模式识别5-线性分类器-第二讲
合集下载
模式识别线性判别函数.ppt
第五章线性判别函数分类器参数分类器51引言52fisher线性判别53感知准则函数perception54最小平方误差准则函数55多层感知的学习算法误差反向传播算法对于线性判别函数52fisher线性判别相当于把n维特征空间52fisher线性判别52fisher线性判别要找一个最好的投影方向b使下面的准则函数达到最大值
5.3 感知准则函数（Perceptron）
可以用梯度下降法求使Jp(a)最小的a*。
J (a)
J p (a)
p
a
( y) yYe
Ye 是被a所错分的样本集。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
函数Jp(a)在某点ak的梯度▽Jp(ak)是一 个向量，其方向是Jp(a)增长最快的方向， 而负梯度是减小最快的方向。 ∴ 沿梯度方向→极大值
yi
5.3 感知准则函数（Perceptron）
二．感知准则函数及其梯度下降算法
设有一组样本y1, …, yN（规范的 增广样本向量）。目的是求一a*，使 得a*Tyi>0, i=1, 2, …, N。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
构造一个准则函数，
J
(a)
p
(aT
y)
yYe
希望根据给出的已知类别的训练样 本，确定参数w和w0.
5.1 引言
对分类器的性能 提出要求
利用各种
准则函数 目标函数
表示
使所确定的w和w0尽可能 满足这些要求。
对应于准则函数的最优化 （方法），求准则函数的
极值问题。
5.1 引言
线性判别函数分类的错误率可能比 贝叶斯错误率大，但它简单，容易实 现，它是P.R.中最基本的方法之一，人 们对它进行了大量的研究工作。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
可以用梯度下降法求使Jp(a)最小的a*。
J (a)
J p (a)
p
a
( y) yYe
Ye 是被a所错分的样本集。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
函数Jp(a)在某点ak的梯度▽Jp(ak)是一 个向量，其方向是Jp(a)增长最快的方向， 而负梯度是减小最快的方向。 ∴ 沿梯度方向→极大值
yi
5.3 感知准则函数（Perceptron）
二．感知准则函数及其梯度下降算法
设有一组样本y1, …, yN（规范的 增广样本向量）。目的是求一a*，使 得a*Tyi>0, i=1, 2, …, N。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
构造一个准则函数，
J
(a)
p
(aT
y)
yYe
希望根据给出的已知类别的训练样 本，确定参数w和w0.
5.1 引言
对分类器的性能 提出要求
利用各种
准则函数 目标函数
表示
使所确定的w和w0尽可能 满足这些要求。
对应于准则函数的最优化 （方法），求准则函数的
极值问题。
5.1 引言
线性判别函数分类的错误率可能比 贝叶斯错误率大，但它简单，容易实 现，它是P.R.中最基本的方法之一，人 们对它进行了大量的研究工作。
模式识别--第二讲 线性分类器
第 1 页第二讲 线性分类器一、 判别函数1、 决策论方法在模式识别中，如果根据模式特征信息，按照决策论的思路，以一定的数量规则来采取不同的分类决策，将待识别的模式划分到不同的类别中去，就称为模式识别的决策论方法。
在决策论方法中，特征空间被划分成不同的区域，每个区域对应一个模式类，称为决策区域（Decision Region ）。
当我们判定待识别的模式位于某个决策区域时，就判决它可以划归到对应的类别中。
图1 决策区域需要注意的是：决策区域包含模式类中样本的分布区域，但不等于模式类的真实分布范围。
2、 判别函数如果特征空间中的决策区域边界（Decision Boundary ）可以用一组方程0)( x i G来表示，则将一个模式对应的特征向量x 代入边界方程中的)(x i G ，确定其正负符号，就可以确定该模式位于决策区域边界的哪一边，从而可以判别其应当属于的类别，)(x i G 称为判别函数（Discriminant Function ）。
判别函数的形式可以是线性的（Linear ）或非线性（Non-linear）的。
第 2 页例如图2就显示了一个非线性判别函数，当G (x )>0时，可判别模式x ∈ω1；当G (x )<0时，可判别x ∈ω2。
图2 非线性判别函数非线性判别函数的处理比较复杂，如果决策区域边界可以用线性方程来表达，则决策区域可以用超平面（Hyperplane ）来划分，无论在分类器的学习还是分类决策时都比较方便。
例如图3中的特征空间可以用两个线性判别函数来进行分类决策：当G 21(x )>0且G 13(x )>0时，x ∈ω2； 当G 13(x )<0且G 21(x )<0时，x ∈ω3； 当G 21(x )<0 且 G 13(x )>0时，x ∈ω1；当G 21(x )>0且G 13(x )<0时，x 所属类别无法判别。
