专题2.7 对数与对数函数(练)-2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(原卷版)

合集下载

(江苏版)2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.9 幂函数、指数函数与对数函数(讲)

2.9 幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)．题组二常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三常考题6． lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________．【解析】原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________．【解析】由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f(x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质常用幂函数的图象与性质2指数函数的概念、图象与性质【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？m=-【答案】1【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)22m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】 1或2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】b c a >>【解析】∵函数49(0)y x x =>是增函数，∴c a >，又∵函数4()9xy =是减函数，∴b c >，∴b c a >>. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b ；②3b >3a ；③3c＋3a >2；④3c ＋3a<2中一定成立的是 . 【答案】④【解析】作f (x )＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c f (a )>f (b )成立，需有c <0且a >0，所以3c<1<3a，所以f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.又f (c )>f (a )，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c <2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 . 【答案】增函数【解析】由于(1,0)x ∈-，即1(0,1)x +∈时()0f x <，所以1a >，因而()f x 在(1,)-+∞上是增函数．【3-2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【答案】（1）1a >时，定义域为(0,)+∞，01a <<时，定义域为(,0)-∞；（2）1a >时，增函数，01a << 时，减函数．【解析】(1)由a x －1>0得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，12a =．【基础知识】【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．如：若()()22132a a --+>-，则a 的取值范围是．【分析】由2y x -=的图象关于y 轴对称知，函数2y x -=在()0,+∞上是减函数，在(),0-∞上是增函数．因为()()22132a a --+>-，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得213a -<<或a ∈∅或1a <-或4a >，所以a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【易错点】本题容易只考虑到1a +，32a -在同一单调区间的情况，不全面而致误．【练一练】已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。

高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增．又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。

2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(讲)(原卷版)

3.)若为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 .
4. 的最小正周期都是 .
【思想方法】(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．
(2)周期性：存在周期性，其最小周期为 .
(3)单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间．
(4)对称性：利用的对称中心为求解，令，求得 .
【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是,要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位．
考点3函数的图像与性质的综合应用
【3-1】设的最小正周期为，且对任意实数都有，则的单调减区间是.
(3)将y＝3sin2x的图像向左平移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin 。()
(4)y＝sin 的图像是由y＝sin 的图像向右移个单位得到的。()
(5)由图像求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的。()
[练一练]
1．y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为()
2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍( )，便得的图象.
2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

2019届高考(文科)江苏版一轮复习：第2章 7 第7讲对数与对数函数

[解析] 对①，根据 y＝log0.5x 为单调减函数易知正确．对②，由 log34>log33＝1＝log55>log65 可知正确． 4 6 6 对③，由 log34＝1＋log3 >1＋log3 >1＋log5 ＝log56 可知正 3 5 5 确．对④，由 π>e>1 得，logeπ>1>logπe 可知错误．
2．对数的运算法则如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么：
logaM＋logaN ； ①loga(M· N)＝________________
M logaM－log aN ②log a ＝_____________ __ ___； N
nlogaM ③logaMn＝____________ (n∈R)；
对数式的化简与求值
4 3 － 3 (1)若 a＝log43，则 2a＋2 a＝________ ．
1 1 10 (2)设 2 ＝5 ＝m，且＋＝2，则 m＝________． a b
a b
（1－log63）2＋log62·log618 1 (3) ＝________ ． log64
【解析】＝ 3＋
n ④logamM ＝ logaM. m
n
3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
图象
定义域值域
(0，＋∞) __________
R
a>1 定点单调性
0<a<1
(1，0) 过点__________
在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是
增函数 __________
当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时，y<0

2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.7 对数与对数函数(测)

