3.4文克勒地基上梁的计算
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在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外， 还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有 限梁端，另一端为无限长，称为半无限 长梁。
3.4.4基床系数的的确定
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土 的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1 ）按预估沉降量计算 k p0 / s m
三、有限压缩层地基模型 有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。 公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
ij
t 1
nc
tij hti
E sti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
dM d 3w V EI 3 dx dx
p kw
we
x
C1 cosx C2 sin x ex C3 cosx C4 sin x
F0 x
O
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下 边界条件：当x→∞时，w→0。将 此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
掌握有限长梁的计算
有限长梁的计算步骤：
1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作 用下梁端A,B处的内力，并叠加为 M a Va M b Vb 2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA ，MB，PB, 使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出 梁端边界条件力。 3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同 作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。
基 础 工 程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。 缺点： 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
对于厚度为h的薄压缩层地基
物理意义：使 土体产生单位 位移所需的应 力；
s
s
m
h /E
z
s
p h /E
0
k Es / h 有分层时 hi k 1/ Esi
2）按载荷试验成果确定 如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
3.4.2有限长梁
思路：把有限长 梁转化为无限长 梁计算。
以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足 有限长梁两自由边界条件的解答。
附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为梁端边界条件力。
设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别
为Ma、Va及Mb、Vb，则
FA FB MA MB Cl Dl M a 4 4 2 2 F A FB M A M B Dl Al Va 2 2 2 2 FA FB M A MB Cl Dl M b 4 4 2 2 FA FB M A M B Dl Al Vb 2 2 2 2
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
3、多个集中荷载作用下无限长梁计算
集中力
M
F
0
4
C
x
V F 0 Dx 2
集中力偶
把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加， 即得到共同作用下的总效应： F F 集中力 M 4 C V 2 D
0
0
x
x
集中力偶
注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点 移到相应的集中荷载作用点处；正确利 用对称性； 2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx 值分别查表得到；
Ax e x cos x sin x , Bx e x sin x x x C x e cos x sin x , Dx e cos x
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝 对值代入计算，计算结果为w和M时正
x
O
M 0 2 x w e sin x kb
求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：
M 02 M 03 w Bx , Cx kb kb M0 M 0 M Dx , V Ax 2 2
当计算截面位于M0的左边时，上 式中的x取绝对值，w和M取与计 算结果相反的符号，而 和V的符 号不变。
解上述方程组得：
FA El Fl Dl Va El Fl Al M a Fl El Dl Vb Fl El Al M b Va M A El Fl Cl El Fl Dl M a 2 Vb Fl El Cl Fl El Dl M b 2 FB Fl El Dl Va Fl El Al M a El Fl Dl Vb El Fl Al M b Va M B Fl El Cl Fl El Dl M a 2 V El Fl Cl b El Fl Dl M b 2
特征方程 特征方程根
4
r 4 0
4 4
r1, 2 1 i r3, 4 1 i
解得该方程的通解为：
w e (C1 cos x C2 sin x) e
x
x
(C3 cos x C4 sin x)
d 2w M EI 2 dx
w ex C3 cosx C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w exCcosx sin x
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠 F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均 等于F0之半，且指向上方。根据 符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
M Vdx bpdx dx / 2 qdx dx / 2 M dM 0 qdx (V dV ) V bpdx 0
dM V dx
dV bp q dx
d2w EI 2 M dx
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
d 4w d 2M dV EI 4 bp q 2 dx dx dx
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
d 4w EI 4 bp dx
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
d w EI 4 bp dx p ks
4
sw
d w EI 4 bkw dx
4
d w kb w0 4 dx EI
4
文克勒地基上梁 的挠曲微分方程
柔度特征值： 4 kb
4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d w kb w0 4 dx EI
4
d 4w 4 4 w 0 4 dx
四阶常系数线性常微分方程
d w 4 4 w0 4 dx
3.4.3柔度指数
梁的柔度特征值
4
kb 4 EI
L — 柔度指数
表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值
按l值的大小将梁可划分三种：
L / 4 短梁（刚性梁） / 4 L 有限长梁 (有限刚度梁) L 长梁（柔性梁）
计算模式：
对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简 化方法计算； 对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无 限长梁计算； 对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无 限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷 载与梁端的最小距离x<π/时，按有限长 梁计算。
负号不变，但 和V则取相反的符号。
w ex C1 cosx C2 sin x ex C3 cosx C4 sin x M0
（2）集中力偶作用下 当x→∞时，w→0，C１=C２=0。 当x=0时w0，所以C3=0。 M0 M0/2 在右侧截面有M=M0/2，由此得 C4=M0λ 2/kb，于是
O
F0
Hale Waihona Puke Baidu+V
符号规定
F0 x w e cos x sin x 2kb
F0 x w e cos x sin x 2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
F0 F02 F0 F0 w Ax ， Bx , M Cx ,V Dx 2kb kb 4 2
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 ) / E0 r
2
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
优点： 较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响； 考虑了土层沿深度和水平方向的变化。 缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件 1）静力平衡 外荷载和基底反力作用下满足 2）变形协调
F 0 M 0
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型 （2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、 土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型 （5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土 （6）粘弹性模型
反力图 （a ） （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围： 1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层 地基； 3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系 代替群桩。 优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。 缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有 限梁端，另一端为无限长，称为半无限 长梁。
