2020年高考数学预测卷及答案(理科)

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2020年高考全国III卷理科数学试题(含解析)

2020年高考全国III卷理科数学试题(含解析)

一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A B =,有4个元素,故选C.2.复数113i -的虚部是( )A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】1131313(13)(13)10i ii i i ++==--+,故选D. 3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1p ,2p ,3p ,4p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )A.14p p ==30.1=C.14p p ==30.2= 【答案】B等,都为选项中,大部分数4.Logistic 0.23(53)()1t KI t e --=+,其中K *t 约为 ( )(ln193≈A.60 69 【答案】C1319≈-,∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为 ( ) A.1(,0)4 B.1(,0)2 C.(1,0) D.(2,0)【答案】B【解析】不妨设(2,4)D p ,(2,E ,∵OD OE ⊥,∴440OD OE p ⋅=-=,解得1p =,故抛物线C 的方程为22y x =,其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ,b 满足||5a =,||6b =,6a b ⋅=-,则cos ,a a b <+>=( )A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=,又22||27a b a a b b +=+⋅+=,所以()1919cos ,5735||||a a b a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+,故选D.7.在ABC ∆中,2cos ,4,33C AC BC ===,则cos B = ( )A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】由余弦定理可知:2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯,可得|| 3 AB =,又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( )A.6+ B. C. D.4+【答案】C棱PC ⊥底面ABC 606=+︒C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=,则tan θ= ( )A.2-B.1-C.1D.2 【答案】D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-,化解得:22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-,解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=都相切,则l 的方程为 ( )A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 【答案】D【解析】由y =得y '=假设直线l与曲线y =相切于点0(x , 则直线l的方程为0)y x x =-,即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==,解得01x =,故直线l 的方程为210x y -+=,即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F.P 是C 上一点,且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4,则a = ( ) A.1D.8 【答案】 A【解析】法一:设1PF m =,则12142PF F S mn ∆==,又ce a=a 所以24tan 45b ︒=又因为c e a ==12.已知5458<,45138<.设5,8,13,则 ( )A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】易知,,(0,1)a b c ∈,由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <, 因为8log 5b =,13log 8c =,所以85,138b c ==,即554485,138b c ==, 又因为544558,138<<,所以445541385813c b b =>=>,即b c <, 综上所述:a b c <<.故选:A. 二、填空题13.若x ,y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示,由32z x y =+知3122y x z =-+,由图可知,当目标函数过点(1,2)A 时,取得最大值,即max 7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________(用数字作答).【答案】240【解析】因为2(6)123r r r r r r r ---240.15.________.【答案】3锥的母线长为,可得OD BCOS BS =322r -23316.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称; ②()f x 的图像关于原点对称;③()f x 的图像关于直线2x π=对称;④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 【答案】②③【解析】对于①,由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,故定义域关于原点对称,由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--,所以该函数为奇函数,关于原点对称,①错②对;对于③,11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-,所以()f x 关于2x π=对称,③对;对于④,令sin t x =,则[1,0)(0,1]t ∈-,由双勾函数1()f t t t=+的性质,可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞,所以()f x 无最小值,④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =,134n n a a n +=-. (1)计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明;(2)求数列{2}n n a 的前n 项和n S .【解析】(1)由13a =,134n n a a n +=-,21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=,… 猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+. 利用数学归纳法证明:(i )当1,2,3n =时,显然成立;(ii )假设()n k k N *=∈时猜想成立,即21k a k =+,则1n k =+时,1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++, 所以1n k =+时猜想也成立, 综上(i )(ii ),所以21n a n =+. (2)令2(2n n n b a ==则12n n S b b b =+++2323252n S =⨯+⨯+由①-②得,1322(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯,化简得(21)2n S n =-⨯18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”,根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,.【解析】(1)根据上面的统计数据,可得:该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++= 该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=,该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=, 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. (2)由题意,计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=, 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. (3)22⨯列联表如下:由表中数据可得:22100(3383722)K ⨯⨯-⨯所以有95%. 19.如图,在长方体1上且112,2DE ED BF FB ==(1)证明:点1C (2)若12,1,3AB AD AA ===,求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】(1)在1AA 上取一点M ,使得12A M AM =,分别连接EM ,1B M ,1EC , 1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中,有111////DD AA BB ,且111 DD AA BB ==, 又12DE ED =,12A M AM =,12BF FB =,所以1DE AM FB ==, 所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AF MB =,//AD ME 且AD ME =,又在长方体1111ABCD A B C D -中,有11//AD B C ,且11AD B C =,所以11//B C ME 且11B C ME =,则四边形11B C EM 为平行四边形, 所以11//EC MB , 所以1//AF EC ,所以点1C ,在平面AEF 内.(2)在长方形1111ABCD A B C D -中,以1C 为原点,11C D 所在直线为x 轴,11C B 的直线为y 轴,1C C 2AB =,1AD =,13AA =所以(2,1,3)A ,E (2,1,0),则(2,1,EF =-(0,1,1)=--,1(0,1,2)A E =-1111(,,)n x y z =,则1100n EF n AE ⎧⋅=⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪⎩,取法向量1(1,1,1)n =-,设平面1A EF 22(,n x =,则2222210200n EF z y z n A E ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩,取法向量2(1,4,n =所以121212142cos ,||||321n n n n n n ⋅+-<>==⋅⋅设二面角1A EF A -为θ,则42sin 7, 即二面角1A EF A -的正弦值为20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<,A ,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ ∆的面积.【解析】(1)c e a ==22516m =,∴C 的方程:221612525x y +=. (2)设直线BP :(5)y k x =-,与椭圆C 联立可得:2222(116)160400250k x k x k +-+-=.设00(,)P x y ,则202400255116k x k -=+,∴202805116k x k-=+,∴0210||5|116PB x k =-+. ∵BP BQ ⊥,∴直线BQ :1(5)y x k=--.令6x =,1y k =-,∴1(6,)Q k -,||BQ =∵||||BP BQ =,∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性,只需讨论12k =和18k =的情况,当12k =时,03x =,||PQ =PQ 点A 到直线PQ 11122APQ S PQ d ∆=.||⋅=当18k =时,03x =-||PQ =∴点A 到直线PQ ∴21|2APQ S PQ d ∆=.|⋅综上52APQ S ∆=.21.设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.(1)求b ;(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)2()3f x x b '=+,又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直,∴13()024f b '=+= ,解得34b =-.(2)设0x 为()f x 的一个零点,且011x -≤≤,由题意可知30034c x x =-+,令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤,则11()3()()22x x x ϕ'=-+,此时1(1,)2x ∈--,()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减;11(,)22x ∈-,()0x ϕ'>,()x ϕ单调递增;1(,1)2x ∈,()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减,则1(1)4f -=,11()24f -=-,11()24f =,1(1)4f =-,此时1144c -≤≤,再设1x 为()f x 的零点,则31113()04f x x x c =-+=,311131444x x -≤-+≤,整理得2111211(1)(1)01(1)()0x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪,解得111x -≤≤, 则()f x 四、选做题(2选1)22.在直角坐标系xOy 1t ≠),C 与坐标轴交于,A B (1)求||AB ;(2的极坐标方程. 【解析】(1)当x =,求得12y =;当0y =时,求得2t =或t (0,12)和(4,0)-,||AB (2)由(1)得直线3120x y -+=,故直线AB 23.设a ,b ,c R ∈,(1)证明:ab bc ++(2)用max{,,}a b c 表示a ,b ,c的最大值,证明:max{,,}a b c ≥. 【解析】(1)∵0a b c ++=,∴()c a b =-+,222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.(2)∵0a b c ++=,∴()c a b =-+,∵1abc =,∴()1ab a b -+=,即:2210ba b a ++=,∵0b ≠,则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ,则340b -≥,即b ≥,∴max{,,}a b c ≥。

2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)

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③a>0时, 在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数,
∴ 时,g(x)取得最小值 ,
解 得,a≥4,显然a<4和a>4时,都不满足f(x)在(0,2)上是减函数,只有a=4时满足f(x)在(0,2)上是减函数,
∴满足条件的a的集合是{4}.
故答案为:{4}.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4},则∁UA=( )
A.{5,6}B.{1,2,3,4}C.{2,5,6}D.{2,3,4,5,6}
(1)讨论f(x)在其定义域内的单调性;
(2)若a=1,且f(x1)=f(x2),其中0<x1<x2,求证:x1+x2+x1x2>3.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.如图所示,“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心,外切于点O的两个圆.过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点,交⊙C2于O、B两点.
∴cos∠AOB= ,即∠AOB=60°.
(1)若λ>0,μ>0,
设 =2 , =2 ,则 = + ,
∵|λ|+|μ|=λ+μ≤2,故当λ+μ=2时,E,F,P三点共线,
故点P表示的区域为△OEF,