模式识别第二章ppt课件
2.2.2 聚类准则
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
模式识别第二章(线性判别函数法)
2类判别区域 d21(x)>0 d23(x)>0 3类判别区域 d31(x)>0 d32(x)>0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1
d23(x)为正
d32(x)为正
d12(x)为正
d21(x)为正
32
i j 两分法例题图示
33
3、第三种情况（续）
d1 ( x) d2 ( x)
12
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 如果采用增广模式，可以表达如下
g ( x) w x
T
x ( x1 , x 2 , , x d ,1)
w ( w1 , w 2 , , w d , w d 1 ) T
T
增广加权向量
2016/12/3
模式识别导论
13
2.1 判别函数(discriminant function) 1．判别函数的定义 直接用来对模式进行分类的准则函数。
模式识别导论
11
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 在一个d维的特征空间中，线性判别函数的
一般表达式如下
g ( x ) w1 x1 w 2 x 2 w d x d w d 1
g ( x ) w x w d 1
T
w为 加 权 向 量
2016/12/3
模式识别导论
1
d1 ( x ) d3 ( x )
2
3
d2 ( x) d3 ( x)
34
多类问题图例（第三种情况）
35
上述三种方法小结:
当c
但是
3 时，i j
法比
i i
法需要更多
模式识别之二次和线性分类器课件
原理
线性分类器利用训练数据集学习得到 一个线性函数，该函数可用于对新数 据进行分类。分类决策边界是一个超 平面，将不同类别的数据分隔开来。
线性分类器数学模型
线性函数
优化目标
正则化
线性分类器使用的线性函数通 常表示为权重向量和特征向量 的内积加上偏置项，即y = w^Tx + b，其中y是预测类别 ，w是权重向量，x是特征向量 ，b是偏置项。
模式识别之二课次件和线性分类器
contents
目录
• 引言 • 二次分类器原理 • 线性分类器原理 • 二次与线性分类器比较 • 二次和线性分类器应用案例 • 总结与展望
01
引言
模式识别概述
模式
01
在感知或观察事物时，人们所发现的事物之间规律性的关系或
特征。
模式识别
02
利用计算机对输入的信号进行分类或描述，以实现自动识别目
01
深度学习在模式识别 中的应用
深度学习技术为模式识别提供了新的 解决方案，能够自动提取数据的深层 特征，提高识别精度。
02
多模态数据融合
利用多模态数据融合技术，将不同来 源、不同类型的数据进行融合，提高 模式识别的性能和鲁棒性。
03
迁移学习在模式识别 中的应用
迁移学习技术可以将在一个任务上学 到的知识迁移到另一个任务上，从而 加速模型训练，提高识别效率。
自然语言处理领域应用案例
1 2
文本分类
通过训练二次和线性分类器，对文本进行分类， 如新闻、广告、评论等，提高信息处理的效率。
情感分析
利用分类器对文本中的情感进行识别和分析，为 企业了解用户需求、改进产品提供参考。
3
机器翻译
结合分类器对源语言进行识别和转换，实现不同 语言之间的自动翻译，促进跨语言交流。
线性分类器利用训练数据集学习得到 一个线性函数，该函数可用于对新数 据进行分类。分类决策边界是一个超 平面，将不同类别的数据分隔开来。
线性分类器数学模型
线性函数
优化目标
正则化
线性分类器使用的线性函数通 常表示为权重向量和特征向量 的内积加上偏置项，即y = w^Tx + b，其中y是预测类别 ，w是权重向量，x是特征向量 ，b是偏置项。
模式识别之二课次件和线性分类器
contents
目录
• 引言 • 二次分类器原理 • 线性分类器原理 • 二次与线性分类器比较 • 二次和线性分类器应用案例 • 总结与展望
01
引言
模式识别概述
模式
01
在感知或观察事物时，人们所发现的事物之间规律性的关系或
特征。
模式识别
02
利用计算机对输入的信号进行分类或描述，以实现自动识别目
01
深度学习在模式识别 中的应用
深度学习技术为模式识别提供了新的 解决方案，能够自动提取数据的深层 特征，提高识别精度。
02
多模态数据融合
利用多模态数据融合技术，将不同来 源、不同类型的数据进行融合，提高 模式识别的性能和鲁棒性。
03
迁移学习在模式识别 中的应用
迁移学习技术可以将在一个任务上学 到的知识迁移到另一个任务上，从而 加速模型训练，提高识别效率。
自然语言处理领域应用案例
1 2
文本分类
通过训练二次和线性分类器，对文本进行分类， 如新闻、广告、评论等，提高信息处理的效率。
情感分析
利用分类器对文本中的情感进行识别和分析，为 企业了解用户需求、改进产品提供参考。
3
机器翻译
结合分类器对源语言进行识别和转换，实现不同 语言之间的自动翻译，促进跨语言交流。
模式识别(国家级精品课程讲义)
1.1 概述－模式识别的基本方法
