折叠性问题
关键：折叠前后线线位置关系的“变”与“不变”， 以及折叠前后线段的数量关系会产生变化；
规则：折叠后位于同一平面上的位置关系和数量关系 都不变；位于不同平面上的位置关系和部分数量关系 会发生变化。
技巧：通过添加辅助线，将折叠后的图形补成一个常 见的几何体。
母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个 平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将 本题考查：线线平行的 其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. 性质，面面垂直的判
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中 点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到 达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 切入点：(1)对照折叠前后的线面关系给予证明； (2)建立空间直角坐标系通过向量法求解．
ft
内容：4.2位置的变化课型：新授主备：朱兆勤时间：2006年月日教学目标：1．会描述物体运动的路径，能根据经纬度等确定移动物体位置变化的路径；2．会用数量的变化描述物体位置的变化，感受数量变化与位置变化之间的关系；3．通过研究数量变化与位置变化的联系，感受我们生活在变化的世界中。
教学重点：能用恰当的方法确定物体位置的变化教学难点：感受数量变化与位置变化的关系教学过程：一、课前部分预习P120—121，了解位置变化及位置变化的描述方式，感受数量变化与位置变化的关系。
二、课堂部分（一）情境创设现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭，航行中的船只、移动中的台风等都有数量的变化和位置的变化。
（二）实例观察与操作，感受位置变化1．2002年5月15日，我国海军舰队编队自青岛基地起锚首航全球：穿台湾海峡、马六甲海峡，过苏伊士运河、巴拿马运河，越印度洋、大西洋，经太平洋回国，历时132天，航程33000多海里。
（见P120图）（1）请在图上用笔描出我海军舰队编队航行的路线；（注意方向和路径）（2）想一想：航行在茫茫大海上，我海军舰队编队是怎样随时向基地报告舰艇的准确位置的？由此，你有什么想法？2．2004年18号台风“艾利”正面袭击福建，并先后4次登陆福建沿海，气象部门的准确预试根据表格中提供的数据，在地图上描出“艾利”中心位置的移动路径及在何时登陆福建的。
比较刚才的两个实例，你发现怎样才能准确确定“我国海军编队”和“艾利”中心的位置？说明：用经纬度可以准确表示事物变化的位置。
（三）例题选讲例1．把班级的座位按行、列排列。
（1）请指出第3列第4行是谁所在的位置；（2）XXX在第几列第几行？……例2．如图，围棋棋盘由纵、横各19条平行线相交成361个交叉点组成。
对局时，双方在棋盘的交叉点上轮流下子，每次下一子，下定后不准再移动位置。
为了说明棋盘上各交叉点的位置，可以把横线上自上而下用汉字依次编为一到十九路，纵线从左到右用阿拉伯数字依次编为1—19路，按先竖后横的次序记录棋子的位置，例如，图中点A记为：5，十路；点B记为：10，十一路。
公务员考试行测之判断推理图形推理解题规律总结
公务员考试行测之判断推理图形推理解题规律总结在公务员录用考试行政职业能力测验考试的判断推理中的图形推理解题规律主要有平移、旋转、翻转、叠加、数量变化、对称、重心、笔画、位置变化、元素重组、共性、还原、重组等十三大规律，本篇将通过实例来逐一说明。
一、平移：一般是图形的某些元素在发生有规律的移动。
例：【解析】第一组图形中，下边阴影方块在向左平移，第二组图形中的阴影方块向右平移。
故选B。