2020年高考真题——数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3},A ={−1,0,1},B ={1,2},则()U A B ð()A.{−2,3}B.{−2,2,3}C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算,然后计算补集即可.【详解】由题意可得: 1,0,1,2A B ,则 U 2,3A B ð.故选:A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用,属于基础题.2.若α为第四象限角,则()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时,cos 2cos 03,选项B 错误;当3时,2cos 2cos 03,选项A 错误;由 在第四象限可得:sin 0,cos 0 ,则sin 22sin cos 0 ,选项C 错误,选项D 正确;故选:D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号,二倍角公式,特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数,除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意,第二天新增订单数为50016001200900 ,故需要志愿者9001850名.故选:B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用,属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ,第一层共有n 环,则{}n a 是以9为首项,9为公差的等差数列,设n S 为{}n a 的前n 项和,由题意可得322729n n n n S S S S ,解方程即可得到n ,进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ,第一层共有n 环,则{}n a 是以9为首项,9为公差的等差数列,9(1)99n a n n ,设n S 为{}n a 的前n 项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ,因为下层比中层多729块,所以322729n n n n S S S S ,即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ,解得9n ,所以32727(9927)34022n S S .故选:C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题,考查学生数学运算能力,是一道容易题.5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y 的距离为()A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为 ,,0a a a ,可得圆的半径为a ,写出圆的标准方程,利用点 2,1在圆上,求得实数a 的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必第一象限,设圆心的坐标为,a a ,则圆的半径为a ,圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ,可得2650a a ,解得1a 或5a ,所以圆心的坐标为 1,1或 5,5,圆心到直线230x y 距离均为255d;所以,圆心到直线230x y 的距离为5.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.6.数列{}n a 中,12a ,m n m n a a a ,若155121022k k k a a a ,则k ()A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ,可得出数列 n a 是等比数列,求得数列 n a 的通项公式,利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式,由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中,令1m ,可得112n n n a a a a ,12n na a,所以,数列 n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列,则1222n n n a ,1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a,1522k ,则15k ,解得4k .故选:C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值,解答的关键就是求出数列的通项公式,考查计算能力,属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ,在俯视图中对应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图,画出多面体立体图形,即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图,画出多面体立体图形,图中标出了根据三视图M 点所在位置,可知在侧视图中所对应的点为E 故选:A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置,解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法,考查了分析能力和空间想象,属于基础题.8.设O 为坐标原点,直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ,可得双曲线的渐近线方程是b y x a,与直线x a 联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab 值,根据2c ,结合均值不等式,即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ,E 两点不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限联立x ab y x a,解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a,解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为:1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值:8故选:B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ,则f (x )()A.是偶函数,且在1(,)2 单调递增B.是奇函数,且在11(,)22单调递减C.是偶函数,且在1(,)2单调递增D.是奇函数,且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数,排除AC ;当11,22x时,利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增,排除B ;当1,2x时,利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减,从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x,关于坐标原点对称,又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ,f x 为定义域上的奇函数,可排除AC ;当11,22x时, ln 21ln 12f x x x , ln 21y x Q 在11,22 上单调递增, ln 12y x 在11,22上单调递减,f x 在11,22上单调递增,排除B ;当1,2x时, 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x,2121x∵在1,2上单调递减, ln f 在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知: f x 在1,2上单调递减,D 正确.故选:D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断;判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根据 f x 与 f x 的关系得到结论;判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为()A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ,由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ,则2416R ,解得:2R .设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC ∵ 是面积为4的等边三角形,21393224a ,解得:3a ,2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选:C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解,涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;解题关键是明确球的性质,即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ,则()A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ,根据 23t tf t 的单调性知x y ,以此去判断各个选项中真数与1的大小关系,进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得:2323x x y y ,令 23ttf t ,2x y ∵为R 上的增函数,3x y 为R 上的减函数, f t 为R 上的增函数,x y ,0y x Q ,11y x , ln 10y x ,则A 正确,B 错误;x y Q 与1的大小不确定,故CD 无法确定.故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到,x y 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ,且存在正整数m ,使得(1,2,)i m i a a i 成立,则称其为0-1周期序列,并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ,11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是()A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知,序列i a 的周期为m ,由已知,5m ,511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ,511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ,不满足;对于选项B ,51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ,不满足;对于选项D ,51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ,不满足;故选:C【点晴】本题考查数列的新定义问题,涉及到周期数列,考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力,是一道中档题.二、填空题目:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka –b 与a 垂直,则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积,然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得:211cos 452a b ,由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a,即:202k a a b k ,解得:2k .故答案为:2.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意,采用捆绑法,先取2名同学看作一组,现在可看成是3组同学分配到3个小区,即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组,选法有:246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:336A根据分步乘法原理,可得不同的安排方法6636 种故答案为:36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用,解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.设复数1z ,2z 满足12||=||=2z z ,12i z z ,则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ,22cos 2sin z i ,根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2,代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵,可设12cos 2sin z i ,22cos 2sin z i ,122cos cos 2sin sin z z i i ,2cos cos 2sin sin 1,两式平方作和得: 422cos cos 2sin sin 4 ,化简得:1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为:.【点睛】本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;关键是能够采用假设的方式,将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题:p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p :若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p 4:若直线l 平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假;利用三点共线可判断命题2p 的真假;利用异面直线可判断命题3p 的真假,利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ,可设1l 与2l 相交,这两条直线确定的平面为 ;若3l 与1l 相交,则交点A 在平面 内,同理,3l 与2l 的交点B 也在平面 内,所以,AB ,即3l ,命题1p 为真命题;对于命题2p ,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题2p 为假命题;对于命题3p ,空间中两条直线相交、平行或异面,命题3p 为假命题;对于命题4p ,若直线m 平面 ,则m 垂直于平面 内所有直线,∵直线l 平面 , 直线m 直线l ,命题4p 为真命题.综上可知,14p p 为真命题,12p p 为假命题,23p p 为真命题,34p p 为真命题.故答案为:①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假,同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断,考查推理能力,属于中等题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C.(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.【答案】(1)23;(2)3 【解析】【分析】(1)利用正弦定理角化边,配凑出cos A 的形式,进而求得A ;(2)利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ,利用基本不等式可求得AC AB 的最大值,进而得到结果.【详解】(1)由正弦定理可得:222BC AC AB AC AB ,2221cos 22AC AB BC A AC AB , 0,A ∵,23A .(2)由余弦定理得:222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ,即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵(当且仅当AC AB 时取等号), 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ,解得:AC AB (当且仅当AC AB 时取等号),ABC周长3L AC AB BC ,ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i i x ,2011200i i y,202180i i x x (,20219000i i y y (,201))800i i i x y x y ((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r)ni i x y x y((=1.414.【答案】(1)12000;(2)0.94;(3)详见解析【解析】【分析】(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可;(2)利用公式20()()ii x x y y r 计算即可;(3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样.【详解】(1)样区野生动物平均数为201111200602020i i y ,地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为2006012000(2)样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r (3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层,在各层内按比例抽取样本,在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力,是一道容易题.19.已知椭圆C 1:22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |.(1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点,若|MF |=5,求C 1与C 2的标准方程.【答案】(1)12;(2)221:13627x y C ,22:12C y x .【解析】【分析】(1)求出AB 、CD ,利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式,可解得椭圆1C 的离心率的值;(2)由(1)可得出1C 的方程为2222143x y c c,联立曲线1C 与2C 的方程,求出点M 的坐标,利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值,进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】(1) ,0F c ∵,AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点,则直线AB 的方程为x c ,联立22222221x c x y a b a b c,解得2x c b y a ,则22b AB a,抛物线2C 的方程为24y cx ,联立24x c y cx,解得2x c y c ,4CD c ,43CD AB ∵,即2843b c a,223b ac ,即222320c ac a ,即22320e e ,01e Q ,解得12e ,因此,椭圆1C 的离心率为12;(2)由(1)知2a c,b ,椭圆1C 的方程为2222143x y c c,联立222224143y cx x y c c,消去y 并整理得22316120x cx c ,解得23x c 或6x c (舍去),由抛物线的定义可得25533c MF c c ,解得3c .因此,曲线1C 的标准方程为2213627x y ,曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程,考查计算能力,属于中等题.20.如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点,过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心,若AO ∥平面EB 1C 1F ,且AO =AB ,求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)10.【解析】【分析】(1)由,M N 分别为BC ,11B C 的中点,1//MN CC ,根据条件可得11//AA BB ,可证1MN AA //,要证平面11EB C F 平面1A AMN ,只需证明EF 平面1A AMN 即可;(2)连接NP ,先求证四边形ONPA 是平行四边形,根据几何关系求得EP ,在11B C 截取1B Q EP ,由(1)BC ⊥平面1A AMN ,可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角,即可求得答案.【详解】(1)∵,M N 分别为BC ,11B C 的中点,1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中,M 为BC 中点,则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形,1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ,,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ,且11B C 平面ABC ,BC 平面ABC ,11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ,且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN(2)连接NP∵//AO 平面11EB C F ,平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行,其面1A NMA 平面ABC AM ,面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故:四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得:ON AP ,6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心,且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故:ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得:EP m在11B C 截取1B Q EP m ,故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形,1//B E PQ由(1)11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △,根据勾股定理可得:PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值:1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直,及其线面角,解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义,考查了分析能力和空间想象能力,属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性;(2)证明:()8f x ;(3)设n ∈N *,证明:sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】(1)当0,3x时, '0,f x f x 单调递增,当2,33x 时, '0,f x f x 单调递减,当2,3x时, '0,f x f x 单调递增.(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式,然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号,最后确定原函数的单调性即可;(2)首先确定函数的周期性,然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式;(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ,然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得: 32sin cos f x x x ,则: 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ,'0f x 在 0,x 上的根为:122,33x x,当0,3x时, '0,f x f x 单调递增,当2,33x时, '0,f x f x 单调递减,当2,3x时, '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ,故函数 f x 是周期为 的函数,结合(1)的结论,计算可得: 00f f ,233333228f ,2233333228f ,据此可得: max 338f x, min 338f x ,即 338f x .(3)结合(2)的结论有:2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:224cos 4sin x y ,(θ为参数),C 2:1,1x t t y t t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】(1)1:4C x y ;222:4C x y ;(2)17cos 5.【解析】【分析】(1)分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程;(2)两方程联立求得点P ,求得所求圆的直角坐标方程后,根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(1)由22cos sin 1 得1C 的普通方程为:4x y ;由11x t t y t t 得:2222221212x t t y t t,两式作差可得2C 的普通方程为:224x y .(2)由2244x y x y 得:5232x y ,即53,22P ;设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ,其中0a ,则22253022a a,解得:1710a , 所求圆的半径1710r , 所求圆的直角坐标方程为:22217171010x y ,即22175x y x , 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题,涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识,属于常考题型.[选修4—5:不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .(1)当2a 时,求不等式()4f x 的解集;(2)若()4f x ,求a 的取值范围.【答案】(1)32x x或112x;(2) ,13, .【解析】【分析】(1)分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果;(2)利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ,由此构造不等式求得结果.【详解】(1)当2a 时, 43f x x x .当3x 时, 43724f x x x x ,解得:32x ≤;当34x 时, 4314f x x x ,无解;当4x 时, 43274f x x x x ,解得:112x;综上所述: 4f x 的解集为32x x或112x .(2) 22222121211f x x a x a x ax a a a a (当且仅当221a x a 时取等号), 214a ,解得:1a 或3a ,a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.祝福语祝你马到成功,万事顺意!。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-,则复数z 的实部与虚部的和为()A .1B .1-C .15D .15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=,则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-,2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-,故实部与虚部的和为431555-+=-,故选:D.2.已知()f x =A ,集合{12}B x ax =∈<<R ∣,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是()A .[2,1]-B .[1,1]-C .(,2][1,)-∞-+∞ D .(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ,再分类讨论集合B ,根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ,所以210x -≥,所以1x ≥或1x ≤-,①当0a =时,{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆,所以0a =符合题意;②当0a >时,12{}B x x a a=∈<<R∣,所以若B A ⊆,则有11a≥或21a≤-,所以01a <≤或2a ≤-(舍)③当0<a 时,21{}B x x aa=∈<<R ∣,所以若B A ⊆,则有11a≤-或21a≥(舍),10a -≤<,综上所述,[1,1]a ∈-,故选:B.3.在研究急刹车的停车距离问题时,通常假定停车距离等于反应距离(1d ,单位:m )与制动距离(2d ,单位:m )之和.如图为某实验所测得的数据,其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v (单位:km/h ).根据实验数据可以推测,下面四组函数中最适合描述1d ,2d 与v 的函数关系的是()A .1d v α=,2d =B .1d v α=,22d v β=C .1d =,2d v β=D .1d =,22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =,()()2d v g v =,根据图象得到函数图象上的点,作出散点图,即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =,()()2d v g v =.由图象知,()()1d v f v =过点()40,8.5,()50,10.3,()60,12.5,()70,14.6,()80,16.7,()90,18.7,()100,20.8,()110,22.9,()120,25,()130,27.1,()140,29.2,()150,31.3,()160,33.3,()170,35.4,()180,37.5.作出散点图,如图1.由图1可得,1d 与v 呈现线性关系,可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5,()50,16.2,()60,23.2,()70,31.4,()80,36,()90,52,()100,64.6,()110,78.1,()120,93,()()140,123,()150,144.1,()160,164.3,()170,183.6,()180,208.作出散点图,如图2.由图2可得,2d 与v 呈现非线性关系,比较之下,可选择用22d v β=.故选:B.4.已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是()A .B.C .D .【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式,利用导数判断其单调性,根据单调性可得答案.【详解】当10x ->,即1x <时,ln(1)(1)1x y f x x-=-=-,221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--,令0'>y ,得1e x <-,令0'<y ,得1e 1x -<<,所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数,在(1e,1)-上为减函数,由此得A 和C 和D 不正确;当10x -≤,即1x ≥时,1(1)(1)e x y f x x -=-=-,()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---,令0'>y ,得2x >,令0'<y ,得12x ≤<,所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数,在[1,2)上为减函数,由此得B 正确;故选:B5.若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >,则()f x 至少有()个单调区间.A .3B .4C .5D .6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ,则()f x 至少有3个单调区间,若()f x 有3个单调区间,不妨设()f x 的定义域为(),a b ,若12a x x b <<<,其中a 可以为-∞,b 可以为+∞,则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增,在()12,x x 上单调递减,(若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性),故()()21f x f x <,不合题意,若21a x x b <<<,则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减,在()21,x x 上单调递增,有()()21f x f x <,不合题意;若()f x 有4个单调区间,例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠,则()221x f x x-'=,令()0f x ¢>,解得1x >或1x <-,则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增,在()()1,0,0,1-上单调递减,故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =,且()()11f f -<,满足题意,此时()f x 有4个单调区间,综上所述:()f x 至少有4个单调区间.故选:B.6.已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩,则918222y x z x y --=+--的最小值为()A .132B .372C .12D .2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域,求出22y t x -=-的范围,再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案.【详解】解:令22y t x -=-,则91821922y x z t x y t --=+=+--,由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图,则()()()2,12,1,0,1A B C ---,设点()(),2,2P x y D ,,其中P 在可行域内,2=2PD y t k x -∴-=,由图可知当P 在C 点时,直线PD 斜率最小,min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时,直线PD 斜率不存在,∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数,∴当12t =时min 132z =.故选:A .7.在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在正方形11BCC B 内,且不在棱上,则()A .在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得PQ AC ∥B .在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ,使得PQ AC⊥C .在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得平面1PQC ∥平面ABC D .在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ,通过作辅助线,利用平行的性质,推出矛盾,可判断A;对于B ,找到特殊点,说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得PQ AC ⊥,判断B;利用面面平行的性质推出矛盾,判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾,判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得PQ AC ∥,作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ,则PEFQ 为矩形,且EF 与AC 相交,故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥,则AC EF ∥,这与,AC EF 相交矛盾,故A 错误;B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心,Q 为正方形11DCC D 的中心,作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ,则PHGQ 为矩形,则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点,连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥,所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥,故B 正确;C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得平面1PQC ∥平面ABC ,由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上,这与题意矛盾,C 错误;D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ,使得AC ⊥平面1PQC ,1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ,故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ,平面11DCC D ,故AC ⊥平面11DCC D ,由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合,与题意不符,故D 错误,故选∶B8.对于平面上点P 和曲线C ,任取C 上一点Q ,若线段PQ 的长度存在最小值,则称该值为点P 到曲线C 的距离,记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形,则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为()A .36B .36-C .362π-D .36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界,即可得到点集的区域,即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤,的区域如图阴影所示,其中四边形ADEC ,ABKM ,BCFG 为矩形且边长分别为1,6,圆都是以1为半径的,过点I 作IN AC ⊥于N ,连接A I ,则1NI =,30NAI ∠= ,所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形,矩形ABKM 的面积1166S =⨯=,2π3DAM ∠=,扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=,21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯,21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-,所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选:D.9.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目,要求必须有人去,但去几个人自行决定.其中甲和乙两名同学要么都去,要么都不去,则该宿舍同学的去法共有()A .15种B .28种C .31种D .63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类,第一类甲乙都去,第二类甲乙都不去,再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数,将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去,则去的人数可能是2人,3人,4人,5人,6人,所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种;若甲和乙两名同学都不去,则去的人数可能是1人,2人,3人,4人,则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种;故该宿舍同学的去法共有16+15=31种.故选:C.10.已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -,过2F 的直线与C 交于P ,Q 两点,若22143,||5PF F Q PQ QF ==,则椭圆C 的标准方程为()A .2255123x y +=B .2212y x +=C .22123x y +=D .22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示,在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图,由已知可设22,3F Q m PF m ==,又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=,12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅,所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为:2212y x +=故选:B11.已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣,方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根,则m 的取值范围为()A .7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B .π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D .7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点,画出图象,数形结合得到不等式组,求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根,等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点.当0x m <≤得:πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦,结合函数()y f x =的图象可知,π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭,解得:7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选:D12.已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===,则,,a b c 的大小关系是()A .a c b >>B .b a c >>C .b c a >>D .c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -,0x >,利用导函数得到其单调性,从而得到ln 1ex x ≤,当且仅当e x =时等号成立,变形后得到22ln2ex x ≤,当x =0.7x =后得到b c <;再构造()1=e x g x x --,利用导函数得到其单调性,得到1e x x -≥,当且仅当1x =时,等号成立,变形后得到21e 2x x ->,当0.5x =时,等号成立,令0.7x =得到a c >,从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -,0x >,则()11=ef x x '-,当0e x <<时,()0f x ¢>,当e x >时,()0f x '<,所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增,在e x >上单调递减,所以()()e =lne 10f x f ≤-=,故ln 1ex x ≤,当且仅当e x =时等号成立,因为20x >,所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=,当x =当0.7x =时,220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<,所以b c <构造()1=e x g x x --,则()1e 1=x g x -'-,当1x >时,()0g x '>,当1x <时,()0g x '<,所以()1=ex g x x --在1x >单调递增,在1x <上单调递减,故()()10g x g ≥=,所以1e x x -≥,当且仅当1x =时,等号成立,故121e e 2x x x x --≥⇒≥,当且仅当0.5x =时,等号成立,令0.7x =,则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>,所以a c >,综上:a c b >>,故选:A【点睛】构造函数比较函数值的大小,关键在于观察所给的式子特点,选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设i ,j 是x ,y 轴正方向上的单位向量,23a b i j -=- ,3119a b i j +=+,则向量a,b的夹角为______.【答案】π4【分析】分别求出a ,b 的表达式,利用定义求出a ,b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①,3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=,2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ,()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ,过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点,若cos b c AFO =∠且3FB FA =,则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥,进而可确定OA a FA b ==,,从而在直角△AOB 中,()2tan tan π2bAOB aα∠=-=,结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =,画出示意图如图,设AOF α∠=,因为cos b c AFO =∠,则cos b AFO c∠=,所以222sin a AFO c∠=,则sin a AFO c ∠=,所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=,所以π2AFO α∠+=,所以AB OA ⊥,根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==,所以OA a FA b ==,.又因为3FB FA,所以2AB b =.在直角△AOB 中,()2tan tan π2bAOB aα∠=-=,所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--,化简得:222b a =,所以b a =则渐近线方程为:y =,故答案为:y =.15.已知数列{}n a 满足首项11a =,123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩,为奇数,为偶数,则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________.【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时,由递推关系得()21332n n n a a a ++==+,构造{}3n a +为等比数列,可求出通项,结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时,()21332n n n a a a ++==+,即()2333n n a a ++=+,此时{}3n a +为以134a +=为首项,公比为3的等比数列,故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++,即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为:4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系,从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式,再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和.16.在三角形ABC 中,2BC =,2AB AC =,D 为BC 的中点,则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =,则2AB x =,由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=,结合余弦定理得到22512AD x =-,从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<,换元后得到cos ADC ∠,由基本不等式求出最小值,结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =,则2AB x =,因为D 为BC 的中点,2BC =,所以1BD DC ==,由三角形三边关系可知:22x x +>且22x x -<,解得:223x <<,在三角形ABD 中,由余弦定理得:()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=,在三角形ACD 中,由余弦定理得:221cos 2AD x ADC AD+-∠=,因为πADB ADC ∠+∠=,所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=,解得:22512AD x =-,由余弦定理得:225112cos x x ADC -+-∠=223x <<,令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,则3cos 5ADC ∠=,当且仅当1t t=,即1t =时,等号成立,此时25112x -=,解得:x =因为3cos 05ADC ∠≥>,故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,故当cos ADC ∠取得最小值时,tan ADC ∠取得最大值,此时4sin 5ADC ∠=,4tan 3ADC ∠=.故答案为:43.【点睛】三角形中常用结论,()sin sin A B C +=,()cos cos A B C +=-,()tan tan A B C +=-,本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=,结合余弦定理得到22512AD x =-,进而利用基本不等式求最值.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)数列{}n a 满足35a =,点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上,设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足233n n S b =-,*n ∈N .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)是否存在*k ∈N ,使得对任意的*n ∈N ,都有n kn ka ab b ≤.【答案】(1)21n a n =-;3nn b =(2)存在1k =,2,使得对任意的*n ∈N ,都有n k n ka ab b ≤【分析】(1)根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列,由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列,进而可求其通项,(2)根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】(1)点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上,所以12n n a a +-=又35a =,∴11a =,则数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列.∴21n a n =-又当1n =时,11233S b =-得13b =,当2n ≥,由233n n S b =-①,得11233n n S b --=-②由①-②整理得:13n n b b -=,∵130b =≠,∴10n b -≠∴13nn b b -=,∴数列{}n b 是首项为3,公比为3的等比数列,故3nn b =(2)设213nn n na n cb -==,由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时,12c c =,当2n ≥时,1n n c c +<,所以当1n =或2时,n c 取得最大值,即nna b 取得最大所以存在1k =,2,使得对任意的*n ∈N ,都有n kn ka ab b≤18.(12分)如图,将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置,连接AD.(1)求证:AD BC ⊥;(2)若M 是棱DA 上一点,且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ,求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)取BC 中点为O ,证明BC ⊥平面AOD 即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值.【详解】(1)设O 是BC 的中点,连接AO ,DO ,由题知:AB AC =,DB DC =,则BC AO ⊥,BC DO ⊥,又AO DO O ⋂=,,AO DO ⊂平面AOD ,所以BC ⊥平面AOD ,又AD ⊂平面AOD ,所以AD BC ⊥.(2)由题知,OA 、BC 、OD 两两垂直,以O 为原点,,,OA OB OD方向分别为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,因为2BMD BMA S S = ,所以13AM AD =,设2AB a =,则OA OD ==,则),0,0A,()0,,0B a ,()0,,0C a -,()D,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.所以),,0CA a =,),0,DA =,,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭,设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r,则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ,取1x =,可得()1,n = ,设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ,则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19.(12分)甲、乙两位选手参加一项射击比赛,每位选手各有n 个射击目标,他们击中每一个目标的概率均为12,且相互独立.甲选手依次对所有n 个目标进行射击,且每击中一个目标可获得1颗星;乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击,击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止,且每击中一个目标可获得2颗星.(1)当5n =时,分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率;(2)若累计获得星数多的选手获胜,讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜.【答案】(1)516,116;(2)当1,2,3n =时,乙更可能获胜;当4n ≥时,甲更可能获胜.【分析】(1)根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率,由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率;(2)设X 为甲累计获得的星数,Y 为乙累计获得的星数,分别计算期望,分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ,得出结论.【详解】(1)当5n =时,甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=,乙击中3个目标,则前3个目标被击中,第4个目标未被击中,其概率为32111()2216P =⨯=.(2)设X 为甲累计获得的星数,则0,1,2,,X n = ,设Y 为乙累计获得的星数,则0,2,4,,2Y n = ,设击中了m 个目标,其中0m n ≤≤,则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===,所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ,所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ,所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=,当m n =时,1(2)2nP Y m ==,所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ,记230242(1)2222n n n T -=++++ ,则121242(1)20222n n n T --=++++ ,所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ,11()22n E Y -=-,当1n =时,1()()12E X E Y =<=,当2n =时,3()1()2E X E Y =<=,当3n =时,37()()24E X E Y =<=,当4n ≥时,()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时,乙更可能获胜;当4n ≥时,甲更可能获胜.20.(12分)已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合,直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切.(1)求椭圆Ω的方程;(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ,B ,M 为线段AB 的中点,O 为坐标原点,射线OM 与椭圆Ω相交于点P ,且O 点在以AB 为直径的圆上,记AOM ,BOP △的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的取值范围.【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】(1)根据条件建立关于,a b 的方程组,即可求解椭圆方程;(2)根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△,分直线斜率不存在,或斜率为0,以及斜率不为0,三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】(1)∵抛物线2y =的焦点为),∴c =从而223a b =+①,∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②,由①②得:ab ,∴椭圆Ω的方程为:22163x y +=(2)∵M 为线段AB 的中点,∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△,(1)当直线2l 的斜率不存在时,2l x ⊥轴,由题意知OA OB ⊥,结合椭圆的对称性,不妨设OA 所在直线的方程为y x =,得22Ax =,从而22Mx =,26P x =,123M P OM x S S OP x ∴===(2)当直线2l 的斜率存在时,设直线()2:0l y kx m m =+≠,()11,A x y ,()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得:()222214260k x kmx m +++-=,由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得:22630k m -+>(*)∴122421km x x k +=-+,21222621m x x k -=+,∵O 点在以AB 为直径的圆上,∴0OA OB ⋅=,即12120x x y y +=,∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=,即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭,2222,m k ⇒=+(**)满足(*)式.∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,若0k =时,由(**)可得:22m =,此时123OM S S OP ∴===,若0k ≠时,射线OM 所在的直线方程为12y x k=-,由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得:2221221P k x k =+,12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小,∵0k ≠,∴20k >,∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上,1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为()()1122,,,x y x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,必要时计算∆;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x (或12y y +、12y y )的形式;(5)代入韦达定理求解.21.(12分)已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时,证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+,求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】(1)()e 1x f x x =--,求导得min ()(0)0f x f ==,则()0f x ;(2)由题得11e x ax a =+,22e xax a =+,则21211e1x x x x -+=+,()1212e e 2x x a x x +=++,()2121e e x x a x x -=-,则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-,从而设21[ln 2,2]t x x =-∈,得到()121e 2e 1t tt x x +++=-,利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域,则得到12x x+的范围.【详解】(1)证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .(2)由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=,则11e x ax a =+,22e xax a =+,从而21211e 1x xx x -+=+,()1212e e 2x x a x x +=++,()2121e e x x a x x -=-,故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--,因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+,所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦,即[]21ln 2,2x x -∈,设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--,由(1)可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛:本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++,即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-,然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈,则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-,最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-,直线l 与曲线C 相交于A ,B两点,)M.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若2AM MB =,求直线l 的斜率.【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】(1)根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩,运算求解;(2)联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程,根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】(1)∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--,则2222cos 4sin 4ρθρθ+=,∴2244x y +=,即2214x y +=,故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.(2)将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=,得)()22cos sin 14t t αα+=,整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=,设A ,B 两点所对应的参数为12,t t ,则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+,∵2AM MB =,则122t t =-,联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩,解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭,解得2223tan 4k α==,故直线l的斜率为2±.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设a 、b 、c 为正数,且b c c a a ba b c+++≤≤.证明:(1)a b c ≥≥;(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由不等式的基本性质可得出111abc≤≤,利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立;(2)利用基本不等式可得出a b +≥,2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】(1)证明:因为a 、b 、c 为正数,由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤,所以,111a b c≤≤,因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数,故a b c ≥≥.(2)证明:由基本不等式可得a b +≥,2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,当且仅当a b c ==时,等号成立,故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科)含解析

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2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷(理科)一、选择题1.已知函数/(x)-2x,集合A=(x|/-(x)WO},B={x\f(x)W0},则AI~IB=()A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.(-8,1]U[2,+8)2.设7是虚数单位,若复数z=l+i,则2-+z2= Z3.4. 5. 6.A.1+i B.1-i C.-1-i D.一1+i命题w Vxe(0,1),e~x>lnx"的否定是(A.Vxe(o,1),e~x^:lnxB.3xo£(0,1),e~x o>ZwxoC.3xoG(0,1),e~x o<ZnxoD.3xoG(0,1),e-XoWlnx。

已知援i=J§,应=2,若如G-Q,则向量二+E在向量£方向的投影为()在三角形ABC中,A.充分不必要C.充要R7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件,则该木件的体积为(B-2「1C--2"sinA>sinB"是"tanA>tanB"的()条件B.必要不充分D.既不充分也不必要阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(I弓始]B.6A.111222~3A1.2())c.2-4D)7.)B. 48tt +9-、v 危A. 2471+9^/38.函数 j=cos2x - y/^inlx (xG[O, -^-])兀B. [0,—]oC. 48tt +18-/3的单调递增区间是(D. 144tt +18-/3兀A - T ]C [匹兰• 6,2x-4y+4<09.在平面直角坐标系中,若不等式组2x+y-10<0所表示的平面区域内存在点Go, jo),)c 「兀 兀D.[—,—3 25x-2y+2》0使不等式xo+myo+lW 0成立,则实数钢的取值范围为()A. (— °°, — —]B. (- °°, -C. [4, +°°)D. (一 8, — 4]10. 已知函数/ (x) =e x ~1+x - 2的零点为初,若存在实数〃使x 2 - ax - a+3 = 0且\m - n\W1,则实数0的取值范围是()A. [2, 4]B. [2,方C, [?, 3]D. [2, 3]O O2 211. 已知双曲线E: %一土=1(0>°,力>°)满足以下条件:①双曲线E 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点H 重合;②双曲线E 与过点P (4, 2)的幕函数f (x)=尸的图象交于点0 且该暴函数在点。

2020年高考理科数学模拟考(一)

2020年高考理科数学模拟考(一)