一、统计模式识别
理论基础：概率论，数理统计 主要方法：线性、非线性分类、Bayes决策、聚类分析 主要优点：
1）比较成熟 2）能考虑干扰噪声等影响 3）识别模式基元能力强 主要缺点： 1）对结构复杂的模式抽取特征困难 2）不能反映模式的结构特征，难以描述模式的性质 3）难以从整体角度考虑识别问题
模式类(Class)：具有某些共同特性的模式 的集合。
模式识别的例子
计算机自动诊断疾病:
1. 获取情况(信息采集) 测量体温、血压、心率、 血液化验、X光透射、B超、心电图、CT等尽可 能多的信息，并将这些信息数字化后输入电脑。 当然在实际应用中要考虑采集的成本，这就是 说特征要进行选择的。
2. 运行在电脑中的专家系统或专用程序可以分析 这些数据并进行分类，得出正常或不正常的判 断，不正常情况还要指出是什么问题。
5元
反 射 光 波 形
10元
20元 50元 100元
1 2 3 4 5 6 7 8
1.1 概述－系统实例
数据采集、特征提取：
长度、宽度、磁性、磁性的位置，光反射亮度、光 透射亮度等等
特征选择：
长度、磁性及位置、反射亮度
分类识别：
确定纸币的面额及真伪
1.1 概述－系统实例
训练集：是一个已知样本集，在监督学习方法 中，用它来开发出模式分类器。
模式识别
★ 相关学科
●统计学 ●概率论 ●线性代数（矩阵计算）
●形式语言 ●人工智能 ●图像处理 ●计算机视觉
等等
讲授课程内容及安排
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
引论 聚类分析 判别域代数界面方程法 统计判决 学习、训练与错误率估计 最近邻方法 特征提取和选择 上机实习
模式识别复习提纲2
（2）使用最近邻规则将所有样本分配到各聚类中心所代表的类
ωj（l）中，各类所包含的样本数为Nj(l)；
（3）计算各类的重心（均值向量），并令该重心为新的聚类中
心，即：
Zj(l+1)=N－j(1l)∑xi j=1,2,…,c xi∈ωj（l）
（4）如zj(l+1)≠zj(l)，表示尚未得到最佳聚类结果，则返回步骤 （2），继续迭代；
（1）绝对可分：
➢ 每个模式类都可用单一判别函数与其他模式类区分开。 ➢ 如是M类分类，则有M个判别函数
x2
d3（X）＝0
1
d1（X）＝0
2 d2（X）＝0
3
x1
判别函数的性质：
di(X)=Wi*TX*
>0， X∈ωi
<0， =0，
X不∈定ωj，j≠i
i，j=1,2,……,M
在模式空间S中，若给定N个样本，如能按 照样本间的相似程度，将S划分为k个决策 区域Si（i＝1，2，…..，k），使得各样本 均能归入其中一个类，且不会同时属于两 个类。即 S1∪S2∪S3∪……∪Sk＝S
Si∩Sj＝0，i≠j
数据聚类的依据是样本间的“相似度”
2、数据聚类的特点：
无监督学习 数据驱动 聚类结果多样化：特征选取、相似度的度 量标准，坐标比例；
dij(X)= -dji(X)
分类决策规则：
x2
d23（X）＝0 1 3
d12（X）＝0
2 d13（X）＝0
IR
x1
分类决策规则：
X∈ω1: d12(X)>0, d13(X)>0,
X∈ω2: d21(X)>0, d23(X)>0,
模式识别：线性分类器
模式识别：线性分类器一、实验目的和要求目的：了解线性分类器，对分类器的参数做一定的了解，理解参数设置对算法的影响。
要求：1. 产生两类样本2. 采用线性分类器生成出两类样本的分类面3. 对比线性分类器的性能，对比参数设置的结果二、实验环境、内容和方法环境：windows 7，matlab R2010a内容：通过实验，对生成的实验数据样本进行分类。
三、实验基本原理感知器基本原理：1.感知器的学习过程是不断改变权向量的输入，更新结构中的可变参数，最后实现在有限次迭代之后的收敛。
感知器的基本模型结构如图1所示：图1 感知器基本模型其中，X输入，Xi表示的是第i个输入；Y表示输出；W表示权向量；w0是阈值，f是一个阶跃函数。
感知器实现样本的线性分类主要过程是：特征向量的元素x1，x2，……，xk是网络的输入元素，每一个元素与相应的权wi相乘。
，乘积相加后再与阈值w0相加，结果通过f函数执行激活功能，f为系统的激活函数。
因为f是一个阶跃函数，故当自变量小于0时，f= -1；当自变量大于0时，f= 1。
这样，根据输出信号Y，把相应的特征向量分到为两类。
然而，权向量w并不是一个已知的参数，故感知器算法很重要的一个步骤即是寻找一个合理的决策超平面。
故设这个超平面为w，满足：（1）引入一个代价函数，定义为：（2）其中，Y是权向量w定义的超平面错误分类的训练向量的子集。
变量定义为：当时，= -1；当时，= +1。
显然，J(w)≥0。
当代价函数J(w)达到最小值0时，所有的训练向量分类都全部正确。
为了计算代价函数的最小迭代值，可以采用梯度下降法设计迭代算法，即：（3）其中，w(n)是第n次迭代的权向量，有多种取值方法，在本设计中采用固定非负值。
由J(w)的定义，可以进一步简化（3）得到：（4）通过（4）来不断更新w，这种算法就称为感知器算法（perceptron algorithm）。
