模式识别5-线性分类器-第二讲
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模式识别线性判别函数.ppt
第五章线性判别函数分类器参数分类器51引言52fisher线性判别53感知准则函数perception54最小平方误差准则函数55多层感知的学习算法误差反向传播算法对于线性判别函数52fisher线性判别相当于把n维特征空间52fisher线性判别52fisher线性判别要找一个最好的投影方向b使下面的准则函数达到最大值
5.3 感知准则函数（Perceptron）
可以用梯度下降法求使Jp(a)最小的a*。
J (a)
J p (a)
p
a
( y) yYe
Ye 是被a所错分的样本集。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
函数Jp(a)在某点ak的梯度▽Jp(ak)是一 个向量，其方向是Jp(a)增长最快的方向， 而负梯度是减小最快的方向。 ∴ 沿梯度方向→极大值
yi
5.3 感知准则函数（Perceptron）
二．感知准则函数及其梯度下降算法
设有一组样本y1, …, yN（规范的 增广样本向量）。目的是求一a*，使 得a*Tyi>0, i=1, 2, …, N。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
构造一个准则函数，
J
(a)
p
(aT
y)
yYe
希望根据给出的已知类别的训练样 本，确定参数w和w0.
5.1 引言
对分类器的性能 提出要求
利用各种
准则函数 目标函数
表示
使所确定的w和w0尽可能 满足这些要求。
对应于准则函数的最优化 （方法），求准则函数的
极值问题。
5.1 引言
线性判别函数分类的错误率可能比 贝叶斯错误率大，但它简单，容易实 现，它是P.R.中最基本的方法之一，人 们对它进行了大量的研究工作。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
可以用梯度下降法求使Jp(a)最小的a*。
J (a)
J p (a)
p
a
( y) yYe
Ye 是被a所错分的样本集。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
函数Jp(a)在某点ak的梯度▽Jp(ak)是一 个向量，其方向是Jp(a)增长最快的方向， 而负梯度是减小最快的方向。 ∴ 沿梯度方向→极大值
yi
5.3 感知准则函数（Perceptron）
二．感知准则函数及其梯度下降算法
设有一组样本y1, …, yN（规范的 增广样本向量）。目的是求一a*，使 得a*Tyi>0, i=1, 2, …, N。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
构造一个准则函数，
J
(a)
p
(aT
y)
yYe
希望根据给出的已知类别的训练样 本，确定参数w和w0.
5.1 引言
对分类器的性能 提出要求
利用各种
准则函数 目标函数
表示
使所确定的w和w0尽可能 满足这些要求。
对应于准则函数的最优化 （方法），求准则函数的
极值问题。
5.1 引言
线性判别函数分类的错误率可能比 贝叶斯错误率大，但它简单，容易实 现，它是P.R.中最基本的方法之一，人 们对它进行了大量的研究工作。
模式识别--第二讲 线性分类器
第 1 页第二讲 线性分类器一、 判别函数1、 决策论方法在模式识别中，如果根据模式特征信息，按照决策论的思路，以一定的数量规则来采取不同的分类决策，将待识别的模式划分到不同的类别中去，就称为模式识别的决策论方法。
在决策论方法中，特征空间被划分成不同的区域，每个区域对应一个模式类，称为决策区域（Decision Region ）。
当我们判定待识别的模式位于某个决策区域时，就判决它可以划归到对应的类别中。
图1 决策区域需要注意的是：决策区域包含模式类中样本的分布区域，但不等于模式类的真实分布范围。
2、 判别函数如果特征空间中的决策区域边界（Decision Boundary ）可以用一组方程0)( x i G来表示，则将一个模式对应的特征向量x 代入边界方程中的)(x i G ，确定其正负符号，就可以确定该模式位于决策区域边界的哪一边，从而可以判别其应当属于的类别，)(x i G 称为判别函数（Discriminant Function ）。
判别函数的形式可以是线性的（Linear ）或非线性（Non-linear）的。
第 2 页例如图2就显示了一个非线性判别函数，当G (x )>0时，可判别模式x ∈ω1；当G (x )<0时，可判别x ∈ω2。
图2 非线性判别函数非线性判别函数的处理比较复杂，如果决策区域边界可以用线性方程来表达，则决策区域可以用超平面（Hyperplane ）来划分，无论在分类器的学习还是分类决策时都比较方便。
例如图3中的特征空间可以用两个线性判别函数来进行分类决策：当G 21(x )>0且G 13(x )>0时，x ∈ω2； 当G 13(x )<0且G 21(x )<0时，x ∈ω3； 当G 21(x )<0 且 G 13(x )>0时，x ∈ω1；当G 21(x )>0且G 13(x )<0时，x 所属类别无法判别。
模式识别第二章ppt课件
2.2.2 聚类准则
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
• 试探方法
凭直观感觉或经验，针对实际问题定义一种 相似性测度的阈值，然后按最近邻规则指定 某些模式样本属于某一个聚类类别。
– 例如对欧氏距离，它反映了样本间的近邻性，但 将一个样本分到不同类别中的哪一个时，还必须 规定一个距离测度的阈值作为聚类的判别准则。
精选ppt课件2021
• 特征选择的维数
在特征选择中往往会选择一些多余的特征，它增加了 维数，从而增加了聚类分析的复杂度，但对模式分类 却没有提供多少有用的信息。在这种情况下，需要去 掉相关程度过高的特征（进行降维处理）。
• 降维方法
– 结论：若rij->1，则表明第i维特征与第j维特征所反 映的特征规律接近，因此可以略去其中的一个特
– 距离阈值T对聚类结果的影响
精选ppt课件2021
17
2.3 基于试探的聚类搜索算法
2.3.2 最大最小距离算法
• 基本思想：以试探类间欧氏距离为最大 作为预选出聚类中心的条件。
• 病人的病程
– 名义尺度：指定性的指标，即特征度量时没有数量
关系，也没有明显的次序关系，如黑色和白色的关
系，男性和女性的关系等，都可将它们分别用“0”
和“1”来表示。
• 超过2个状态时，可精选用pp多t课个件2数021值表示。
8
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.1 相似Βιβλιοθήκη 测度• 目的：为了能将模式集划分成不同的类别，必须定义 一种相似性的测度，来度量同一类样本间的类似性和 不属于同一类样本间的差异性。
12
2.2 模式相似性的测度和
聚类准则
2.2.2 聚类准则
• 聚类准则函数法
– 依据：由于聚类是将样本进行分类以使类别间可 分离性为最大，因此聚类准则应是反映类别间相 似性或分离性的函数；
模式识别第二章(线性判别函数法)