模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019·陕西模拟]设集合M ={x ||x -1|≤1},N ={x |y =lg(x 2-1)},则M ∩∁R N =( )A .[1,2]B .[0,1]C .(-1,0)D .(0,2) 答案:B解析:M ={x ||x -1|≤1}={x |0≤x ≤2},N ={x |y =lg(x 2-1)}={x |x >1或x <-1},∴M ∩∁R N ={x |0≤x ≤1},故选B.2.[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1-i)2=1+i(i 为虚数单位),则|z |为( )A.12B.22C. 2 D .1 答案:B解析:因为复数z 满足z (1-i)2=1+i ,所以z =1+i(1-i )2=1+i-2i=-12+12i ,所以|z |=22,故选B.3.要计算1+12+13+…+12 017的结果,如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A .n <2 017B .n ≤2 017C .n >2 017D .n ≥2 017sin x +cos x ≤2”是真命题,所以綈p 是假命题,故D 错误.故选A.6.[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A .8B .6 2C .8 2D .8 3 答案:C解析:如图,连接AC 1,BC 1,AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ,∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,∴ ∠AC 1B =30°.又AB =BC =2,在Rt △ABC 1中,AC 1=2sin 30°=4,在Rt △ACC 1中,CC 1=AC 2 1-AC 2=42-(22+22)=22,∴ V 长方体=AB ×BC ×CC 1 =2×2×22=8 2.故选C.7.[2019·江西联考]已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1,x -y +m 2≥0,x +y -1≥0,若目标函数z =-2x +y 的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是( )A .(-3,3)B .[0,3]C .[-3,0]D .[-3,3] 答案:D解析:将z =-2x +y 化为y =2x +z ,作出可行域和目标函数在z =0时的直线y =2x (如图所示),当直线y =2x +z 向左上方平移时,直线y =2x +z 在y 轴上的截距z 增大,由图象可知,当直线y =2x +z 过点A 时,z取得最大值,联立⎩⎨⎧x -y +m 2=0,x +y -1=0,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1-m 22,1+m 22,则-2×1-m 22+1+m 22≤4,解得-3≤m ≤3,故选D.8.已知数列{a n },{b n },其中{a n }是首项为3,公差为整数的等差数列,且a 3>a 1+3,a 4<a 2+5,a n =log 2b n ,则{b n }的前n 项和S n =( )A .8(2n -1)B .4(3n -1) C.83(4n -1) D.43(3n -1) 答案:C解析:设数列{a n }的公差为d (d ∈Z ),由题意,得a n =3+(n -1)d ,由a 3>a 1+3,a 4<a 2+5可得⎩⎨⎧2d >3,2d <5,所以d =2,所以a n =2n +1.因为a n =log 2b n ,即2n +1=log 2b n ,所以b n =22n +1=8×4n -1,所以数列{b n }是以8为首项,4为公比的等比数列,所以S n =8(1-4n )1-4=83(4n -1),故选C.9.[2019·河南开封模拟]函数f (x )=x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案:D解析:由解析式可知函数为偶函数,当x >0时,f (x )=x ln x ,f ′(x )=1+ln x ,即0<x <1e 时,函数f (x )单调递减;当x >1e ,函数f (x )单调递增.故选D.10.[2019·四川绵阳南山中学诊断]若圆x 2+y 2+4x -4y -10=0上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .[2-3,2+3]B .[-2-3,3-2]C .[-2-3,2+3]D .[-2-3,2-3] 答案:B解析:圆x 2+y 2+4x -4y -10=0可化为(x +2)2+(y -2)2=18,则圆心为(-2,2),半径为32,则由圆x 2+y 2+4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =0的距离为22,得圆心到直线l :ax +by =0的距离d ≤32-22=2,即|-2a +2b |a 2+b 2≤2,则a 2+b 2-4ab ≤0,若b =0,则a =0,故不成立,故b ≠0,则上式可化为1+⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2-4·a b ≤0,由直线l 的斜率k =-a b ,则上式可化为k 2+4k +1≤0,解得-2-3≤k ≤-2+ 3.故选B.11.[2019·广西两校联考]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bc =1,b +2c cos A =0,则当角B 取得最大值时,△ABC 的周长为( )A .2+ 3B .2+ 2C .3D .3+ 2 答案:A解析:解法一 由题意可得,sin B +2sin C cos A =0,即sin(A +C )+2sin C cos A =0,得sin A cos C =-3sin C cos A ,即tan A =-3tan C .又cos A=-b2c <0,所以A 为钝角,于是tan C >0.从而tan B =-tan(A +C )=-tan A +tan C1-tan A tan C =2tan C 1+3tan 2C=21tan C +3tan C,由基本不等式,得1tan C +3tan C ≥21tan C ×3tan C =23,当且仅当tan C =33时等号成立,此时角B 取得最大值,且tan B =tan C =33,tan A =-3,即b =c ,A =120°,又bc =1,所以b =c =1,a =3,故△ABC 的周长为2+ 3.解法二 由已知b +2c cos A =0,得b +2c ·b 2+c 2-a 22bc =0,整理得2b 2=a 2-c 2.由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32,当且仅当a =3c 时等号成立,此时角B 取得最大值,将a =3c 代入2b 2=a 2-c 2可得b =c .又bc =1,所以b =c =1,a =3,故△ABC 的周长为2+ 3.故选A.12.[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )=x 2e x ,若函数g (x )=[f (x )]2-kf (x )+1恰有4个零点,则实数k 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪(2,+∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2+e 24,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2,2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,4e 2+e 24 答案:B解析:f ′(x )=2x e x +x 2e x =x (x +2)e x ,令f ′(x )=0,解得x =0或x =-2.∴当x <-2或x >0时,f ′(x )>0;当-2<x <0时,f ′(x )<0. ∴f (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴当x =-2时,函数f (x )取得极大值f (-2)=4e 2, 当x =0时,f (x )取得极小值f (0)=0.∵f (x )=x 2e x ≥0,∴作出f (x )的大致图象如右图所示.令f (x )=t ,则当t =0或t >4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 只有1个解;当t =4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 有2个解;当0<t <4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 有3个解.∵g (x )=[f (x )]2-kf (x )+1恰有4个零点,∴关于t 的方程t 2-kt +1=0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,4e 2上有1个解,在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2,+∞∪{0}上有1解,显然t =0不是方程t 2-kt +1=0的解,∴关于t 的方程t 2-kt +1=0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2,+∞上各有1个解,∴16e 4-4k e 2+1<0,解得k >4e 2+e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.13.[2019·郑州测试]在⎝⎛⎭⎪⎫x +3x n 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32:1,则x 2的系数为________.答案:90解析:令x =1,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3x n =4n,所以⎝⎛⎭⎪⎫x +3x n 的展开式中,各项系数和为4n ,又二项式系数和为2n,所以4n2n =2n =32,解得n =5.二项展开式的通项T r +1=C r 5x 5-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r =C r 53r x 35-r2,令5-32r =2,得r =2,所以x 2的系数为C 2532=90.14.在△ABC 中,若(AB →-2AC →)⊥AB →,(AC →-2AB →)⊥AC →,则△ABC的形状为________.答案:等边三角形解析:(AB →-2AC →)⊥AB →⇒(AB →-2AC →)·AB →=0,即AB →·AB →-2AC →·AB →=0.(AC →-2AB →)⊥AC →,即(AC →-2AB →)·AC →=0,即AC →·AC →-2AB →·AC→=0,∴sin B =1-cos 2B =1-13=63.由正弦定理知a sin A =b sin B ,∴b =a sin B sin A =2×6332=423,∴b =423.18.(本小题满分12分)[2019·云南昆明一中模拟]某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平,在全校范围内进行了汉字听写考试,发现其成绩服从正态分布N (69,49),现从该校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)估算该校50名学生成绩的平均值x -(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数;(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4,P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.解析:(1)x -=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2.(2)(0.008+0.012)×10×50=10(名). (3)P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4, 则P (X ≥90)=1-0.997 42=0.001 3. 0.001 3×20 000=26,所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上.上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50=4人. 随机变量X =0,1,2.于是P (X =0)=C 26C 210=13,P (X =1)=C 16·C 14C 210=815,P (X =2)=C 24C 210=25.所以X 的分布列为X0 1 2 P13815215数学期望E (X )=0×13+1×815+2×225=45. 19.(本小题满分12分)[2019·合肥市质检]如图所示,在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥底面ABCD ,四边形ABCD 为菱形,∠BAD =120°,AB =AA 1=2A 1B 1=2.(1)若M 为CD 中点,求证:AM ⊥平面AA 1B 1B ; (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值. 解析:(1)证明:四边形ABCD 为菱形,∠BAD =120°,连接AC ,如图,则△ACD 为等边三角形,又M 为CD 中点,∴AM ⊥CD ,由CD ∥AB 得,AM ⊥AB ,∵AA 1⊥底面ABCD ,AM ⊂平面ABCD ,∴AM ⊥AA 1,又AB ∩AA 1=A ,∴AM ⊥平面AA 1B 1B .。

2020年高考模拟重庆市直属校(3月)高考(理科)数学模拟测试卷 含解析

2020年高考模拟重庆市直属校(3月)高考(理科)数学模拟测试卷 含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题1.设集合A={x|x2<9},B={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣2,﹣1,0,1,2}D.{﹣2,﹣1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b是实数,i为虚数单位,则|3a+bi|=()A.2B.C.D.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16,则log2a9=()A.15B.16C.17D.184.若实数x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值为()A.﹣8B.﹣6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目,则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A.B.C.D.6.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=()A.B.C.D.7.在直角坐标系xOy中,半径为lm的⊙C在t=0时圆心C与原点O重合,⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动,⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x,令y=cos x,则y关于时间t(0≤t≤l,单位:s)的函数的图象大致为()A.B.C.D.8.的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为()A.40B.30C.20D.109.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,如果,x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=()A.B.C.D.10.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,球O的半径为4,△ABC是边长为6的等边三角形,记△ABC的外心为O1.若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1=()A.B.C.D.11.设双曲线)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y2=a2与直线bx﹣ay=0交于坐标原点O及另一点E,且存在以O为圆心的圆与线段EF相切,切点为EF的中点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.312.函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)﹣af(x)+a﹣a2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是()A.B.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪{1}D.(﹣1,0)∪{1}二、填空题:(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量与的夹角为120°,且,则=.14.已知函数f(x)=3|x﹣a|(a∈R)满足f(x)=f(4﹣x),则实数a的值为.15.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣(n2+n﹣2)S n﹣2(n2+n)=0,n∈N*,则数列的前2020项和T2020=.16.设抛物线y2=2x的焦点为F,准线为1,弦AB过点F且中点为M,过点F,M分别作AB的垂线交l于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|•|MQ|=.三、解答题:(共70分)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若a=4,且BC边上的高为,求△ABC的周长.18.如图,四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点F的位置,且∠FEB=60°.(Ⅰ)求证:平面BFC⊥平面BCDE;(Ⅱ)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(Ⅰ)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得=x i=9.96,s==≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(Ⅱ)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C 交于A,B两点.△ABF2的周长为,且椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(Ⅱ)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.已知函数f(x)=e ax﹣x﹣1,且f(x)≥0.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)=k成立?若存在,求出x0的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(Ⅰ)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|•|PN|的值;(Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=x|x﹣a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(﹣2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(﹣∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y﹣a|恒成立,求a的取值范围.参考答案一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x2<9},B={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣2,﹣1,0,1,2}D.{﹣2,﹣1,0}【分析】可以求出集合A,然后进行交集的运算即可.解:∵A={x|﹣3<x<3},B={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∩B={﹣2,﹣1,0,1,2}.故选:C.2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b是实数,i为虚数单位,则|3a+bi|=()A.2B.C.D.【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可.解:由题意可知:,∴a=1,b=﹣1,∴3a+bi=3﹣i,∴|3a+bi|=|3﹣i|=,故选:D.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16,则log2a9=()A.15B.16C.17D.18【分析】由等比数列的能项公式得2q2=2×2q+16,且q>0,解得q=4,由此能求出log2a9的值.解:∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16,∴2q2=2×2q+16,且q>0,解得q=4,∴log2a9==17.故选:C.4.若实数x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值为()A.﹣8B.﹣6C.1D.3【分析】由题意作平面区域,),从而求最小值解:由题意作平面区域如下,由解得,A(﹣4,﹣2),z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值.故z=x+y的最小值是﹣6,故选:B.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目,则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A.B.C.D.【分析】基本事件总数n==10,所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m==7,由此能求出所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率.解:我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目,基本事件总数n==10,所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m==7,则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p==.故选:B.6.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=()A.B.C.D.【分析】推导出EF∥BD1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,得AF∥BG,从而==.解:∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,∴EF∥BD1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,∵G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,∴AF∥BG,∴==.故选:B.7.在直角坐标系xOy中,半径为lm的⊙C在t=0时圆心C与原点O重合,⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动,⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x,令y=cos x,则y关于时间t(0≤t≤l,单位:s)的函数的图象大致为()A.B.C.D.【分析】根据题意,由特殊值法分析:令t=0、、1,求出对应的y的值,据此分析即可得答案.解:根据题意,⊙C的半径为1,则其周长l=2π,当t=0时,⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x=π,此时y=cosπ=﹣1;当t=时,⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x=,此时y=cos=﹣<0;当t=1时,⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x=2π,此时y=cos2π=1;据此排除BCD;故选:A.8.的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为()A.40B.30C.20D.10【分析】由题意利用二项式系数的性质求出n、m的值,再利用二项展开式的通项公式,求出展开式中x3的系数.解:∵的展开式中,各二项式系数和为2n=32,∴n=5.再令x=1,可得各项系数和为(m+1)5=243=35,∴m=2,则展开式中的通项公式为T r+1=•m5﹣r•,令5﹣=3,可得r=4,故展开式中x3的系数为•2=10,故选:D.9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,如果,x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=()A.B.C.D.【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得f(x)的解析式,再利用余弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值,可得f(x1+x2)的值.解:根据函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象,可得=﹣,∴ω=2.再根据五点法作图可得2•+φ=﹣,∴φ=﹣,∴f(x)=cos(2x﹣).如果,x1≠x2,则2x1﹣∈(﹣,),2x2﹣∈(﹣,),∵f(x1)=f(x2),∴2x1﹣+(2x2﹣)=0,∴x1+x2=,则f(x1+x2)=cos(﹣)=cos=﹣cos=﹣,故选:B.10.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,球O的半径为4,△ABC是边长为6的等边三角形,记△ABC的外心为O1.若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1=()A.B.C.D.【分析】由题意可得:S△ABC==9,O1A=2,O1O=2.设点P到平面BAC的高为h,由=×h×9,解得h.可得点P所在小圆⊙O2(⊙O1与⊙O2所在平面平行)上运动,即可得出.解:由题意可得:S△ABC==9,O1A=2,O1O=2.设点P到平面BAC的高为h,由=×h×9,解得h=4.∴点P所在小圆⊙O2(⊙O1与⊙O2所在平面平行)上运动,OO2=2.∴O2P=2.∴PO1==2.故选:D.11.设双曲线)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y2=a2与直线bx﹣ay=0交于坐标原点O及另一点E,且存在以O为圆心的圆与线段EF相切,切点为EF的中点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.3【分析】联立.⇒E(﹣,﹣),由OE=OF,e=.解:联立.⇒E(﹣,﹣),∵OE=OF,∴,∴4a4=c4⇒e=.故选:B.12.函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)﹣af(x)+a﹣a2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是()A.B.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪{1}D.(﹣1,0)∪{1}【分析】利用导数先判断出函数f(x)的图象,条件可转化为关于t的方程t2﹣at+a﹣a2=0有两个实数根t1=0,t2=1或t1∈(0,1),t2∈(﹣∞,0)∪(1,+∞),分情况讨论即可解:当x≥0时,f′(x)e1﹣x(1﹣x),所以当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=0,当x→+∞时,f(x)→0,当x<0时,f(x)单调递减,所以f(x)的图象如图所示:令t=f(x),则由上图可知当t=0或1时,方程t=f(x)有两个实根;当t∈(0,1)时,方程t=f(x)有3个实数根;当t∈(﹣∞,0)∪(1,+∞)时,方程t=f(x)有一个实数根,所以关于x的方程程f2(x)﹣af(x)+a﹣a2=0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2=0有两个实数根t1=0,t2=1或t1∈(0,1),t2∈(﹣∞,0)∪(1,+∞),当t1=0,t2=1时,a=1,当t1∈(0,1),t2∈(﹣∞,0)∪(1,+∞)时,(02﹣a×0+a﹣a2)(12﹣a×1+a﹣a2)<0,解得﹣1<a<0,综上所述,a∈(﹣1,0)∪{1}.故选:D.二、填空题:(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量与的夹角为120°,且,则=﹣5.【分析】由题意可得向量的模长,再直接代入数量积可得.解:因为向量与的夹角为120°,且,所以:||==;则=××cos120°=10×(﹣)=﹣5;故答案为:﹣5.14.已知函数f(x)=3|x﹣a|(a∈R)满足f(x)=f(4﹣x),则实数a的值为2.【分析】结合指数函数的性质,建立指数方程进行求解即可.解:∵f(x)=f(4﹣x),∴函数关于x=2对称,即f(a)=f(4﹣a),即3|a﹣a|=3|4﹣a﹣a|,即30=3|4﹣2a|即|4﹣2a|=0,得2a﹣4=0,得a=2,故答案为:215.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣(n2+n﹣2)S n﹣2(n2+n)=0,n∈N*,则数列的前2020项和T2020=.【分析】本题先对题干中的等式进行因式分解,根据题意可得S n的表达式,然后根据公式a n=可计算出数列{a n}的通项公式,即可计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法即可计算出前2020项和T2020的值.解:依题意,由S n2﹣(n2+n﹣2)S n﹣2(n2+n)=0,n∈N*,可得[S n﹣(n2+n)](S n+2)=0.∵数列{a n}的各项均为正数,∴S n>0.∴S n=n2+n,n∈N*.当n=1时,a1=S1=12+1=2,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n.∴a n=2n,n∈N*.∴==(﹣).∴T2020=++…+=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=.故答案为:.16.设抛物线y2=2x的焦点为F,准线为1,弦AB过点F且中点为M,过点F,M分别作AB的垂线交l于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|•|MQ|=.【分析】作BF⊥l于F,作AE⊥l于E,令准线于x轴交点为S,AB交准线于K.设BH=m,则AF=3m,可得∠HKB=,FK=2,QM=MK•tan30°=4m×tan30°.=,即可求解.解:如图,作BF⊥l于F,作AE⊥l于E,令准线于x轴交点为S,AB交准线于K.设BH=m,则AF=3m,∵,∴BK=2m则sin∠HKB=,∴∠HKB=30°.∵,∴,∴,∴FK=2.∴.QM=MK•tan30°=4m×tan30°.=则|FP|•|MQ|=.故答案为:.三、解答题:(共70分)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若a=4,且BC边上的高为,求△ABC的周长.【分析】(Ⅰ)由正弦定理,两角和到正弦函数公式化简已知等式可得sin A cos B=sin B sin A,结合sin A>0,可得cos B=sin B,结合范围B∈(0,π),可求B的值.(Ⅱ)由已知可求c的值,在△ABC中,由余弦定理可求b到值,即可得解△ABC的周长.解:(Ⅰ)∵.∴由正弦定理可得:sin C=sin B(cos A+sin A),∵sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,∴可得:sin A cos B=sin B sin A,∵A∈(0,π),sin A>0,∴cos B=sin B,∵B∈(0,π),∴tan B=,B=.(Ⅱ)如图,AD=,B=,则c=AB==2,又a=4,在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B=4,可得b=2,可得△ABC的周长为a+b+c=6+2.18.如图,四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点F的位置,且∠FEB=60°.(Ⅰ)求证:平面BFC⊥平面BCDE;(Ⅱ)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.【分析】(Ⅰ)由DE⊥AB,得DE⊥EB,DE⊥EF,从而DE⊥平面BEF,进而DE⊥BF,FB⊥EB,BF⊥平面BCDE,由此能证明平面BFC⊥平面BCDE.(Ⅱ)以B为原点,BA为x轴,在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴,BF为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣C的正弦值.解:(Ⅰ)证明:∵DE⊥AB,∴DE⊥EB,DE⊥EF,∴DE⊥平面BEF,∴DE⊥BF,∵AE=2EB=2,∴EF=2,EB=1,∵∠FEB=60°,∴由余弦定理得BF==,∴EF2=EB2+BF2,∴FB⊥EB,由①②得BF⊥平面BCDE,∴平面BFC⊥平面BCDE.(Ⅱ)解:以B为原点,BA为x轴,在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴,BF 为z轴,建立空间直角坐标系,设DE=a,则D(1,a,0),F(0,0,),=(﹣1,﹣a,),∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为,平面BCDE的法向量=(0,0,1),∴|cos<>|===,解得a=2,∴D(1,2,0),C(﹣2,2,0),∴=(0,2,0),=(﹣1,﹣2,),设平面EDF的法向量=(x,y,z),则,取z=1,得=(),同理得平面DFC的一个法向量=(0,,2),∴cos<>==,∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin<>==.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(Ⅰ)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得=x i=9.96,s==≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(Ⅱ)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.【分析】(I)由=9.96,s=0.19.可得:=9.96,=0.19,由样品数据看出有一样药品的主要药理成分(9.22)含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)=(9.39,10.53)之外的药品,即可判断出结论.(II)抽取的一件药品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,而主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.0026,可得X~B(20,0.0026),可得P(X=1),及其E(X).解:(I)由=9.96,s=0.19.可得:=9.96,=0.19,由样品数据看出有一样药品的主要药理成分(9.22)含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)=(9.39,10.53)之外的药品,因此需对本次的生产过程进行检查.(II)抽取的一件药品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,而主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.0026,故X~B(20,0.0026),∴P(X=1)=0.997419×0.0026≈0.0494.X的数学期望E(X)=20×0.0026≈0.052.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C 交于A,B两点.△ABF2的周长为,且椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(Ⅱ)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.【分析】(Ⅰ)由题意可得4a=4,结合离心率即可求出c,再利用b2=a2﹣c2即可求出b2,从而求出椭圆C的方程;(Ⅱ)点P(0,﹣1),F1(﹣1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为:x=my﹣1,则可知m≠﹣1,与椭圆方程联立,利用韦达定理可求|MN|=6,当m=0时,|MN|=6,当m≠0时利用基本不等式求得|MN|的最小值为6<6,在m=1处取得,所以当|MN|最小时,直线AB的方程为:x=y﹣1,即x﹣y+1=0.解:(Ⅰ)由题意可得:4a=4,,∴a=,c=1,∴b2=a2﹣c2=1,∴椭圆C的方程为:;(Ⅱ)点P(0,﹣1),F1(﹣1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为:x=my﹣1,则可知m≠﹣1,联立方程,消去y得:(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,∴,,直线PA的方程为:(y1+1)x﹣x1y﹣x1=0,可得,同理,|MN|=||=3||=3=3=6,当m=0时,|MN|=6,当m≠0时,|MN|=6,由于m+∈(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞),则,此时|MN|的最小值为6<6,在m=1处取得,综上所述,当|MN|最小时,直线AB的方程为:x=y﹣1,即x﹣y+1=0.21.已知函数f(x)=e ax﹣x﹣1,且f(x)≥0.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)=k成立?若存在,求出x0的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.【分析】(I)结合已知先对函数求导,然后结合已知导数可求函数的单调性,进而可求函数的最小值,解不等式可求;(II)结合直线的斜率公式及函数的性质及零点判定定理即可求解.解:(1)若a≤0,则对一切x>0,f(x)=)=e ax﹣x﹣1<0,不符合题意,若a>0,f′(x)=ae ax﹣1,令f′(x)=ae ax﹣1=0可得x=,当x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,故当x=﹣时,函数取得最小值f(﹣)=,由题意可得,有≥0①,令g(t)=t﹣tlnt﹣1,则g′(t)=﹣lnt,当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减,故当t=1时,g(t)取得最大值g(1)=0,当且仅当=1即a=1时①成立,综上a=1;(II)由题意可知,k==﹣1,令t(x)=f′(x)﹣k=e x﹣,则可知y=t(x)在[x1,x2]上单调递增,且t(x1)=[﹣(x2﹣x1)﹣1],t(x2)=[e﹣(x1﹣x2)﹣1],由(I)可知f(x)=e x﹣x﹣1≥0,x=0时取等号,∴﹣(x2﹣x1)﹣1≥0,e﹣(x1﹣x2)﹣1≥0,∴t(x1)<0,t(x2)>0,由零点判定定理可得,存在x0∈(x1,x2),使得t(x0)=0且,综上可得,存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)=k成立请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(Ⅰ)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|•|PN|的值;(Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.【分析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,转换为直角坐标方程为.点P的极坐标为(2,π),转换为直角坐标为(﹣2,0)由于点P(﹣2,0)在直线l 上,所以直线l的参数方程为(t为参数),转化为(t为参数),所以代入曲线的方程为,整理得,所以|PM|•|PN|=|t1t2|=4.(Ⅱ)不妨设Q(),(),所以该矩形的周长为4()=16sin().当时,矩形的周长的最大值为16.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=x|x﹣a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(﹣2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(﹣∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y﹣a|恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)求得关于a的不等式,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式,求并集即可;(2)原不等式等价为f(x)max≤(|y+3|+|y﹣a|)min,运用家的孩子不等式的性质和二次函数的最值求法,分别求得最值,解不等式可得所求范围.解:(1)f(2)+f(﹣2)>4,可得2|2﹣a|﹣2|2+a|>4,即|a﹣2|﹣|a+2|>2,则或或,解得a≤﹣2或﹣2<a<﹣1或a∈∅,则a的范围是(﹣∞,﹣1);(2)f(x)≤|y+3|+|y﹣a|恒成立,等价为f(x)max≤(|y+3|+|y﹣a|)min,其中当x,y∈(﹣∞,a],|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|=|a+3|=a+3,当且仅当﹣3≤y≤a取得等号,而f(x)=﹣x(x﹣a)=﹣(x﹣)2+≤,当且仅当x=a时取得等号.所以≤a+3,解得0<a≤6.。