二、旋转：图形整体或图形的某些元素按某一角度和方向进行有规律的旋转。
一般情况下是按45度或90度或135度或180度的角度顺时或逆时针方向旋转。
例1：【解析】本题第一组图形中，第一个图形中的圆圈顺时针旋转120度得第二个图形，再顺时针旋转120度得第三个图形。
依此规律，在第二组图形中，第一个图形的丁字图形顺时针旋转120度得第二个图形，再顺时针旋转120度得出D图形。
例2：【解析】去同存异。
第一组图中，第一、二个图形叠加后去掉相同的部分后得第三个图形，第二组图形依此规律，第三个图形应为第一个图形去掉第二个图形，故选C。
三、翻转：图形整体或图形的某些元素进行有规律的翻转，也称镜像原则。
例：【解析】第一组图形的第一个图形以竖直边为轴向右翻转得到第二个图形，第二个图形以水平边为轴向下翻转得到第三个图形，第二组也是此规律，所以依此规律，得出第三组的最后一图为C。
四、叠加：每一幅图中两个图经组合、复合或叠加后得到第三个图。
图形叠加中有直接叠加、去同存异、去异存同题型，还有图形叠加中的黑白变化规律。
例1：【解析】以第一个图形为底，与第二个图形叠加，形成第三个图形，选D。
五、数量变化：一般涉及到图形数或图形中元素个数增减、角和边的增减变化，交点的数量增减等，新题型涉及到数学上的数量关系。
例1：【解析】图形的数量按3、4、5、6的规律变化，所以下一个图形数是7个，选A。
例2：【解析】前组图形的角的个数分别为3，4，5，6，故第5个图形的角的个数应为7，选A。
单元整体教学设计与实施学习心得
单元整体教学设计与实施学习心得《标准（2022年版）》指出，“数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养”“数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能”。
通过学习我知道和理解在数学教学中落实立德树人根本任务、培养核心素养是重要的。
以下按照我学习的理解从基于主题的单元教学设计与实施谈谈我的看法。
一、核心素养导向下的中学数学教学关注的是不同知识之间的横纵向联系，强调数学的整体性、数学思想方法内在的一致性，因此，需要围绕主题从单元的角度来设计和实施教学，体现多元化教学目标的有机融合，体现知识之间的联系与内容的整体性，据此，《标准（2022年版）》把这些具体要点划分为不同的主题，便于我们更好地理解具体要点的数学本质。
相应地，我们的数学教学就需要站在主题的高度，基于单元整体来进行教学设计。
二、核心素养导向下的数学内容主题的理解《标准（2022年版）》在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域中，按照知识特点划分为不同的主题，每一个主题可以视为一个整体，每一个主题又被划分为不同的单元。
下面以“数与代数”“图形与几何”两个领域为例，分析这两个领域主题的整体性。
1.“数与代数”领域不同主题内容的一致性分析在（标准（2022年版）》中，“数与代数”领域分为“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题，其中，“数与式”主题讨论的是数与式及其运算关系，即负数、有理数、实数、代数式及其加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算的法则与性质。
课程标准强调“教师应把握数与式的整体性”，整体性体现在不同的运算对象在其抽象过程、研究2.图形的性质"这一主题在不同几何研究对家的研究内容与研究方法两个方面且有破性，首先，研究内容的一致性都是以不问平面几何图形为研究对象，学生学习「何图形自身固有的性质和图形之间的天系。
什么是图形的性质、如何研究图形的性是本主题贯穿始终的问题。
图形的性质是研究构成几何图形的要素之间的数量关系和位置关系中的不变规律，如研究等腰三角形的性质，也就是要研究等腰三角形的腰，底角以及中线、高线、角平分线的数量关系和位置关系。