2类判别区域 d21(x)>0 d23(x)>0 3类判别区域 d31(x)>0 d32(x)>0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1
d23(x)为正
d32(x)为正
d12(x)为正
d21(x)为正
32
i j 两分法例题图示
33
3、第三种情况（续）
d1 ( x) d2 ( x)
12
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 如果采用增广模式，可以表达如下
g ( x) w x
T
x ( x1 , x 2 , , x d ,1)
w ( w1 , w 2 , , w d , w d 1 ) T
T
增广加权向量
2016/12/3
模式识别导论
13
2.1 判别函数(discriminant function) 1．判别函数的定义 直接用来对模式进行分类的准则函数。
模式识别导论
11
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 在一个d维的特征空间中，线性判别函数的
一般表达式如下
g ( x ) w1 x1 w 2 x 2 w d x d w d 1
g ( x ) w x w d 1
T
w为 加 权 向 量
2016/12/3
模式识别导论
1
d1 ( x ) d3 ( x )
2
3
d2 ( x) d3 ( x)
34
多类问题图例（第三种情况）
35
上述三种方法小结:
当c
但是
3 时，i j
法比
i i
法需要更多
模式识别之二次和线性分类器课件
原理
线性分类器利用训练数据集学习得到 一个线性函数，该函数可用于对新数 据进行分类。分类决策边界是一个超 平面，将不同类别的数据分隔开来。
线性分类器数学模型
线性函数
优化目标
正则化
线性分类器使用的线性函数通 常表示为权重向量和特征向量 的内积加上偏置项，即y = w^Tx + b，其中y是预测类别 ，w是权重向量，x是特征向量 ，b是偏置项。
模式识别之二课次件和线性分类器
contents
目录
• 引言 • 二次分类器原理 • 线性分类器原理 • 二次与线性分类器比较 • 二次和线性分类器应用案例 • 总结与展望
01
引言
模式识别概述
模式
01
在感知或观察事物时，人们所发现的事物之间规律性的关系或
特征。
模式识别
02
利用计算机对输入的信号进行分类或描述，以实现自动识别目
01
深度学习在模式识别 中的应用
深度学习技术为模式识别提供了新的 解决方案，能够自动提取数据的深层 特征，提高识别精度。
02
多模态数据融合
利用多模态数据融合技术，将不同来 源、不同类型的数据进行融合，提高 模式识别的性能和鲁棒性。
03
迁移学习在模式识别 中的应用
迁移学习技术可以将在一个任务上学 到的知识迁移到另一个任务上，从而 加速模型训练，提高识别效率。
自然语言处理领域应用案例
1 2
文本分类
通过训练二次和线性分类器，对文本进行分类， 如新闻、广告、评论等，提高信息处理的效率。
情感分析
利用分类器对文本中的情感进行识别和分析，为 企业了解用户需求、改进产品提供参考。
3
机器翻译
结合分类器对源语言进行识别和转换，实现不同 语言之间的自动翻译，促进跨语言交流。
线性分类器利用训练数据集学习得到 一个线性函数，该函数可用于对新数 据进行分类。分类决策边界是一个超 平面，将不同类别的数据分隔开来。
线性分类器数学模型
线性函数
优化目标
正则化
线性分类器使用的线性函数通 常表示为权重向量和特征向量 的内积加上偏置项，即y = w^Tx + b，其中y是预测类别 ，w是权重向量，x是特征向量 ，b是偏置项。
模式识别之二课次件和线性分类器
contents
目录
• 引言 • 二次分类器原理 • 线性分类器原理 • 二次与线性分类器比较 • 二次和线性分类器应用案例 • 总结与展望
01
引言
模式识别概述
模式
01
在感知或观察事物时，人们所发现的事物之间规律性的关系或
特征。
模式识别
02
利用计算机对输入的信号进行分类或描述，以实现自动识别目
01
深度学习在模式识别 中的应用
深度学习技术为模式识别提供了新的 解决方案，能够自动提取数据的深层 特征，提高识别精度。
02
多模态数据融合
利用多模态数据融合技术，将不同来 源、不同类型的数据进行融合，提高 模式识别的性能和鲁棒性。
03
迁移学习在模式识别 中的应用
迁移学习技术可以将在一个任务上学 到的知识迁移到另一个任务上，从而 加速模型训练，提高识别效率。
自然语言处理领域应用案例
1 2
文本分类
通过训练二次和线性分类器，对文本进行分类， 如新闻、广告、评论等，提高信息处理的效率。
情感分析
利用分类器对文本中的情感进行识别和分析，为 企业了解用户需求、改进产品提供参考。
3
机器翻译
结合分类器对源语言进行识别和转换，实现不同 语言之间的自动翻译，促进跨语言交流。
模式识别(国家级精品课程讲义)
1.1 概述－模式识别的基本方法
一、统计模式识别
理论基础：概率论，数理统计 主要方法：线性、非线性分类、Bayes决策、聚类分析 主要优点：
1）比较成熟 2）能考虑干扰噪声等影响 3）识别模式基元能力强 主要缺点： 1）对结构复杂的模式抽取特征困难 2）不能反映模式的结构特征，难以描述模式的性质 3）难以从整体角度考虑识别问题
模式类(Class)：具有某些共同特性的模式 的集合。
模式识别的例子
计算机自动诊断疾病:
1. 获取情况(信息采集) 测量体温、血压、心率、 血液化验、X光透射、B超、心电图、CT等尽可 能多的信息，并将这些信息数字化后输入电脑。 当然在实际应用中要考虑采集的成本，这就是 说特征要进行选择的。
2. 运行在电脑中的专家系统或专用程序可以分析 这些数据并进行分类，得出正常或不正常的判 断，不正常情况还要指出是什么问题。
5元
反 射 光 波 形
10元
20元 50元 100元
1 2 3 4 5 6 7 8
1.1 概述－系统实例
数据采集、特征提取：
长度、宽度、磁性、磁性的位置，光反射亮度、光 透射亮度等等
特征选择：
长度、磁性及位置、反射亮度
分类识别：
确定纸币的面额及真伪
1.1 概述－系统实例
训练集：是一个已知样本集，在监督学习方法 中，用它来开发出模式分类器。
模式识别
★ 相关学科
●统计学 ●概率论 ●线性代数（矩阵计算）
●形式语言 ●人工智能 ●图像处理 ●计算机视觉
等等
讲授课程内容及安排
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
引论 聚类分析 判别域代数界面方程法 统计判决 学习、训练与错误率估计 最近邻方法 特征提取和选择 上机实习
模式识别复习提纲2
（2）使用最近邻规则将所有样本分配到各聚类中心所代表的类
ωj（l）中，各类所包含的样本数为Nj(l)；
（3）计算各类的重心（均值向量），并令该重心为新的聚类中
心，即：
Zj(l+1)=N－j(1l)∑xi j=1,2,…,c xi∈ωj（l）
（4）如zj(l+1)≠zj(l)，表示尚未得到最佳聚类结果，则返回步骤 （2），继续迭代；
（1）绝对可分：
➢ 每个模式类都可用单一判别函数与其他模式类区分开。 ➢ 如是M类分类，则有M个判别函数
