弹性力学(文克勒地基板)
3.4文克勒地基上梁的计算
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0exco xs sin x
2kb
+V 符号规定
wF 0exco xs sin x
2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
w F 2 k 0A x b ， F k 02B b x,M 4 F 0C x,V F 2 0D x
如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
kp p/ s,
p为平均反力， s为刚性荷载板沉降值
对粘性土地基 ：
承压板边长
k (bp /b)kp
30cm
太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板
砂土
考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。
w e x C 3 cx o C 4 s sx i n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C cx o ss x i n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
M V b d d p / 2 q x x d d / 2 d M x x d x 0 M dM V dx
q d ( V d x ) V b p 0d x dV bpq
dx
EI
d2w dx2
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
Ed d I4w 4xdd2M 2xd dV xb pq 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
dd4xw4
2-2 文克尔地基模型
二、线性弹性地基模型线性弹性地基模型：荷载作用下，地基土应力-应变的关系为直线关系，可用广义虎克定律表示。
{}[]{}εσe D ＝{}{ }Tx y z xy yz zx σσσστττ＝{}{ }Tx y z xy yz zx εεεεγγγ＝为弹性刚度矩阵。
[]e D 用矩阵表示：[]()()()()1 1 1 12 0 0 0 211212 0 0 0 0 2 0 0 0 0 e E D νννννννννν----=+--12 0 2ν⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对称弹性体的应力-应变关系服从虎克定律：适用条件：实际基础刚度介于柔性基础和绝对刚性基础之间，基础底面的地基反力分布复杂。
当建筑物荷载较小，而地基承载力较大时，地基土应力应变关系可近似采用线弹性地基模型分析。
❑常用的三种线性弹性地基模型：（1）文克勒（Winkler）地基模型（2）弹性半空间地基模型（3）分层地基模型1. 文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）模型描述：假定地基由许多互不影响的独立弹簧组成，即假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形s成正比，而p不影响该点以外的变形。
其表达式为：p ksk─地基基床系数,表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3；p─地基上任一点所受的压力强度，kPa；s─荷载p作用点位置上的地基变形，m。
适用条件：地基土越软弱，土的抗剪强度越低，该模型越接近实际情况。
优点：计算简便，如果k选择得当，则可获得比较满意的结果。
存在问题：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模型计算，地基变形只能发生在基底范围内，而基底范围以外没有地基变形，这与实际情况不符，使用不当会造成不良的后果。
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场道工程设计理论-弹性地基板理论3
一般解
(2) 无限大板作用集中荷载
(1)圆形荷载作用于无限大板上
威斯特卡德(H.M.S Westergaard)解
(2)半圆形荷载作用于无限大板边 (3)圆形荷载作用于板角
一般解
(1) 无限大板作用着轴对称圆形均布荷载
D22 w r, q r, p r,
Winkler地基
M x M xy Qx 0 x y
根据对x轴的力矩平衡条件
M xy x
M y y
Qy 0
将Qx、Qy用Mx、My及Mxy表示，代入