高考理科数学(1卷):答案详细解析(最新)

高考理科数学(1卷):答案详细解析(最新)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)答案详解一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(复数)若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+,∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-,∴2=22z z -.【答案】D2.(集合)设集合{}240A x x =-≤,{}20B x x a =+≤,且{}21A B x x =-≤≤ ,则a =A.-4B.-2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤,2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭,∵{}21A B x x =-≤≤ ,∴12a -=,解得2a =-.【答案】B 3.(立体几何,同文3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示,设正四棱锥底面的边长为a ,则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=,令m t a =,则有24210t t --=,∴114t +=,214t -=(舍去),即14m a +=.图A3【答案】C4.(解析几何)已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =A .2B .3C .6D .9【解析】设A 点的坐标为(m ,n ),∵点A 到C 的焦点的距离为12,∴m =9,∵点A 到C 的焦点的距离为12,∴122p m +=,解得6p =.【答案】C5.(概率统计,同文5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验,由实验数据,)(i i x y i =(1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10C 至40C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知,本题的回归方程类型为对数函数,故选D 选项.【答案】D6.(函数)函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A .21y x =--B .21y x =-+C .23y x =-D .21y x =+【解析】32()46f x x x '=-,∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-,又∵(1)1f =-,∴所求的切线方程为12(1)y x +=--,化简为21y x =-+.【答案】B7.(三角函数,同文7)设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-,的图像大致如下图,则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴4ππcos()=096x ω-+,∴4πππ=962x ω-+-,解得23=ω,∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.(概率统计)25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5),∴1r =时,2141335C 5y x y x y x=,∴3r =时,323335C 10x x y x y =,∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.(三角函数)已知(0,)α∈π,且3cos28cos 5αα-=,则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-,将3cos28cos 5αα-=化简为,23cos 4cos 40αα--=,解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去),又∵(0,)α∈π,∴5sin 3α=.【答案】A 10.(立体几何,同文12)已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π,1AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为A .64πB .48πC .36πD .32π【解析】由题意可知, 1O 为的半径r =2,由正弦定理可知,24sin ==AB r C,则14sin 4sin 60==== OO AB C ,∴球O 的半径4R ==,∴球O 的表面积为24π64πR =.图A10【答案】A11.(解析几何)已知22:2220M x y x y +---= ,直线:20+=l x y ,p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ,PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时,直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y , M 的半径r =2,圆心(1,1)M ,由几何知识可知,⊥PM AB ,故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ,∴⋅PM AB 最小,即PM 最小,此时直线PM ⊥l ,即直线PM 的斜率为12=m k ,故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ,化简为1122=+y x ,∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ,直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线,其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ,化简得210++=x y .图A11【答案】D注:过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时,切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.(具体推到过程,可到百度搜索)12.(函数)若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质,原等式可化为2222log 2log a b a b +=+,∵222log 1log log 2b b b <+=,∴22222log 2log 2b b b b +<+,∴2222log 2log 2a b a b +<+,设2()2log x f x x =+,则有()(2)f a f b <,由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增,∴2a b <.【答案】B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--,{1,0,1}A =-,{1,2}B =,则()U C A B ⋃=( ) A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-,∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角,则( ) A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈,∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈,∴2α是第三象限角或第四象限角,∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( ) A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单,则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,己知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇形面形石板(不含天心石)( ) A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环,由题可知从内到外每环之间构成等差数列,公差9d =,19a =,由等差数列性质知n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列,且2322()()n n n n S S S S n d ---=,则29729n =,得9n =,则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ,则半径为a ,圆过点(2,1),则222(2)(1)a a a -+-=,解得1a =或5a =,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中,12a =,m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =( )A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =,则11n n a a a +=,又12a =,所以12n na a +=,所以{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,则2nn a =,所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--,得4k =.7.右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ,在俯视图中对应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为( )A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成,如图所示,显然选A.8.设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ,E 两点,若ODE ∆的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±,则容易得到||2DE b =,则8ODE S ab ∆==,222216c a b ab =+≥=,当且仅当a b ==号成立,所以min 4c =,焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则()f x ( )A. 是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数,且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数,且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,则()f x 为奇函数,故排除A 、C ;当11(,)22x ∈-时,()ln(21)ln(12)f x x x =+--,根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增,故排除B ;当1(,)2x ∈-∞-时,212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--,根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减,故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上,若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( )B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ,记1OO d =,圆1O 的半径为r ,球O 半径为R ,等边三角形ABC ∆的边长为a ,则2ABC S ∆==,可得3a =,于是r ==,由题知球O 的表面积为16π,则2R =,由222R r d =+易得1d =,即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-,则( ) A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-,设()23x x f x -=-,则()2ln 23ln30x xf x -'=+>,所以函数()f x 在R 上单调递增,因为()()f x f y <,所以x y <,则11y x -+>,ln(1)0y x -+>,选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=,且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立,则称其为01-周期序列,并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期,对于周期为m的01-序列12......n a a a ,11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标,下列周期为5的01-序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是( ) A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项:511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑,5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑,不满足,排除;对于B 选项,5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑,不满足,排除;对于C 选项,511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑,52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑,53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑,541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑,满足;对于D 选项,5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑,不满足,排除;故选C 。