x2
d3（X）＝0
1
d1（X）＝0
2 d2（X）＝0
3
x1
判别函数的性质：
di(X)=Wi*TX*
>0， X∈ωi
<0， =0，
X不∈定ωj，j≠i
i，j=1,2,……,M
在模式空间S中，若给定N个样本，如能按 照样本间的相似程度，将S划分为k个决策 区域Si（i＝1，2，…..，k），使得各样本 均能归入其中一个类，且不会同时属于两 个类。即 S1∪S2∪S3∪……∪Sk＝S
Si∩Sj＝0，i≠j
数据聚类的依据是样本间的“相似度”
2、数据聚类的特点：
无监督学习 数据驱动 聚类结果多样化：特征选取、相似度的度 量标准，坐标比例；
dij(X)= -dji(X)
分类决策规则：
x2
d23（X）＝0 1 3
d12（X）＝0
2 d13（X）＝0
IR
x1
分类决策规则：
X∈ω1: d12(X)>0, d13(X)>0,
X∈ω2: d21(X)>0, d23(X)>0,
模式识别：线性分类器
模式识别：线性分类器一、实验目的和要求目的：了解线性分类器，对分类器的参数做一定的了解，理解参数设置对算法的影响。
要求：1. 产生两类样本2. 采用线性分类器生成出两类样本的分类面3. 对比线性分类器的性能，对比参数设置的结果二、实验环境、内容和方法环境：windows 7，matlab R2010a内容：通过实验，对生成的实验数据样本进行分类。
三、实验基本原理感知器基本原理：1.感知器的学习过程是不断改变权向量的输入，更新结构中的可变参数，最后实现在有限次迭代之后的收敛。
感知器的基本模型结构如图1所示：图1 感知器基本模型其中，X输入，Xi表示的是第i个输入；Y表示输出；W表示权向量；w0是阈值，f是一个阶跃函数。
感知器实现样本的线性分类主要过程是：特征向量的元素x1，x2，……，xk是网络的输入元素，每一个元素与相应的权wi相乘。
，乘积相加后再与阈值w0相加，结果通过f函数执行激活功能，f为系统的激活函数。
因为f是一个阶跃函数，故当自变量小于0时，f= -1；当自变量大于0时，f= 1。
这样，根据输出信号Y，把相应的特征向量分到为两类。
然而，权向量w并不是一个已知的参数，故感知器算法很重要的一个步骤即是寻找一个合理的决策超平面。
故设这个超平面为w，满足：（1）引入一个代价函数，定义为：（2）其中，Y是权向量w定义的超平面错误分类的训练向量的子集。
变量定义为：当时，= -1；当时，= +1。
显然，J(w)≥0。
当代价函数J(w)达到最小值0时，所有的训练向量分类都全部正确。
为了计算代价函数的最小迭代值，可以采用梯度下降法设计迭代算法，即：（3）其中，w(n)是第n次迭代的权向量，有多种取值方法，在本设计中采用固定非负值。
由J(w)的定义，可以进一步简化（3）得到：（4）通过（4）来不断更新w，这种算法就称为感知器算法（perceptron algorithm）。
可以证明，这种算法在经过有限次迭代之后是收敛的，也就是说，根据（4）规则修正权向量w，可以让所有的特征向量都正确分类。
模式识别第五讲-二次、线性分类
g k (x) x mk K k x mk ln K k 2ln Prωk
T 1
x mk
2
• 后两项对所有类是共同的，可以省略。分母 中的 2也可以去掉，因而有等价的判别函数：
2
2nln 2ln Prωk
g k x x mk
0 m1 0
0 m2 2
求 h x T 0 的分类边界，并画出其曲线。
©北京工业大学计算机学院® 10
• 解： T 1 T 1 hx x m1 K1 x m1 x m2 K 2 x m2 ln
• 任何具有（※※）式的分类器都叫作二次分 类器。只有A、b、c是由高斯密度函数确定 时，才叫高斯分类器。
©北京工业大学计算机学院® 9
• 例1：两维时的二次分类器的决策边界 假定两类模式都是高斯分布的，参数为：
1 0 K1 1 0 4 1 0 K2 4 0 1
• 上式中，由于第一项和第四项对所有的类都 是相同的，所以等价的一组判别函数为：
g k x 2mk k
T 1
x mk k 1 mk 2lnPrωk ，k 1， 2， ，N c
T
（※※）
• 上式是 x 的线性函数。
©北京工业大学计算机学院® 22
• 例2：最小距离分类器。假定各类的先验概 2 K I，k 1， 2， ，N c。 率相等，而且各类 k 即x的各个分量不相关，且各类等方差。 解：这时的判别函数化为：
©北京工业大学计算机学院® 1
• 即使我们得到了密度函数，有时用似然比检 验的方法也很难计算分界面。
模式识别(5)
在使用上述方法得到一组超平面作为分段线性分类器的分 界面后，仅对交遇区的样本集进行性能检测有时不能发现 存在的问题，需要使用全体样本对其进行性能检验，观察 其能否对全体样本作出合理的划分？
分段线性分类器的检验决策规则
例：图中所示样本利用局部训练法产生了H1与H2两个 超平面，将整个特征空间划分成R1、R2与R3三个决策 域。
模式识别
第五章非线性判别函数
§5.1 引言
线性判别函数：简单、实用，但样本集线性 不可分时错误率可能较大
问题线性不可分：
噪声影响 问题本身
采用非线性分类器 改变特征，使线性可分
新特征 非线性变换
§5.1 引言
由于样本在特征空间分布的 复杂性，许多情况下采用线 性判别函数不能取得满意的 分类效果。－非线性判别函 数 例如右图所示两类物体在二
§5.2基于距离的分段线性判别函数
❖例：未知x,如图：
❖先与ω1类各子类的均值比较，即 x m1l ，找一
个最近的 g1(x) x m12 与ω2各子类均值比较取
最近的 g2 (x) x m23 因g2(x)< g1(x) ，所以
x∈ω2类 。
m11
11
1 m12 2
22
m22 x
2 m12 1
具体做法往往是利用处于最紧贴边界的紧互对原型 对产生一初始分界面，然后利用交遇区进行调整， 这种调整属于局部性的调整。
局部训练法
具体步骤：
步骤一： 产生初始决策面
首先由紧互对原型对集合中最近的一对， 产生一个初
始决策面的方程。例如可由这两个原型的垂直平分平面作
为初始分界面，表示成H1； 步骤二： 初始决策面最佳化
这种方法要解决的几个问题是：
分段线性分类器的检验决策规则
例：图中所示样本利用局部训练法产生了H1与H2两个 超平面，将整个特征空间划分成R1、R2与R3三个决策 域。
模式识别
第五章非线性判别函数
§5.1 引言
线性判别函数：简单、实用，但样本集线性 不可分时错误率可能较大
问题线性不可分：
噪声影响 问题本身
采用非线性分类器 改变特征，使线性可分
新特征 非线性变换
§5.1 引言
由于样本在特征空间分布的 复杂性，许多情况下采用线 性判别函数不能取得满意的 分类效果。－非线性判别函 数 例如右图所示两类物体在二
§5.2基于距离的分段线性判别函数
❖例：未知x,如图：
❖先与ω1类各子类的均值比较，即 x m1l ，找一
个最近的 g1(x) x m12 与ω2各子类均值比较取
最近的 g2 (x) x m23 因g2(x)< g1(x) ，所以
x∈ω2类 。
m11
11
1 m12 2
22
m22 x
2 m12 1
具体做法往往是利用处于最紧贴边界的紧互对原型 对产生一初始分界面，然后利用交遇区进行调整， 这种调整属于局部性的调整。
局部训练法
具体步骤：
步骤一： 产生初始决策面