2w M x D 2 x 2w M y D 2 y M xy 2w y 2 2 w x 2 2w D 1 xy
Ec z 2 w 2 w 2 2 1 2 x x y E z c 2 2 w 1 x
2 拉普拉斯算子
yz z
2
Ec z 2 w 1 2 y
边界条件： 板的上下板面无切向应力
积分
Ec z 2 w 1 x, y xz 2 2 1 x 2 E z 2 c w 2 x, y yz 2 1 2 y
Qx Qy q 0 x y
其中：
4w 4w 4w q 2 2 2 4 4 x x y y D
弹性小挠度薄板挠曲微分方程
地基上小挠度薄板
地基反力为：p x, y
4 4 4w w w D 4 2 2 2 4 q p x y y x
p r , k w r
2R q
D22 w r q k w r
文克勒地基上梁的计算优质课件专业知识讲座
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
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适用范围： 1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
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（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
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一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
M V b d p d x / 2 d x q d x d / 2 x M x d 0 MdM V dx
qd (V x d)V V bp0 d x
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
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解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k qD w wD D∇+=此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即（2）将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w wD D∇+=中，即得002242224sin sin()a bmnm x n yq dxdyab a bAm nD ka bπππ=++⎰⎰（3）当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于Fdxdy以外，在其余各处都等于零。
22421122sin sin4sin sin()m nm nF m x n ya bwm nab a bD ka bπξπηπππ∞∞===++∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示00114sin sin sin sina bm nm x n y m x n yq q dxdyab a b a bππππ∞∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰解得max 3.092e w =-方法2——差分法2.1网格（4*4）差分法用4*4网格求解4a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
路面工程第16章
第十六章水泥混凝土路面设计§16-1 概述水泥混凝土路面板具有较高的力学强度，在车轮荷载作用下变形小，同时按照现行的设计理论，混凝土板工作在弹性阶段，也就是在计算汽车荷载作用下，板内产生的最大应力不超过水泥混凝土的比例极限应力。
当水泥混凝土板工作在弹性阶段时，基层和土基所承受的荷载单位压力及产生的变形也微小，它们也都工作于弹性阶段，因此从力学体系上看，水泥混凝土路面结构也属于弹性层状体系。
然而，作为刚性路面的水泥混凝土路面，同柔性路面相比，有其自己的特性。
首先，混凝土路面板的弹性模量及力学强度大大高于基层和土基的相应模量和强度；其次，混凝土的抗弯拉强度远小于抗压强度，约为其1/6～1/7，因此决定水泥混凝土板尺寸的强度指标是抗弯拉应力；同时，由于混凝土板与基层或土基之间的摩阻力一般不大，所以在力学图式上可把水泥混凝土路面结构看作是弹性地基板，用弹性地基板理论进行分析计算。
由于混凝土的抗弯拉强度比抗压强度低得多，在车轮荷载作用下当弯拉应力超过混凝土的极限抗弯拉强度时，混凝土板便产生断裂破坏。