可以证明，这种算法在经过有限次迭代之后是收敛的，也就是说，根据（4）规则修正权向量w，可以让所有的特征向量都正确分类。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Linear Discriminant Functions Precedure The Perceptron Algorithm
感知器模型 感知准则函数及梯度下降法
Least Squares Methods Support Vector Machines
The Perceptron Algorithm (cont.)
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
w(k 1) w(k ) rk (bk w(k ) xk ) xk
T
Widrow-Hoff算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
单样本修正法
rk rk0
Widrow-Hoff
批量样本修正——迭代算法
w1 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
e.g.,: t
c t
9
新内容
最小平方误差准则
问题： 一次准则函数及其算法（如感知器算法）：
适用于线性可分的情况
如果是线性不可分的，分类过程将不收敛
在实际问题中，往往无法事先知道源自式集能否线性可分。能否找到一种算法，使之能够
测试出模式样本集是否线性可分
并且对线性不可分的情况也能给出“次最优”的解
命名由来：这一准则函数是20世纪50年代由Rosenblatt
提出来的，试图用于脑模型感知器中，故一般称为感知 器准则函数。
5
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
J (w*) min(J (w)) min( (w x))
如果方程组有唯一解，极小值点即是该解，说明训练模式集
是线性可分的；
如果方程组无解，极小值点是最小二乘解。在这里，最小二
乘的含义是对于给定的b，使J极小。在相当多的情况下等价 于误分模式数目最少。
MSE准则函数的伪逆解
2 2 N
新内容
MSE准则函数 J (W ) || e || || XW b || W X i bi min i 1
若b的某些分量取得不当，所求得的W可能不稳定
另b各分量选取不当也会影响收敛速度
新内容
批量样本及单样本修正法：余量b——常矢量
H-K(Ho-Kashyap)算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
新内容
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
MSE准则函数
新内容
H-K(Ho-Kashyap)算法
When Y=0 (empty set) a solution is achieved and
J ( w) 0
x 1 if x Y and x 1 x 1 if x Y and x 2
J ( w) 0
4
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
T xY
梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的
搜索方向，每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯 度下降法是2范数下的最速下降法。
最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a
称为学习速率，可以是较小的常数；g（k）是x(k)的梯度。
直观的说，就是在一个有中心的等值线中，从初始值开始，
MSE准则函数的迭代解
w*=X+b, X+=(XTX)-1XT，计算量大
实际中常用梯度下降法：
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) i 1
N
新内容
w0 , 任意初始值 批量样本修正法 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
w(k 1) w(k ) k X ( Xw(k ) b)
T
可以证明：如果 k 1 / k ，其中 1 是任意正常数，则这个 算法产生的权向量序列wk，k=1,2,…,收敛于满足方程式 J(W) 0
单样本修正——迭代算法
w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
1 X # ( X T X ) 1 X T 1 1 1 1 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
xY
J ( w) J ( w) ( x) w xY
(1)
The iteration formula is: w(t 1) w(t ) t J (w)
w(t 1) w(t ) t x
xY
Where Y is the subset of the vectors wrongly classified by w.