首先由紧互对原型对集合中最近的一对， 产生一个初
始决策面的方程。例如可由这两个原型的垂直平分平面作
为初始分界面，表示成H1； 步骤二： 初始决策面最佳化
这种方法要解决的几个问题是：
模式识别第2章 模式识别的基本理论(2)
yk
（步长系数 ）
33
算法
1）给定初始权向量a(k) ，k=0；
（ 如a(0)=[1,1,….,1]T）
2）利用a(k)对对样本集分类，设错分类样本集为yk 3）若yk是空集，则a=a(k)，迭代结束；否则，转4） 或 ||a(k)-a(k-1)||<=θ, θ是预先设定的一个小的阈值 （线性可分， θ =0） ( y) a(k 1) a(k) k J p 4）计算：ρ k, J p (a) y y 令k=k+1 5）转2）
1）g(x)>0, 决策：X∈ ω1 决策面的法向量指向ω1的决 策域R1，R1在H的正侧 2） g(x)<0, 决策：X∈ ω2， ω2的决策域R2在H的负侧
6
X g(X) / ||W|| R0=w0 / ||W|| Xp R2: g<0 H: g=0 r 正侧 R1: g>0 负侧
g(X)、 w0的意义 g(X)是d维空间任一点X到决策面H的距离的代数度量 w0体现该决策面在特征空间中的位置 1) w0=0时，该决策面过特征空间坐标系原点 2)否则，r0=w0/||W||表示坐标原点到决策面的距离
否则，按如下方法确定： 1、 2、 3、 m m ln[ P( ) / P( )]
~ ~
w0
1
2
2
1
2
N1 N 2 2
（P(W1)、P(W2) 已知时）
24
分类规则
25
5 感知准则函数
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一种 自学习判别函数生成方法，企图将其用于脑模型感 知器，因此被称为感知准则函数。 特点：随意确定判别函数的初始值，在对样本分类 训练过程中逐步修正直至最终确定。 感知准则函数：是设计线性分类器的重要方法 感知准则函数使用增广样本向量与增广权向量
（步长系数 ）
33
算法
1）给定初始权向量a(k) ，k=0；
（ 如a(0)=[1,1,….,1]T）
2）利用a(k)对对样本集分类，设错分类样本集为yk 3）若yk是空集，则a=a(k)，迭代结束；否则，转4） 或 ||a(k)-a(k-1)||<=θ, θ是预先设定的一个小的阈值 （线性可分， θ =0） ( y) a(k 1) a(k) k J p 4）计算：ρ k, J p (a) y y 令k=k+1 5）转2）
1）g(x)>0, 决策：X∈ ω1 决策面的法向量指向ω1的决 策域R1，R1在H的正侧 2） g(x)<0, 决策：X∈ ω2， ω2的决策域R2在H的负侧
6
X g(X) / ||W|| R0=w0 / ||W|| Xp R2: g<0 H: g=0 r 正侧 R1: g>0 负侧
g(X)、 w0的意义 g(X)是d维空间任一点X到决策面H的距离的代数度量 w0体现该决策面在特征空间中的位置 1) w0=0时，该决策面过特征空间坐标系原点 2)否则，r0=w0/||W||表示坐标原点到决策面的距离
否则，按如下方法确定： 1、 2、 3、 m m ln[ P( ) / P( )]
~ ~
w0
1
2
2
1
2
N1 N 2 2
（P(W1)、P(W2) 已知时）
24
分类规则
25
5 感知准则函数
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一种 自学习判别函数生成方法，企图将其用于脑模型感 知器，因此被称为感知准则函数。 特点：随意确定判别函数的初始值，在对样本分类 训练过程中逐步修正直至最终确定。 感知准则函数：是设计线性分类器的重要方法 感知准则函数使用增广样本向量与增广权向量
线性分类器
⑴感知准则函数 (perceptron criterion function) 定义
J p ( A)
Yy A
(- AT Y )
式中yA为被权向量A误分样本集合。 只有yA＝f (空集)时，Jp (A) = 0，此时的A，即为 所要的解向量A*。 这函数最早用在脑模型感知器上，故称感知准则 函数, 也是神经网络基础。 ⑵优化方法：梯度下降法 函数Jp (A) 在某点Ak处梯度是一个向量
⑵ 广义线性判别函数的线性可分性 • N个d维向量的线性二分总数为： d
i 例如 N 4, d 2, 则 D(4,2) 2 C3 14
i D( N , d ) 2 C N -1 i 0
2
其实可能的分法有2N＝16种，2种不线性可分。
i 0
其可分概率为7/8。 • 线性可分的概率P(N,d) d D( N , d ) i P(N , d ) 21- N C N -1 2N i 0 d维空间的二分法线性划分，需要 计算(d + 1)个加权系数，因此用N /(d + 1) 为坐标作概率图。N /(d + 1) 2线性分类能力强。
i 1
y1 1 式中 Y y2 x y3 x 2
a1 (即c0 ) A a2 (即c1 ) a3 (即c2 )
这里的g(x)称为广义线性判别函数。Y称为增广 模式向量，A称为广义权向量。 • 高次判别函数都可变换化为广义线性函数。可 用线性函数解决非线性问题，但变换增加了维 数，如上例一维变三维。 • ATY不是x的线性函数，却是Y的线性函数。决策 面方程 ATY =0 在Y空间为通过原点的超平面。
T
模式识别的分类算法ppt课件
2. 在新样本到达后，提取特征,确定新样本的 特征向量表示
3. 在训练集中选出与新样本最相似的 K 个文 样本，计算公式为：
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7
4.在新样本的K个邻居中，依次计算每类的 权重计算公式如下：
5. 比较类的权重，将文本分到权重最大的那个 类别中。
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8
KNN
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9
LDA
• 线性判别式分析 (Linear Discriminant Analysis, LDA)，
模式识别又常称作模式分类
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3
分类
• 有监督的分类（Supervised Classification） • 无监督的分类(Unsupervised Classification)
二者的主要差别在于： 各实验样本所属的类别是否预先已知。
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4
应用领域
• 主要应用领域是图像分析与处理、语音 识别、声音分类、通信、计算机辅助诊 断、数据挖掘等学科。
• CW-SSIM BASED IMAGE CLASSIFICATION IEEE International Conference on Image Processing
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20
Thank you!