且在车轮荷载的重复作用下，混凝土板会在低于其极限抗弯拉强度时出现破坏。
此外，由于板顶面和底面的温差会使板产生温度翘曲应力，板的平面尺寸越大，翘曲应力也越大。
另外，水泥混凝土又是一种脆性材料，它在断裂时的相对拉伸变形很小。
因此，在荷载作用下土基和基层的变形情况对混凝土板的影响很大，不均匀的基础变形会使混凝土板与基层脱空，在车轮荷载作用下板产生过大的弯拉应力而遭破坏。
基于上述，为使路面能够经受车轮荷载的多次重复作用、抵抗温度翘曲应力、并对地基变形有较强的适应能力，混凝土板必须具有足够的抗弯拉强度和厚度。
水泥混凝土路面在行车荷载和环境因素的作用下可能出现的破坏类型主要有：1）断裂；2）唧泥；3）错台；4）拱起；5）接缝挤碎等。
从水泥混凝土路面的几个主要破坏类型可以看出，影响混凝土路面的使用性能的因素是多方面的，如轮载、温度、水分、基层、接缝构造、材料以及施工和养护情况等。
(整理)文克勒地基模型及地基系数分布规律
目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中 K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。
第一章 地基模型
1
3
a
1 b1
1 3
a、b ──均为试验参数。对于确定
Ei
1
的周围应力3=常数
a 1 Ei
b
1
1
3
ult
Ei──初始切线模量
p e
1
1 -3)ult ──偏应力的极限值，即当1→∞时的偏应力值。
切线模量和切线泊桑比
，
Et
1
1
(1
E0
2 0
)
B
Eh，I——分别为基础的弹性模量和惯性矩。
第五节 非线性弹性地基模型
室内三轴试验测得的正常固结粘土和中密砂的应力应变 关系曲线通常为：
1 3
塑性应变 弹性应变
1 O
土体非线性变形特性
邓肯（Duncan）和张（Chang）等人1970提出的非线性弹性模型：
(1 -3)ult
一、Winkler地基模型
p
s
表达式
s p
k
k ─地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度（kN/m3）
p ─地基上任一点所受的压力强度（kPa）；
s ─作用点位置上的地基变形（m）。
柔性基础
刚性基础
二、弹性半空间地基模型
s(r,0) P
表达式 s P 1 2 Er
s ─距离作用点距离r位置(M点)上的地基变形(m)
3
Ei
1
Rf 1 sin 1 3
2c cos 2 3 sin
2
通过三轴试验，测5个试验参数 K、n，，Rf，c
、 ，
Ei
Kp
地基模型常见分类
地基模型弹性支点法弹性支点法是在弹性地基梁分析方法基础上形成的一种方法，弹性地基梁的分析是考虑地基与基础共同作用条件，假定地基模型后对基础梁的内力与变形进行计算分析。
由于地基模型变化的多样性，弹性地基梁的分析方法也非常多。
地基模型指的是地基反力与变形之间的关系，至今，学术界提出了不少模型，但由于问题的复杂性，不论哪一种模型都难以完全反映地基的工作性状，因而都有一定的局限性。
目前，运用最多的是线弹性模型，包括文克尔地基模型、弹性半空间地基模型和有限压缩层地基模型。
1.地基模型①文克尔地基模型早在1867年，捷克工程师E.文克尔（Winkler）就提出了以下的假设：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即pks式中比例系数k称为基床反力系数（或简称基床系数），其单位为KN/m3.对某一种地基，基床系数为一定值。
根据这一假设，地基表面某点的沉降与其它点的压力无关，故可把地基土体划分成许多竖直的土柱，如下图所示，每条土柱可用一根独立的弹簧来代替。
如果早这种弹簧体系上施加荷载，则每根弹簧所受的压力与弹簧的变形成正比。
这种模型的基底反力图形与基础底面的竖向位移性状是相似的。
如果基础刚度非常大，受负荷后基础底面任保持为平面，则基底反力图按直线规律变化。
按照文克尔地基模型，实质上就是把地基看作是无数小土柱组成，并假设各土柱之间无摩擦力，即将地基视为无数不相联系的弹簧组成的体系，也即假定地基中只有正应力而没有剪应力，因此，地基的沉降只发生在基底范围以内。
事实上，土柱之间存在着剪应力，正是剪应力的存在，才使基底压力在地基中产生应力扩散，并使基底以外的地表发生沉降。
尽管如此，文克尔地基模型由于参数少、便于应用，所以ren是目前最常用的地基模型之一。
一般认为，凡土层力学性质与水相近的地基，采用文克尔模型就比较合适。
在下述情况下，可以考虑采用文克尔地基模型：⑴地基主要受力层为软土；由于软土的抗剪强度低，因此能够承受剪应力值很小；⑵厚度不超过基础底面宽度一半的薄压缩层地基。
弹性地基上的梁和板分析
第四章弹性地基上的梁和板分析
4.1地基计算模型（①静力平衡②变形协调）
1.地基模型是描述地基土应力和应变关系的数学表达式。