第07节对数与对数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017浙江温州中学模拟】已知0m >且1m ≠，则l og 0mn >是(1)(1)0m n -->的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】log 0m n >⇔若1m >：1n >，(1)(1)0m n -->；若1m <：1n <，(1)(1)0m n -->，而反之则无法推出，故是充分不必要条件，故选A.2.【2017湖北稳派教育检测】已知，当时，的大小关系为（） A. B.C.D.【答案】B 【解析】取，则.所以.故选B.3.函数y ＝()21log 2x -的定义域是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C. (2,3)∪(3，＋∞)D.(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C【解析】∵()220log 20x x ->⎧⎪⎨-≠⎪⎩，∴x ＞2且x ≠3，选C ．4.【2017陕西西安模拟】已知函数f (x )＝log a 2x＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0)a log b ，，由函数图象可知10a log b <<－，解得11a b <<.综上有011b a<<<. 5.若正数,a b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+的值为（） A ．36 B ．72 C ．108 D ．172【答案】C【解析】由2362log 3log log ()a b a b +=+=+得()()236log 4log 27log ()a b a b k ==+=，所以有42,273,6k k k a b a b ==+=，所以108236k k k ab a b =⨯==+，即11108a b+=,故选C.6.【2017天津模拟】已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＝，()()5250,1b log log ∈＝，()0.5211,22c ∈－＝()，可得b c a <<.故选B.7.【2017山西太原模拟】设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝g (b )＝0，则( ) A ．f (b )＜0＜g (a ) B ．g (a )＜0＜f (b ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D ．f (b )＜g (a )＜0【答案】B【解析】易知)(f x 是增函数，)(g x 在(0，＋∞)上也是增函数，由于()()010110f f e ＝－＜，＝－＞，所以01a ＜＜.又()()1202 210g g ln ＝－＜，＝＋＞，所以12b ＜＜.所以()()00f b g a ＞，＜，故()()0g a f b ＜＜．8．【2017河北石家庄模拟】已知23a log log ＝＋29b log log ＝－32c log ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＝b <cB.a ＝b>cC.a<b<cD.a>b>c【答案】B【解析】因为23a log log ＝＋2log ＝23321log >＝，229b log log log a ＝－， 332log c log <＝3=1.9.【2017湖南长沙五校联考】设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】D【解析】构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设21110x x <<<－，－，则1122()101)0(x lg x x lg x ＝－－，＝－，因此()21121010x x lg x x －＝，因为2110100x x <－，所以()120lg x x <，即120 1.x x <<10.【2017河南调研】设方程21log ()02xx -=与141log ()04x x -=的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2 D ．x 1x 2≥2【答案】A【解析】方程21log ()02xx -=与141log ()04xx -=的根分别为12x x ，，所以1211log ()2xx =，21241log ()4x x =，可得212x =，令21()log ()2x f x x =-，则()()210f f ＜，所以112x ＜＜，所以12112x x ＜＜，即1201x x ＜＜.故选A. 11.【2017陕西西安模拟】若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.()0，3 B ．[)0，3 C.(]0，3 D ．[]0，3【答案】B【解析】由题意知2230mx mx >－＋恒成立．当0m =时符合题意；当0m ≠时只需2(2)120m m m >⎧⎨∆=--<⎩，解得03m <<.综上03m ≤<，故选B. 12.【2017浙江杭州模拟】已知直线x ＝m (m ＞1)与函数()a f x log x ＝ (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0，且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB →＝2BC →，则( ) A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3【答案】C【解析】由于2AB BC =，则3AC BC =，则点A 的坐标为()(),3m g m ，又点A 在函数()a f x log x ＝的图象上，故3a b log m log m ＝，即3a b log m log m ＝，由对数运算可知3b a ＝，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上递减，1()03f -=，则满足2(log )0f x >的的取值范围是 . 【答案】1133(0,2)(2,)-⋃+∞【解析】由题知()0f x >的解集为),31()31,(+∞⋃--∞，故2(l o g )0f x >，有21l o g 3x <-或21log 3x >，解得1133(0,2)(2,)-⋃+∞.14.【2017福建模拟】函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称，且函数()()13g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点_____________．【答案】()1,2-【解析】因为函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称，所以()xf x a =，故函数()()1133x g x f x a-=--=-，则函数()y g x =图象必过定点()1,2-．15.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数的取值范围是________．【答案】]2,1(【解析】当2≤x 时，2)21()(32=≥-x f ，即函数的值域为),2[+∞；当2>x 且1>a 时，2log )(a x f >，即函数的值域为),2(log +∞a ，由),2[),2(log +∞⊂+∞a ，所以22log ≥a ，解之得：21≤<a ；若2>x 且10<<a 时，2log )(a x f <，与题设不符，所以实数的取值范围是21≤<a ，即]2,1(，答案应填：]2,1(．16.设平行于y 轴的直线分别与函数12y log x ＝及函数222y log x ＝＋的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数222y log x ＝＋的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则2nm ⋅＝________.【答案】12【解析】由题意知，22n log m ＝＋，所以22n m －＝.又212BC y y ＝－＝，且△ABC 为正三角形，所以可知1()B m n －在12y log x ＝的图象上，所以2(1n log m －＝，即12n m －＝2n，所以m212n m ⋅=.三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【2017湖南衡阳月考】)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.【答案】(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)(－5，5).【解析】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).18．已知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求实数a 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．【解析】当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．19．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【答案】(1)a ＝2.(－1，3).(2)2.【解析】(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.20. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x f 44lg ，其中()4,4-∈x（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()4,4-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由【答案】（1）()f x 是奇函数．（2）减函数；（3）12-≤<-k 【解析】（1）()()x f x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-44lg 44lg ∴()f x 是奇函数．（2）任取()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-<-∈221121212144lg 44lg ,,4,4,x x x x x f x f x x x x 且 ()()()()()()212121122121416416lg4444lg x x x x x x x x x x x x --+--+=-++-=()()041641621122112>--->--+x x x x x x x x()()()()()()21121212121216410164x x x x f x f x f x f x x x x x +--∴>⇒->⇒>+--∴()f x 在(4,4)-上的减函数；（3）()()()θθθ2222cos cos cos -=--≥-k f k f k f ()x f 是()4,4-上的减函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-<-<-<-<-<θθθθ2222cos cos 4cos 44cos 40k k k k k 对R ∈θ恒成立由22cos cos k k θθ-≤-对R ∈θ恒成立得：22cos cos k k θθ-≤-对R ∈θ恒成立令2221cos 41cos cos ⎪⎭⎫⎝⎛--=-=θθθy[]1241,21,1cos 2-≤⇒-≤-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴-∈k k k y θ由4cos 4<-<-θk 恒成立对R ∈θ得：33<<-k 由4cos 422<-<-k θ恒成立对R ∈θ得：22<<-k 即综上所得：12-≤<-k所以存在这样的k 其范围为12-≤<-k。