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)设集合A ={x |x >0},B ={x |log 2(3x ﹣2)<2},则( ) A .A ∩B =(0,53] B .A ∩B =(0,13] C .A ∪B =(13,+∞)D .A ∪B =(0,+∞) 2.(5分)已知i 是虚数单位,复数z 满足1−2i z=1+i ,则|z |=( ) A .√52B .3√22C .√102D .√33.(5分)在△ABC 中,“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|=|BC →|”( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.(5分)已知a ,b 是两条直线,α,β,γ是三个平面,则下列命题正确的是( ) A .若a ∥α,b ∥β,a ∥b ,则α∥β B .若α⊥β,a ⊥α,则a ∥βC .若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a ,则a ⊥αD .若α∥β,a ∥α,则a ∥β5.(5分)三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中,P A ⊥平面ABC ,∠BAC =π2,BC =2√2,则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是( ) A .4√2B .2√2C .43√2 D .34√26.(5分)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|MN||AB|的最大值是( )A .√3B .√32C .√33D .√347.(5分)函数f (x )=sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为( ) A .[﹣1,1]B .[﹣1,√2+12]C .[﹣1,√2−12]D .[−1,√2]8.(5分)函数f (x )=ln (x 3+4)﹣e x﹣1的图象大致是( )A .B .C .D .9.(5分)如图是函数y =A sin (ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y =sin x (x ∈R )的图象上的所有的点( )A .向左平移π3个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变B .向左平移π3个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C .向左平移π6个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变D .向左平移π6个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变10.(5分)欲测量河宽即河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),受地理条件和测量工具的限制,采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A ,B 两个观测点,观察对岸的点C ,测得∠CAB =75°,∠CBA =45°,AB =120米,由此可得河宽约为(精确到1米,参考数据√6≈2.45,sin75°≈0.97)( )A .170米B .110米C .95米D .80米11.(5分)下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是( )A .频率就是概率B .频率是随机的,与试验次数无关C .概率是稳定的,与试验次数无关D .概率是随机的,与试验次数有关 12.(5分)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0,则此双曲线的标准方程可能为( )A .x 2−y 212=1B .x 23−y 24=1C .x 216−y 29=1 D .x 29−y 216=1二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)设函数f (x )={x 2,0≤x <5f(x −5),x ≥5,那么f (18)的值 .14.(5分)为估计池塘中鱼的数量,负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘,几天后,随机打捞40条鱼,其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条.15.(5分)某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,要使这两项费用之和最小,仓库应建立在距离车站 km 处,最少费用为 万元.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ,E ,F ,G ,H 为圆O 上的点,△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ,BC ,CD ,DA 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB ,BC ,CD ,DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ,使得E ,F ,G ,H 重合,得到一个四棱锥,当四棱锥体积取得最大值,正方形ABCD 的边长为 cm .三.解答题(共5小题,满分60分,每小题12分)17.(12分)在①a2+a3=a5﹣b1,②a2•a3=2a7,③S3=15这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列{a n}的公差d>0,前n项和为S n,若_______,数列{b n}满足b1=1,b2=1 3,a nb n+1=nb n﹣b n+1.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和T n.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子,以保证当天及时供应,每卖出一笼包子的利润为40元,当天未卖出的包子作废料处理,每笼亏损20元.该包子店记录了60天包子的日需求量n(单位:笼,n∈N),整理得到如图所示的条形图,以这60天各需求量的频率代替相应的概率.(Ⅰ)设X为一天的包子需求量,求X的数学期望.(Ⅱ)若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应,则每天至少要做多少笼包子?(Ⅲ)为了减少浪费,该包子店一天只做18笼包子,设Y为当天的利润(单位:元),求Y的分布列和数学期望.19.(12分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,AB =2,△P AD为等边三角形,平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证AD ⊥PB .(2)在棱AB 上是否存在点F ,使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55?若存在,确定线段AF 的长度;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知椭圆C :x 212+y 24=1,A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点,M 为椭圆上的动点.(1)求∠AMB 的最大值,并证明你的结论;(2)设直线AM 的斜率为k ,且k ∈(−12,−13),求直线BM 的斜率的取值范围. 21.(12分)已知函数f (x )=xlnx +λx 2,λ∈R .(Ⅰ)若λ=﹣1,求曲线f (x )在点(1,f (1)处的切线方程;(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x )≤λ在[1,+∞)上恒成立,求实数λ的取值范围. 四.解答题(共1小题,满分10分,每小题10分)22.(10分)在直角坐标系xOy 中,参数方程{x =cosθy =sinθ(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换φ:{x′=2xy′=y 得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求|MN |的最小值. 五.解答题(共1小题)23.已知函数f (x )=2|x |+|x ﹣2|. (1)解不等式f (x )≤4;(2)设函数f (x )的最小值为m ,若实数a 、b 满足a 2+b 2=m 2,求4a 2+1b 2+1最小值.2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)设集合A ={x |x >0},B ={x |log 2(3x ﹣2)<2},则( ) A .A ∩B =(0,53] B .A ∩B =(0,13] C .A ∪B =(13,+∞)D .A ∪B =(0,+∞)【解答】解:∵集合A ={x |x >0},B ={x |log 2(3x ﹣2)<2}, ∴B ={x |23<x <2},则A ∪B =(0,+∞),A ∩B =(23,2),故选:D .2.(5分)已知i 是虚数单位,复数z 满足1−2i z=1+i ,则|z |=( ) A .√52B .3√22C .√102D .√3【解答】解:由1−2i z=1+i ,得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ,∴|z |=|z |=√(−12)2+(−32)2=√102.故选:C .3.(5分)在△ABC 中,“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|=|BC →|”( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解答】解:因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•(AC →+BC →)=0,因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向.即AB 与AB 边上的中线相互垂直,则△ABC 为等腰三角形,故AC =BC , 即|AC|→=|BC →|,所以为充分必要条件. 故选:C .4.(5分)已知a ,b 是两条直线,α,β,γ是三个平面,则下列命题正确的是( )A .若a ∥α,b ∥β,a ∥b ,则α∥βB .若α⊥β,a ⊥α,则a ∥βC .若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a ,则a ⊥αD .若α∥β,a ∥α,则a ∥β【解答】解:A .若a ∥α,b ∥β,a ∥b ,则α∥β,不正确,可能相交; B .若α⊥β,a ⊥α,则a ∥β或a ⊂β,因此不正确; C .若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a ,则a ⊥α,正确;证明:设α∩β=b ,α∩γ=c ,取P ∈α,过点P 分别作m ⊥b ,n ⊥c , 则m ⊥β,n ⊥γ,∴m ⊥a ,n ⊥a ,又m ∩n =P ,∴a ⊥α. D .若α∥β,a ∥α,则a ∥β或a ⊂β. 故选:C .5.(5分)三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中,P A ⊥平面ABC ,∠BAC =π2,BC =2√2,则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是( ) A .4√2B .2√2C .43√2D .34√2【解答】解:由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中,P A ⊥平面ABC ,∠BAC =π2,BC =2√2,棱锥的高为P A ,可得16=8+P A 2,所以P A =2√2,所以三棱锥的体积为:13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23,当且仅当AB =AC =2时,三棱锥的体积取得最大值. 故选:C .6.(5分)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|MN||AB|的最大值是( )A .√3B .√32C .√33D .√34【解答】解:设|AF |=a ,|BF |=b ,A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P , 连接AQ 、BQ由抛物线定义,得|AF |=|AQ |且|BF |=|BP |,在梯形ABPQ 中根据中位线定理,得2|MN |=|AQ |+|BP |=a +b . 由余弦定理得|AB |2=a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ,配方得|AB |2=(a +b )2﹣ab , 又∵ab ≤(a+b 2) 2,∴(a +b )2﹣ab ≥(a +b )2﹣( a+b 2) 2=34(a +b )2得到|AB |≥√32(a +b ). 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33, 即|MN||AB|的最大值为√33. 故选:C .7.(5分)函数f (x )=sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为( ) A .[﹣1,1]B .[﹣1,√2+12]C .[﹣1,√2−12]D .[−1,√2]【解答】解:设sin x +cos x =t (−√2≤t ≤√2)所以:sinxcosx =t 2−12则:f (x )=sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时,函数取最大值:f(x)max =f(√2)=√2+12 当t =﹣1时,函数取最小值:f (x )min =f (﹣1)=﹣1 所以函数的值域为:[−1,√2+12] 故选:B .8.(5分)函数f (x )=ln (x 3+4)﹣e x﹣1的图象大致是( )A .B .C .D .【解答】解:∵x 3+4>0,∴x 3>﹣4,解得x >−√43,∴函数的定义域为{x |x >−√43}, 当x →−√43时,f (x )→﹣∞,∴排除选项A ; ∵f (x )=ln (x 3+4)﹣e x ﹣1,∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1, f (0)=ln (0+4)﹣e ﹣1=ln 4﹣e ﹣1>0,∴排除选项C ; ∵f (x )=ln (x 3+4)﹣e x ﹣1,∴f '(0)=﹣e ﹣1<0,即x =0在函数的单调递减区间内,∴排除选项D .故选:B .9.(5分)如图是函数y =A sin (ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y =sin x (x ∈R )的图象上的所有的点( )A .向左平移π3个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变B .向左平移π3个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C .向左平移π6个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变D .向左平移π6个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变【解答】解:由图可知A =1,T =π, ∴ω=2,又−π6ω+φ=2k π(k ∈Z ),∴φ=2k π+π3(k ∈Z ),又0<ϕ<π2, ∴φ=π3,∴y =sin (2x +π3).∴为了得到这个函数的图象,只需将y =sin x (x ∈R )的图象上的所有向左平移π3个长度单位,得到y =sin (x +π3)的图象,再将y =sin (x +π3)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)即可.故选:A .10.(5分)欲测量河宽即河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),受地理条件和测量工具的限制,采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A ,B 两个观测点,观察对岸的点C ,测得∠CAB =75°,∠CBA =45°,AB =120米,由此可得河宽约为(精确到1米,参考数据√6≈2.45,sin75°≈0.97)( )A .170米B .110米C .95米D .80米【解答】解:在△ABC 中,∠ACB =180°﹣75°﹣45°=60°, 由正弦定理得:AB sin∠ACB=AC sin∠ABC,∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6,∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6, ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95. 故选:C .11.(5分)下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是( ) A .频率就是概率B .频率是随机的,与试验次数无关C .概率是稳定的,与试验次数无关D .概率是随机的,与试验次数有关【解答】解:频率是随机的,随实验而变化,但概率是唯一确定的一个值. 故选:C .12.(5分)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0,则此双曲线的标准方程可能为( )A .x 2−y 212=1B .x 23−y 24=1C .x 216−y 29=1D .x 29−y 216=1【解答】解:若(F 2F 1→+F 2A →)•F 1A →=0,即为若(F 2F 1→+F 2A →)•(−F 2F 1→+F 2A →)=0, 可得AF 2→2=F 2F 1→2,即有|AF 2|=|F 2F 1|=2c , 由双曲线的定义可得|AF 1|=2a +2c ,在等腰三角形AF 1F 2中,tan ∠AF 2F 1=−247,cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c,化为3c =5a , 即a =35c ,b =45c ,可得a :b =3:4,a 2:b 2=9:16. 故选:D .二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)设函数f (x )={x 2,0≤x <5f(x −5),x ≥5,那么f (18)的值 9 .【解答】解:∵函数f (x )={x 2,0≤x <5f(x −5),x ≥5,∴f (18)=f (3×5+3)=f (3)=32=9. 故答案为:9.14.(5分)为估计池塘中鱼的数量,负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘,几天后,随机打捞40条鱼,其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条.【解答】解:为估计池塘中鱼的数量,负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘, 几天后,随机打捞40条鱼,其中带有标记的共5条. 设池塘中原来有鱼n 条,则540=50n,解得n =400. 故答案为:400.15.(5分)某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,要使这两项费用之和最小,仓库应建立在距离车站 5 km 处,最少费用为 8 万元.【解答】解:设x 为仓库与车站距离,由题意可设y 1=k 1x,y 2=k 2x , 把x =10,y 1=2与x =10,y 2=8分别代入上式得k 1=20,k 2=0.8, ∴y 1=20x ,y 2=0.8x费用之和y =y 1+y 2=0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4=8, 当且仅当0.8x =20x ,即x =5时等号成立.当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小.最少费用为8万元. 故答案为:5,8.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ,E ,F ,G ,H 为圆O 上的点,△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ,BC ,CD ,DA 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB ,BC ,CD ,DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ,使得E ,F ,G ,H 重合,得到一个四棱锥,当四棱锥体积取得最大值,正方形ABCD 的边长为165cm .【解答】解:连接OG 交CD 于点M ,则OG ⊥DC ,点M 为CD 的中点,连接OC , △OCM 为直角三角形,设正方形的边长为2x ,则OM =x ,由圆的半径 为4,则MG =4﹣x ,设额E ,F ,G ,H 重合于点P ,则PM =MG =4﹣x >x 则0x <2,高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x , V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5, 设y =2x 4﹣x 5,y ′=8x 3﹣5x 4=x 3(8﹣5x ),当0<x <85时,y ′>0,y =2x 4﹣x 5单调递增;当85<x <2时,y ′<0,y =2x 4﹣x 5单调递减,所以当x =85时,V 取得最大值,此时,2x =165. 即正方形ABCD 的边长为165时,四棱锥体积取得最大值.三.解答题(共5小题,满分60分,每小题12分)17.(12分)在①a 2+a 3=a 5﹣b 1,②a 2•a 3=2a 7,③S 3=15这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列{a n }的公差d >0,前n 项和为S n ,若 _______,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n +1=nb n ﹣b n +1. (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和T n .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【解答】解:若选①:(1)∵a n b n +1=nb n ﹣b n +1,∴当n =1时,a 1b 2=b 1﹣b 2,∵b 1=1,b 2=13,∴a 1=2. 又∵a 2+a 3=a 5﹣b 1,∴d =3, ∴a n =3n ﹣1;(2)由(1)知:(3n ﹣1)b n +1=nb n ﹣b n +1,即3nb n +1=nb n ,∴b n+1=13b n .又b 1=1,所以数列{b n }是以1为首项,以13为公比的等比数列,∴bn=(13)n−1,T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n). 若选②:(1)∵a n b n +1=nb n ﹣b n +1,∴当n =1时,a 1b 2=b 1﹣b 2,∵b 1=1,b 2=13,∴a 1=2. 又∵a 2•a 3=2a 7,∴(2+d )(2+2d )=2(2+6d ),∵d >0,∴d =3, ∴a n =3n ﹣1;(2)由(1)知:(3n ﹣1)b n +1=nb n ﹣b n +1,即3nb n +1=nb n ,∴b n+1=13b n .又b 1=1,所以数列{b n }是以1为首项,以13为公比的等比数列,∴bn=(13)n−1,T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n ). 若选③:(1)∵a n b n +1=nb n ﹣b n +1,∴当n =1时,a 1b 2=b 1﹣b 2,∵b 1=1,b 2=13,∴a 1=2. 又∵S 3=15,∴d =3, ∴a n =3n ﹣1;(2)由(1)知:(3n ﹣1)b n +1=nb n ﹣b n +1,即3nb n +1=nb n ,∴b n+1=13b n .又b 1=1,所以数列{b n }是以1为首项,以13为公比的等比数列,∴bn=(13)n−1,T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n ). 18.(12分)某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子,以保证当天及时供应,每卖出一笼包子的利润为40元,当天未卖出的包子作废料处理,每笼亏损20元.该包子店记录了60天包子的日需求量n (单位:笼,n ∈N ),整理得到如图所示的条形图,以这60天各需求量的频率代替相应的概率.(Ⅰ)设X 为一天的包子需求量,求X 的数学期望.(Ⅱ)若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应,则每天至少要做多少笼包子? (Ⅲ)为了减少浪费,该包子店一天只做18笼包子,设Y 为当天的利润(单位:元),求Y 的分布列和数学期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75. (Ⅱ)因为P(n ≤18)=34<0.8,P(n ≤19)=1112>0.8, 所以包子店每天至少要做19笼包子.(Ⅲ)当n =16时,Y =16×40﹣2×20=600; 当n =17时,Y =17×40﹣20=660; 当n ≥18时,Y =18×40=720. 所以Y 的可能取值为600,660,720,P(Y =600)=16,P(Y =660)=14,P(Y =720)=1−16−14=712. 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685.19.(12分)如图所示,在四棱锥P ﹣ABCD 中,四边形ABCD 为菱形,∠DAB =60°,AB =2,△P AD 为等边三角形,平面P AD ⊥平面ABCD . (1)求证AD ⊥PB .(2)在棱AB 上是否存在点F ,使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55?若存在,确定线段AF 的长度;若不存在,请说明理由.【解答】(1)证明:取AD 中点O ,连接PO ,OB ,因为平面P AD ⊥平面ABCD ,△P AD 为等边三角形,O 为AD 的中点, 所以PO ⊥平面ABCD ,PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形,且∠DAB =60°,O 为AD 中点, 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO =O ,所以AD ⊥面PBO ,所以AD ⊥PB ;(2)解:在△OCD 中,OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7,∴PC =√10, ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ,则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ,∴h =2√155, ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55, ∴2√155DF=2√55,∴DF =√3,∴F 是AB 的中点,AF =1.20.(12分)已知椭圆C :x 212+y 24=1,A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点,M 为椭圆上的动点.(1)求∠AMB 的最大值,并证明你的结论;(2)设直线AM 的斜率为k ,且k ∈(−12,−13),求直线BM 的斜率的取值范围. 【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,不妨设M (x 0,y 0),(﹣2√3<x 0<2√3,0<y 0≤2),过点M 作MH ⊥x 轴,垂足为H ,则H (x 0,0)(0<y 0≤2), 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0,tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0, ∴tan ∠AMB =tan (∠AMH +∠BMH )=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12,因为点M (x 0,y 0)在椭圆C 上,所以x 0212+y 024=1,所以x 02=12﹣3y 02, 所以tan ∠AMB =−2√3y 0,而0<y 0≤2, 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3,因为0<∠AMB <π, 所以∠AMB 的最大值为2π3,此时y 0=2,即M 为椭圆的上顶点,由椭圆的对称性,当M 为椭圆的短轴的顶点时,∠AMB 取最大值,且最大值为2π3;(2)设直线BM 的斜率为k '.M (x 0,y 0),则k =0x 0+2√3,k '=0x 0−2√3,所以kk '=y 02x 02−12,又x 0212+y 024=1,所以x 02=12﹣3y 02,所以kk '=−13.因为−12<k <−13,所以k '∈(23,1)所以直线BM 的斜率的取值范围.(23,1).21.(12分)已知函数f (x )=xlnx +λx 2,λ∈R .(Ⅰ)若λ=﹣1,求曲线f (x )在点(1,f (1)处的切线方程;(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x )≤λ在[1,+∞)上恒成立,求实数λ的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当λ=﹣1时,f (x )=xlnx +λx 2,则f ′(x )=lnx +1﹣2x . 故f ′(1)=﹣1,又f (1)=﹣1.故所求期限的方程为y ﹣(﹣1)=﹣1•(x ﹣1),即x +y =0; (Ⅱ)由题意得,xlnx +λx 2≤λ在[1,+∞)上恒成立, 设函数g (x )=xlnx +λ(x 2﹣1). 则g ′(x )=lnx +1+2λx .故对任意x ∈[1,+∞),不等式g (x )≤0=g (1)恒成立, ①当g ′(x )≤0,即lnx+1x≤−2λ恒成立时,函数g (x )在[1,+∞)上单调递减,设r (x )=lnx+1x ,则r ′(x )=−lnxx2≤0, ∴r (x )max =r (1),即1≤﹣2λ,解得λ≤−12,符合题意;②当λ≥0时,g ′(x )≥0恒成立,此时函数g (x )在[1,+∞)上单调递增, 则不等式g (x )≥g (1)=0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,不符合题意; ③当−12<λ<0时,设q (x )=g ′(x )=lnx +1+2λx ,则q ′(x )=1x +2λ, 令q (x )=0,解得x =−12λ>1, 故当x ∈(1,−12λ)时,函数g (x )单调递增, ∴当x ∈(1,−12λ)时,g (x )>0成立,不符合题意, 综上所述,实数λ的取值范围为(﹣∞,−12]. 四.解答题(共1小题,满分10分,每小题10分)22.(10分)在直角坐标系xOy 中,参数方程{x =cosθy =sinθ(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换φ:{x′=2xy′=y 得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求|MN |的最小值.【解答】解:(Ⅰ)参数方程{x =cosθy =sinθ(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换φ:{x′=2xy′=y 得到曲线C :x 24+y 2=1;曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102.转化为直角坐标方程为:x +y −3√5=0; (Ⅱ)设点P (2cos θ,sin θ)到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2,当sin (θ+α)=1时,d min =√10. 五.解答题(共1小题)23.已知函数f (x )=2|x |+|x ﹣2|. (1)解不等式f (x )≤4;(2)设函数f (x )的最小值为m ,若实数a 、b 满足a 2+b 2=m 2,求4a 2+1b 2+1最小值.【解答】解:(1)当x <0时,则f (x )=﹣3x +2≤4,解得:−23≤x <0, 当0≤x ≤2时,则f (x )=x +2≤4,解得:0≤x ≤2, 当x >2时,则f (x )=3x ﹣2≤4,此时无解, 综上,不等式的解集是{x |−23≤x ≤2};(2)由(1)知,当x <0时,f (x )=﹣3x +2>2, 当0≤x ≤2时,则f (x )=x +2≥2, 当x >2时,则f (x )=3x ﹣2>4, 故函数f (x )的最小值是2, 故m =2,即a 2+b 2=4, 则4a 2+1b 2+1=15(a 2+b 2+1)(4a 2+1b 2+1)第21页(共21页)=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15(5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1)≥95, 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2=4, 即a 2=103,b 2=23取“=”, 故4a 2+1b 2+1的最小值是95.。

2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)

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2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2﹣4x≤0},则A∩B=()A.{1,2,3}B.{1,2}C.(0,3]D.(3,4]2.若b<a<0,则下列结论不正确的是()A.B.ab>a2C.|a|+|b|>|a+b|D.3.下列函数中的定义域为R,且在R上单调递增的是()A.f(x)=x2B.C.f(x)=ln|x|D.f(x)=e2x 4.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,S3=3,则a6=()A.4B.5C.10D.155.已知函数,若f(﹣m)=2,则f(m)=()A.﹣2B.﹣1C.0D.6.已知命题p:函数的最小值为;命题q:若向量,,满足•=•,则=.下列正确的是()A.¬p∧q B.p∨q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 7.若,b=3﹣0.8,c=ln3,则a,b,c的大小关系()A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b8.已知x,y满足线性约束条件,则z=2x+y的最小值为()A..4B..2C..1D.9.设函数f(x)=ae x﹣lnx(其中常数a≠0)的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为()A.1B.2C.ae﹣1D.1﹣2ae10.某数学小组进行社会实践调查,了解某公司为了实现1000万元利率目标,准备制定激励销售人员的奖励方案:在销售利润超过10万元时,按销售利润超过10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识,设计了如下的函数模型,其中符合公司要求的是(参考数据:1.0021000≈7.37,lg7≈0.845)()A.y=0.25x B.y=1.002xC.y=log7x+1D.11.函数在上单调递增,且图象关于x=﹣π对称,则ω的值为()A.B.C.2D.12.在△ABC中,角A为,角A的平分线AD交BC于点D,已知,且,则在方向上的投影是()A.1B.C.3D.二、选择题:本大题共4小题,每小题5分.共20分.13.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=f(x+2),当x∈[0,2]时,f(x)=e x,则f(7)=.14.已知向量=(﹣2,2),向量的模为1,且|﹣2|=2,则与的夹角为.15.2019年10月1日,在庆祝新中国成立70周年阅兵中,由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门,状军威,振民心,令世人瞩目.飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则直升机飞行的高度为(结果保留根号).16.若函数有且仅有一个零点,则实数m的取值范围.三、填空题:共70分.17.已知函数f(x)=(cos x﹣sin x)2﹣2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)若f(x0)=﹣1,且,求x0的值.18.已知数列{a n}满足,且a1=1,a4=7,数列{b n}的前n项和.(1)求数列{a n}{b n}的通项公式;(2)设,求数列{c n}的前n项和T n.19.已知△ABC中三个内角A,B,C满足.(1)求sin B;(2)若,b是角B的对边,,求△ABC的面积.20.已知函数.(1)求函数f(x)在区间[1,+∞)上的值域;(2)若实数x1,x2均大于1且满足,求f(x1x2)的最小值.21.已知函数f(x)=e x﹣ax2,a∈R,x∈(0,+∞).(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;(2)若,求证:f(x)>ax(lnx﹣x).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点0为极点,x的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程.(1)求曲线C的普通方程与极坐标方程;(2)设射线OM:与曲线C交于点A,与直线l交于点B,求线段AB的长.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x﹣m|+|x+1|+5(m∈R).(1)当m=2时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≥﹣2,求实数m的取值范围.2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2﹣4x≤0},则A∩B=()A.{1,2,3}B.{1,2}C.(0,3]D.(3,4]【解答】解:由题意得:A={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4},∴所以A∩B={1,2,3},故选:A.2.若b<a<0,则下列结论不正确的是()A.B.ab>a2C.|a|+|b|>|a+b|D.【解答】解:∵b<a<0,∴<,ab>a2,由函数y=在R上单调递增,可得:<.设a=﹣2,b=﹣1时,|a|+|b|=|a+b|与C矛盾.因此只有C错误.故选:C.3.下列函数中的定义域为R,且在R上单调递增的是()A.f(x)=x2B.C.f(x)=ln|x|D.f(x)=e2x【解答】解:由f(x)=的定义域为[0,+∞),不符合题意,C:函数的定义域x≠0,不符合题意,A:y=x2在(﹣∞,0]单调递减,在[0,+∞)单调递增,不符合题意,故选:D.4.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,S3=3,则a6=()A.4B.5C.10D.15【解答】解:由题意得,解得a1=0,d=1,∴a6=a1+5d=5.故选:B.5.已知函数,若f(﹣m)=2,则f(m)=()A.﹣2B.﹣1C.0D.【解答】解:∵,∴f(﹣x)+f(x)=+==1,∵f(﹣m)=2,∴f(m)=﹣1.故选:B.6.已知命题p:函数的最小值为;命题q:若向量,,满足•=•,则=.下列正确的是()A.¬p∧q B.p∨q C.p∧¬q D.¬p∧¬q【解答】解:由题意得:命题p:函数,由基本不等式成立的条件,y≥2=2,知等号取不到,所以p命题是假的;命题q:若向量,,满足=,∴,,有可能是零向量或者,所以q是错误的.∴¬p∧q,p∨q,p∧¬q,是假命题,¬p∧¬q为真命题;故选:D.7.若,b=3﹣0.8,c=ln3,则a,b,c的大小关系()A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b【解答】解:由指数函数y=在R上单调递减,又,b=3﹣0.8=,∴1>a>b.c=ln3∈(1,2)∴c>a>b.故选:B.8.已知x,y满足线性约束条件,则z=2x+y的最小值为()A..4B..2C..1D.【解答】解:先根据x,y满足线性约束条件画出可行域,平移直线0=2x+y,当直线z=2x+y过点B(0,1)时,z取最小值为1.故选:C.9.设函数f(x)=ae x﹣lnx(其中常数a≠0)的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为()A.1B.2C.ae﹣1D.1﹣2ae【解答】解:由f(x)=ae x﹣lnx,得,∴f′(1)=ae﹣1,又x=1时,f(1)=ae,∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣(ae)=(ae﹣1)(x﹣1),取x=0,得在y轴上截距y=(ae﹣1)(0﹣1)+ae=1.故选:A.10.某数学小组进行社会实践调查,了解某公司为了实现1000万元利率目标,准备制定激励销售人员的奖励方案:在销售利润超过10万元时,按销售利润超过10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识,设计了如下的函数模型,其中符合公司要求的是(参考数据:1.0021000≈7.37,lg7≈0.845)()A.y=0.25x B.y=1.002xC.y=log7x+1D.【解答】解:由题意得:有两个条件①奖金y≤5;②奖金y≤0.25x.且10≤x≤1000.A选项,当x≥20时,y≥5,不符合题意.B选项,当x=1000时,1.0021000≈7.37,也超出了5,不符合题意.D选项,当x=1000时,=y=tan(2)是一个负数,不符合题意.故选:C.11.函数在上单调递增,且图象关于x=﹣π对称,则ω的值为()A.B.C.2D.【解答】解:要使函数的递增,则,化简得:,已知在单增,所以.又因为图象关于x=﹣π对称,,所以,因为ω>0,此时k=﹣1,所以,故选:A.12.在△ABC中,角A为,角A的平分线AD交BC于点D,已知,且,则在方向上的投影是()A.1B.C.3D.【解答】解:由λ=﹣可得:=λ+,∵B,C,D三点共线,故λ+=1,即λ=.∴=+.以A为原点,以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则D(3,),设B(m,0),C(n,n),由=+得:,解得m=3,n=3.故B(3,0),∴在上的投影为|AB|cos30°=.故选:D.二、选择题:本大题共4小题,每小题5分.共20分.13.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=f(x+2),当x∈[0,2]时,f(x)=e x,则f(7)=e.【解答】解:因为f(x)=f(x+2),周期T=2,当x∈[0,2]时,f(x)=e x,∴f(7)=f(1)=e.故答案为:e.14.已知向量=(﹣2,2),向量的模为1,且|﹣2|=2,则与的夹角为.【解答】解:由已知得:||=2,||=1,|﹣2|=2,2﹣4+42=4,∴设与的夹角为θ,θ∈[0,π],=2=2•1•cosθ,∴cosθ=,θ=,故答案为:.15.2019年10月1日,在庆祝新中国成立70周年阅兵中,由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门,状军威,振民心,令世人瞩目.飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则直升机飞行的高度为(结果保留根号).【解答】解:如图由题上条件可得线AC平行于东西方向,∠ABD=60°,∠CBD=75°;AC=72;∴∠ABC=135°;∠BAC=30°;在△ABC中,=⇒=⇒BC==72.如图D1C⊥平面ABC,在直角△BD1C中,tan∠D1BC==⇒h=BC•tan∠D1BC=72×tan∠30°=.故答案为:.16.若函数有且仅有一个零点,则实数m的取值范围{m|m=﹣或m≥0}.【解答】解:令u(x)=x﹣lnx,x>0;则u'(x)=,∴0<x<1时,u'(x)<0;x>1时,u'(x)>0;于是u(x)=x﹣lnx在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增;最小值为u(1)=1>0,∴∀x∈(0,+∞),x﹣lnx>0;由f(x)=0,即+m(lnx﹣x)﹣x=0,解得:m=;设g(x)=,y=m;由于函数有且仅有一个零点;所以直线y=m与函数g(x)有且只有一个交点;由g'(x)=,此时不能完全判断导函数值的正负;再令h(x)=x+2﹣2lnx,得h'(x)=,当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0;于是,h(x)在(0,2)上递减,(2,+∞)上递增.那么h(x)≥h(2)=2(2﹣ln2)>0.由此,g'(x)的正负只同x﹣1有关,由此得g(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,且g(x)的极小值为g(1)=﹣;又x→0时,g(x)→0;x→+∞时,g(x)→+∞;g(x)图象大值如图所示,结合g(x)的图象,得m≥0或m=﹣.故答案为:{m|m=﹣或m≥0}.三、填空题:共70分.17.已知函数f(x)=(cos x﹣sin x)2﹣2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)若f(x0)=﹣1,且,求x0的值.【解答】解:(1)函数f(x)=(cos x﹣sin x)2﹣2sin2x=1﹣2sin x cos x﹣2•=cos2x﹣sin2x=cos(2x+),所以函数f(x)的最小正周期为T==π,又函数y=cos x的单调减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z;令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z;解得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z;所以f(x)的单调递减区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;(2)若f(x0)=﹣1,则cos(2x0+)=﹣1,即cos(2x0+)=﹣,再由,可得2x0+∈(﹣,﹣);所以2x0+=﹣,解得x0=﹣.18.已知数列{a n}满足,且a1=1,a4=7,数列{b n}的前n项和.(1)求数列{a n}{b n}的通项公式;(2)设,求数列{c n}的前n项和T n.【解答】解:(1)数列{a n}满足,可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n,即{a n}为等差数列,a1=1,a4=7,可得公差d==2,则a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1;数列{b n}的前n项和,可得b1=S1=4﹣2=2;n≥2时,b n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣2n+2=2n,则b n=2n,n∈N*;(2)=22n﹣1+n,则前n项和T n=(2+8+…+22n﹣1)+(1+2+…+n)=+n(n+1)=(4n﹣1)+(n2+n).19.已知△ABC中三个内角A,B,C满足.(1)求sin B;(2)若,b是角B的对边,,求△ABC的面积.【解答】解:(1)∵.sin(A+C)=sin B,∴cos B=sin B+1,又sin2B+cos2B=1,化为:3sin2B+2sin B﹣1=0,1>sin B>0.联立解得sin B=.(2),又A+B+C=π,可得:2A=﹣B,C为钝角.∴sin2A=cos B.又,∴===3,∴a=3sin A,c=3sin C,B为锐角,∴cos B=.∴△ABC的面积S=ac sin B=×3sin A×3sin C×=sin A sin(+A)=sin A cos A=sin2A=cos B=×=.∴∴△ABC的面积S为.20.已知函数.(1)求函数f(x)在区间[1,+∞)上的值域;(2)若实数x1,x2均大于1且满足,求f(x1x2)的最小值.【解答】解:(1)由题意得f(x)=,由x≥1,知lnx≥0,于是lnx+2≥2,∴0<,即﹣2≤﹣,∴﹣1≤1﹣<1,∴f(x)的值域为[﹣1,1).(2)f(x1)+f(x2)=1﹣+1﹣=,所以,又x1>1,x2>1,∴lnx1x2=lnx1+lnx2=lnx1+2+lnx2+2﹣4=,=≥,当且仅当,即x1=x2时,取“=”,故(x1x2)min=e,∵f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴f(x1x2)min=.21.已知函数f(x)=e x﹣ax2,a∈R,x∈(0,+∞).(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;(2)若,求证:f(x)>ax(lnx﹣x).【解答】解:(1):∵f′(x)=e x﹣2ax=x(﹣2a),令H(x)=,则H′(x)=,当0<x<1时,H′(x)<0,H(x)单调递减,且x→0时,H(x)→+∞,当x>1时,H′(x)>0,H(x)单调递增,且x→+∞时,H(x)→+∞,∴H(x)min=H(1)=e,①当2a≤e即a时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,没有极值,②当a>时,存在0<x1<1<x2,使得f′(x1)=f′(x2)=0,当x∈(0,x1),(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴x2是f(x)的极小值,综上可得,a(2)要证f(x)>ax(lnx﹣x),即证e x>axlnx,①当0<x≤1时,e x>1,axlnx≤0,显然成立,②当x>1时,xlnx>0,结合已知0<a可得,0<axlnx,于是问题转化为,即证,令g(x)=,则g′(x)=,令h(x)=2e x﹣2(x﹣1)﹣x,则h′(x)=2xe x﹣2﹣1,且在(0,+∞)上单调递增,∵<0,h′(2)=3>0,存在x0∈(1,2)使得h(x0)=0,即=1,∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又h(1)=﹣1<0,h(2)=0,故当x∈(1,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)≥g(2)=1﹣ln2>0,故g(x)>0,得证.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点0为极点,x的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程.(1)求曲线C的普通方程与极坐标方程;(2)设射线OM:与曲线C交于点A,与直线l交于点B,求线段AB的长.【解答】解:(1)由,两边平方作和得,,∴曲线C的普通方程为x2+y2=4.∵x2+y2=ρ2,∴ρ2=4,则ρ=2;(2)把代入,可得,解得.即B点的极径为.由(1)得ρA=2,∴|AB|=|ρA﹣ρB|=.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x﹣m|+|x+1|+5(m∈R).(1)当m=2时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≥﹣2,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)当m=2时,f(x)=|x﹣2|+|x+1|=5,当x≤﹣1,f(x)=﹣(x﹣2)﹣(x+1)﹣5≥0,解得x≤﹣2;当﹣1<x<2,f(x)=﹣(x﹣2)+x+1﹣5≥0,无解;当x≥2时,f(x)=x﹣2+x+1﹣5≥0,解得x≥3;综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞).(2)由f(x)=|x﹣m|+|x+1|﹣5≥|(x﹣m)﹣(x+1)|﹣5=|m+1|﹣5≥﹣2,所以|m+1|≥3,即m≥2或者m≤﹣4.。