深入浅出：小学三年级数学教案常见的数量关系解析
深入浅出：小学三年级数学教案-常见的数量关系解析数学一直被公认是一门严谨而精密的学科，涉及的内容广泛，特别是对于小学三年级的孩子来说，数学的学习过程中，最主要的任务就是掌握数量关系的基本概念和运算方法。
对于初学者而言，学习数学需要有系统的教学方法，结合例题来逐渐加深理解。
下面我们来分享一下小学三年级数学教学中常见的数量关系解析。
一、基本概念1.数量：表示事物多少的数，一般用数字表示。
2.计数：明确了事物的数量以后，用数字表示这个数量的过程也被称作计数。
3.数码：在最小的地位上出现的数。
4.数位：数字在一个数中所占的位置和大小。
二、数量关系的处理方法1.相邻数的大小关系判断相邻数大小的关系是处理数量关系的基本要求之一。
一般学生是通过数轴或者颜色坐标轴来进行理解和认识的。
可以让学生通过掌握数量关系中数的大小关系，从而可以灵活的处理各种数量关系的问题。
例题：把下面数字重新排列，使得从左到右，每两个相邻的数都是按照从大到小的规律排列。
6 5 4 3 2 1解析：可以将数字从大到小的顺序排列，如下：1. 2 3 4 5 62.数量的比较及倍数关系在数量关系教学中，常常需要学生来做数值比较了解大小关系。
孩子们应该学会比较不同数量之间的关系，然后在运算上可以灵活使用这些数量来得出正确的答案。
例题：在下列数中选出最大数。
16，10，15，9，18解析：先比较 16，10，15，9之间的大小关系，最后与18进行比较得到答案为18。
在数量关系问题的处理过程中，对于倍数关系的练习也是非常有意义的。
学生可以通过加，减，乘以及除的运算来辨识出数量之间的倍数关系。
比如，孩子们可以学习和记忆小学阶段的乘法口诀，把计算数字的数列写出来，理解乘法的本质和目的。
3.数量变化的规律探究在数量关系中，许多问题都是关于数量变化规律的，例如，图形的数量增加或减少了多少，以及新的图形是如何形成的等等。
给学生提供一些例子，并引导他们去观察数量变化的规律，有助于加深对数量关系的理解。
中考数学图形位置关系常见题型答题技巧
中考数学图形位置关系常见题型答题技巧
图形推理虽然有很大变化，但本质仍然是对图形的数量、位置以及样式的考查。
下面为考生梳理一下中考数学图形位置关系常见题型。
图形推理比较常见的有以下类型：
(一)数量类。
若一组图形中每幅图的组成较为凌乱，但局部显示有一定的数量变化。
对于有这样特点的图形，通常从数量的角度来进行解题。
根据这几年命题趋势的分析发现，数量类的考查的角度虽然很多，但重点仍然集中在点、线、角、面、素。
(二)位置类。
对于位置类的题目，一般来说，一组图形中元素个数完全相同，不同的是局部元素位置有变化，这时候从位置的角度出发来解题。
位置变化的类型分为平移、旋转、翻转。
(三)样式类。
样式类图形的特点是：图形组成的元素部分相似。
在解决样式类的题目时，考生们一定要注意解题顺序：先进行样式遍历，再进行加减同异。
样式遍历是指在每一组图形都包含相同的元素，只是每组图形进行了不同的排列组合。
(四)其他类。
有些图形的特点并不像前三类那么明显，但经过仔细鉴别你还是能找到各图形之间的规律。
顾兴荣成果概况
张掖市第十届基础教育科研优秀成果评选获奖课题成果概况〔体例〕课题名称：新课程标准下初中数学教学无效行为调查研究课题类别：D1 中学数学课题批准号：GS(2010)G1162课题负责人：顾兴荣所在单位：甘肃张掖山丹县第二中学课题组参与人员：黄翠兰杨志勤朱朝霞周祥昌徐香蓉周梅英一、课题研究的背景在当今的教学生态中，初中数学教学还存在拼时间、拼消耗的死揪蛮干型的原始粗放的教学模式，仍受着“应试教育”的严重影响，重知识轻能力，教师的教与学生的学严重脱钩，无效教学行为充满着课堂，高耗低效，课堂教学中偏离教学目标，违背教学规律，在某种程度上压抑了学生个性的发展,不利于学生创新意识和创新能力的培养。