2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第二

§2.6 对数与对数函数考情考向分析以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为填空题，中低档难度．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log m n ab ＝n mlog ab . 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二教材改编2．[P80习题T6]log 29·log 34·log 45·log 52＝________. 答案 23．[P83例2]已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．[P85练习T2]函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析由23log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三易错自纠5．(2018届新海中学摸底)函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (1,3]解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.6．(2018届常州一中质检)若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a ＝________. 答案－14解析令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，∴要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4＋4a >0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.答案10解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.答案－20解析原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用典例 (1)如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．①求证：O ，C ，D 三点共线； ②当BC ∥x 轴时，求A 点的坐标．①证明因为A ，B 在函数y ＝log 8x 的图象上，所以设它们的坐标分别为(x 1，log 8x 1)，(x 2，log 8x 2)，又AC ∥y 轴，BD ∥y 轴，且点C ，D 在函数y ＝log 2x 的图象上，从而C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由O ，A ，B 三点共线，知k OA ＝k OB ，即log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，即13log 2x 1x 1＝13log 2x 2x 2，即log 2x 1x 1＝log 2x 2x 2，所以k OC ＝k OD ，从而O ，C ，D 三点共线．②解由BC ∥x 轴，知y B ＝y C ，即log 8x 2＝log 2x 1，于是log 8x 2＝log 8x 31，得x 2＝x 31，代入log 2x 1x 1＝log 2x 2x 2，得log 2x 1x 1＝log 2x 31x 31，log 2x 1x 1＝3log 2x 1x 31.因为x 1≠1，所以x 21＝3，得x 1＝3，从而点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，16log 23. (2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入到y ＝log a x 中，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x ||，x ≠0，0，x ＝0，若c <0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0的互异实根的个数是________．答案 4解析偶函数f (x )的图象如图所示．因为c <0，所以关于f (x )的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0两根异号，由图知关于x 的原方程有4个互异实根．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性典例 (1)已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ＋1)，其中a >0且a ≠1. ①当a ＝12时，求函数f (x )的值域；②当f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数时，求a 的取值范围．解 ①令u (x )＝ax 2－x ＋1，当a ＝12时，u (x )＝12x 2－x ＋1＝12(x －1)2＋12.因为u (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，即u (x )≥12，所以log 12u (x )≤1，即函数f (x )的值域为(－∞，1]．②当a >1时，因为y ＝log a u (x )是关于u (x )的增函数，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数的充要条件是u (x )在⎣⎡⎦⎤14，32上单调递增且恒正，从而⎩⎨⎧12a ≤14，u ⎝⎛⎭⎫14＝116a －14＋1>0，解得a ≥2；当0<a <1时，因为y ＝log a u (x )是关于u (x )的减函数，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数的充要条件是u (x )在⎣⎡⎦⎤14，32上单调递减且恒正，从而⎩⎨⎧12a ≥32，u ⎝⎛⎭⎫32＝94a －32＋1>0，解得29<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤29，13∪[2，＋∞)．(2)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－4,4)解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．命题点2 和对数函数有关的复合函数典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即当x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，t (x )＝3－ax ， ∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1.当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响． (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练 (1)(2018届无锡一中质检)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则实数a ＋b 的值为________．答案2解析函数f (x )是奇函数，则其定义域关于原点对称，故由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)，∴b＝1.∴f (x )＝log a 1－x1＋x(0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，又0<a <1，∴f (x )在(－1，a ]上单调递增．又∵函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，则g (a )＝a ，即a 2＋a ＝1－a ，解得a ＝2－1(舍负)， ∴a ＋b ＝ 2.(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >b >c解析因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .(2)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)， c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号)①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c a >c解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c.1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a 0，1－x ≥0，解得0<x ≤1，故所求函数的定义域为(0,1]．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是________．答案 5解析由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝31log 23－＋1＝3log 23＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4．(2018届淮安中学模拟)不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，2解析由log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <5，x <2，即12<x <2，故所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫12，2. 5．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 8解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (0，＋∞)解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在(0，＋∞)上为增函数， t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴(a )a，即2a a ，即a ＝a2，解得a＝4，∴b ＝2.11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，又2×12－a >0，所以13<a <43，且a <1，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝12log ()x -．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝12log ()x -，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧12log x ，x >0，0，x ＝0，12log ()x -，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，而当x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2成立，所以不等式的解集为(－5，5)．13．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①(a －1)(b －1)＜0； ②(a －1)(a －b )＞0； ③(b －1)(b －a )＜0； ④(b －1)(b －a )＞0. 答案 ④解析由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得，当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有④满足题意．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.15．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数．其中是真命题的序号为________．答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④. 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)当x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1>m(x －1)(7－x )>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时，函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， ∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.。