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21
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
• 基本思想：将高维的模式样本投影到最 佳鉴别矢量空间，以达到抽取分类信息 和压缩特征空间维数的效果，投影后保 证模式样本在新的子空间有最大的类间 距离和最小的类内距离
即模式在该空间中有最佳的可分离性
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10
LDA
假设对于一个n维空间有m个样本分别为
3. 在训练集中选出与新样本最相似的 K 个文 样本，计算公式为：
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7
4.在新样本的K个邻居中，依次计算每类的 权重计算公式如下：
5. 比较类的权重，将文本分到权重最大的那个 类别中。
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8
KNN
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9
LDA
• 线性判别式分析 (Linear Discriminant Analysis, LDA)，
模式识别又常称作模式分类
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3
分类
• 有监督的分类（Supervised Classification） • 无监督的分类(Unsupervised Classification)
二者的主要差别在于： 各实验样本所属的类别是否预先已知。
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4
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• 主要应用领域是图像分析与处理、语音 识别、声音分类、通信、计算机辅助诊 断、数据挖掘等学科。
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• 基本思想：将高维的模式样本投影到最 佳鉴别矢量空间，以达到抽取分类信息 和压缩特征空间维数的效果，投影后保 证模式样本在新的子空间有最大的类间 距离和最小的类内距离
即模式在该空间中有最佳的可分离性
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10
LDA
假设对于一个n维空间有m个样本分别为
线性分类器
第三章 线性分类器
1. 2. 3. 4. 5. 线性判别函数 最小距离准则 Fisher 准则 感知器函数准则 最小平方误差准则
问题的引入
利用贝叶斯分类器需要知道类别先验概率及类条件概率密
度.在许多实际问题中,由于样本特征空间的类条件概率密度
的形式常常很难确定,而用统计方法估计分布需要大量的样 本,并且随着特征空间维数的增加所需的样本数急剧增加.
g ( x) aT y ai yi
i 1
3
其中
y ( y1, y2 , y3 )T (1, x, x2 )T , a (a1, a2 , a3 )T (c0 , c1, c2 )T
g(x) = aTy 称为x的广义线性判别函数 a叫做广义权向量
线性判别函数的齐次简化
若把线性判别函数写成 d
决策面H的负侧
R2 所在的侧
总之, 决策面的方向由w确定, 位置由阈值 w0 确定.
若x为原点，则g(0)= w0 ，从而得到从原点到超平 面H 的有向距离 r(0) = w0 / ||w||。 若 w0 > 0， 则原点在H的正侧 若 w0 < 0， 则原点在H的负侧 若 w0 = 0，说明超平面H通过原点 此时g(x)具有齐次形式wTx， 总之，利用线性判别函数进行决策，就是用一个 超平面把特征空间分割成两个决策区域。判别函 数g(x)正比于x点到超平面的有向距离
3
H3
方案二: 线性判别函数将属于ω i类的模式与将属于 ω j类的模式的模式分开，m类问题要有 n = m(m-1) / 2 个判别函数 g ij，i,j＝l，2，…, .m 判别规则为: 若g ij(x)>0, j≠i H12 j＝l，2，…, .m l H13 则判x属x于ω i类 采用这种方案，模式空间中同 样可能存在不确定区域，如图 中的斜线区域。不确定区域中 的模式无法确定其类别。 2 3 H23
1. 2. 3. 4. 5. 线性判别函数 最小距离准则 Fisher 准则 感知器函数准则 最小平方误差准则
问题的引入
利用贝叶斯分类器需要知道类别先验概率及类条件概率密
度.在许多实际问题中,由于样本特征空间的类条件概率密度
的形式常常很难确定,而用统计方法估计分布需要大量的样 本,并且随着特征空间维数的增加所需的样本数急剧增加.
g ( x) aT y ai yi
i 1
3
其中
y ( y1, y2 , y3 )T (1, x, x2 )T , a (a1, a2 , a3 )T (c0 , c1, c2 )T
g(x) = aTy 称为x的广义线性判别函数 a叫做广义权向量
线性判别函数的齐次简化
若把线性判别函数写成 d
决策面H的负侧
R2 所在的侧
总之, 决策面的方向由w确定, 位置由阈值 w0 确定.