WTXi>0
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN]T， bi为任意给定正 常数， WTXi = bi >0 N个线性方程的的矩阵表示：
WTXi=b
一般N>n，矛盾方 程组，没有精确解
最小平方误差准则
定义误差向量e=XW-b≠0
新内容
： 定义平方误差准则函数J(w):
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W X bi i T
2
最小二乘近似解（MSE解）：
w* arg min ( J s (W ))
w
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的判别函 数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向量
新内容
平方误差准则函数
每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离，最终收敛在 中心。
6
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
w(t 1) w(t ) t * g (t )
T
J (w) (w x)
解决思路：对线性不可分样本集，求一解矢量使得错
分的模式数目最少
最小平方误差准则
新内容
规范化增广样本向量Xi，增广权向量w，正确分类要求：
wTXi>0, i=1,…,N 线性分类器设计求一组N个线性不等式的解w* 样本集增广矩阵X及一组N个线性不等式的的矩阵表示：
X 1 X 11 X 12 .... X 1n X 2 X 21 ... ... ... X ..... ... ... ... ... X N X N 1 X N 2 ... X Nn
Dr. Jing Bai baijing_nun@
Review
线性分类器的目标 基本步骤 预备知识 线性可分性 样本的规范化 解向量和解区 对解区的限制 感知器模型 感知器算法 两类问题(实例) 多类问题(实例)
复 习
2
Outlines
Introduction
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W T X bi i
2
分析准则函数，W的优化就是使J(W)最小,称为MSE准则。 若WTXi=bi, (i=0,1,2,…,N) ，那么此时的J=min(J)=0； 若某些Xi有WTXi ≠ bi ，则J>0 。当b给定后，可以采用最 优化技术搜索极小值点以求解等式方程组WTXi=bi。
w(k) w(k+1) O w
8
梯度法的示意图
新内容
The perceptron algorithm converges in a finite
number of iteration steps to a solution if
lim k , lim k
2 t k 0 t k 0 t t
【 例 】 已 知 两 类 训 练 样 本 ： w1:(0,0)T,(0,1)T; w2:(1,0)T,(1,1)T,使用最小均方误差算法求解解向 0 0 1 1 量w*。 X 0 1 0 1 解 训练样本的增广矩阵： 1 1 1 1 e1的各分量均为0，则w(1)就是所求的解向量
T
2
对准则函数求导并令其为零，有
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) 0 i 1
N
解上方程得准则函数极小化的必要条件： XTXW=XTb
若( X T X ) 1 存在，w* ( X T X ) 1 X T b X b, X ( X T X ) 1 X T T 1 * T T T T 若 ( X X ) 不存在， w ( X X ) X b , ( X X ) 为 X X的广义逆矩阵
Our goal:
新内容
w x( )0 x
T
i j
感知器模型 感知准则函数及梯度下降法
Least Squares Methods Support Vector Machines
The Perceptron Algorithm (cont.)