江苏省高三数学高考一轮复习导学案对数式与对数函数苏教版

对数式与对数函数[学习目标]1. 掌握对数的预算法则2. 理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，3.了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．[学习重难点]①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(),1a o a ≠[自主学习]1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数.① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________．(2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ．(3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________；② log a NM ＝____________________________；③ log a M n ＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log m n a a n b b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为 __________________；2) 函数的值域为 _____________________；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数 )1,0(≠>=a a a y x且互为反函数.② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；3) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称．③ 函数值的变化特征及函数图像与性质：注：（1）同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（2）底大图低[典型例析]例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-; （3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式训练1：化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).例2已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.例3.对于)32(log )(221+-=ax x x f ，（1）函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；（2）结合“实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义”与“实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；（3）结合（1）（2）两问，说明实数a 的取何值时)(x f 的值域为]1,(--∞（4）实数a 的取何值时)(x f 在]1,(-∞内是增函数。

第2章 2.7 对数函数(2021年江苏新高考一轮复习)

§2.7对数函数1．对数函数的定义形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a 0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (2)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(3)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )(4)若a m >a n (a >0，a ≠1)，则m >n .( × ) 题组二教材改编 2．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .3．函数y 23log 21x (-)的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y 23log 21x (-)⎝⎛⎦⎤12，1.题组三易错自纠4．函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (1,3]解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为________．答案 (0，＋∞)解析 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0. 故f (x )的值域为(0，＋∞)．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).对数函数的图象及应用例1 (1)(2020·南京模拟)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.4x <log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1 (1)(2019·常州质检)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析由函数值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．(3)若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫116，1解析只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，只需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.对数函数的性质及应用命题点1 解对数方程、不等式例2 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案 x ＝ 5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)设f (x )＝212log ,0,log ,0,x x x x >⎧⎪⎨(-)<⎪⎩则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案 {－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a －＝log 2⎝⎛⎭⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. ∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析由题意，得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log (),a a a >>⎧⎪⎨⎪⎩－－解得a >1或－1<a <0.命题点2 对数函数性质的综合应用例3 已知函数f (x )＝212log (23).x ax +－(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 (1)由f (－1)＝－3，得12log (4+2)a ＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝212log (43),x x +－由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)． (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小例4 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________．答案 f (c )>f (a )>f (b )解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |，所以f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以c <a <b .思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c答案 B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 213，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c 12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫ln 32<f ⎝⎛⎭⎫12<f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 213， ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c 0，解得x >12，即函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，032时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2020·南京质检)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是( ) A ．x >a B ．a <x <1 C ．x >1 D ．0<x <a答案 B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝212log (4)x －的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D 解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案 A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2 答案 BD解析函数f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，∴定义域为{x |－1<x <1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2 ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.9．(2019·南通模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t ＝ax 2－x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2－14a. 若f (x )在[2,4]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a ≥4，16a －4>0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，12a ≤2，4a －2>0，解得a >1. ∴存在实数a 满足题意，即当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在[2,4]上是增函数．13．已知函数f (x )＝lne x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝1 010(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝2 020， ∴1 010(a ＋b )＝2 020，∴a ＋b ＝2.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．14．(2019·无锡模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________.答案 2解析令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.15．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1答案 A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. ∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0， ∴f (x )为奇函数．∴f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m (x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。