长期以来，教学方式单一，学生学习被动，个性受到压抑等现象一直困扰着我们的课堂教学。
二、课题研究的意义为了提高课堂教学效率，促使我们去积极的思考如何使我们的数学课堂教学更科学、更标准、更有序，数学教学要实现从“师本、本本、考本”向“生本”的转变，教师要实现由“带着知识走向学生”向“带着学生走向知识”的转变。
逐步“绿化”我们的课堂，“绿化”我们的教学。
通过提高学生的学习兴趣，激活课堂。
为此，我们需要调查课堂教学的无效行为，对中学数学课堂教学中无效教学行为的具体表现进行调查，分析其形成原因，探讨其矫治策略，深刻反思自己的教学实践并上升到理性思考，把理论与实践真正结合起来，着力提高中学数学教师的素养和数学课堂教学的效益。
课题核心概念及其界定：所谓无效教学行为是指教师在课堂教学中偏离教学目标，违背教学规律，无视教学对象而产生的诸多违背新课程理念的教学行为。
是指教师在教学中运用的方式、方法不能使学生得到应有的进步和发展。
它包括教师的语言欠妥、动作欠妥、仪表欠妥、教法欠科学等。
无效教学行为严重干扰了教学效果，对新课程的实施产生负面影响。
因此，本课题作如下界定：通过对初中数学课题教学各环节的透视，归类出教师课堂教学中无效教学的各种表现形式，寻找对策并克服，实现减负增效的目的。
《棋盘上马的行踪》教学设计-优质教案
棋盘上的行踪教学目标：经历运用所学知识解决实际问题的过程.进一步领会位置变化与数量变化之间的关系.通过探索活动，感受“分类”、“特殊到一般”等的数学思想，体验到数学的乐趣.通过象棋中的规则问题来进行德育渗透。
教学重点、难点：重点：位置变化与数量变化之间的关系.难点：位置变化与数量变化之间的关系.教学过程：一、课前准备：1、中国象棋中的马是如何运动的？2、如果在棋盘中的任意一个格点上放置一个马，你能确定跳一步后的位置吗？3、能把他表示出来吗？二、自主尝试：活动一：1、如果在棋盘中的任意一个格点上放置一个马，你能确定跳一步后的位置吗？请同学们自己动一动。
2、你能将这些点表示吗？图13、如果马（6,4）一般可以跳到：（写出所跳位置的坐标）思考：若“马”在棋盘上的位置为（m，n）跳一步可以到哪些位置?请写出坐标结论：横坐标，纵坐标。
4、我们规定“马”的运动方向只能向右和向上，那么如果“马”现在的位置在（3,2）上，如何通过移动可到达（8,6）上呢？请同学们写出他们的运动轨迹。
三、互动探究：活动二：如图：棋子马（6，4）如果要跳到（3，2）的位置，描述你的走法，并与同学交流。
思考1：最少几步可以跳到？还可以几步？思考2：你发现了“可以跳到”的步数有什么特点？能解释其中的原因吗？图2结论：最少可跳步，规律是：。
1、坐标变换法：2、染色法：不妨将“马”目前的位置涂成黑点，与黑点相邻位置涂成白点，一次将半张棋盘全部标记，如图所示：由于“马”的位置是黑点，点M是白点，两点不同色，“马”只能从黑点跳到白点，再从白点跳到黑点，即按白、黑、白、黑……的规律跳，所有“马”跳到点M必须跳奇数步。
活动3、1、马回原位（1）最少经过多少步（每步不重复）马可以回到原位？(（2）还可以经过多少步（每步不重复）马可以回到原位？（3）你发现了什么规律？图3活动三、1、马回原位（1）最少经过多少步（每步不重复）马可以回到原位？（2）还可以经过多少步（每步不重复）马可以回到原位？（3）你发现了什么规律？图 4结论：最少可跳步，规律是：。
公务员考试行测之判断推理笔记
判断推理图形推理规律+重构类比推理二元关系+二级辨析逻辑推理推导+论证定义判断关键词+复合型论证一、图形推理（一）整体概述组成凌乱——数量变化：数数、规律组成相似——样式（形状）变化（内在属性、外在形状）组成相同——位置变化（静态变化、动态变化）（1）数量：点、线、角、面、素、封闭区间、笔画(一笔画成、相同、递增递减) 规律：递增或递减、对称变化、隔项数量变化、数量相加（2）位置：静态位置关系：内含、相交、相切、相离、左右(字体结构)、上下(字体结构)动态位置关系：平移、旋转(时针法区分：方向改变为翻转)、翻转（3）样式（形状）：对称、图形组合（拼图、重叠、重叠变色、重叠变形）、图形求同a.外在形状(相似):1.顺序(样式遍历:缺谁补谁) 2.轮廓:加减同异b.内在属性:封闭、曲直、对称轴、凹凸特点:一个元素比较乱常见于内在属性(含同一直线、曲线、对称轴、一笔画成)；两个元素比较凌乱常见于位置类（4）空间重构（空间几何体）：三视图折纸盒相对的两个面必然有且仅有一个面被看到。