2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析

2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意,A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩,且*,x y N ∈,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4), 故AB 中元素的个数为4.故选:C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是( ) A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+, 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选:D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算,涉及到复数的虚部的定义,是一道基础题. 3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于D 选项,该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此,B 选项这一组的标准差最大. 故选:B.【点睛】本题考查标准差的大小比较,考查方差公式的应用,考查计算能力,属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)()=1et I K t --+,其中K为最大确诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为( )(ln19≈3) A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+,所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+,则()0.235319t e*-=,所以,()0.2353ln193t *-=≈,解得353660.23t *≈+≈. 故选:C.【点睛】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力,属于中等题. 5.设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( ) A. (14,0) B. (12,0) C. (1,0) D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥,结合抛物线的对称性,可知4COx COx π∠=∠=,从而可以确定出点D 的坐标,代入方程求得p 的值,进而求得其焦点坐标,得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点,且OD OE ⊥, 根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=,所以(2,2)C ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1(,0)2, 故选:B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目. 6.已知向量a ,b 满足||5a =,||6b =,6a b ⋅=-,则cos ,=+a a b ( ) A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值,利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =,6b =,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=,因此,()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选:D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题. 7.在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅,即可求得答案.【详解】在ABC 中,2cos 3C =,4AC =,3BC = 根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ,即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选:A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,求出每个面的面积,即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得:12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得:AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得:211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是:632=⨯++故选:C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题,解题关键是掌握根据三视图画出立体图形,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7,则tan θ=( ) A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan ,1t t θ=≠,则1271tt t+-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=. 故选:D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为( ) A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ,则00x >,函数y =y '=,则直线l的斜率k =, 设直线l的方程为)0y x x =-,即00x x -+=, 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=,解得01x =,015x =-(舍), 则直线l 的方程为210x y -+=,即1122y x =+. 故选:D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.11.设双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a =( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案. 【详解】5ca=,c ∴=,根据双曲线的定义可得122PF PF a -=, 12121||42PF F PF F S P =⋅=△,即12||8PF PF ⋅=, 12F P F P ⊥,()22212||2PF PF c ∴+=,()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选:A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.12.已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出45c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈,()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,a b ∴<; 由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得45b <; 由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得45c >. 综上所述,a b c <<. 故选:A.【点睛】本题考查对数式大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x ,y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩,,则z =3x +2y 的最大值为_________. 【答案】7 【解析】【分析】作出可行域,利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+,所以322x zy =-+,易知截距2z 越大,则z 越大, 平移直线32x y =-,当322x zy =-+经过A 点时截距最大,此时z 最大, 由21y x x =⎧⎨=⎩,得12x y =⎧⎨=⎩,(1,2)A ,所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为:7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答).【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项,即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项:()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=,解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是:664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为:240.【点睛】本题考查二项式定理,利用通项公式求二项展开式中的指定项,解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________. 【答案】23π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题,然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示, 其中2,3BC AB AC ===,且点M 为BC 边上的中点, 设内切圆的圆心为O ,由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ,则:ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得:22r,其体积:3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f (x )=1sin sin x x+有如下四个命题: ①f (x )的图像关于y 轴对称. ②f (x )的图像关于原点对称. ③f (x )的图像关于直线x =2π对称. ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①,152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭,152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象不关于y 轴对称,命题①错误;对于命题②,函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈,定义域关于原点对称,()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于原点对称,命题②正确;对于命题③,11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭, 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭,则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以,函数()f x 的图象关于直线2x π=对称,命题③正确;对于命题④,当0x π-<<时,sin 0x <,则()1sin 02sin f x x x=+<<, 命题④错误. 故答案为:②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3,134n n a a n +=-.(1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式并加以证明; (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .【答案】(1)25a =,37a =,21n a n =+,证明见解析;(2)1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】(1)利用递推公式得出23,a a ,猜想得出{}n a 的通项公式,利用数学归纳法证明即可; (2)由错位相减法求解即可.【详解】(1)由题意可得2134945a a =-=-=,32381587a a =-=-=,由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项,2为公差的等差数列,即21n a n =+, 证明如下:当1n =时,13a =成立; 假设n k =时,21k a k =+成立.那么1n k =+时,1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈,都有21n a n =+成立; (2)由(1)可知,2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,②由①-②得:()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-,即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和,属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09;(2)350;(3)有,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率;(2)利用每组的中点值乘以频数,相加后除以100可得结果;(3)根据表格中的数据完善22⨯列联表,计算出2K的观测值,再结合临界值表可得结论.【详解】(1)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=,等级为2的概率为510120.27100++=,等级为3的概率为6780.21100++=,等级为4的概率为7200.09100++=;(2)由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下:人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数,同时也考查了独立性检验的应用,考查数据处理能力,属于基础题.19.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且12DE ED =,12BF FB =.(1)证明:点1C 在平面AEF 内;(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)427.【解析】 【分析】(1)连接1C E 、1C F ,证明出四边形1AEC F 为平行四边形,进而可证得点1C 在平面AEF 内;(2)以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -,利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值,进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】(1)在棱1CC 上取点G ,使得112C G CG =,连接DG 、FG 、1C E 、1C F ,在长方体1111ABCD A B C D -中,//AD BC 且AD BC =,11//BB CC 且11BB CC =,112C G CG =,12BF FB =,112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =,所以,四边形BCGF 为平行四边形,则//AF DG 且AF DG =, 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形,1//C E DG ∴且1C E DG =,1//C E AF ∴且1C E AF =,则四边形1AEC F 为平行四边形,因此,点1C 在平面AEF 内;(2)以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -,则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F , ()0,1,1AE =--,()2,0,2AF =--,()10,1,2A E =-,()12,0,1A F =-,设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =,由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-,得111x y ==,则()1,1,1m =-, 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =,由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,取22z =,得21x =,24y =,则()1,4,2n =,37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅, 设二面角1A EF A --的平面角为θ,则7cos 7θ=,242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此,二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<,A ,B 分别为C 的左、右顶点. (1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ 的面积.【答案】(1)221612525x y +=;(2)52. 【解析】 【分析】(1)因为222:1(05)25x y C m m +=<<,可得5a =,b m =,根据离心率公式,结合已知,即可求得答案;(2)点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N ,可得PMB BNQ ≅△△,可求得P 点坐标,求出直线AQ 的直线方程,根据点到直线距离公式和两点距离公式,即可求得APQ 的面积.【详解】(1)222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =,b m =,根据离心率c e a ====, 解得54m =或54m =-(舍), ∴C 的方程为:22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,即221612525x y +=; (2)点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形,如图||||BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=︒,又90PBM QBN ∠+∠=︒,90BQN QBN ∠+∠=︒,∴PBM BQN ∠=∠,根据三角形全等条件“AAS ”, 可得:PMB BNQ ≅△△,221612525x y +=, ∴(5,0)B ,∴651PM BN ==-=,设P 点为(,)P P x y ,可得P 点纵坐标为1P y =,将其代入221612525x y +=,可得:21612525P x +=,解得:3P x =或3P x =-,∴P 点为(3,1)或(3,1)-,①当P 点为(3,1)时, 故532MB =-=,PMB BNQ ≅△△,∴||||2MB NQ ==,可得:Q 点为(6,2), 画出图象,如图(5,0)A -,(6,2)Q ,可求得直线AQ 的直线方程为:211100x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:222311110555125211d ⨯-⨯+===+, 根据两点间距离公式可得:()()22652055AQ =++-=,∴APQ 面积为:15555252⨯=;②当P 点(3,1)-时,故5+38MB ==,PMB BNQ ≅△△,∴||||8MB NQ ==,可得:Q 点为(6,8), 画出图象,如图(5,0)A-,(6,8)Q,可求得直线AQ的直线方程为:811400x y-+=,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为:()2283111405185185811d⨯--⨯+===+,根据两点间距离公式可得:()()226580185AQ=++-=∴APQ面积为:1518522185=,综上所述,APQ面积为:52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++,曲线()y f x=在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b.(2)若()f x有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x所有零点的绝对值都不大于1.【答案】(1)34b=-;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义得到'1()02f=,解方程即可;(2)由(1)可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-,易知()f x在11(,)22-上单调递减,在1(,)2-∞-,1(,)2+∞上单调递增,且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+,采用反证法,推出矛盾即可. 【详解】(1)因为'2()3f x x b =+, 由题意,'1()02f =,即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 则34b =-; (2)由(1)可得33()4f x x x c =-+, '2311()33()()422f x x x x =-=+-, 令'()0f x >,得12x >或21x <-;令'()0f x <,得1122x -<<, 所以()f x 在11(,)22-上单调递减,在1(,)2-∞-,1(,)2+∞上单调递增, 且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+, 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ,则(1)0f ->或(1)0f <, 即14c >或14c <-. 当14c >时,111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>, 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<,由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ,即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点,在(1,)-+∞上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾; 当14c <-时,111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<, 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->,由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x ',即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点,在(,1)-∞上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点,涉及到导数的几何意义,反证法,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩(t 为参数且t ≠1),C 与坐标轴交于A 、B 两点.(1)求||AB ;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB 的极坐标方程.【答案】(1)(2)3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】【分析】(1)由参数方程得出,A B 的坐标,最后由两点间距离公式,即可得出AB 的值; (2)由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可.【详解】(1)令0x =,则220t t +-=,解得2t =-或1t =(舍),则26412y =++=,即(0,12)A .令0y =,则2320t t -+=,解得2t =或1t =(舍),则2244x =--=-,即(4,0)B -AB ∴==(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--, 则直线AB 的方程为3(4)y x =+,即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得,直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程,属于中档题.[选修4—5:不等式选讲](10分)23.设a ,b ,c ∈R ,a +b +c =0,abc =1.(1)证明:ab +bc +ca <0;(2)用max{a ,b ,c }表示a ,b ,c 中的最大值,证明:max{a ,b ,c .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质,即可得出证明; (2)不妨设max{,,}a b c a =,由题意得出0,,0a b c ><,由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==,结合基本不等式,即可得出证明. 【详解】(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=,()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0,则2220a b c ++>,()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<; (2)不妨设max{,,}a b c a =,由0,1a b c abc ++==可知,0,0,0a b c ><<,1,a b c a bc =--=,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时,取等号,a ∴≥,即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.。

2020年(理科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析

2020年(理科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)若1z i =+,则2|2|(z z -= ) A .0B .1C .2D .22.(5分)设集合2{|40}A x x =-,{|20}B x x a =+,且{|21}A B x x =-,则(a = )A .4-B .2-C .2D .43.(5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4.(5分)已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则(p = ) A .2B .3C .6D .95.(5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:C)︒的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据()(1,i i x y i =,2,⋯,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10C ︒至40C ︒之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A .y a bx =+B .2y a bx =+C .x y a be =+D .y a blnx =+6.(5分)函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A .21y x =--B .21y x =-+C .23y x =-D .21y x =+7.(5分)设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图,则()f x 的最小正周期为( )A .109πB .76π C .43π D .32π 8.(5分)25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A .5B .10C .15D .209.(5分)已知(0,)απ∈,且3cos28cos 5αα-=,则sin (α= ) A 5B .23 C .13D 5 10.(5分)已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,1O 为ABC ∆的外接圆.若1O 的面积为4π,1AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A .64πB .48πC .36πD .32π11.(5分)已知22:2220M x y x y +---=,直线:220l x y ++=,P 为l 上的动点.过点P 作M 的切线PA ,PB ,切点为A ,B ,当||||PM AB 最小时,直线AB 的方程为( ) A .210x y --=B .210x y +-=C .210x y -+=D .210x y ++=12.(5分)若242log 42log a b a b +=+,则( ) A .2a b >B .2a b <C .2a b >D .2a b <二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年全国高考数学(理)试题及答案-全国卷III

2020年全国高考数学(理)试题及答案-全国卷III

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B I 中元素的个数为 A .2 B .3 C .4 D .62.复数113i −的虚部是 A .310− B .110−C .110D .3103.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 A .14230.1,0.4p p p p ==== B .14230.4,0.1p p p p ==== C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)()=1et K I t −−+,其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln193)≈A .60B .63C .66D .695.设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为 A .1(,0)4B .1(,0)2C .(1,0)D .(2,0)6.已知向量a ,b 满足||5=a ,||6=b ,6⋅=−a b ,则cos ,=+a a b A .3135−B .1935−C .1735D .19357.在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B = A .19B .13C .12D .238.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是A .B .C .D .9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7,则tan θ= A .–2B .–1C .1D .210.若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为 A .y =2x +1B .y =2x +12C .y =12x +1D .y =12x +1211.设双曲线C :22221x y a b−=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a = A .1B .2C .4D .812.已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2023年高考黄金押题预测卷甲卷理数2之02考试版