2.选择地基模型一般要考虑建筑物荷载大小，地基土性质以及地基承载力等因素。
4.1.1 线性弹性地基模型（当建筑物的荷载较小，而地基承载力较大时，地基土的应变关系可采用线弹性地基模型进行分析。
线性弹性地基模型认为，地基土在荷载作用下其应力应变关系为直线关系。
）
最简单和常用的三种线性弹性地基模型为：①文克勒地基模型（地基某点的沉降只与该点的作用力有关，而与作用于其他点上的压力无关。
实质上就是把地基看作无数分割开的小土柱，若用一根根弹簧代替土柱，则有变成一群不相连的弹簧体系，这就是文克勒地基模型）②弹性半空间地基模型（弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的，各向同性的弹性半空间体）③分层地基模型（分层地基模型是以计算地基基础最终沉降的分层总和法为基础构建的地基模型）
4.1.2非线性弹性地基模型（地基土在荷载作用下的应力-应变关系假设为线性关系之适于应力-应变的开始阶段，随着荷载的增加，土体的变形呈非线性特征。
）
4.2文克勒地基上梁的计算
①满足地基与基础之间的变形协调条件。
②基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足静力平衡条件。
温克勒弹性地基上的板
第三节 圆面积均布荷载作用下的解
第四节 积分变换法解温克勒地基板
第四节 积分变换法解温克勒地基板
通过零阶汉克尔变换，板的挠度，弯矩公式如下：
第四节 圆面积均布荷载作用下的解
当板表面作用半径为a的圆面积均布荷载q时，该荷载的汉克尔变 换为：
第四节 集中荷载作用下的解
当板表面作用集中荷载Q时，其汉克尔变换为： 将它代入（5-25），(5-26)式，分别得到挠度和弯矩公式：
目录
第三节 已知荷载作用下无限大板的解 第四节 积分变换法解温克勒地基板 第五节 汉克尔变换解的数值计算 第六节 温克勒地基板的威斯特卡德解 第七节 威斯特卡德解算温度翘曲应力
第三节 垂直集中荷载作用下的解
当板上作用集中荷载，方程特解ω⃰=0，所以只需求挠度方程 的齐次通解，形式如5-13或5-14所示：
查贝塞尔函数表知，J0(x）的最大值为1.0，J1(x）的最大值不大 于0.6，所以舍去的余项为：
第五节 汉克尔变换解的数值计算
又如计算圆面积均布荷载的 或C1时，其舍去的余项为：
第六节 温克勒地基板的威斯特卡德解
阿灵顿五角大楼
阿灵顿位于美国首都华盛顿 哥伦比亚特区对岸的波托马 克河（Phtomac River）之 畔，拥有深厚的美国政治历 史渊源。因为，这里是美国 国防部总部五角大楼 （Pentagon）的所在地，美 国军人的长眠之地阿灵顿国 家公墓（Arlington National Cemetery）也位于此处。
由于ω1关于x轴对称，y=0时，
，得到A=B
第六节 温克勒地基板的威斯特卡德解
对于ω2，关于y轴对称，而且y ∞ ，必有ω2=0，另外剪力Qy也 关于y对称，求得ω2如下所示：
文克勒地基模型
文克勒地基模型：地基上任意一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即 p=ks 式中比例系数k称为基床反力系数刚性桩：当桩很短或桩周土很软弱时，桩、土的相对刚度很大，属刚性桩。
扩展基础的分类：无筋扩展基础（墙下条形基础、柱下独立基础）和钢筋混凝土扩展基础（墙下钢筋混领土条形基础、柱下钢筋混凝土独立基础）Pk =( FK+GK)/A各物理量的含义： GK=γGAd γG=20P k ：相应于荷载标准组合时，基础底面的平均压力值FK：相应于荷载标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值GK：基础自重和基础土重，若在地下水以下部分应扣去浮托力地基基床系数：1.按基础的预估沉降量确定：k=P0/Sm（p基地平均附加压力 sm基础的平均沉降量）2. 对于为h的薄压缩层地基，k=Es/h（Es土层的平均压缩模量）弹性半空间地基模型：是将地基视为均质的线性变性半空间，并用弹性力学公式求解地基中的附加应力或位移的一种模型。
S=P(1-μ2) /πEor预制桩的沉桩方式：锤击沉桩法，振动沉桩法，静压沉桩法群桩效应：在竖向荷载的作用下，由于承台、桩、土的相互作用，群桩基础中的一根桩单独受荷时的承载力合沉降性状，往往与相同地质条件和设置方法的同样独立单桩有显著差别，这种现象称之为群桩效应。
软弱下卧层：承载力显著低于持力层的高压缩性土层沉管灌注桩：是指采用锤击沉管打桩机或振动沉管打桩机，将套在预制钢筋混凝土桩尖或带有活瓣桩尖的钢管沉入土层中成孔，然后边灌注混凝土、边锤击或边振动边拔出钢管并安放钢筋笼而形成的灌注桩。
竖向荷载作用下单桩沉降构成：（1）：桩身弹性压缩引起的桩顶沉降。
（2）：桩侧阻力引起的桩周土中的附加应力一压力角向下传递，致使桩端下土体压缩而产生的桩端沉降。