高考数学一轮同步练习 2.7 对数函数文苏教版

第七节对数函数强化训练1.已知函数f (x )=log 2(1)x +,若()f α=1α,等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:12α+=,故1α=,选B. 2.2log 510+log 50.25等于( )A.0B.1C.2D.4 答案:C解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 5252=. 3.已知f (x )=|log 2x |,则33()()82f f += .答案:2 解析:33()()82f f +=|log 238|+|log232|=|log 23-3|+|log 231-|=3-log 23+log2312-=.4.已知函数f (x )=12300log x x x x +⎧,≤,⎨,>,⎩则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是 .答案:{x |10x -<≤或x >2}解析:当0x ≤时,由131x +>,得x +1>0, 即x >-1.∴10x -<≤.当x >0时,由log 21x >,得x >2.∴x 的取值范围是{x |10x -<≤或x >2}.5.是否存在实数a ,使函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解:设2()g x ax x =-,并假设符合条件的实数a 存在,当a >1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数,需2()g x ax x =-在区间[2,4]上是增函数, ∴122x a =≤,解得14a ≥.又∵a >1,∴a >1.当0<a <1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数，需2()g x ax x =-,在区间[2,4]上是减函数. ∴142x a =≥,解得18a ≤.又∵0<a <1,∴108a <≤.综上可知:当a >1或108a <≤时,函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数.见课后作业B题组一对数的化简与求值1.设a =log 54(b ,=log 253)c ,=log 45,则( ) A.a <c <b B.b <c <a C.a <b <c D.b <a <c答案:D解析:a =log 54(01)c ∈,,=log 45(1)(b ∈,+∞,=log 253)(01)c ∈,,最大,排除A B .、又∵b =(log 253)<log 53<log 54a =,∴b <a <c .2.已知log 23a =,log 37b =,则用a ,b 表示log 1456为 . 答案:31ab ab ++解析:∵log 23a =,log 37b =,∴log 27ab =. ∴log 221422log 563log 7356log 141log 71ab ab ++===++. 题组二对数函数的图象3.若函数y =f (x )是函数(0xy a a =>,且1)a ≠的反函数,其图象经过点)a ,则f (x )等于 ( ) A.log 2x B.12xC.log 12x D.2x答案:C解析:由题意f (x )=log a x ,∴a =log 1212a a =. ∴f (x )=log 12x .4.若函数f (x )=log ()a x b +的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则函数g (x )=xa b +的大致图象是( )答案:D解析:由题意得0<a <1,0,⎩g (x )=ln x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:画出f (x )=2881651x x x x x -,≤,⎧⎨-+,>,⎩g (x )=ln x 的图象(图略),两函数图象的交点个数为2,故选B.题组三对数函数的性质6.函数f (x )=lg(x -1)的定义域是( ) A.(2),+∞B.(1),+∞C.[1),+∞D.[2),+∞ 答案:B解析:f (x )的定义域需满足x -1>0,故x >1,选B.7.若点(a ,b )在y =lg x 图象上1a ,≠,则下列点也在此图象上的是( ) A.1()b a,B.(10a ,1-b )C.10(1)b a,+D.2(2)a b ,答案:D解析:由题意b =lg a ,2b =2lg a =lg 2a ,即2(2)a b ,也在函数y =lg x 的图象上.8.函数()xf x a =+log (1)a x +在[]01,上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 .答案:12解析:∵xy a =与y =log (1)a x +单调性相同且在[]01,上的最值分别在两端点处取得.最值之和:f (0)0(1)f a +=+log 1a a ++log 2a a =,∴log 210a +=. ∴12a =. 9.已知函数f (x )=lg 22[(1)(1)a x a x -+++1]. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.解:(1)依题意22(1)(1)a x a x -+++1>0对一切x ∈R 恒成立. 当210a -≠时,必须有22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--<,⎩即a <-1或53a >.当210a -=时1a ,=±,当a =-1时,f (x )=0满足题意,当a =1时不合题意. 故1a ≤-或53a >.(2)依题意,只要22(1)(1)t a x a x =-+++1能取到(0),+∞的所有值,则f (x )的值域为R ,故有 22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--≥,⎩ 即513a <≤. 又当210a -=时1a ,=±.当a =1时t =2x +1符合题意,当a =-1时,不合题意. 故513a ≤≤.题组四对数函数的综合应用10.已知函数f (x )满足:当4x ≥时1()()2xf x ,=;当x <4时,f (x )=f (x +1).则f (2+log 23)等于( ) A.124B.112C.18D.38答案:A解析:∵22342<<=, ∴1<log 232<. ∴3<2+log 234<.∴f (2+log 23)(3f =+log 23)(f =log 2221log 2424log log 242124)()222-===124=. 11.若函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠在区间1(0)2,内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间是 . 答案:1()2-∞,-解析:定义域为1(0)()2,+∞⋃-∞,-,当1(0)2x ∈,时22(01)x x ,+∈,,因为01a a >,≠, 设u=220x x y +>,=log a u 在(0,1)上大于0恒成立,所以0<a <1, 所以函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠的单调递增区间是212(()(0))2u x x x =+∈-∞,-⋃,+∞的递减区间,即1()2-∞,-.12.若2()f x x x b =-+,且f (log 2)a b =,log 2()2(f a a =>0且1)a ≠.(1)求f (log 2)x 的最小值及相应x 的值;(2)若f (log 2)(1)x f >且log 2()(1)f x f <,求x 的取值范围. 解:(1)∵2()f x x x b =-+,∴f (log 2)(a =log 22)a -log 2a b b +=. ∵log 20a ≠,∴log 21a =. ∴a =2.又∵log 2()2f a =, ∴f (a )=4. ∴24a a b -+=. ∴b =2.∴2()2f x x x =-+.∴f (log 2)(x =log 22)x -log 22(x +=log 2217)42x -+.∴当log 212x =,即x =,f (log 2)x 有最小值74.(2)由题意知22222()22log log (2)2log x x x x ⎧-+>,⎨-+<.⎩∴22201log log 024x x x x <>,⎧⎨<-+<.⎩或 ∴01212x x x <<>,⎧⎨-<<.⎩或∴0<x <1.▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生▃▄▅▆▇██■▓。

【K12教育学习资料】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习专题2.7 对数与对数函数(讲)

