经济预测与决策2(研究生)

1 1 ?∑2 ? ∑3 y yt t ? b= 1 1 ? ? ∑1 ∑2 y ? yt t ? ? ? 1 1 ? b ?1 ? a = ?∑ 2 ? ∑1 ? ? yt yt ? b ( b n ? 1) ? ? ? 1 bn ? ? K = 1? ? ∑ 1 ? ab ? ? n? yt b ?1? ? ? ? ?
Q = ∑ ( yt ? yt ) = ∑ ( yt ? a ? bt )
2 t ?1 n 2
达到最小，从而得到参数a和b的估计值。 由极值原理，获得参数估计式如下：
n∑ tyt ? ∑ t ∑ yt ?b = 2 n∑ t 2 ? ( ∑ t ) ? ? ? ∑ yt ? b ∑ t = y ? bt ?a = n n ?
第二节 概率向量与概率矩阵
定义5-5 如果一个行向量的元素都是非负的，且各元素 定义 之和等于1，则称此向量为概率向量。 如果一个方阵的每一行向量都是概率向量，则称此方 阵为概率矩阵。 性质5-3 如果同阶方阵 A = (aij )n×n 与 B = (bij )n×n 都 是概率 性质 矩阵，则 C = AB = (cij )n×n 也是概率矩阵。即概率矩阵的 乘积为概率矩阵。
1A ?40 30 30? 2B ?60 30 60? ? ? 3C ?60 3 30? ? ?
其中，第一行表示在本月购买A品牌100人中有40人在 下月仍打算购买A品牌，而打算转向购买B和C品牌的 人数都是30。第二行与第三行类同。要求： （1）写出状态转移概率矩阵。 （2）求购买C品牌的顾客矩阵在未来第二个月购买A 品牌和B品牌的概率。
为k步状态转移概率矩阵 性质5-1 设 P = ( pij )n×n是马尔科夫链的一步转移概率矩阵， 性质 则：（1） pij ≥ 0, j = 1,2,? , n; i = 1,2,? n ； n （2）∑ pij = 1, i = 1,2,?, n 。 j =1 性质5-2 设 P = ( pij )n×n 与P(k ) = ( pij (k ))n×n 分别为马尔科夫链 性质 的一步和k步转移概率矩阵，则：
第五章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫链及转移概率
一、随机过程
定义5-1 设 是随机试验E的样本空间，T为时间参数空 定义 间。若对每一时刻 t ∈，都有定义在 上的随机变量 T Z (t, e) t ∈ {为一随 T } Z (t, e) 与之对应，则称依赖于t的一组随机变量 机过程，简记为 Z (t ) , t ∈T . 例5-1 设Z(t)是某市电话局在时间t内收到的呼叫次数， t ∈ T =[0, 24]，则 Z ( t ) , t ∈ T . 是一随机过程。 例5-2 设Z(t)是北京市在一天内t时刻的温度，∈ T =[0, 24]， t Z ( t是一随机过程。 ) , t ∈T . 则
P(k ) = P k , k = 1,2,3, ?
即k步转移概率矩阵恰好等于一步转移概率矩阵的k次幂。
例5-7 为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌洗衣粉的 购买倾向，市场调查小组进行了购买倾向调查。在本 月购买A、B、C品牌的顾客中分别调查了100人、150 人、和120人。了解他们下月的购买倾向。调查结果用 矩阵表示如下： 1A 2B 3C
（二）折扣最小二乘法 折扣最小二乘法的基本思想是：对误差平方进行指数折 扣加权后，使其总和达到最小，即 2 ? Q = ∑ α n ?1 ( yt ? yt ) → min, 其中a为折扣系数，且00,a >0,0<b<1. 几何图形如下图所示 yt 1/(2K) 1/(K+a) 0 (lnK-lna)/lnb t
2 ? 2 (2) p = ? ?5 ? ?1 ?4 ? 3 1 5 1 2 4? ? 2? 5? ? 1? 4? ?
0.2 0.6 0.2 ? (3) p = ? 0.1 0.8 0.1? ? ? ?0.6 0.3 0.1? ? ?
1 = K + abt ? yt
若令
y t′ =
1 ? yt
，则上式变为： yt = K + abt
可见，Logistic曲线模型的倒数正是修正指数曲线模型 的形式。因此，依照修正指数曲线模型参数估计的三 和法，可得b,a 和K的计算公式：
由于随机变量与时间参数空间T都有连续与离散之分，所以随 机过程可分为如下四类： 1．连续型随机过程：随机变量Z(t)与时间T都是连续的。如例 ．连续型随机过程： 5-2。 2．离散型随机过程：随机变量是离散的，时间是连续的。如， ．离散型随机过程： 例5-1。 3．连续随机序列：随机变量是连续的，时间是离散的。如例 ． 连续随机序列： 5-3。 4．离散随机序列：随机变量与时间都是离散的。如例5-4。 ．离散随机序列：
? ? ?yt = yt ? yt ?1 = ( a + bt ) ? ? a + b ( t ? 1) ? = b ? ?