（3）：桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。
基底附加压力P0：基底压力与基础建造前土中自重应力之差P=Pk-σc d（σc d基地处土的自重应力值）振动法沉桩：是采用振动锤进行沉桩的施工方法，适合可塑状的黏性土和沙土对受振动时土德抗剪强度有较大降低的砂土地基和自重不大的钢桩，沉桩效果更好桩按性质和竖向受力情况分类：端承型桩和摩擦型桩条形基础内力计算方法分类：简化计算法和弹性地基梁法按规范承载力表确定承载力特征值时，基础宽度如何修正：当基底宽度小于3m 时按3m考虑，大于6m时按6m考虑摩擦型群桩承台脱地的情况下群桩效应受三个因素影响是：承台的刚度影响、基土性质的影响、桩距s的影响影响基础埋深的主要因素是那几个条件：与建筑物有关的条件、工程地质条件、水文地质条件、地基冻融条件、场地环境条件相邻建筑物基础影响及处理措施：靠近原有建筑物新修建的新基础时，如基坑深度超过原有的基础埋深，则可能引起原有基础下沉或倾斜。
3.4文克勒地基上梁的计算解析
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
温克勒弹性地基上的板PPT文档40页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k =，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为200222200222()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0.x x x a x a y y y by b w w x w w xww y w w y========∂==∂∂==∂∂==∂∂==∂ 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k q D w w D D∇+= 此时，将荷载q 也展为同一形式的级数，即（2） 将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w w D D∇+=中，即得 002242224sin sin ()a b mnm x n yq dxdy ab a b A m nD ka bπππ=++⎰⎰（3） 当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q ，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于F dxdy以外，在其余各处都等于零。
10-1 弹性地基梁的解析方法
2. 弹性地基梁法弹性地基梁内力计算：基床系数法和半无限弹性体法。
基床系数法：采用文克勒（Winkler）地基模型，地基由许多互不联系的弹簧所组成，某点的地基沉降仅由该点上作用的压力所产生。
通过求解弹性地基梁的挠曲微分方程，可求出基础梁的内力。
半无限弹性体法：假定地基为半无限弹性体，将柱下条形基础看作放在半无限弹性体表面上的梁，而基础梁在荷载作用下，满足一般的挠曲微分方程。
应用弹性理论求解基本挠曲微分方程，并引入基础与半无限弹性体满足变形协调的条件及基础的边界条件，求出基础的位移和基底压力，进而求出基础的内力。
半无限弹性体法的求解一般采用有限单元法等数值方法。
，根据微分梁单元力的平衡，则：∑Y＝M x w EI -=22d d 由材料力学知，梁的挠曲微分方程为：或2244d d d d xM x w EI -=根据截面剪力与弯矩的相互关系，即则：x x M d dQ d d 22=q bp x w EI +-=44d d q bkw x w EI =+44d d 引入文克勒地基模型及地基沉降s 与基础梁的挠曲变形协调条件，可得：。
w s =kw ks p ==代入上式，可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程为：当梁上的分布荷载q =0时，梁的挠曲微分方程变为齐次方程：0d d 44=+bkw x w EI令，称为梁的柔度指标，其单位为(长度)-1。
的倒数值称为特征长度，值愈大，梁对地基的相对刚度愈大。
44EI kb =λλλλ1λ104d d 444=+w x w λ该微分方程的通解为)sin cos ()sin cos (4321x C x C e x C x C e w x x λλλλλλ+++=-于是，梁的挠曲微分方程可进一步写成如下形式：式中C 1、C 2、C 3、C 4为待定参数，根据荷载及边界条件定；为无量纲量，当x ＝L (L 为基础长度)，称为柔性指数，它反映了相对刚度对内力分布的影响。
文克勒地基