专题2.7 对数与对数函数【考纲解读】【直击教材】1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．【答案】②2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________．【答案】(－1，－2)3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．计算：(1)log 35－log 315＝______； (2) log 23·log 32＝______. 【答案】(1)－1 (2)1【知识清单】1．对数2.对数函数的图象与性质【考点深度剖析】关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．【重点难点突破】考点一对数式的化简与求值 1．计算：(1)4log 23＝________. (2)log 225·log 34·log 59＝________. 【答案】(1)9 (2)82．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝______.【答案】－20【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 【答案】12【解析】12lg 3249 －43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43·12·3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. [谨记通法] 对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二对数函数的图象及应用1．函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为________．(填序号)．【答案】④【解析】f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知④正确．2．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫22，1[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [即时应用]设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0＜a ＜b . (1)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：ab ＝1； (2)在(1)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.证明：g (4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.考点三对数函数的性质及应用角度一：比较对数值的大小1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为________．【答案】b >a >c【解析】a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27>33>26，所以b >a >c .角度二：简单对数不等式的解法2．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是__________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 【解析】当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1，解得0<x <110或x >10.角度三：对数函数的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，a ≠1，－30，a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x＝log a 1＝0，[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． [演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a .解得a ＞1或－1＜a ＜0.2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，【易错试题常警惕】1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M | (α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． [小题纠偏]1．函数y ＝log 0.54x －的定义域为______．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。

2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.12 函数模型及其应用(练)(原卷版)

1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号).2.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.3. A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km h，B的速度是16 km h，经过________小时，AB 间的距离最短.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.5.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为_________．6.某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________．7.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为______．8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______．9.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．10.据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是________11.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y 应为________.12.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．13.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数1333 2请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310 据此估计该地“节约用水家庭”的比例．14.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？。

2019年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.7 对数与对数函数(测)