特殊面法：一个面特殊——形状两个面特殊——相对、相邻（公共边）三个面特殊——时针法、描线法/公共边(找特殊图形)、（二）解题思路1、观察角度1）构成与部分2）直线与曲线3）封闭与开放4）整体与部分2、推理顺序数量——形状——位置3、变化路线图形推理：递增或递减、对称变化、隔项变化类比推理：横向路线、纵向路线九宫格：横向、纵向、“米”字、“O”字、“S”字二、类比推理概念外延关系：相容关系【全同关系、交叉关系、包容（种属）关系、组成关系（整体与部分）】、不相容关系【矛盾关系、反对关系】内涵映射关系：必然与或然(盐、咸)、对称与反对称(正方形、边长)、充分与必要(下雨、地湿，勤奋、成功)、共变与反变(理解、费解)词语语义关系：近义词、反义词、意义词、常识类词语语法关系：主谓关系、主宾关系、谓宾关系{双主语(同一谓语)、双谓语(同一宾语/主语)、双宾语(同一谓语)}八大热门考点：全同关系、包含关系、组成关系（整体与部分关系、矛盾与反对关系、对应关系、事物发展的逻辑关系、作用与作用对象关系三、定义判断定义项：邻近的属+种差拆分比较归类排除关键词出没+多定义比较关键词：1 主客体 2 两类状语（时间、目的、原因）3 想法、方式、行为 4 结果、效果形式原则：关键词；逻辑原则：辨析与匹配辨析：格外注意定义的杂糅匹配：寻找定义的主要区别1、单定义判断a．单关键词：主(一类名词中一个最特殊的)、客、属、行为状语(方式、目的、原因)。
公务员考试行测图形推理作答技巧与解题方法
公务员考试行测图形推理作答技巧与解题方法图形推理是公务员行测考试中的必考题型，题目给很多考生的感觉也是千变万化，无从下手，其实，图推也是有一些技巧性的，以下是由本人整理关于公务员考试行测图形推理作答技巧的内容，希望大家喜欢!公务员考试行测图形推理作答技巧一、图形的共同特征图形的共同特征中常考的规律包括对称性、直曲性、开闭性、一笔画、含有某个共同元素等，在看到题干图形差别较大时，可以首先考虑这几个考点。
例题1：把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自共同的特征或规律，分类正确的一项是：解析：通过观察，题干中六个图形各不相同，构成元素也差别很大，这时候首先考虑共同特征，进一步观察发现图形都是轴对称图形，那么就要想到可能考查对称轴的方向、数量等问题，将每个图的对称轴画出，即可发现①③⑤三个图形的对称轴为水平方向，②④⑥三个图形的对称轴为竖直方向，故可确定答案选C。
例题2：从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：解析：本题是一道九宫格型题目，看到类似题目，很多考生第一反应是数封闭区域数量、部分数量、直线数、曲线数等等，但是数完会发现并没有什么规律，很多考生就会陷入迷惑之中。
其实，这道题可以通过观察题干中几个特殊图形快速确定考点，特别是第一行第二个图形，只有三条直线构成，可考查的规律一般就是直线数、一笔画和直角数，而其他图形有直角的很少，可以快速排除，再数出线条数排除这一考点后，就可以确定这题考查的是一笔画，从而选出正确答案C选项。
二、特殊元素变化特殊元素变化主要包含两种情况：特殊元素的数量变化和位置变化。
但是特殊元素的可能性就非常多了，比如可能是某种特定图形，具有某种特殊属性的线条、交点，也可能是图形中与其他部分明显不同的某种元素等等，考生要通过多练习提高对特殊元素的敏感性。