近几年的考题中经常有关于文克勒地基模型的选择题整理了一些相关的资料：目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中 K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
文克勒地基模型及地基系数分布规律
目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。
6(7)-弹性地基板应力分析
板块厚度相对于平面尺寸较小，板块在荷载作用下的挠度（竖混凝土板在自然条件下，存在沿板厚方向的温度梯度，会产生弹性地基：因为混凝土板下的基层与土基的应力应变很小，小挠度薄板：因为板的模量高，应力承受能力强，一般受力不超过弹性比例极限应力，挠度与板厚相比很小。
薄板：板厚度h远小于板中面的最小边尺寸b(如b/8～b/5)的挠度：中面内各点在横向的(即垂直于中面方向的)位移；即：中面的任意一根法线上，薄板全厚度内的所有点均具有相同的挠度假设（2）：垂直于中面的法线，在弯曲变形前后均保持直线，并垂直于中面，无横向剪切应变假设（3）：薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移对应力积分，可获得各截面上的内力（弯矩和扭矩）：2）物理方程：（用挠度表示）3）平衡微分方程：板的弯曲刚度写出z方向的力的平衡方程，简化以后，略去微量，得到：一个方程，两个未知数，要求解方程，必须建立地基反力与薄板挠度间的关系，因此，必须对地基变形进行假设。
、荷载应力分析地基模型：以反应模量K表征的弹性地基，它假设地基上任一点的反力仅同该点的挠度成正比，而与其他点无关，即地基相当于由互不相联系的弹簧组成，它因首先由捷克工程师文克勒提出而得名，也称为K地基、弹簧地基。
Westergaard采用文克勒地基假设，分析了三种轮载位置下的最大挠度和应力：轮载作用于无限大板中央，分布于半径为R的圆面积内；轮载作用于受一直线边限制的半无限大板的边缘，分布于半圆内；轮载作用于受两条相互垂直的直线边限制的大板的角隅内，压力分布的圆面积的圆心距角隅点为荷位下板底；板表面距板角点x 1的分角线上板中荷位：板边荷位板角荷位当荷载圆半径较小，与板厚相差不大时，板受力接近厚板，需修正，即：R<0.5h 时，用当量计算半径b 代替R ，威氏公式是理论推导得来的，与实际情况有出入。
美国1930年在阿灵顿进板底脱空时，实测比计算大30%~50%，需修正，Kelly提出板角修正式:：文克勒地基计算结果与地基的承载能力的取值有关是以弹性模量和泊松比表征的弹性地基，假设地基为一各向同性的弹性半无限体，在荷载作用下其顶面上任一点的挠度不仅同该点的压力有关，也同其它各点的压力根据Hogg理论：无限大圆板上作用轴对称竖向荷载q(r)时，竖向位移表达式：①轴对称条件下的径向、切向弯矩表达式②荷载在板中时，圆形均布荷载下，板在单位宽度内产生的最大弯矩：③荷载圆离计算点一定距离时，可将其视为作用在圆心的集中力，其弯矩解：经过计算，形成表格，可查表。
弹性地基板动力问题的数值分析
I
模拟是准确有效的。静力分析不仅可作为动力分析的基础，而且在工程中有实际意 义。
(5) The model of three-dimensional point-radiate 8-node infinite element is established. Its stiffness and mass matrices are deduced. Its mapping function and displacement function are very concise. It can be easily coupled with the 3D 20-node isoparametric element. The responding program coupling finite and infinite elements for the static analysis is coded, and is applied to analyze the static cooperation of the half space foundation and the plate. Results show that it is accurate to simulate the half space foundation by coupling finite elements and point-radiate infinite elements. The static analysis not only can be as a base of the dynamic analysis, but also has the practic significance in engineering.