若x为原点，则g(0)= w0 ，从而得到从原点到超平 面H 的有向距离 r(0) = w0 / ||w||。 若 w0 > 0， 则原点在H的正侧 若 w0 < 0， 则原点在H的负侧 若 w0 = 0，说明超平面H通过原点 此时g(x)具有齐次形式wTx， 总之，利用线性判别函数进行决策，就是用一个 超平面把特征空间分割成两个决策区域。判别函 数g(x)正比于x点到超平面的有向距离
3
H3
方案二: 线性判别函数将属于ω i类的模式与将属于 ω j类的模式的模式分开，m类问题要有 n = m(m-1) / 2 个判别函数 g ij，i,j＝l，2，…, .m 判别规则为: 若g ij(x)>0, j≠i H12 j＝l，2，…, .m l H13 则判x属x于ω i类 采用这种方案，模式空间中同 样可能存在不确定区域，如图 中的斜线区域。不确定区域中 的模式无法确定其类别。 2 3 H23
模式识别(PPT)
第一章 模式识别概论
什么是模式（Pattern）？
什么是模式？
• 广义地说，存在于时间和空间中可观察的物 体，如果我们可以区别它们是否相同或是否 相似，都可以称之为模式。 • 模式所指的不是事物本身，而是从事物获得 的信息，因此，模式往往表现为具有时间和 空间分布的信息。 • 模式的直观特性:
结构模式识别
• 该方法通过考虑识别对象的各部分之间的联 系来达到识别分类的目的。 • 识别采用结构匹配的形式，通过计算一个匹 配程度值（matching score）来评估一个未知 的对象或未知对象某些部分与某种典型模式 的关系如何。 • 当成功地制定出了一组可以描述对象部分之 间关系的规则后，可以应用一种特殊的结构 模式识别方法 – 句法模式识别，来检查一个 模式基元的序列是否遵守某种规则，即句法 规则或语法。
实例：句法模式识别（续）
• 多级树描述结构
实例：句法模式识别（续）
• 训练过程：
– 用已知结构信息的图像作为训练样本，先 识别出基元（比如场景图中的X、Y、Z等 简单平面）和它们之间的连接关系（例如 长方体E是由X、Y和Z三个面拼接而成）， 并用字母符号代表之； – 然后用构造句子的文法来描述生成这幅场 景的过程，由此推断出生成该场景的一种 文法。
模式识别
- 概念、原理及其应用
引 言
课程对象
• 计算机应用技术专业硕士研究生的专业 基础课 • 电子科学与技术学科硕士研究生的专业 基础课
与模式识别相关的学科
• • • •
• • • • •
统计学 概率论 线性代数（矩阵计算） 形式语言
机器学习 人工智能 图像处理 计算机视觉 …
教学方法
• 着重讲述模式识别的基本概念，基本方 法和算法原理。 • 注重理论与实践紧密结合
模式识别第5章特征选择和提取
第五章 特征选择和提取特征选择和提取是模式识别中的一个关键问题前面讨论分类器设计的时候，一直假定已给出了特征向量维数确定的样本集，其中各样本的每一维都是该样本的一个特征；这些特征的选择是很重要的，它强烈地影响到分类器的设计及其性能；假若对不同的类别，这些特征的差别很大，则比较容易设计出具有较好性能的分类器。
特征选择和提取是构造模式识别系统时的一个重要课题在很多实际问题中，往往不容易找到那些最重要的特征，或受客观条件的限制，不能对它们进行有效的测量；因此在测量时，由于人们心理上的作用，只要条件许可总希望把特征取得多一些；另外，由于客观上的需要，为了突出某些有用信息，抑制无用信息，有意加上一些比值、指数或对数等组合计算特征；如果将数目很多的测量值不做分析，全部直接用作分类特征，不但耗时，而且会影响到分类的效果，产生“特征维数灾难”问题。
为了设计出效果好的分类器，通常需要对原始的测量值集合进行分析，经过选择或变换处理，组成有效的识别特征；在保证一定分类精度的前提下，减少特征维数，即进行“降维”处理，使分类器实现快速、准确和高效的分类。
为达到上述目的，关键是所提供的识别特征应具有很好的可分性，使分类器容易判别。
为此，需对特征进行选择。
应去掉模棱两可、不易判别的特征；所提供的特征不要重复，即去掉那些相关性强且没有增加更多分类信息的特征。
说明：实际上，特征选择和提取这一任务应在设计分类器之前进行；从通常的模式识别教学经验看，在讨论分类器设计之后讲述特征选择和提取，更有利于加深对该问题的理解。
所谓特征选择，就是从n 个度量值集合{x1, x2,…, xn}中，按某一准则选取出供分类用的子集，作为降维（m 维，m<n ）的分类特征；所谓特征提取，就是使(x1, x2,…, xn)通过某种变换，产生m 个特征(y1, y2,…, ym) (m<n) ，作为新的分类特征（或称为二次特征）；其目的都是为了在尽可能保留识别信息的前提下，降低特征空间的维数，已达到有效的分类。
模式识别讲义精品PPT课件
最大最小距离法
该算法以欧氏距离为基础，首 先辨识最远的聚类中心，然后确 定其他的聚类中心，直到无新的 聚类中心产生。最后将样本按最 小距离原则归入最近的类。
几个算法的简单对比：
k均值和最大最小距离是聚类型算法 而K近邻和感知器属于分类，聚类和 分类
K-means算法缺点主要是： 1. 对异常值敏感 2. 需要提前确定k值
11
11
11 11
11
00
模式识别
-------几种聚类和分类算法的比较
1 11 01 11
110101110101
01
01
10
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01
K均值算法
k均值算法是什么？
k均值算法也称为C-均值算法，是根据函数准则进行分类 的聚类算法，基于使聚类准则最小化。
依据课本的介绍，它是聚类集中每一个样本点到该聚类 中心的距离平方和。
MATLAB
运行结果
感知器算法
What:
感知器算法通过赏罚原则依据每次对训练集的训练不断修正 判别函数的权向量，当分类器发生错误分类的时候对分类器 进行“罚”,即对权向量进行修改，当感知器正确分类的时 候对分类器进行“赏”，对全向量不进行修改。这样经过迭 代计算后，通过训练集的训练得到最优的判别函数的权向量。
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110101110101
01
01
10
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代码实现 C语言:
参考数据:
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110101110101
01
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01
模式识别第5章SVM
8
① 模式识别问题：使训练样本集错误率最低
的分类器。 ② 函数拟合问题：最小二乘
1 Remp ( ) N
2 ( y f ( x , )) i 1 N
③ 密度估计问题：最大似然方法
1 Remp ( ) N
log( p( x, ))
i 1
9
N
经验风险最小化方法的问题
小样本统计理论 模式识别方法：支持向量机（Support Vector Machine--
SVM）
4
5.1 机器学习的基本问题和方法
1、机器学习的基本模型：
输入x 系统(S) F(x,y) 学习机器(LM) f(x,ω),ω∈Ω 输出y
预测输出y’
S: 研究的对象 ；
LM: 所求的学习机器。
① 将函数集 {f(x,ω), ω ∈Ω }划
风 分成嵌套的子集结构: 险 S1 S2 … Sk … (各子集按照VC维的大小排列： h1≤ h2 ≤… ≤hk …， 同一个子集中的置信范围) ② 在子集中根据经验风险最小 选择最好的函数。 ③ 选择最小经验风险与置信范 围之和最小的子集。这个子 集中使经验风险最小的函数 即是最优函数。
n
P[sup | R( ) Remp ( ) | ] 0, 或： lim n
0
18
2、VC维
VC维：Vapnik-Chervonenkis Dimension
衡量函数集 f(x, ω) 的性能的指标，用于描述机器学习的复杂性。 用h表示，h是整数。 无计算方法；对特殊的函数，VC维可准确知道
有限样本下：
① 经验风险最小是否是期望风险最小？ ② 如不能，经验风险最小化解决期望风险最小化的前提原
相关主题
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Linear Discriminant Functions Precedure The Perceptron Algorithm
感知器模型 感知准则函数及梯度下降法
Least Squares Methods Support Vector Machines
The Perceptron Algorithm (cont.)