例题3：从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：解析：这一题图形是很多字母构成的拼音，很多考生第一反应是数封闭区域、部分数量，也有些考生会想到字母种类数，但是数完都没有规律。
小学数学自制教具模型[自制学具在小学数学中的应用]
![小学数学自制教具模型[自制学具在小学数学中的应用]](https://img.taocdn.com/s3/m/44b262f364ce0508763231126edb6f1afe00715e.png)
小学数学自制教具模型[自制学具在小学数学中的应用] 时代在进步，科技在进步，教学也在进步。
如今的课堂上多媒体技术占据了主要的地位，自制学具似乎成了被遗忘的对象。
虽然多媒体技术能够把文本、图形、图像、动画和声音等多种信息类型综合在一起，能够完成一系列交互式操作，具有提高教学质量、提高学习效率的作用，可以生动、形象、直观地展示教学内容，但是自制学具取材方便，构造简单，容易制作，方便教学，有很强的针对性和灵活性，具有不容忽视的独有优势。
一、自制学具有利于提高学生的动手动脑能力学生在日常学习中，偏重于“动脑”创造性地动手很少，因此，主管创造性思维的右脑一般处于“休眠”状态。
自制学具紧密结合教材，灵活机动，学生自己动手制作学具，不仅要进行创造性思维，更重要的是要把这种创造性思维物化。
在动手过程中，还要不断对原有设计进行修正调整，这样就使学生动手、动脑能力更加协调，大大提高了思维能力和实践能力。
如，进行“圆柱的侧面积和表面积”的教学之前，布置学生自制学具，让他们用长方形纸板卷成一个圆筒，两头加上圆底盖。
学生在制作过程中就了解到，圆柱的侧面展开是一个长方形，它的长就是圆柱的底面周长，它的宽就是圆柱的高。
当课堂上讲授这部分知识时，学生就能很容易得出“圆柱的侧面积=底面周长×圆柱的高”这一结论。
二、自制学具有利于提高学生的理解能力小学生正处于以具象思维为主的阶段，对于抽象思维不易理解，而数学知识往往又是比较抽象的，因此在数学教学过程中，教师应根据学生的特点，把抽象的知识转变为直观、具体的知识。
例如：在进行“梯形的面积”教学之前让每个学生剪好两个完全一样的梯形。
上课时，让全体学生把两个梯形拼摆成一个图形，并提示学生按照以前学习三角形面积公式的方法拼摆。
学生拼摆已毕，再指名学生到前边演示自己的拼摆过程。
引导学生观察拼摆出的图形，利用已经学过图形的面积求法求出梯形的面积。
很自然地就推出了梯形的面积公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，即S=(a+b)×h÷2。
数量与形的关系三年级数学学习重点解析
数量与形的关系三年级数学学习重点解析在三年级数学学习中，数量与形的关系是一个重要的内容。
学生需要理解数量和形状之间的关联，以便能够在解决问题和应用数学的过程中灵活运用。
一、数量与形的基本概念在数学中，数量是指表示事物多少的概念，而形状是指事物的外部特征和轮廓。
数量与形之间的关系可以通过以下几个方面来描述：1. 对应关系：数量与形之间可以建立对应关系，即一个数量可以与一个形状对应起来。
例如，一个正方形与它的边的数量相对应。
2. 变化关系：数量的增加或减少可以引起形状的变化。
例如，当正方形的边增加一个时，它的面积和周长也会随之发生变化。
3. 关联关系：数量与形之间存在一定的关联，即形状的特征与数量的多少有一定的关系。
例如，一个正方形的边长决定了它的面积和周长的大小。
二、数量与形的相互影响数量与形的相互影响在三年级的数学学习中扮演着重要的角色。
学生需要能够理解数量与形的关联，并能够在解决问题时灵活运用。
1. 利用数量特征判断形状：学生可以通过对数量特征的观察和比较，来判断一个形状的特征。
例如，通过观察一个四边形的边的数量，可以判断它是一个矩形。
2. 利用形状特征解决问题：学生可以通过对形状特征的分析和理解，解决与数量相关的问题。