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F0 ，而在其他结 h2
点处，荷载集度均为零。 对于简支边外一行虚结点处的挠度， 就等于边 界内一行相对结点处的挠度，而符号相反。
即
wa w3 , wb w2 , wc w3
把挠度 w 的表达式取为如下的重三角级数：
Y
w Amn sin
m 1 n 1
m x n y sin （1） a b
其中的 m 和 n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（1）代 入弹性曲面的微分方程 D4 w q 中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时， 弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。在文克勒地基中，地 基对薄板所施反力的集度 P， 是和薄板的挠度 w 成正比而方向相反， 即 p kw ， 这样，薄板所受横向分布力的总集度将为 p q ，因此薄板弹性曲面的微分方程
1
须改变成为 D 4 w
k q w D D
此时，将荷载 q 也展为同一形式的级数，即
4 a b m x n y m x n y （2） q q sin sin dxdy sin sin ab m1 n1 0 0 a b a b
将式（1）和式（2）代入微分方程 D 4 w
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 8 20 2.6e 8 8 24 2.6e 8 16 2 16 20 2.6e 8
w1 4.161589e-2 w 0 2 = 0 w3
sin
由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中பைடு நூலகம்处 0.8, 0.8 的挠度最大，将坐标点
0.8, 0.8 代入式（4）,结果如下图所示
2
解得 wmax 3.09e 2 方法 2——差分法 2.1 网格（4*4）差分法
a 用 4*4 网格求解 h 。 由于对称， 只有 3 个独立的未知值， 即 w1 , w2 , w3 ， 4
4 ab m x n y sin dxdy a b （3） m2 n2 2 4 D( 2 2 ) k a b
b 0
k q 中，即得 w D D
Amn
0
a
q sin
当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以得到 当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以用微分面积 dxdy 上的均布荷载
由此可得最大结点挠度为：
wmax w1 3.29e 2
方法 3——有限元解法（利用 Abaqus 工程软件） 3.1 创建一个三维实体，边长均为 1.6 m ，厚度为 0.08m （1）建模分网
（2）创建边界条件
8
（3）求解并查看结果（单位 mm）
最大挠度 wmax 3.004e 2m 三种方法的结果比较如下： 纳维解法： 代入计算，解得挠曲线为重三角级数时中心点处最大挠度为 差分法： 4*4 网格： 最大挠度 wmax w1 3.64e 2m 8*8 网格：最大挠度 wmax w1 3.29e 2m 差分法中， 8*8 网格的解答更靠近理论解，较为精确 有限元法： 三维薄板：正方形板中心处挠度最大，最大挠度为 wmax 3.004e 2 （ F 1.0e7 N , 0.08m ）
由此得到该 3 个结点处的挠度为:
w1 3.64e 2
， w2 2.08e 2
， w3 1.30e 2
4
最大挠度为 wmax w1 3.64e 2 2.2 网格（8*8）差分法 a 1 用 8*8 的网格求解 h 。由于对称，取 薄板为研究对象，建立如下坐标系， 8 4 并标注结点如图所示 取坐标如下所示
据此，为 1,2,3 结点建立差分方程如下：
3
20 20 20
kh 4 D kh 4 D kh 4 D
4 q0 , w1 8 4 w2 2(4 w3 ) h D w2 8 w1 2 w3 2 2 w2 0, w3 8(2 w2 ) 2 w1 0
板壳理论课程设计
第一部分
学习心得
第二部分文克勒地基上的基础板解题法