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
w(k 1) w(k ) rk (bk w(k ) xk ) xk
T
Widrow-Hoff算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
单样本修正法
rk rk0
Widrow-Hoff
批量样本修正——迭代算法
w1 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
e.g.,: t
c t
9
新内容
最小平方误差准则
问题： 一次准则函数及其算法（如感知器算法）：
适用于线性可分的情况
如果是线性不可分的，分类过程将不收敛
在实际问题中，往往无法事先知道源自式集能否线性可分。能否找到一种算法，使之能够
测试出模式样本集是否线性可分
并且对线性不可分的情况也能给出“次最优”的解
命名由来：这一准则函数是20世纪50年代由Rosenblatt
提出来的，试图用于脑模型感知器中，故一般称为感知 器准则函数。
5
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
J (w*) min(J (w)) min( (w x))
如果方程组有唯一解，极小值点即是该解，说明训练模式集
是线性可分的；
如果方程组无解，极小值点是最小二乘解。在这里，最小二
乘的含义是对于给定的b，使J极小。在相当多的情况下等价 于误分模式数目最少。
MSE准则函数的伪逆解
2 2 N
新内容
MSE准则函数 J (W ) || e || || XW b || W X i bi min i 1
若b的某些分量取得不当，所求得的W可能不稳定
另b各分量选取不当也会影响收敛速度
新内容
批量样本及单样本修正法：余量b——常矢量
H-K(Ho-Kashyap)算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
新内容
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
MSE准则函数
新内容
H-K(Ho-Kashyap)算法
When Y=0 (empty set) a solution is achieved and
J ( w) 0
x 1 if x Y and x 1 x 1 if x Y and x 2
J ( w) 0
4
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
T xY
梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的
搜索方向，每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯 度下降法是2范数下的最速下降法。
最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a
称为学习速率，可以是较小的常数；g（k）是x(k)的梯度。
直观的说，就是在一个有中心的等值线中，从初始值开始，
MSE准则函数的迭代解
w*=X+b, X+=(XTX)-1XT，计算量大
实际中常用梯度下降法：
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) i 1
N
新内容
w0 , 任意初始值 批量样本修正法 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
w(k 1) w(k ) k X ( Xw(k ) b)
T
可以证明：如果 k 1 / k ，其中 1 是任意正常数，则这个 算法产生的权向量序列wk，k=1,2,…,收敛于满足方程式 J(W) 0
单样本修正——迭代算法
w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
1 X # ( X T X ) 1 X T 1 1 1 1 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
xY
J ( w) J ( w) ( x) w xY
(1)
The iteration formula is: w(t 1) w(t ) t J (w)
w(t 1) w(t ) t x
xY
Where Y is the subset of the vectors wrongly classified by w.
WTXi>0
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN]T， bi为任意给定正 常数， WTXi = bi >0 N个线性方程的的矩阵表示：
WTXi=b
一般N>n，矛盾方 程组，没有精确解
最小平方误差准则
定义误差向量e=XW-b≠0
新内容
： 定义平方误差准则函数J(w):
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W X bi i T
2
最小二乘近似解（MSE解）：
w* arg min ( J s (W ))
w
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的判别函 数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向量
新内容
平方误差准则函数
每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离，最终收敛在 中心。
6
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
w(t 1) w(t ) t * g (t )
T
J (w) (w x)
解决思路：对线性不可分样本集，求一解矢量使得错
分的模式数目最少
最小平方误差准则
新内容
规范化增广样本向量Xi，增广权向量w，正确分类要求：
wTXi>0, i=1,…,N 线性分类器设计求一组N个线性不等式的解w* 样本集增广矩阵X及一组N个线性不等式的的矩阵表示：
X 1 X 11 X 12 .... X 1n X 2 X 21 ... ... ... X ..... ... ... ... ... X N X N 1 X N 2 ... X Nn
Dr. Jing Bai baijing_nun@
Review
线性分类器的目标 基本步骤 预备知识 线性可分性 样本的规范化 解向量和解区 对解区的限制 感知器模型 感知器算法 两类问题(实例) 多类问题(实例)
复 习
2
Outlines
Introduction
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W T X bi i
2
分析准则函数，W的优化就是使J(W)最小,称为MSE准则。 若WTXi=bi, (i=0,1,2,…,N) ，那么此时的J=min(J)=0； 若某些Xi有WTXi ≠ bi ，则J>0 。当b给定后，可以采用最 优化技术搜索极小值点以求解等式方程组WTXi=bi。
w(k) w(k+1) O w
8
梯度法的示意图
新内容
The perceptron algorithm converges in a finite
number of iteration steps to a solution if
lim k , lim k
2 t k 0 t k 0 t t
【 例 】 已 知 两 类 训 练 样 本 ： w1:(0,0)T,(0,1)T; w2:(1,0)T,(1,1)T,使用最小均方误差算法求解解向 0 0 1 1 量w*。 X 0 1 0 1 解 训练样本的增广矩阵： 1 1 1 1 e1的各分量均为0，则w(1)就是所求的解向量
T
2
对准则函数求导并令其为零，有
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) 0 i 1
N
解上方程得准则函数极小化的必要条件： XTXW=XTb
若( X T X ) 1 存在，w* ( X T X ) 1 X T b X b, X ( X T X ) 1 X T T 1 * T T T T 若 ( X X ) 不存在， w ( X X ) X b , ( X X ) 为 X X的广义逆矩阵
Our goal:
新内容
w x( )0 x
T
i j
感知器模型 感知准则函数及梯度下降法
Least Squares Methods Support Vector Machines
The Perceptron Algorithm (cont.)