例如，计算一个长方形的面积时，学生需要理解长方形的形状特征，并将其转化为数量的计算。
3. 综合运用数量与形的关系：在解决实际问题和应用数学知识时，学生需要综合运用数量与形的关系。
例如，给定一个图形的数量特征，学生可以推导出其形状特征，并进一步解决相关问题。
三、数量与形的学习策略在学习数量与形的关系时，三年级的学生可以采用以下策略来提高自己的学习效果：1. 观察实物和图形：通过观察实物和图形，学生可以加深对数量和形状的理解。
他们可以观察不同数量的物体或图形，分析它们之间的关系。
2. 进行实践操作：学生可以通过实践操作来加深对数量与形的理解。
例如，他们可以用不同数量的方块拼出不同的形状，进一步观察和比较其特征。
角之间的数量关系和位置关系
角之间的数量关系和位置关系篇一周末我和几个朋友去公园玩飞盘，这飞盘啊，一飞出去就引出了我对角的思考。
我们在公园的草坪上站成一个三角形的形状，彼此相距一段距离，准备开始飞盘传递。
我站在一个顶点位置，当我把飞盘扔向对面的朋友时，我发现飞盘飞行的路线和我们三个人所站位置形成了各种各样的角。
先说说这飞盘从我手中飞出的瞬间吧，我和我要扔向的朋友以及旁边的朋友，我们三人连线形成了一个三角形。
我扔出飞盘的方向与我和旁边朋友连线的夹角，和飞盘飞行方向与我和对面朋友连线的夹角，这两个角的大小关系可就有趣了。
就好像它们在商量着怎么分配这飞盘飞行的“路线份额”。
我发现当我用力角度稍大一点时，其中一个角就变大，另一个角就相应变小，它们的和似乎总是等于某个固定的值，这就是角之间的数量关系啊。
就像两个小伙伴在分一块固定大小的蛋糕，一个多拿一点，另一个就得少一点。
在飞盘飞行过程中，我还观察到了角的位置关系。
飞盘与地面也形成了一个夹角，如果飞盘飞得比较平，这个夹角就小；要是我用力往上抛飞盘，这个夹角就大。
而且这个夹角的变化还影响着飞盘在空中飞行的轨迹。
当这个夹角接近90 度时，飞盘就会直直地往上飞一会儿再落下，这时候飞盘飞行路线与我们所站直线形成的角的位置也在不断变化。
就像一场舞蹈，每个角都有自己的舞步和位置，相互配合又相互影响。
有一次，飞盘被扔偏了，差点飞到旁边的树上去。
这时候我看到飞盘的飞行路线与我们原本预期的路线形成了一个很大的偏差角。
这个偏差角和我们三个人之间的夹角又有了新的数量关系和位置关系。
它好像是一个不速之客，打乱了原本角之间和谐的“布局”。
我们得根据这个偏差角的大小和位置，调整自己的站位和扔飞盘的角度，才能让飞盘继续顺利地在我们之间传递。
玩了一下午飞盘，虽然累得气喘吁吁，但我对角之间的关系却有了更深刻的认识。
回到家后，我还在想着那些飞盘在空中划过的弧线，以及弧线与我们之间形成的各种各样的角。
这角的数量关系和位置关系就像隐藏在飞盘游戏中的秘密规则，只要用心去观察和体会，就能发现其中的乐趣。
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记录数量变化的方法 列表法 图象法
解析法 简单明了
优点 查询方便 形象直观
缺点
很难看出 变量规律 难以找到 变量的值
曾几何时,校园白色污染冲击着我们 的视觉,随着近年来学校校园环境的不 断美化,学生素质的不断提高,在校团总 支的组织下,学校建立了垃圾回收站,试 统计近几周学校垃圾回收站垃圾的数 量并结合所学知识写一篇调查报告
教学反思
说说你在本节课 上有哪些收获？
名称 特 数 点 量 的 记 变 录 化 方 法
内容 在同一问题中,变化的数量之间,往 往有着一定的联系,揭示出某种规律,一 个量变化,另一个量随之变化. 图象 形象地给出了两个量的变化趋势.
表 格 关系 式
多个变量可以同时出现在一张表 格中.
准确地反映了两个变量的数量的 数值关系.
… 所付电费y(元) 40 45 49 43 39 48 50
◆从表中你能知道该市民用电费标准是每 度多少元? ◆y与x之间有什么关系? ◆若一居民用94度电,应付电费多少元?