2019年高考数学讲练测【新课标版文】【测】第二章函数与基本初等函数Ⅰ第07节对数与对数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1．【2018四川南充二模】式子等于（）A ．0B ．C ．-1D ．【答案】A【解析】由题意，故选A ．2．【2018吉林四平模拟】已知1212ln ,log ,x y z eππ-===，则（）A ．x y z < D ．cos cos a b > 【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．【2018四川德阳二模】已知，则、、的大小排序为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】为正实数，且，可得：即．因为函数单调递增，∴．故选A ．5．【2018河北衡水模拟】河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C6．【2018河北衡水模拟】已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>>C ．c d a b >>>D ．a c b d >>> 【答案】A【解析】1222222320l o g l o g l og 21,l o g l o g 10323a b <==<==<<，而2312,12c c <=<<<，322d e e =>> ，所以d c a b >>>，选A ．7．【2018四川成都七中二模】若实数a 满足142log 1log 3aa >>，则a 的取值范围是（） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】根据对数函数的性质，由2log 13a>，可得213a <<，由34log 1a <，得34a >，综上314a <<，a ∴的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 8．【2018四川联测促改】已知函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,4D ．[]2,4 【答案】A9．【2018郑州一模】若函数01()xy a a a >≠＝，且的值域为{}1|y y ≥，则函数a y log x ＝的图象大致是( )【答案】B【解析】由于xy a ＝的值域为{}1|y y ≥，∴1a >，则a y log x ＝在(0)∞，＋上是增函数，又函数a y log x ＝的图象关于y 轴对称．因此a y log x ＝的图象应大致为选项B ．10．【2018广东六校联考】下列说法中，说法正确的是（）． A ．若，则B ．向量，垂直的充要条件是C ．命题“”，”的否定是“，” D ．已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D11．【2018江西协作体一模】已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()110f x f --<的解集为（） A ．()0,2 B ．()1,2- C ．()()0,11,2⋃ D ．()()1,11,3-⋃ 【答案】C【解析】由题意知函数()22log f x x x =+为偶函数，且在()0,+∞上单调递增．由()()110f x f --<可得()()11f x f -<，∴11x -<，解得02x <<．又10x -≠，即1x ≠，∴02x <<且1x ≠，故不等式的解集为()()0,11,2⋃，故选C ．12．【2018广东深圳一模】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间()0,+∞上有()()3'0f x xf x +>恒成立，若()()3g x x f x =，令21log a g e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()5log 2b g =，12c g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <（），所以()()3g x x f x =在()0,+∞上是增函数，因为()221log log 1,2e e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()221log g g log e e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1251log 2log 12e -<=<=<< 2log e ，()12521log 2g g e g log e -⎛⎫⎡⎤⎛⎫<< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，b c a ∴<<，故选C ．【名师点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．【2018湖北武汉元月调研】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则a ，b ，c 的大小关系是__________．【答案】a b c >>【解析】357log 21,log 21,log 21a b c =+=+=+，而357log 2log 2log 2>>，故a b c >>．14．【2018安徽宣城三校模拟】151lg 2lg222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_______．【答案】-1【解析】15155lg 2lg22lg lg42lg 42lg1012222-⎛⎫+-=-++=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭．15．【2018福建三明模拟】设p ：51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()()2lg 44f x a x x =+-有意义．若p ⌝为假命题，则实数a 的取值范围是______________．【答案】()1,-+∞【解析】根据题意，由p ⌝为假命题，则p 为真命题，即51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使2440ax x +->成立，若0a >，则()41{ 210af -≤>或4522{ 502a f -≥⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得0a >；若0a =，则当51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有440x ->成立；若0a <，则24160{ 12512a a a ∆=+>⇒>-<-<，即10a -<<．综上得，所求实数a 的取值范围为()1,-+∞．16．【2018江苏常州二模】已知函数()3log f x x =的定义域为[a ，b]，值域为[0，1]，若区间[a ，b]的长度为b a -，则b a -的最小值为_________．【答案】23【解析】画出函数图象：函数()3log f x x =在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，∵x =1时，f (x )=0，∵x =3或13时，f (x )=1，由图可知，b −a 的最小值为1−1233=，故答案为23．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【2018吉林长春模拟】（本小题满分10分）计算：（1）231lg25lg2log 9log 22+-⨯；（2）lg8lg1.2-．【答案】（1）12-；（2）32．【解析】（1）原式 1122223lg25lg2lg10log 3log 2-=+--⨯1132233log 3lg 252102log 2log 2⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭3231lg102222=-=-=-．（2）原式=1.281.21.21.23322lglglg lg lg ÷===． 18．【2018福建莆田模拟】（本小题满分12分）设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．【答案】（1）[]2,2-；（2）4x =，最小值14-，4x =，最大值12 ．试题解析：（1）的取值范围为区间][221log ,log 42,24⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）记()()()()()()()22log 2log 12122y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．∵()23124y g t t ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数，在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数∴当23log 2t x ==-即3224x -==时，()y f x =有最小值3124f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭；当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值()()4212f g ==．19．【2018辽宁大石桥模拟】（本小题满分12分）已知函数()()()log 1log 3,(01)a a f x x x a =-++<<．（1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最小值为2-，求a 的值．【答案】（1）()3,1-；（2）12a =．【解析】试题分析：（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组，解不等式组即可求得函数()f x 的定义域；（2）根据对数的运算法则化简函数的解析式，利用对数函数的单调性，结合二次函数的最值，求出函数的最小值，列出关于a 的方程，解出即可．试题解析：（1）要使函数有意义，则有10{30x x ->+>，解得31x -<<，所以定义域为()3,1-．（2）函数可化为()()()()2log 13log 23a a f x x x x x =-+=--+ ()2log 14a x ⎡⎤=-++⎣⎦31x -<<， ∴ ()20144x <-++≤又01a <<，()2log 14log 4a a x ⎡⎤∴-++≥⎣⎦，即()f x 的最小值为log 4a由log 42a =-，得24a-=，12142a -∴==．【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、二次函数的最值以及复合函数的单调性，属于中档题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出．20．【2018辽宁沈阳期末考】（本小题满分12分）已知函数()()22log log 28x f x x ⎛⎫⎡⎤=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭，函数()1423x x g x +=--．（1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()()0f x g a -≤对任意实数1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，试求实数x 的取值范围．【答案】（1）[－4，﹢∞)；（2）22x ≤≤【解析】()()()221(log 3)log 1f x x x =-+222(log )2log 3x x =--22(log 1)44x =--≥-，即()f x 的值域为[－4，﹢∞)．（2）因为不等式()()g f x a ≤对任意实数1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以()()min g f x a ≤()()()()221g 4232223214aa aaaa +=--=--=--，设t 2a =，∵1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴t ⎤∈⎦，则()()22g t 2t 3t 14a =--=--，当t =()min g a =1--()1f x ≤--()22log 141x --≤--∴21log 11x -，即22log x ≤，解得22x ≤≤，∴实数x 的取值范围为22x ≤≤21．【2018贵州贵阳期末考】（本小题满分12分）已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++，其中01a <<．（1）求()f x 的定义域；（2）当12a =时，求()f x 的最小值．【答案】（1）()31-，（2）2-．【解析】试题分析：（1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为()3,1-．（2）在定义域上把()f x 化为()()212log 14f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，利用二次函数求出()20144x <--+≤，从而求出函数的最小值为2-．解析：（1）欲使函数有意义，则有10{30x x ->+>，解得31x -<<，则函数的定义域为()3,1-．（2）因为()()()12log 13f x x x =-+，所以()()212log 23f x x x =--+，配方得到()()212log 14f x x ⎡⎤=--+⎣⎦．因为31x -<<-，故()20144x <--+≤，所以()21122log 14log 42x ⎡⎤--+≥=-⎣⎦（当1x =-时取等号），即()f x 的最小值为2-．【名师点睛】求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件．22．【2018四川遂宁期末考】（本小题满分12分）已知函数()f x 定义在()1,1-上且满足下列两个条件： ①对任意(),1,1x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭；②当()1,0x ∈-时，有()0f x >．（1）求()0f ，并证明函数()f x 在()1,1-上是奇函数；（2）验证函数()1lg 1xf x x-=+是否满足这些条件；（3）若112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，试求函数()()12F x f x =+的零点．【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）2x =试题解析：（1）令x=y=0，则()()()000f f f +=，∴()00f =．令y x =-，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-，所以函数()f x 在（－1，1）上是奇函数．（2）由101xx->+得11x -<<，所以函数的定义域为（-1，1）． ①()()1111lglg lg ?1111x yx y f x f y x y x y ⎛⎫----+=+= ⎪++++⎝⎭111lg lg 1111x yx y xy x y xyf x y x y xy xy xy+-⎛⎫--+++=== ⎪+++++⎝⎭++． ②0x <时，110x x ->+>， ∴111x x ->+ ，∴1lg 01x x ->+，故函数()1lg 1xf x x-=+是满足这些条件．（3）设1210x x -<<<，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-=⎪-⎝⎭∵1210x x -<<<，∴120x x -<，1201x x <<，121201x x x x -<-．由条件②知121201x x f x x ⎛⎫->⎪-⎝⎭，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在(-1，0)上为减函数．由奇函数性质可知，()f x 在（0，1）上仍是单调减函数，∴()f x 在(-1，1)上单调递减．112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，112f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．由()()102F x f x =+=得()21f x =-，∴()()22112x f x f x f f x ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，22112x x ∴=+，整理得2410x x -+=，解得22x x ==()1,1x ∈-，2x ∴=．故函数()F x 的零点为2【名师点睛】解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个：（1）取特殊值．对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解．（2）运用所给的性质．解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为普通函数问题求解．。