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
w(k 1) w(k ) rk (bk w(k ) xk ) xk
T
Widrow-Hoff算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
单样本修正法
rk rk0
Widrow-Hoff
批量样本修正——迭代算法
w1 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k
新内容
迭代过程为： ① 首先任意指定初始权向量w(0); ② 如果第k步不能满足 X T ( Xw(k ) b) 0，则按下式求第(k+1)步 的权向量w(k+1):
e.g.,: t
c t
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新内容
最小平方误差准则
问题： 一次准则函数及其算法（如感知器算法）：
适用于线性可分的情况
如果是线性不可分的，分类过程将不收敛
在实际问题中，往往无法事先知道源自式集能否线性可分。能否找到一种算法，使之能够
测试出模式样本集是否线性可分
并且对线性不可分的情况也能给出“次最优”的解
命名由来：这一准则函数是20世纪50年代由Rosenblatt
提出来的，试图用于脑模型感知器中，故一般称为感知 器准则函数。
5
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
J (w*) min(J (w)) min( (w x))
如果方程组有唯一解，极小值点即是该解，说明训练模式集
是线性可分的；
如果方程组无解，极小值点是最小二乘解。在这里，最小二
乘的含义是对于给定的b，使J极小。在相当多的情况下等价 于误分模式数目最少。
MSE准则函数的伪逆解
2 2 N
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MSE准则函数 J (W ) || e || || XW b || W X i bi min i 1
若b的某些分量取得不当，所求得的W可能不稳定
另b各分量选取不当也会影响收敛速度
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批量样本及单样本修正法：余量b——常矢量
H-K(Ho-Kashyap)算法
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
新内容
H-K(Ho-Kashyap)迭代算法
MSE准则函数
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H-K(Ho-Kashyap)算法
When Y=0 (empty set) a solution is achieved and
J ( w) 0
x 1 if x Y and x 1 x 1 if x Y and x 2
J ( w) 0
4
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The Perceptron Algorithm (cont.)
T xY
梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的
搜索方向，每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯 度下降法是2范数下的最速下降法。
最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a
称为学习速率，可以是较小的常数；g（k）是x(k)的梯度。
直观的说，就是在一个有中心的等值线中，从初始值开始，
MSE准则函数的迭代解
w*=X+b, X+=(XTX)-1XT，计算量大
实际中常用梯度下降法：
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) i 1
N
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w0 , 任意初始值 批量样本修正法 T w ( k 1 ) w ( k ) X ( Xw(k ) b) k w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
w(k 1) w(k ) k X ( Xw(k ) b)
T
可以证明：如果 k 1 / k ，其中 1 是任意正常数，则这个 算法产生的权向量序列wk，k=1,2,…,收敛于满足方程式 J(W) 0
单样本修正——迭代算法
w0 , 任意初始值 T w ( k 1 ) w ( k ) r ( b w ( k ) xk ) xk k k
1 X # ( X T X ) 1 X T 1 1 1 1 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
xY
J ( w) J ( w) ( x) w xY
(1)
The iteration formula is: w(t 1) w(t ) t J (w)
w(t 1) w(t ) t x
xY
Where Y is the subset of the vectors wrongly classified by w.
WTXi>0
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN]T， bi为任意给定正 常数， WTXi = bi >0 N个线性方程的的矩阵表示：
WTXi=b
一般N>n，矛盾方 程组，没有精确解
最小平方误差准则
定义误差向量e=XW-b≠0
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： 定义平方误差准则函数J(w):
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W X bi i T
2
最小二乘近似解（MSE解）：
w* arg min ( J s (W ))
w
MSE方法的思想：对每个样本，设定一个“理想”的判别函 数输出值，以最小平方误差为准则求最优权向量
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平方误差准则函数
每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离，最终收敛在 中心。
6
新内容
The Perceptron Algorithm (cont.)
Gradient descent algorithm
The Cost Function
w(t 1) w(t ) t * g (t )
T
J (w) (w x)
解决思路：对线性不可分样本集，求一解矢量使得错
分的模式数目最少
最小平方误差准则
新内容
规范化增广样本向量Xi，增广权向量w，正确分类要求：
wTXi>0, i=1,…,N 线性分类器设计求一组N个线性不等式的解w* 样本集增广矩阵X及一组N个线性不等式的的矩阵表示：
X 1 X 11 X 12 .... X 1n X 2 X 21 ... ... ... X ..... ... ... ... ... X N X N 1 X N 2 ... X Nn
Dr. Jing Bai baijing_nun@
Review
线性分类器的目标 基本步骤 预备知识 线性可分性 样本的规范化 解向量和解区 对解区的限制 感知器模型 感知器算法 两类问题(实例) 多类问题(实例)
复 习
2
Outlines
Introduction
2 2 N i 1
J (W ) || e || || XW b || W T X bi i
2
分析准则函数，W的优化就是使J(W)最小,称为MSE准则。 若WTXi=bi, (i=0,1,2,…,N) ，那么此时的J=min(J)=0； 若某些Xi有WTXi ≠ bi ，则J>0 。当b给定后，可以采用最 优化技术搜索极小值点以求解等式方程组WTXi=bi。
w(k) w(k+1) O w
8
梯度法的示意图
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The perceptron algorithm converges in a finite
number of iteration steps to a solution if
lim k , lim k
2 t k 0 t k 0 t t
【 例 】 已 知 两 类 训 练 样 本 ： w1:(0,0)T,(0,1)T; w2:(1,0)T,(1,1)T,使用最小均方误差算法求解解向 0 0 1 1 量w*。 X 0 1 0 1 解 训练样本的增广矩阵： 1 1 1 1 e1的各分量均为0，则w(1)就是所求的解向量
T
2
对准则函数求导并令其为零，有
J(W) 2 W T X i bi X i 2 X T ( XW b) 0 i 1
N
解上方程得准则函数极小化的必要条件： XTXW=XTb
若( X T X ) 1 存在，w* ( X T X ) 1 X T b X b, X ( X T X ) 1 X T T 1 * T T T T 若 ( X X ) 不存在， w ( X X ) X b , ( X X ) 为 X X的广义逆矩阵
Our goal:
新内容
w x( )0 x
T
i j