2023年高考黄金押题预测卷甲卷理数2之02考试版

绝密★启用前2023年高考押题预测卷02【全国甲卷】数学(理科)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则 A.B.C.,或D.,或2.在复平面内,已知复数对应的向量为,现将向量绕点逆时针旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为,则()A.B.C.2 D.3.转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放.如图,三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱,且侧棱垂直于底面,底面是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形,正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点,侧棱长为曲面棱柱的高,记该曲面棱柱的底面积为,高为,已知曲面棱柱的体积,若,,则曲面棱柱的体积为 A.B.C.D.2{|4720}A xx x=--…{|128}xB x=<…()(RA B=ð){|03}x x……1|34x x⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭…1{|4x x<-3}x…1{|4x x-…3}x…11iz=-1OZ1OZO2OZ2OZ2z21zz=2iS h V Sh=AB= 1h=()3π-2π-3π-2π-4.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是 A .2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B .2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C .2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D .2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格5.已知直线和平面所成的角为,则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为 A .B .C .D .6.在如图所示的程序框图中,若输入的a ,b ,c 分别为,,,执行该程序框图,输出的结果用原来数据表示为( )A . b ,a ,cB . a ,b ,cC . c ,b ,aD . c ,a ,b7.中同传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.已知其图象能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,则下列函数中一定不是圆的“优美函数”的为 A .B .()l α6πl α()[0,]6π[,]63ππ(0,)2π[,62ππ0.340.414-⎛⎫ ⎪⎝⎭0.4log 0.522:1O x y +=O ()33y x =tan y x =-C .D .8.下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图(为便于计算,侧视图与实物有区别).在侧视图中,斜拉杆PA ,PB ,PC ,PD 的一端P 在垂直于水平面的塔柱上,另一端A ,B ,C ,D 与塔柱上的点O 都在桥面同一侧的水平直线上.已知,,,.根据物理学知识得,则( )A . 28mB . 20mC . 31mD . 22m9.某舞台灯光设备有一种25头矩阵灯(如图所示),其中有2头灯出现故障,假设每头灯出现故障都是等可能的,则这2头故障灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为 A . B .C .D .10.在四棱锥中,底面为梯形,平面底面,,,,,则四棱锥外接球的表面积为 A .B .C .D .11.设双曲线的右焦点为,,若直线与的右支交于,两点,且为的重心,则直线斜率的取值范围为 A . B .C .D . 12.若存在,使得关于的不等式成立,则实数的最小值为( )A . 2B .C .D .1y x x=-(1),0,(1),0ln x x y ln x x +⎧=⎨--<⎩…8m AB =16m BO =12m PO =0PB PC ⋅= ()()11222PA PB PC PD PO +++=CD =LED LED LED LED ()215760110115P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD AB CD ==2BC =4AD =PA PD ==P ABCD -()26π27π28π29π2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>F (0,3)M b l E A B F MAB ∆l ())+∞ )+∞ (,(-∞ (,(-∞ [)1,x ∞∈+x 11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a 1ln2ln21-11ln2-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.在平面直角坐标系中,角是以为顶点,轴为始边,若角的终边过点 .14.已知,则 .15.规定:设函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是______.16.已知椭圆C :的左、右焦点分别为,,过焦点的直线l 与椭圆C 相交于两点,椭圆C 在两点处的切线交于点P ,则点P 的横坐标为______,若的垂心为点H ,则的最小值是______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知公差为正数的等差数列中,,,构成等比数列,是其前项和,满足.(1)求数列的通项公式及前项和; (2)若_________,求数列的前项和.在①,②,③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18. (12分) 2020年,是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年,也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ,有助于测量信号的实时开通,xOy θO Ox θ(3,4)-=210200120(1)x x a a x a x +-=+++ 3a ={},,Max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩(){}()Max sin ,cos 0f x x x ωωω=>()f x ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ω22143x y +=1F 2F 2F ,A B ,A B 12F F P PH {}n a 1a 4a 712a +n S n 315S ={}n a n n S {}n b n n T 2n a nn S b n=+1n n b S =()112n n n b a -=-⋅为珠峰高程测量提供通信保障,也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性,在持续高风速下5G 信号的稳定性,在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说:“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问,在珠峰开通5G 的意义在哪里?“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶,告诉全世界,华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在,5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革,某IT 公司基于领先技术的支持,5G 经济收入在短期内逐月攀升,该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y (单位:百万元)关于月份x 的数据如下表所示,并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 1 2 3 4 5 6 收入y (百万元)6.68.616.121.633.041.0(1)根据散点图判断,与(a ,b ,c ,d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的结果及表中的数据,求出y 关于x 的回归方程,并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)(3)从前6个月的收入中抽取2个,记收入超过20百万元的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中,设(i =1,2,3,4,5,6).参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据(,)(i =1,2,3,…,n ),其回归直y ax b =+e dx y c =⋅x y u 621()ii x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x u u =--∑ 1.52e 2.66e ln ,ln ==i i u y u y i x i v线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,. 19.(12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,,,E 为AC 的中点,将沿折起(如图2).在图2所示的几何体D -ABC 中:(1)若AD ⊥BC ,求证:DE ⊥平面ABC ;(2)若BD 与平面ACD 所成的角为60°,求二面角D -AC -B 的余弦值.20.(12分) 已知抛物线,为坐标原点,焦点在直线上.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点作动直线与抛物线交于,两点,直线,分别与圆交于点,两点(异于点),设直线,斜率分别为,.①求证:为定值; ②求证:直线恒过定点.ˆˆˆv x βα=+121()()ˆ()niii nii x x v v x x β==--=-∑∑ˆˆv x αβ=-//AB CD 90BAD ∠=︒12AD CD AB ===ACD AC 2:2(0)C y px p =>O 2410x y +-=(4,0)l C M N OM ON 22(1)1x y -+=P Q O OM ON 1k 2k 12k k ⋅PQ21. (12)已知函数. (1)当时,求函数在区间上的值域;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围,并求的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为(为参数),以O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)P 为l 上一点,过P 作曲线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若,求点P横坐标的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数. (1)求不等式的解集;(2)若且满足,记是的最大值,证明:.()()122ln R 1x f x x a x a x x -=--+∈+2a =()f x []1,2()f x 123,,x x x ()123x x x <<a 123x x x xOy cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩απcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3APB π∠≥()221f x x x =+--()3f x ≥-(],,1a b ∈-∞()()f a f b >c ()f x ()2122a c b a b +≥+-。

全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

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全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷(二)(120分钟 150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==,则A B =U ( ) A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位,2z i =-,则z =( )A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ,(1,)b λ=-r ,若a b r r∥,则实数λ等于( )A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= (0a >,0b >)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法错误的是( )A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若5b =,22625c c a ---,则cos A =( )A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为( )A BC D9.某几何体的三视图如图所示,三个视图中的曲线都是圆弧,则该几何体的体积为( )A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于323d (d 为球的直径),并得到球的体积为316V d π=,这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式,根据3.1415926π=⋅⋅⋅,判断下列公式中最精确的一个是( )A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=,2sin sin 2αβ+=,则cos()αβ+等于( ) A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ,,为椭圆2214x y +=上三个不同的点,若坐标原点O 为ABC △的重心,则ABC △的面积为( )A.B.2C.2D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数,若()()g x f x x =+是偶函数,且()24g -=-,则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列,其前n 项和为n S ,若66nS =,则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>,点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心,则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中,12AB AA ==,E F ,分别为111AB AC ,的中点,平面a 过点1C ,且平面a ∥平面11A B C ,平面a I 平面111A B C l =,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看,本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面:本科就业压力大,提升竞争力;通过考研选择真正感兴趣的专业;为了获得学历;继续深造;随大流;有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图(单位:万人)的折线图.(1)求y 关于t 的线性回归方程;(2)根据(1)中的回归方程,预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据:()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别:()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑,$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,AB AD ⊥ ,BC AD ∥,2222AD BC PA AB ====,点E F G ,,分别为线段AD DC PB ,,的中点.(1)证明:直线AG ∥平面PEF.(2)求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ,()g x 为函数()f x 的导函数.(1)若函数()gx 的最小值为0,求实数a 的值;(2)若0x ∀>,2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立,求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点,点F 为抛物线C 的焦点,||10PF =.(1)求直线PF 的方程; (2)若直线l 过点()0,4,与抛物线相交于M N ,两点,且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ,,直线m n ,相交于点G ,求||PG 的最小值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩(a 为参数),在以坐标原点为极点,,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点,求实数m 的取值范围;(2)若直线l 与曲线C 相交于A B ,两点,且A B ,的中点为P ,求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知a b ,为正实数,222a b +=. (1)证明:2a b ab +≥. (2)证明:442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==,所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-,所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥,所以20λ--=,解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=,即43b a =,故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52,众数为0,极差为19,第二场得分的众数为 0,平均数为193,极差为2,所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---,所以2226b c a c +-=,所以62cos c bc A =⋅, 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数,排除CD 项,又因为)1(1)ln 101cf e-=>+,所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知,该几何体是由14个圆锥和18个球组成的, 如图所示,其中球的半径为3,圆锥的底面半径也为3,高为4,故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =,解得36V x d =,选项A 化简得3916V d ≈, 所以69 3.37516π⨯≈=;选项B 化简得212V d ≈,所以632π≈=;选项C 化简得3157300V d ≈, 所以6157 3.14300π⨯≈=;选项D 化简得2815V d ≈,所以683.215π⨯≈=;所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=,2sin sin αβ+-,所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=,2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=, 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=,解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ,()22,B x y ,则122814kmx x k +=-+,()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ,因为O 为ABC △的重心,所以()2122814kmxx x k=-+=+, ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+,代入椭圆方程得22441m k -+,12|||AB x x -, 点O 到直线AB的距离d -,所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+,所以1S =, 因为O 为ABC △的重心,所以ABC △的面积132S S ==. (另解:不妨设()2,0A,因为O 为ABC △的重心,所以BC 横坐标为1-,可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.) 13.6本题考查函数的性质,由题知,(2)(2)2(2)4g f g -+--=-,解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ,因为66n S =,所以41166a =,解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心,所以是72632wππππ=--,解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C , 平面a I 平面111A B C l =,平面11A B C I 平面11111A B C A B =,所以11l A B ∥,取11A B ,11B C 的中点分别为H G ,,连接EH BG GH GF AC ,,,,,如图所示,则11GF A B ∥, 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角,又因为AB =12AA =,所以14AC =,1EH =,HP GP ==所以2EG EF -=,所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体,综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线,把异面直线平移到两条相交直线上,明确异面直线所成角的概念,应用三角函数知识求解,充分利用图形特征,则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥,这是本题的题眼. 17.解:本题考查线性回归方程. (1)由题中数据计算得1(12345)35t =++++=, ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑,由参考数据知,()()51311iii t t y y =--=∑,所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑,$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$, 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.(2)将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=, 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解:本题考查数列通项公式及前n 项和 (1)因为()1311n nn S a+=-,所以当2n ≥时,所以()1314n n n S a +--,所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--,整理得()()11440nn n aa +--=,所以14,(2)n n a a n +=>,当1n =时,()12314nS a--,14a =,所以216a =,所以24a a =,所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列,所以1444n n a +=⨯=,即4n n a =.(2)由(1)知4n na =,所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ,故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题,是高考的常考内容,解题过程中要注意应用函数与方程思想,构建方程(或方程组)求基本量,例如此题,从已知出发,构建1,a d 的方程组求数列通项公式,利用前后项合并,构造等差数列,求数列的前n 项和. 19.解:本题考查线面平行及多面体的体积.(1)证明:因为2BC AD AD BC E =∥,,为线段AD 的中点,所以BC AE ∥,连接EC ,因为AB AD ⊥,所以四边形ABCE 为矩形,连接BE 交AC 于点O ,连GO ,因为G 为线段PB 的中点,所以OG PE ∥,因为GO ⊄平面PEF ,PBC 平面PEF , 所以GO ∥平面PEF ,由题易知,AC ∥平面PEF , 又因为GC ⊂平面GAC ,AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ,所以平面PEF ∥平面GAC ,又因为AGC 平面GMC ,所以直线AC ∥平面PEF .(2)因为22 2 AD BC PA ===,1AB =,所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=,三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=,棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=,故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解:本题考查函数最值及恒成立求参数范围. (1)()21x f x e ax '=--,所以()21xg x eax =--,()2x g x e a '=-,①当0a ≤时,()0g x '>,所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增,不合题意;②当0a >时,(,ln 2)x a ∈-∞,()0g x '<,(ln 2,)x a ∈+∞,()0g x '>, 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减,在区间(ln 2,)a +∞上单调递增,()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…,令()ln 1x x x x μ'---,则()ln x x μ'=-,所以()x μ在区间()0,1上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,所以()()10x μμ≤=,所以由2(1ln 2)10a a --=,解得12a =, 即实数a 的值为12. (2)因为0x ∀>,2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立,所以210x e x ax -+-≥,即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立,令21()x e x x xϕ---,则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=,由(1)知,10x e x --≥,当且仅当0x =时,等号成立,所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减,在区间(1,)+∞上单词递增,所以()(1)2x e ϕϕ=-…,所以2a e -≤-,即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解:本题考查抛物线的性质. (1)因为||10PF =,所以8102p+-,解得4p =,所以()0,2F , 因为288t =⨯,且0t <,所以8t =-,所以()8,8P -,故直线PF 的方程为822(0)80y x ------, 化简得3480x y +-=.(2)由(1)知,抛物线方程为28x y =,点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ,又因为14y x '=, 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-, 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-,设()33,G x y , 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得直线l 的方程为3314y xx y =-,又因为直线l 过点()0,4,所以4y =-,即点G 在定直线4y =-上,所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时,需要注意:(1)观察、应用题设中的每一个条件,明确确定直线、抛物线的条件;(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解:本题考查坐标与参数方程: (1)由题知,曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,直线l20y m -+=,因为直线l 与曲线C||2m =≥, 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . (2)设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ,由(1)知,(2,2)m ∈-,由22204y m x y -+=+=⎪⎩,解得224440x m ++-=,所以122u x x -+-=,)121224v y y x x m m -+++=,所以2u =-,即u =,故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解:本题考查不等式证明.(1)因为222a b +=所以1ab ≤,所以1ab ≤≤,2a b +≤,所以2a b ab +≤, 即2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立, (2)()244222222242a b a b a b a b +-+-=-, 由(1)知1ab ≤,所以221a b ≤,所以2242422a b -≥--,即442a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.。

高考理科数学(2卷):答案详细解析(最新)

高考理科数学(2卷):答案详细解析(最新)

故 O1A
2 3
33 2
3 ,∴ O 到平面 ABC 的距离 OO1
R2 O1A2 1.
图 A10
【答案】C
11. (函数,同文 12)若 2x 2 y 3 x 3 y ,则
A. ln( y x 1) 0
B. ln( y x 1) 0
C. ln | x y | 0
D. ln | x y | 0

a5 a1
1(k
1)
,因此可推出 C(1)
C (4)
1 5

C(2) C(3) 0 ,故 C 选项符合题意.
解法三(答案验证法):
按照题设的定义 C(k)
1 m
m i 1
aiaik (k
1, 2,...m 1) ,逐个验证答案,使用
排除法,即可得到正确选项. 如 A 选项,C(2) 1 (0 1 0 1 0)= 2 1 ,
A. 2,3
B. 2, 2, 3 C. 2, 1, 0,3 D. 2, 1, 0, 2, 3
【解析】∵ A B {1,0,1, 2},∴ CU A B 2,3 .
【答案】A
2. (三角函数)若 为第四象限角,则
A. cos 2 0
B. cos 2 0
C. sin 2 0
D. sin 2 0
C.是偶函数,且在 (, 1) 单调递增 2
B.是奇函数,且在 ( 1 , 1) 单调递减 22
D.是奇函数,且在 (, 1) 单调递减 2
【解析】∵ f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| f (x) ,
∴ f (x) 是奇函数,
2020 年高考理科数学(全国 2 卷)答案详解及试题

