2011中考数学复习课件：第8讲 一元二次方程及应用

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5．(2010· 兰州)上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a%后售价为 128 元， 下列所列方程中正确的是( ) A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%) 2＝128 C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
【解析】第一次降价 a%后，售价为 168(1－a%)，第二次降价后为 168(1－a%)(1－a%) ＝168(1－a%)2，即 168(1－a%) 2＝128.
【答案】x1＝0，x2＝4
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12．(2010· 株洲)两圆的圆心距 d＝5，它们的半径分别是一元二次方程 x2－5x＋4＝0 的两 个根，这两圆的位置关系是__________． 【解析】设半径为 R、r，则 R＋r＝5.∵d＝5，∴R＋r＝d，故两圆位置关系是外切．
【答案】外切
13．(2010· 台州)某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降 价的百分率，设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为__________．
【解析】x －3＝0，x ＝3，x＝± 3，即 x1＝ 3，x2＝－ 3.
【答案】D
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2．(2010· 玉溪)一元二次方程 x2－5x＋6＝0 的两根分别是 x1、x2，则 x1＋x2 等于( A．5 B．6 C．－5 D．－6
b －5 【解析】x1＋x2＝－ ＝－ ＝5. a 1
)
【答案】A
3．(2010· 益阳)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则 b2－4ac 满 ．．． 足的条件是( ) A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac>0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≥0
【解析】两次降价后的价格可表示为 120(1－x) ，所以 120(1－x) ＝100.
【答案】120(1－x)2＝100
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14．(2010· 无锡)方程 x －3x＋1＝0 的解是__________．
5．将一元二次方程 x －6x－5＝0化成(x＋a) ＝b的形式，则b＝14.
6．已知关于 x 的一元二次方程 x2－2(k＋r)x＋d2＝0 没有实数根，其中 k、r 分别为⊙O1、 ⊙O2 的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为外离．
7．用配方法解方程：6x2－x－12＝0. ．．． 3 4 x1＝ ，x2＝－ 2 3
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴b －4ac>0.
【答案】B
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4．(2010· 杭州)方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( ) 1－ 5 －1＋ 5 A．1－ 5 B. C．－1＋ 5 D. 2 2
－1± 1＋4 －1± 5 －1＋ 5 －1－ 5 【解析】x ＋x－1＝0，x＝ ＝ ，即 x1＝ ，x2＝ . 2 2 2 2 【答案】D
)
【解析】提整因式法(x－3)(x＋1－1)＝0，∴(x－3)x＝0，∴x－3＝0 或 x＝0，即 x1＝3， x2＝0.
8． (2011 中考预测题)用配方法解一元二次方程 x2－4x＝5 的过程中， 配方正确的是( A．(x＋2) 2＝1 B．(x－2) 2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2) 2＝9 2 2 2
【解题方案】 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. (1)用含 x 的代数式表示： ①2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x)； ②2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x) 2； (2)根据题意，列出相应方程 8_000(1＋x)2＝9_680； (3)解这个方程，得 x1＝0.1__x2＝－2.1； (4)检验：x1＝0.1，x2＝－2.1 都是原方程的根，但 x2＝－2.1 不符合题意，所以只能取 x ＝0.1； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
【答案】D
)
【解析】x －4x＝5，x －4x＋4＝5＋4，(x－2) ＝9
【答案】D
9． (2010· 荆门)如果方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个不等的实根， 则实数 a 的取值范围是( A．a<1 B．a<1 且 a≠0 C．a≤1 D．a≤1 且 a≠0
)
【解析】 ∵方程有两个不等的实数根， 2－4ac>0， 22－4a>0， ∴b 即 ∴a<1.又∵a≠0， ∴a<1 且 a≠0.
(2010· 成都)若关于 x 的一元二次方程 x2＋4x＋2k＝0 有两个实数根， k 的取值范 求 围及 k 的非负整数值．
【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当b －4ac≥0时，方程有两个实数根．
【解答】∵方程 x ＋4x＋2k＝0 有两个实数根， 2 2 ∴b －4ac＝4 －4×1×2k≥0. 即 16－8k≥0，解得 k≤2. ∴k 的非负整数值为 k＝2,1,0.