3.4.4基床系数的的确定
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土 的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1 ）按预估沉降量计算 k p0 / s m
三、有限压缩层地基模型 有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。 公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
ij
t 1
nc
tij hti
E sti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
dM d 3w V EI 3 dx dx
p kw
we
x
C1 cosx C2 sin x ex C3 cosx C4 sin x
F0 x
O
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下 边界条件：当x→∞时，w→0。将 此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
掌握有限长梁的计算
有限长梁的计算步骤：
1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作 用下梁端A,B处的内力，并叠加为 M a Va M b Vb 2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA ，MB，PB, 使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出 梁端边界条件力。 3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同 作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。
基 础 工 程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。 缺点： 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
对于厚度为h的薄压缩层地基
物理意义：使 土体产生单位 位移所需的应 力；
s
s
m
h /E
z
s
p h /E
0
k Es / h 有分层时 hi k 1/ Esi
2）按载荷试验成果确定 如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
3.4.2有限长梁
思路：把有限长 梁转化为无限长 梁计算。
以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足 有限长梁两自由边界条件的解答。
附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为梁端边界条件力。
设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别
为Ma、Va及Mb、Vb，则
FA FB MA MB Cl Dl M a 4 4 2 2 F A FB M A M B Dl Al Va 2 2 2 2 FA FB M A MB Cl Dl M b 4 4 2 2 FA FB M A M B Dl Al Vb 2 2 2 2
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
3、多个集中荷载作用下无限长梁计算
集中力
M
F
0
4
C
x
V F 0 Dx 2
集中力偶
把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加， 即得到共同作用下的总效应： F F 集中力 M 4 C V 2 D
0
0
x
x
集中力偶
注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点 移到相应的集中荷载作用点处；正确利 用对称性； 2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx 值分别查表得到；
Ax e x cos x sin x , Bx e x sin x x x C x e cos x sin x , Dx e cos x
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝 对值代入计算，计算结果为w和M时正
x
O
M 0 2 x w e sin x kb
求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：
M 02 M 03 w Bx , Cx kb kb M0 M 0 M Dx , V Ax 2 2
当计算截面位于M0的左边时，上 式中的x取绝对值，w和M取与计 算结果相反的符号，而 和V的符 号不变。
解上述方程组得：
FA El Fl Dl Va El Fl Al M a Fl El Dl Vb Fl El Al M b Va M A El Fl Cl El Fl Dl M a 2 Vb Fl El Cl Fl El Dl M b 2 FB Fl El Dl Va Fl El Al M a El Fl Dl Vb El Fl Al M b Va M B Fl El Cl Fl El Dl M a 2 V El Fl Cl b El Fl Dl M b 2
特征方程 特征方程根
4
r 4 0
4 4
r1, 2 1 i r3, 4 1 i
解得该方程的通解为：
w e (C1 cos x C2 sin x) e
x
x
(C3 cos x C4 sin x)
d 2w M EI 2 dx
w ex C3 cosx C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w exCcosx sin x
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠 F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均 等于F0之半，且指向上方。根据 符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
M Vdx bpdx dx / 2 qdx dx / 2 M dM 0 qdx (V dV ) V bpdx 0
dM V dx
dV bp q dx
d2w EI 2 M dx
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
d 4w d 2M dV EI 4 bp q 2 dx dx dx
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
d 4w EI 4 bp dx
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
d w EI 4 bp dx p ks
4
sw
d w EI 4 bkw dx
4
d w kb w0 4 dx EI
4
文克勒地基上梁 的挠曲微分方程
柔度特征值： 4 kb
4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d w kb w0 4 dx EI
4
d 4w 4 4 w 0 4 dx
四阶常系数线性常微分方程
d w 4 4 w0 4 dx
3.4.3柔度指数
梁的柔度特征值
4
kb 4 EI
L — 柔度指数
表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值
按l值的大小将梁可划分三种：
L / 4 短梁（刚性梁） / 4 L 有限长梁 (有限刚度梁) L 长梁（柔性梁）
计算模式：
对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简 化方法计算； 对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无 限长梁计算； 对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无 限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷 载与梁端的最小距离x<π/时，按有限长 梁计算。
负号不变，但 和V则取相反的符号。
w ex C1 cosx C2 sin x ex C3 cosx C4 sin x M0
（2）集中力偶作用下 当x→∞时，w→0，C１=C２=0。 当x=0时w0，所以C3=0。 M0 M0/2 在右侧截面有M=M0/2，由此得 C4=M0λ 2/kb，于是
O
F0
Hale Waihona Puke Baidu+V
符号规定
F0 x w e cos x sin x 2kb
F0 x w e cos x sin x 2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
F0 F02 F0 F0 w Ax ， Bx , M Cx ,V Dx 2kb kb 4 2
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 ) / E0 r
2
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
优点： 较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响； 考虑了土层沿深度和水平方向的变化。 缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件 1）静力平衡 外荷载和基底反力作用下满足 2）变形协调
F 0 M 0
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型 （2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、 土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型 （5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土 （6）粘弹性模型
反力图 （a ） （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围： 1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层 地基； 3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系 代替群桩。 优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。 缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。