◆（2004年潍坊市）已知某山区的平均气 温与该山的海拔高度的关系见下表:
海拔高度(m) 平均气温(℃) 0 22 100 21.5 200 21 300 20.5 400 2水 库的水位变化，下表是某水库管理 员记录的一周内水位的变化情况观 察相邻两天水位变化情况；
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变 0.11 -0.03 -0.22 -0.24 -0.15 -0.09 0.26 化/m
1.观察相邻两天水位变化情况； 2.指出哪一天的水位变化最大、哪一 天的水位变化最小。
下表记录的是新中国成立后,我国体育健 儿参加的几届奥运会,所获得的金牌数与世界 排名.从表中你获得哪些信息?根据表中的数 据请畅想2008北京奥运会!
届次
金牌/枚
第23届 第24届 第25届 第26届 第27届 第28届
15
5
16
16
28
32
名次
4
11
4
4
3
2
下表是我校近五年被重点中学录取的人数
冷却时/min
温度计示数/℃
0
1
2
3
4
5
交流各组记录的结果并对这些 结果发表自己的看法. 在同一个问题中,往往有多个数量 在变化着,而且它们之间有着一定的 联系,这种变化与联系常用表格来记 录.
动动手
用一根长为10厘米的铁丝围成一个长 方形，其中一边长a厘米，另一边长为b 厘米，根据你的实际操作完成表格。
◆观察该山区的平均气温随海拔高度的变 化情况; ◆若某种植物适宜生长在18~20℃(包括 18℃和20℃)的山区,请问该植物适宜种在 海拔为多少米的山区?
◆如图,梯形上底的长是x,下底的 x 长是15,高是8. 8
15 ⑶当 ⑴梯形面积 ⑵用表格表示当 每增加 y1 与上底长 时,y x从 如何变化 10x 变成 20 ?说说 时 ⑷当x x=0 时,y 等于多少 ?之间的关 此时它表 你的理由 系是什么？ ( 每次增加 .1),y 示的是什么 ? 的相应值.
小试牛刀
◆根据图中所示的程序计算Y值.若输
3 入的X的值为 ,则输出的结果为____. 2
输入x值 y=x+2 (-2≤x＜-1) y=x2 (-1≤x≤1) 输出ｙ值 y=-x+2 (1＜x≤2)
◆下表是某市2004年一月份部分居民用电 数x以及所要交纳的电费y(元)的明细表:
用电度数x 80 90 98 86 78 96 100 …
年
份
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年
178 171 185 206 232
录取人数/人
下表是我校教师近五年获奖和发表论文的篇数 年 发表篇数 份 2001年 2002年 2003年 2004年 2005年
(11月前)
14
16
21
24
25
聪明的你,能从表格中获得哪些信息?
将开水倒入烧杯冷却,每隔一定 的时间,观察温度计示数的变化情况
2000
2004
收入总 971.20 1568.30 4560.44 15039.31 30595.12 42549.36 额 /元 支出总 798.26 1003.91 1927.98 额 /元
7800.12
13700.18 26533.78
◆你能根据表中的数据,说出46年来贺奶奶 家的生活发生的变化吗?
◆“国内生产总值”简称GDP,GDP增长 速度、人均GDP等,都是一个国家或地 区发展的重要指标.说说你从下表中得 到的信息.
年份
2000年 2001年 2002年 2003年 2004年 95933 102398 116694 136515 7.3% 8% 9.1% 9.5%
国内生产总 89442 值/亿元 增长速度(按 8% 可比价格计算)
学会探索
学会协作
学会分享
◆你用炉子烧过开水吗？在烧水的
过程中水温度是怎样变化的呢？
◆交流各组讨论的结果并对这些结
果发表自己的看法.
■某报报道,贺奶奶从1958年起,连续46 年记录了家里每天的花费,每年年终还 对收支情况进行结算.以下是她家某些 年份的收支情况:
年份
1958
1979
1989
1996
a
b
a b
1 4
2 3
3 2
4 1
此实验反映的是哪几个变化的量？ 它们是怎样变化的？发表你的看法。
时空变化,数量变化
?
我们生活在变化的世界中;
描述变化,刻画变化, 我们徜徉在变化的世界里.
撷取生活或学习的一组数据感 受数量的变化,并绘制成表格与同 伴进行交流.
写出下列各问题中的两个变量间 的关系式: ◆一个数m比另一个数n的3倍小3; ◆圆周长C和半径r的关系; ◆y是x与2的差的平方; ◆用整数n表示奇数y.