为一个常数，计算给定的时间序列的一阶差分，若一 阶差分近似为一个常数时，则可以选择直线趋势模型 进行预测。
三、直线趋势模型的参数估计
（一）最小二乘法 最小二乘法的基本思想是：使误差平方和
一、直线趋势模型
直线趋势模型为：
yt = a + bt (4.1.1)
式中：t——时间变量；yt ——预测值；a,b——模型参 数
二、直线趋势模型的识别
设：某一经济变量 yt 的时间序列为{ yt } , t = 1, 2?, n; n为样本 容量。 方法一：绘制 yt 的散点图（或称时序图），若散点图 方法一 形近似于一条直线，则初步判断该时间序列可以选用 直线趋势模型进行预测。 方法二：可用阶差法识别。根据模型（4.1.1）可知， 方法二 其一阶差分：
{
n
1
n
n?1
} {
?1
定义5-3 若对任意 t ∈ T 和任意自然数k，马尔科夫链的转 定义 移概率 pij (t , t + k ) = pij (0, k ) ，则称pij (0, k ) 为由状态i经k步到 状态j的转移概率，简称k步状态转移概率，记为pij (k ) 。
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经济预测与决策（二） 经济预测与决策（
湖南大学经贸学院 博士、 许和连 博士、 教 授
第四章 曲线趋势预测法
第一节 直线趋势模型预测法
二 马尔科夫链
马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效 马尔科夫链 性是指序列将来处于什么状态，只与它现在所处的状态 有关，而与它过去处于什么状态无关。无后效性可用条 件概率表示。 定义5-2 设时间序列 Zt , t ∈ T的状态空间S是一整数集，若对 定义 i S中的任意n个整数：, j, i1 , i2 ?in?2 和T中任意n个整数 0 ≤ t1 < t 2 < ?t n 都有： P Zt = j Zt =i1, Zt =i2,? t =i = P Zt = j Zt =i Z 则称时间序列是马尔科夫链。而条件概率 p{Z t = j Z t = i} 称 为由tn-1时刻之状态i到tn时刻之状态j的状态转移概率，记 为 pij (t n?1 , t n )
u1 ?u P=? 1 ?? ? ?u1 u2 ? un ? u2 ? un ? ? ? ? ?? ? u2 ? un ?
0 0 ) 初始分布为 p 0 = ( p10 , p2 , ? pn。求马尔科夫链在任一时刻的
绝对分布。
定义6-7 设P为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。如果 定义 存在概率向量u=(u1, u2, …，un)使得uP=u，则称u为P 的固定概率向量，或称为P的固定点（或均衡点）。 如果马尔科夫链的转移概率矩阵P的所有行向量都等 于同一向量u，则称P是由u构成的稳态矩阵。
t 例5-3 设Z(t)是第t个交易日收盘时的上证指数， ∈ T ={1， 2，3，…}，则 Z ( t ) , t ∈ T .是随机过程。 例5-4 在一系列掷硬币的试验中，记
1, 第t次出现正面 Z (t ) ? ?0,第t次出现反面
t 则Z(t)， ∈ T ={1，2，3，…}是一随机过程。
t 1 t 2 t n
0 1
0 0 , p 2 , ? p n P (t )
)
例5-8 马尔科夫链的一步转移概率矩阵为：
0.4 0.3 0.3? P = ?0.6 0.3 0.1? ? ? ?0.6 0.1 0.3? ? ?
（1）若初始分布为（02,0.2,0.6），求t=1时的绝对分布。 （2）若初始分布为（0.5,0.25,0.25），求马尔科夫链在任 一时刻t的绝对分布。 例5-9 设马尔科夫链的转移概率矩阵为：
三．转移概率矩阵及其性质
定义5-4 设马尔科夫链 Zt , t ∈ T 的状态空间为 定义 则称由一步转移概率 pij (i, j = 1,2,……, n) 构成的n阶方阵
P = ( pij )n×n ? p11 p12 ? p1n ? ?p p ?p ? 2n ? = ? 21 22 ? ? ? ? ? ? p n1 p n 2 ? p nm ?
，
为一步状态转移概率矩阵。
一般地，由k步转移概率 pij (k ), (i, j = 1,2,? n ) 构成的n阶方阵
p(k ) = ( pij (k ))n×n ? p11 (k ) p12 (k )? p1n (k ) ? ? p p (k )? p (k ) ? 2n ? = ? 21 22 ? ? ? ? ? pn1 (k ) pn 2 (k )? pnn (k )? ?
二、正规概率矩阵
定义6-8 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩阵，如 定义 果存在自然数k，使得Pk的所有元素都是正数，则称P 为正规概率矩阵。 例6-10 试判断下列哪些矩阵是正规概率矩阵，哪些 不是. ?1 1 1?