题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法 设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为 a=1.6m,厚度 0.08m ， 如图所示， 四边均为简支边， 在薄板的中心受有集中力的作用， F0 1.0e7 N 。 取薄板弹性模量 E =205 GPa ，泊松比 0.3 ， k 1 ，取坐标轴如图所示， 方法 1——纳维解法
wmax 3.09e 2m
纳维解法 条件
差分法
有限元法
重三角级数 （4*4）网格
（8*8）网格 三维薄板
wmax m
误差
3.09e 2
13.64e 2
15.1%
3.29e 2 6.07%
3.004e 2 2.78%
0
9
w1 w 2 w3 w4 w5 w6 w 7 w8 w 9 w10
1.040397e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 4 8 0 0 0 0 0 0 20+1.6e-9 25+1.6e-9 8 16 6 0 1 0 0 0 8 1 8 20 1.6e-9 4 16 2 8 4 0 0 2 16 4 22+1.6e-9 16 2 0 2 0 0 3 8 8 23+1.6e-9 8 2 8 0 3 0 0 0 2 2 16 20+1.6e-9 0 4 2 16 0 1 8 0 4 0 20+1.6e-9 16 0 2 0 2 1 8 2 8 21+1.6e-9 1 8 0 0 0 0 0 2 0 2 20+1.6e-9 16 0 0 0 0 0 3 8 1 8 8 22+1.6e-9
o
X
当并无支座沉陷时，其边界条件为
( w) x 0 0, ( ( w) x a ( w) y 0 ( w) y b
2w ) x 0 0, x 2 2w 0, ( ) x a 0, x 2 2w 0, ( ) y 0 0, y 2 2w 0, ( ) y b 0. y 2
边 界 外 虚 结 点
a, b, c, d , e 的 挠
度分别为：
wa w7 , wb w8 , wc w10 , wd w9 , we w14
建立差分方程如下所示：
5
kh 4 a q ) w1 8(4 w2 ) 2(4 w4 ) 4 w3 ( ) 4 0 , D 8 D 4 kh (20 ) w2 8( w4 w3 w4 w1 ) 2( w2 w5 w5 w2 ) 2w5 w2 w7 0, D kh 4 (20 ) w3 8( w2 2 w5 w7 ) 2(2 w4 2 w8 ) 2 w6 w11 w1 0, D kh 4 (20 ) w4 8(2 w5 2 w2 ) 2( w1 2 w3 w6 ) 2 w4 2 w8 0, D kh 4 (20 ) w5 8( w3 w6 w4 w8 ) 2( w2 w7 w10 w5 ) w2 w12 w10 w15 0, D kh 4 (20 ) w6 8(2 w5 2 w10 ) 2( w4 w8 w8 w9 ) 2w3 2w13 0, D kh 4 (20 ) w7 8(2 w8 w3 w11 ) 2(2 w5 2 w2 ) w2 2 w10 w7 0, D kh 4 (20 ) w8 8( w5 w7 w10 ) 2( w3 w6 ) w4 w8 w8 w9 0, D kh 4 (20 ) w9 8( w10 w10 ) 2( w6 ) 2 w8 2 w9 0, D kh 4 (20 ) w10 8( w8 w6 w9 ) 2( w5 w10 ) w5 w10 w7 0. D (20
F dxdy
来代替分布荷载 q ，于是除了在 , 处的微分面积上等于 F 以外，在
dxdy
其余各处都等于零。
m n sin 4F m x n y a b w sin sin 2 2 n 2 ab m 1 n 1 4 m a b （4） D( 2 2 ) k a b
k q 4w 4w 4w k q w ， 在结点 1 处 4 2 2 2 4 w1 0 D D D x 1 x y 1 y 1 D
另外，前面提到过，文克勒地基板上的基础板导出弹性曲面的微分方程如下：
D 4 w
6
7
由此得到 10 个结点挠度如下： w1 3.29e 2
w2 2.78e 2 w3 1.95e 2 w4 2.44e 2 w5 1.75e 2
w6 1.28e 2 w7 1.00e 2 w8 0.90e 2 w9 0.35e 2 w10 0.67e 2