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣,集合{}Z03B y y =∈≤≤∣,则()R A B ⋂=ð()A .()0,1B .[]0,1C .∅D .{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ,再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣,集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣,集合{}R |1A x x =≤ð,所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选:D2.设i 为虚数单位,且()1i 2z +=,则z =()A .1i --B .1i -C .1i -+D .1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ,进而可得共轭复数.【详解】由题意可得:()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-,所以z =1i +.故选:D.3.若向量,a b 满足||4,||3a b == ,且(23)(2)61a b a b -⋅+= ,则a 在b上的投影向量为()A .12b- B .13b - C .23bD .23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ,再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ,则6a b ⋅=-,由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选:D4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列,则105S S 为()A .244B .243C .242D .241【答案】A【分析】首先根据条件求公比,再代入等比数列的前n 项和公式,即可求解.【详解】由题意可知,1212a a +=且()13226a a a +=+,设等比数列的公比为q ,则2111112a a q a q a a q +=++,得3q =,()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选:A5.第19届亚运会在杭州举行,为了弘扬“奉献,友爱,互助,进步”的志愿服务精神,5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者,则当甲不去场馆A 时,场馆B 仅有2名志愿者的概率为()A .35B .2150C .611D .34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=,进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ,所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,甲去场馆,,A B C 的概率相等,所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=,甲不去场馆A ,分两种情况讨论,情形一,甲去场馆B ,场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种;情形二,甲去场馆C ,场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种,场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种,所以甲不去场馆A 时,场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选:B .6.已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--,则()f x 是()A .奇函数,且在(0,e)上是增函数B .奇函数,且在(0,e)上是减函数C .偶函数,且在(0,e)上是增函数D .偶函数,且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域,利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义,则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩,解得e e x -<<,即函数()f x 的定义域为(e,e)-,因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦,所以函数()f x 是奇函数,函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增,函数ln y u =在定义域上递增,所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选:A 7.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行,对应方程系数的关系求解,分两个方面判断即可.【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行,易得:sin 0,cos 0θθ≠≠,故:1sin 121cos 1θθ-=≠,则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=,故不是充分条件;反之,当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立,故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行,是必要条件;故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件,故选:B .8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 为C 的右顶点,以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ,Q 两点,且3π4PAQ ∠=,则双曲线C 的离心率为()ABCD .3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程,得到()(),,,P a b Q a b --,进而得到π4OAQ ∠=,利用直线斜率得到方程,求出2b a =,得到离心率.【详解】由题意得,以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=,(),0A a ,渐近线方程为b y x a=±,联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得x a =±,不妨令()(),,,P a b Q a b --,故π2OAP ∠=,因为3π4PAQ ∠=,所以3πππ424OAQ ∠=-=,所以0tan 1π4AQ b k a a --===--,解得2b a =,故离心率c e a ==.故选:C9.4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为().A .11B .11-C .8D .7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体,得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-,再展开421()r x x -+得到430r m --=,分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体,展开得到:41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为:4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时,4r =系数为:40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时,1r =系数为:11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理,将21x x +看成整体展开,再用一次二项式展开是解题的关键,计算较为复杂.10.若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤,且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减,则ω的值为()A .16-B .56C .116D .56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时,()f x 取得最大值,所以π2π2π3k ω+=,可求出16k ω=-,再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,求出ω的范围,即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时,()f x 取得最大值,所以π2π2π3k ω+=,16k ω=-,k ∈Z .由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减,得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,所以02ω<≤.所以56ω=或116.经检验,56ω=或116均满足条件.故选:D .11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为AB 、BC 的中点,则下列说法不正确的是()A .当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时,球O 的表面积为3π2B .异面直线1DD 与1B FC .点P 为正方形1111D C B A 内一点,当//DP 平面1B EF 时,DP D .过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A :转化为长方体的外接球分析运算;对于B :根据异面直线夹角分析运算;对于C :根据面面平行分析判断;对于D :根据平行关系求截面,进而可得周长.【详解】对于A :三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球,因为11BB =,12BE BF ==,可得外接球的半径4R =,所以外接球的表面积23π4π2S R ==,故A 正确;对于B :因为11//DD BB ,则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ,且11BB =,12BF =,可得12B F =,所以111cos BB BB F B F ∠==所以,异面直线1DD 与1B FB正确;对于C :取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ,连接AM 、MN 、QN 、DN ,,由题意可得:1//AE B M ,1AE B M =,则1AEB M 为平行四边形,所以1//B E AM ,因为四边形1111D C B A 为正方形,M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点,则11//A M D N ,11A M D N =,所以,四边形11A D NM 为平行四边形,所以,11//MN A D ,11MN A D =,又因为11//AD A D ,11AD A D =,可得//MN AD ,MN AD =,则AMND 为平行四边形,所以//AM DN ,可得1//B E DN ,因为1B E ⊂平面1B EF ,DN ⊄平面1B EF ,则//DN 平面1B EF ,因为11//AA CC ,11AA CC =,则四边形11AAC C 为平行四边形,则11//AC AC ,因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点,则//EF AC ,同理可得11//QN A C ,则11//EF AC ,可得//QN EF ,因为EF ⊂平面1B EF ,QN ⊄平面1B EF ,则//QN 平面1B EF ,因为DN QN N =I ,DN 、QN ⊂平面DNQ ,所以平面//DNQ 平面1B EF ,则点P 在线段QN 上,可得11122QN A C ==,2DQ QN ==,所以当点P 为线段QN 的中点时,DP QN ⊥,DP 4=,故C 正确;对于D :连接AC 、11A C ,因为E 、F 为AB 、BC 的中点,则//EF AC ,又因为11//AA CC ,11AA CC =,则11AAC C 为平行四边形,可得11//AC A C ,则11//EF AC ,过1D 作11//KL AC ,设11KL AB K = ,11KL BC L = ,则//KL EF ,可得111KA AB =,111LCBC =,连接KE 、LF ,设1KE AA G = ,1LF CC H = ,连接1D G 、1D H ,可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ,因为12KA AE =,12LC CF =则1223GA AG ==,1223HC CH ==,可得113D G D H ==,6GE HF ==,EF所以截面周长为22+D 错误;故选:D.【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.12.若点P 既在直线20l x y -+=:上,又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上,C 的左、右焦点分别为12,F F ,122F F =,且12F PF ∠的平分线与l 垂直,则C 的长轴长为()AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ,由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠,即可得1F N P 与2F PM 相似,结合点到直线的距离可得相似比,从而可求出1PF 、2PF ,结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ,作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ,由122F F =,故()11,0F -、()21,0F ,则1F N =,2F M =,由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线,故12F PH F PH ∠=∠,故12F PN F PM ∠=∠,又1F N l ⊥、2F M l ⊥,故1F N P 与2F PM 相似,故1122132F N NP PF F M MP PF ===,由20l x y -+=:,令0y =,则2x =-,故直线l 与x 轴交于点()2,0G -,故NG ==2MG ==,故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===,故144NP MN ==,344MP MN ==,故14PF ==,24PF ==,由椭圆定义可知,122PF PF a +=,故2a =即C故选:B.【点睛】关键点睛:本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ,再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠,从而得到相似三角形,结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-,写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3(答案不唯一)【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-,从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦,进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦,故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=,()tan tan 4αββ+=-,即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+,故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+,故()55cos cos 6αββ+=,即()1cos cos 6αββ+=,则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-,则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-,可取2π3α=.故答案为:2π314.在正三棱台111ABC A B C -中,2AB =,11AB A B >,侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球,则此正三棱台的体积为.【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ,Q ,上、下底面的中心分别为1O ,2O ,设11A B x =,内切球半径为r ,根据题意求出侧棱长以及2O P ,1O Q ,再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图,取BC 和11B C 的中点分别为P ,Q ,上、下底面的中心分别为1O ,2O ,设11A B x =,内切球半径为r ,因为12tan A AO ∠=2r ,所以111AA BB CC ===,2113323O P AP ==⨯=,同理16O Q x =.因为内切球与平面11BCC B 相切,切点在PQ 上,所以)212PQ O P O Q x =+=+①,在等腰梯形11BB C C 中,)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②,由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭.在梯形1AA QP 中,()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③,由②③得2x -=,代入得1x =,则棱台的高23h r ==,所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭.故答案为:12.15.已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ,n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++,则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为.【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+,将已知等式转化为()()()g mn g m g n =,再利用赋值法求得()0g 与()1g ,进而求得,a b ,再利用利用导数的几何意义即可得解.【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++,所以()()()()()222+=++f mn f m f n ,设()()3222g x f x x b x a +++=+=,则()()()g mn g m g n =,令0m n ==,则()()200g g =,则()00g =,或()01g =,若()01g =,则由()()()00g g m g =,得()1g m =,显然不成立,所以()00g =,即20b +=,则2b =-令1m =,则()()()1g n g g n =,由于()g n 不恒为0,故()11g =,即121a b +++=,则0a =,此时()32f x x =-,经检验,满足要求,则()13f -=-,()23f x x '=,所以()13f '-=,所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ,即30x y -=.故答案为:30x y -=16.在锐角ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,S 为ABC 的面积,且()222S a b c =--,则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得sin 2cos 2A A +=,再根据同角关系式可得sin A ,然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+,结合条件可得tan C 取值范围,进而求得bc 的取值范围,令b t c =,则221b c t bc t +=+,然后由对勾函数的单调性即可求出.【详解】在ABC 中,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,且ABC 的面积1sin 2S bc A =,由()222S a b c =--,得sin 22cos bc A bc bc A =-,化简得sin 2cos 2A A +=,又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22sin cos 1A A +=,联立得25sin 4sin 0A A -=,解得4sin 5A =或sin 0A =(舍去),所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+,因为ABC 为锐角三角形,所以02C π<<,2B A C ππ=--<,所以22A C ππ-<<,所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭,所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设b t c =,其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以221b c b c t bc c b t+=+=+,由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当1t =时,2y =;当35t =时,3415y =;当53t =时,3415y =,所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭,即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+,进而可以求解.三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11a =,且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅,求{}n b 的前1012项和1012T .【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解;(2)由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,则211a a d d =+=+,51414a a d d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列,所以2215a a a =⋅,即()()21114d d +=⨯+,得220d d -=,又因为{}n a 是公差不为零的等差数列,所以2d =,即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分(2)由(1)知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭,1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18.(12分)在直角梯形ABCD 中,//AD BC,22BC AD AB ===90ABC ∠=︒,如图(1).把ABD △沿BD 翻折,使得平面ABD ⊥平面BCD .(1)求证:CD AB ⊥;(2)在线段BC 上是否存在点N ,使得AN 与平面ACD 所成角为60°?若存在,求出BN BC的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,14=BN BC 【分析】(1)利用勾股定理证明CD BD ⊥,再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ,再根据线面垂直的性质即可得证;(2)以点D 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.【详解】(1)因为//AD BC ,且22BC AD AB AB BC ===⊥,可得AD AB ==2BD ==,又因为45DBC ADB ∠=∠=︒,可得2CD ==,所以222BD DC BC +=,则CD BD ⊥,因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面BCD BD =,且CD ⊂平面BCD ,所以CD ⊥平面ABD ,又因为AB ⊂平面ABD ,所以CD AB ⊥;....................................................6分(2)因为CD ⊥平面ABD ,且BD ⊂平面ABD ,所以CD BD ⊥,如图所示,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,可得()1,0,1A ,()2,0,0B ,()0,2,0C ,()0,0,0D ,所以()0,2,0CD =- ,()1,0,1AD =-- .....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ,则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩,令1x =,可得0,1y z ==-,所以()1,0,1n =- ,....................................................9分假设存在点N ,使得AN 与平面ACD 所成角为60 ,设BN BC λ=uuu r uu u r ,(其中01λ≤≤),则()22,2,0N λλ-,()12,2,1AN λλ=-- ,所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ,整理得28210λλ+-=,解得14λ=或12λ=-(舍去),所以在线段BC 上存在点N ,使得AN 与平面ACD 所成角为60︒,此时14=BN BC .....................................................12分19.(12分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X ,定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤.已知某系统由一个电源和并联的A ,B ,C 三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.(1)已知电源电压X (单位:V )服从正态分布(40,4)N ,且X 的累积分布函数为()F x ,求(44)(38)F F -;(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T (单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.(ⅰ)设120t t >>,证明:1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-;(ⅱ)若第n 天元件A 发生故障,求第1n +天系统正常运行的概率.附:若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ,则(||)0.6827P Y μσ-<=,(||2)0.9545P Y μσ-<=,(||3)0.9973P Y μσ-<=.【答案】(1)0.8186(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)716.【分析】(1)根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解,(2)(ⅰ)根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解,(ⅱ)根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】(1)由题设得(3842)0.6827P X <<=,(3644)0.9545P X <<=,所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分(2)(ⅰ)由题设得:[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭,21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-....................................................8分(ⅱ)由(ⅰ)得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤,所以第1n +天元件B ,C 正常工作的概率均为14.为使第1n +天系统仍正常工作,元件B ,C 必须至少有一个正常工作,因此所求概率为2171(1)416--=.....................................................12分20.(12分)已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ,若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上,且满足0FA FB FC ++= ,则称该三角形为“核心三角形”.(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2,求直线AB 的方程;(2)已知ABC 是“核心三角形”,证明:ABC 三个顶点的横坐标都小于2.【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】(1)设AB 的方程为2y x t =+,联立抛物线方程,得到两根之和,两根之积,根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-,代入抛物线方程,求出1t =-,得到直线方程;(2)设直线BC 的方程,联立抛物线方程,得到两根之和,两根之积,求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---,代入抛物线方程,得到2342n m =-,由根的判别式得到2n m >-,所以212m <,所以点A 的横坐标242m <,同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】(1)设直线AB 的方程为2y x t =+,与24y x =联立得2220y y t -+=,由480t ∆=->得12t <,设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,则12122,2+==y y y y t ,所以()12121212x x y y t t +=+-=-,由题意知(1,0)F ,因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ,所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=,所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩,故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-,代入抛物线E 的方程得:44(2)t =+,解得1t =-,满足条件12t <,所以直线AB 的方程为210x y --=.....................................................6分(2)证明:设直线BC 的方程为x my n =+,与24y x =联立得2440y my n --=,()2Δ160m n =+>,所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-,所以()22323242x x m y y n m n +=++=+.由(1)知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩,所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩,即点A 的坐标为()2342,4m n m ---.又点A 在抛物线24y x =上,所以()22164342m m n =--,所以2342n m =-,又2n m >-,所以212m <,所以点A 的横坐标2234242m n m --=<,同理可证,B ,C 两点的横坐标也小于2.所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2.....................................................12分【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.21.(12分)已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,0a >.(1)若()0f x ≥恒成立,求a 的取值集合;(2)证明:()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N .【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】(1)利用导数求函数()f x 的最小值,转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合;(2)利用小问(1)构造不等式,赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ,再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】(1)由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >,221()a x a f x x x x -'=-= ,令()0f x '=,得x a =,由x ,()f x ,()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+,因为()0f x ≥恒成立,所以ln 10a a -+³,(0,)a ∈+∞.令()ln 1g x x x =-+,则11()1x g x x x -'=-=,由x ,()g x ,()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==.又()0,1a ∈ ,()ln 1(1)0g a a a g =-+<=,(1,)∈+∞a ,()ln 1(1)0g a a a g =-+<=,1a ∴=,故a 的取值集合为{}1.....................................................5分(2)由(1)可知,当1a =时,()0f x ≥,即1ln 10x x+-≥,11ln 1x x x x -≥-=,ln(1)1x x x ∴+≥+(当0x =时,“=”成立),令1()x n n+=∈N ,111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+,则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭,()1ln 1ln 1n n n +->+,由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++,即1111ln 21232n n n n>+++++++ ,令()sin h x x x =-,,()0x ∈+∞,()cos 10h x x '=-≤ 恒成立,()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减,()(0)0h x h <=∴,sin x x ∴<,11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ,1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛:(1)导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理;(2)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用;(3)证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),直线l 过点()0,1P .(1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,且1132PA PB +=,求直线l 的倾斜角.【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】(1)利用参数方程转普通方程即可求解.(2)写出直线l 的参数方程,参数方程代入22143x y +=,设A ,B 两点所对的参数为12,t t ,利用韦达定理代入1132PA PB +=中,化简即可求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,22sin cos 1θθ+=,2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,即22143x y +=(为焦点在x 轴上的椭圆)....................................................4分(2)设直线l 的倾斜角为θ,直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩(t 为参数),将直线l 的参数方程代入22143x y +=,可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+,()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=,设A ,B 两点所对的参数为12,t t ,221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++,曲线C 与y轴交于((0,,两点,()0,1P ∴在曲线C 的内部,12,t t ∴一正一负,1212t t t t ∴+=-,而1132PA PB +=,121232t t t t +∴=⋅,121232t t t t -∴=⋅,2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅,()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅,22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=,θ为直线l 的倾斜角,[)0πθ∈,,[]1sin 0,θ∈∴,sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=,直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5:不等式选讲23.(10分)已知函数()223f x x x =--.(1)求不等式()5f x ≥的解集;(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ,若0,0a b >>且2a b m +=,求证:2242a b +≥.【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】(1)解绝对值不等式时,一般考虑分类讨论法求解,最后再合并;(2)分类讨论()g x 的单调性,判断其在不同区间上的最小值,最后确定m 的值,利用基本不等式即可证明.【详解】(1)不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-,由2235x x --≥,可得2280x x --≥,解得4x ≥或2x ≤-;由2235x x --≤-,可得2220x x -+≤,解得x ∈∅,所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+.....................................................4分(2)由题意,知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++,当1x ≤-时,()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--,因()g x 在(,1]-∞-上单调递减,则min ()(1)2g x g =-=;当13x -<<时,()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因()g x 在3(1,2-上单调递增,在3(,3)2上单调递减,故()g x 在(1,3)-无最小值,但是()2g x >;当3x ≥时,()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--,因()g x 在[3,)+∞上单调递增,则min ()(3)6g x g ==.综上,当=1x -时,函数()g x 取得最小值2,即2m =,所以22a b +=,因0,0a b >>,所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=,当且仅当1,12a b ==时等号成立,故2242a b +≥...................................................10分。

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2020年高考数学预测卷及答案(理科)学校: 考点: 考号: 姓名:本试题卷共6页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤,集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤,则集合A B =( )A .{}1,2B .{}|01x x ≤≤C .(){}1,2D .∅2.已知复数z 满足11i 12z z -=+,则复数z 在复平面内对应点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.《九章算术》中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d ,公式为3169d V =.如果球的半径为13,根据“开立圆术”的方法求球的体积为( ) A .481π B .6π C .481D .61 4.已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则满足题意的ω的最小值为( )A .13B .12C .1D .25.某几何体的三视图如图所示,设正方形的边长为a ,则该三棱锥的表面积为( ) A .2aB .23aC .236a D .223a6.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人,从这批跳舞机器人中随机抽取了8个,其中有2个是次品,现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员,则测验员拿到次品的概率是( )A .328B .128C .37D .13287.如图所示,在梯形ABCD 中,∠B =π2,2AB =,BC =2,点E 为AB 的中点,若向量CD 在向量BC 上的投影为12-,则CE BD ⋅=( )A .-2B .12-C .0D 28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=16,数列{}n b 满足1n n n b a a +=+,则数列{}n b 的前9和9T 为( )A .80B .20C .180D .1669.2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办.为了保护与会者的安全,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排的方法共有( )A .96种B .100种C .124种D .150种10.已知函数cos y x x =+,有以下命题: ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +; ②()f x 的值域是R ; ③()f x 是奇函数;④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2, 其中推断正确的个数是( ) A .0B .1C .2D . 311.已知椭圆的标准方程为22154x y +=,12,F F 为椭圆的左右焦点,O 为原点,P 是椭圆在第一象限的点,则12PF PF PO -的取值范围( )A .50,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B .250,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C .350,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D .650,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为棱1CC 的中点,F 为棱1AA 上的点,且满足1:1:2A F FA =,点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点,则下列说法错误的是( ) A .HF //BE B .132BM =C .∠MBN 的余弦值为6565D .五边形FBEGH 的面积为2361144第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.为了确定学生的答卷时间,需要确定回答每道题所用的时间,为此进行了5次实验,根据收集到的数据,如表所示:题数x (道)23456所需要时间y (分钟) 3 6 7 8 11由最小二乘法求得回归方程 1.8y x a =+,则a 的值为_________.(参考公式:()()()127niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-)14.若2(3)(1)nx x+-的展开式中常数项为43,则22n xdx =⎰ .15.执行如图所示的程序框图,若输出S 的值为10332-,则判断框中应填入的条件是__________.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1213n n n S a =-+-,32nn n c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则数列{}n c 的通项公式________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=-,()()sin cos A B A B -=+.(1)求角A 、B 、C ; (2)若2a =ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积.18.(本小题满分12分)2017年3月29日,中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞.AG600飞机的用途很多,最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测.根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情,其中森林灭火2起,水上救援3起,物资运输5起.现从10起灾情中任意选取3起,(1)求三种类型灾情中各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的森林灭火的数目,求X 的分布列与数学期望.19.(本小题满分12分)如图所示,直棱柱1111ABCD A B C D -,底面ABCD 是平行四边形,1113AA AB B D ===,2BC =,E 是边11B C 的中点,F 是边1CC 上的动点.(1)求证:1D E BF ⊥; (2)当1C F BC =时,(Ⅰ)求证:BF ⊥平面1D EF .(Ⅱ)求面1D BF 与底面1111A B C D 所成的二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)设椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0-,且椭圆C 与直线632y x =+相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点()0,1P 的动直线与椭圆C 交于A ,B 两点,设O 为坐标原点,是否存在常数λ,使得7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-?请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数ln 1xy x =+, (1)求证:()211f x x -+≤; (2)当x ≥1时,()ln (1)f x x a x --≥恒成立,求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴非负半轴重合,直线l 的极坐标方程为3cos sin 60ρθρθ+-=,圆C 的参数方程为5cos 15sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩,(1)求直线被圆所截得的弦长;(2)已知点()0,2P -,过P 的直线'l 与圆所相交于A B 、不同的两点,求PA PB ⋅.23.(本小题满分10分)已知点(),P a b 在圆C :22x y x y +=+()(),0,x y ∈+∞上,(1)求11a b+的最小值; (2)是否存在a ,b ,满足()()114a b ++=?如果存在,请说明理由.参考答案第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】C【解析】根据题意可得,12y x y x =+⎧⎨=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,满足题意01x ≤≤,所以集合A B =(){}1,2.故选C .2.【答案】D【解析】设复数i z a b =+,(),a b ∈R ,则i z a b =-,因为11i 12z z -=+,所以()()211i z z -=-,所以2(1)2i a b --()1i a b =+-,所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩,解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以54i 33z =-,所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上.故选D 3.【答案】D【解析】根据公式3169d V =得,321639V =,解得16V =.故选D . 4.【答案】C 【解析】根据题意可得,()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或52,6k k π+π∈Z ,解得121k ω=-+或123k -+,又0ω>,显然min 1ω=.故选C .5.【答案】D 【解析】如图所示,该几何体是正方体的内接正三棱锥,所以三棱锥的棱长为2a ,因此此几何体的表面积()22142sin 60232S a a =⨯⨯︒=.故选D .6.【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=.故选D . 7.【答案】A【解析】以B 为原点,BC 为x 轴,AB 为y 轴建系如图,∵2AB =,BC =2,∴()0,2A ,()0,0B ,()2,0C ,D 的纵坐标为2,∵点E 为AB 的中点,∴20,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,若向量CD 在向量BC 上的投影为12-,设向量CD 与向量BC 的夹角为θ,所以1cos 2CD θ=-,过D 作DF ⊥BC ,垂足为F ,在Rt △DFC 中,()cos πFC CD -θ=,所以12CF =,所以322D ⎛ ⎝,所以22,2CE ⎛=- ⎝⎭,322BD ⎛= ⎝,所以312CE BD ⋅=-+=-. 8.【答案】C .【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为1n n n b a a +=+,所以112n n n b a a +++=+,两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数,所以数列{}n b 也为等差数列.因为{}n a 为等差数列,且S 2=4,S 4=16,所以11224b a a S =+==,3344212b a a S S =+=-=,所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==,所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯ 222n n =+,所以9180T =.故选C . 9.【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,一种是按照1、1、3,另一种是1、2、2;当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==,当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==,根据分类计数原理知共有,故12150N N N =+=,选D . 10.【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ,值域为R ,所以①不正确,②正确;由于()cos f x x x =+,所以()cos f x x x -=-+,所以()()f x f x -≠,且()()f x f x -≠-,故此函数是非奇非偶函数,所以③不正确;当π2x =时,cos x x x +=,即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2;所以④正确.故选C . 11.【答案】B【解析】设P ()00,x y ,则005x <<,1555e ==,10555PF x =+,2PF =0555x -,222000145PO x y x =+=+,则0122020252555114455x PF PF PO x x -==++,因为005x <<,所以20445x >,所以201415x +>,所以202525505145x <<+,所以122505PF PF PO -<<.故选B . 12.【答案】C【解析】因为面11//AD BC 面,且面1AD 与面MBN 的交线为FH ,1BC 面与面MBN 的交线为BE ,所以HF //BE ,A 正确;因为11//A F BB ,且1:1:2A F FA =,所以111:1:2MA A B =,所以112MA =,所以132B M =,在Rt △1BB M 中,2211BM BB B M =+132=,所以B 正确;在Rt △1BB N 中,E 为棱1CC 的中点,所以1C 为棱1NB 上的中点,所以11C N =,在Rt △1C EN 中, 221152EN C E C N =+=,所以5BN =;因为221152MN MB NB =+=,在△BMN 中,222cos 2BM BN MN MBN BM BN +-∠==⋅26565,所以C 错误;因为265cos 65MBN ∠=,所以61sin 65MBN ∠=,所以BMN S =△12BM ⨯61sin 4BN MBN ⨯⨯∠=,根据题意可得,14GEN BMN S S =△△,19MFH BMN S S =△△,所以BEGHF S =面2361144BMN GEN MFH S S S --=△△△.故选C .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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