1．方程(x－1) ＝4 的解是 x1＝3，x2＝－1.
2．已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 2x2＋kx－1＝0 的一个根，则实数 k 的值是 k＝ －1.
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3．方程 x(x＋1)＝5(x＋1)的解是 x1＝5，x2＝－1.
4．已知 2＋ 3是方程 x2－4x＋m＝0 的一个根，则方程的另一个根为 x＝2－ 3，m 的 值为 1.
考点训练 8
一元二次方程及应用 一元二次方程及应用 训练时间：60分钟 分值：1 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2010· 河南)方程 x2－3＝0 的根是( ) A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3 C．x＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
B．x2＋65x－350＝0 D．x2－65x－350＝0
【解析】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，化简为 x ＋65x－350＝0.
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【答案】B
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．_．
【解析】x2－4x＝0，x(x－4)＝0，∴x＝0 或 x－4＝0 即 x1＝0，x2＝4.
考点五 一元二次方程根与系数之间的关系 b 2 1．若关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1 、x2 ，则 x1 ＋x2 ＝－ ， a c x1 ·2 ＝ . x a 2．(简易形式)若关于 x 的一元二次方程 x2 ＋px＋q＝0 有两个根分别为 x1 、x2 ，则 x1 ＋x2 ＝－p，x1 ·2 ＝q. x
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8． 【前情提示】 为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依 照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填 空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg， 求该村水 稻每公顷产量的年平均增长率．
第 8 讲 一元二次方程及应用
考点知识精讲
中考典型精析
举一反三
考点训练
考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是 2，这样的整式方程 叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
考点二 一元二次方程的常用解法 2 1．直接开平方法：如果 x ＝a(a≥0)，则 x＝± a，则 x1 ＝ a，x2 ＝－ a. p p 2．配方法：如果 x2 ＋px＋q＝0 且 p2 －4q≥0，则x＋ 2 ＝－q＋ 2 . 2 2 p p p p x1 ＝－ ＋ －q＋ 2 ，x2 ＝－ － －q＋ 2 . 2 2 2 2 －b± b2 －4ac 2 2 3．公式法：方程 ax ＋bx＋c＝0 且 b －4ac≥0，则 x＝ . 2a f 4．因式分解法：若 ax2 ＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2 ＋bx＋c＝0 的根为 x1 ＝－ ，x2 e n ＝－ . m
【答案】B
10．(2011 中考预测题)在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸 边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2，设金色纸边的 宽为 x cm，那么 x 满足的方程是( )
A．x2＋130x－1 400＝0 C．x2－130x－1 400＝0
解方程． (1)(2010· 2－6x－6＝0； 常州)x 2 (2)(2009· 新疆)解方程(x－3) ＋4x(x－3)＝0. 【点拨】本组题考查一元二次方程的解法．
【解答】(1)x2－6x－6＝0 移项，得 x2－6x＝6， 配方，得(x－3)2＝15，∴x－3＝± 15. ∴x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15. (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0 换公因式，得(x－3)(x－3＋4x)＝0，(x－3)(5x－ 3)＝0. 3 ∴x－3＝0 或 5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝ . 5
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)
【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．
【解答】(1)∵x2＋3x－4＝0，∴(x＋4)(x－1)＝0. ∴x＋4＝0 或 x－1＝0.∴x1＝－4，x2＝1，故选 A. (2)根据根与系数的关系可得 x1＋x2＝5，x1·2＝2. x ∴x1＋x2－x1·2＝5－2＝3，故选 D. x (3)∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝1＋4＝5>0， ∴方程有两个不相等的实数根，故选 B. (4)a2＋4a－5＝a2＋4a＋4－4－5＝(a＋2) 2－9，故选 D.
(1)(2010· 桂林)一元二次方程 x2＋3x－4＝0 的解是( A．x1＝1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝4
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(3)(2010· 上海)已知一元二次方程 x2＋x－1＝0，下列判断正确的是( A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定