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
w(k 1) w(k ) rk (bk w(k ) xk ) xk
T
Widrow-Hoff算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
单样本修正法
rk rk0
Widrow-Hoff
批量样本修正——迭代算法
w1 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
e.g.,: t
c t
9
新内容
最小平方误差准则
问题： 一次准则函数及其算法（如感知器算法）：
适用于线性可分的情况
如果是线性不可分的，分类过程将不收敛
在实际问题中，往往无法事先知道源自式集能否线性可分。能否找到一种算法，使之能够
测试出模式样本集是否线性可分
并且对线性不可分的情况也能给出“次最优”的解
命名由来：这一准则函数是20世纪50年代由Rosenblatt
提出来的，试图用于脑模型感知器中，故一般称为感知 器准则函数。
5
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
J (w*) min(J (w)) min( (w x))
如果方程组有唯一解，极小值点即是该解，说明训练模式集
是线性可分的；
如果方程组无解，极小值点是最小二乘解。在这里，最小二
乘的含义是对于给定的b，使J极小。在相当多的情况下等价 于误分模式数目最少。
MSE准则函数的伪逆解
2 2 N
新内容
MSE准则函数 J (W ) || e || || XW b || W X i bi min i 1
若b的某些分量取得不当，所求得的W可能不稳定
另b各分量选取不当也会影响收敛速度
新内容
批量样本及单样本修正法：余量b——常矢量
H-K(Ho-Kashyap)算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
新内容
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
MSE准则函数
新内容
H-K(Ho-Kashyap)算法
When Y=0 (empty set) a solution is achieved and
J ( w) 0
x 1 if x Y and x 1 x 1 if x Y and x 2
J ( w) 0
4
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
T xY
梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的
搜索方向，每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯 度下降法是2范数下的最速下降法。
最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a
称为学习速率，可以是较小的常数；g（k）是x(k)的梯度。
直观的说，就是在一个有中心的等值线中，从初始值开始，
MSE准则函数的迭代解
w*=X+b, X+=(XTX)-1XT，计算量大
实际中常用梯度下降法：
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) i 1
N
新内容
w0 , 任意初始值 批量样本修正法 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
w(k 1) w(k ) k X ( Xw(k ) b)
T
可以证明：如果 k 1 / k ，其中 1 是任意正常数，则这个 算法产生的权向量序列wk，k=1,2,…,收敛于满足方程式 J(W) 0
单样本修正——迭代算法
w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
1 X # ( X T X ) 1 X T 1 1 1 1 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
xY
J ( w) J ( w) ( x) w xY
(1)
The iteration formula is: w(t 1) w(t ) t J (w)
w(t 1) w(t ) t x
xY
Where Y is the subset of the vectors wrongly classified by w.
WTXi>0
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN]T， bi为任意给定正 常数， WTXi = bi >0 N个线性方程的的矩阵表示：
WTXi=b
一般N>n，矛盾方 程组，没有精确解
最小平方误差准则
定义误差向量e=XW-b≠0
新内容
： 定义平方误差准则函数J(w):
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W X bi i T
2
最小二乘近似解（MSE解）：
w* arg min ( J s (W ))
w
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的判别函 数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向量
新内容
平方误差准则函数
每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离，最终收敛在 中心。
6
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
w(t 1) w(t ) t * g (t )
T
J (w) (w x)
解决思路：对线性不可分样本集，求一解矢量使得错
分的模式数目最少
最小平方误差准则
新内容
规范化增广样本向量Xi，增广权向量w，正确分类要求：
wTXi>0, i=1,…,N 线性分类器设计求一组N个线性不等式的解w* 样本集增广矩阵X及一组N个线性不等式的的矩阵表示：
X 1 X 11 X 12 .... X 1n X 2 X 21 ... ... ... X ..... ... ... ... ... X N X N 1 X N 2 ... X Nn
Dr. Jing Bai baijing_nun@
Review
线性分类器的目标 基本步骤 预备知识 线性可分性 样本的规范化 解向量和解区 对解区的限制 感知器模型 感知器算法 两类问题(实例) 多类问题(实例)
复 习
2
Outlines
Introduction
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W T X bi i
2
分析准则函数，W的优化就是使J(W)最小,称为MSE准则。 若WTXi=bi, (i=0,1,2,…,N) ，那么此时的J=min(J)=0； 若某些Xi有WTXi ≠ bi ，则J>0 。当b给定后，可以采用最 优化技术搜索极小值点以求解等式方程组WTXi=bi。
w(k) w(k+1) O w
8
梯度法的示意图
新内容
The perceptron algorithm converges in a finite
number of iteration steps to a solution if
lim k , lim k
2 t k 0 t k 0 t t
【 例 】 已 知 两 类 训 练 样 本 ： w1:(0,0)T,(0,1)T; w2:(1,0)T,(1,1)T,使用最小均方误差算法求解解向 0 0 1 1 量w*。 X 0 1 0 1 解 训练样本的增广矩阵： 1 1 1 1 e1的各分量均为0，则w(1)就是所求的解向量
T
2
对准则函数求导并令其为零，有
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) 0 i 1
N
解上方程得准则函数极小化的必要条件： XTXW=XTb
若( X T X ) 1 存在，w* ( X T X ) 1 X T b X b, X ( X T X ) 1 X T T 1 * T T T T 若 ( X X ) 不存在， w ( X X ) X b , ( X X ) 为 X X的广义逆矩阵
Our goal:
新内容
w x( )0 x
T
i j