2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.7 二次函数(讲)(解析版)

【最新考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ二次函数√1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．【课前检测训练】[判一判](1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同.( )解析错误.函数y＝|f(x)|的图像均在x轴上方或x轴上，而y＝f(|x|)的图像关于y轴对称. (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.( )(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称.( )解析错误.y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称.(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.( )解析正确.(5)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图像.( )解析错误.y＝f(－x)的图像向右平移1个单位得到函数y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图像. [练一练]1．要得到函数y ＝8·2－x的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向__平移__个单位解析 y ＝8·2－x ＝2－x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x答案右,32．使log 2 (－x)<x ＋1成立的x 的取值范围是________解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x)，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1,0).答案 (－1,0) 【经典例题精析】考点1 二次函数解析式的求法【1-1】已知二次函数f (x )同时满足条件：(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根立方和等于17. 求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.【1-2】若定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)被f (x )的图像截得的线段长为417，则函数f (x )的解析式为__________．【答案】f (x )＝(x －1)2【1-3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋a 的对称轴为x ＝74，且方程f (x )－(7x ＋a )＝0有两个相等的实数根． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在[1,3]上的值域；(3)是否存在实数m (m ＞0)？使f (x )的定义域为[m,3]，值域为[1,3m ]若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) f (x )＝－2x 2＋7x －2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，338.(3) m ＝118.【解析】(1)因为函数f (x )的对称轴为x ＝74，所以b ＝－72a ，所以f (x )＝ax 2－72ax ＋a .又方程ax 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫72a ＋7x ＝0有两个相等的实数根，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72a ＋72＝0，所以a ＝－2，故f (x )＝－2x 2＋7x －2.(2)f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋338，x ∈[1,3]，当x ＝74时，f (x )max ＝338；当x ＝3时，f (x )min ＝1.所以f (x )在[1,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，338.【基础知识】二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷．【思想方法】求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．【温馨提醒】求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式．考点2 二次函数的图象与性质的应用【2-1】设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上有最小值g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)作出g (t )的图象，并求出其最值．【答案】(1) g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2，t <0，－2，0≤t ≤1，t 2－2t －1，t >1.(2) 最小值－2，没有最大值【解析】(1)f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， ①当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝－2；②当t >1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上是增函数，则最小值g (t )＝f (t )＝t 2－2t －1； ③当t ＋1<1，即t <0时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上是减函数，则最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2.所以g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2，t <0，－2，0≤t ≤1，t 2－2t －1，t >1.(2)g (t )的图象如图所示，根据图象知g (t )有最小值－2，没有最大值．【2-2】“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件【答案】充分必要【2-3】已知关于x 的函数221(32)(1)4y a a x a x =+++++的图像与x 轴总有交点，求a 的取值范围【答案】1a <-【解析】2a =-或232010a a a ⎧++≠⇒<-⎨∆≥⎩【基础知识】①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．【思想方法】二次函数的对称轴的几个结论： (i)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(ii) 利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b2a.(iii)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程为f (x )＝0两根为x 1，x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.【温馨提醒】含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．再如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等．【易错问题大揭秘】设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围是．【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭。

苏教版高考一轮数学理对数与对数函数一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

对数与对数函数分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝23，所以a ＝2.答案 22．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ f (－2)＝3－2＝19.答案 193．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .答案 b >a >c4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③. 答案 ③5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________．解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x ＝8. 答案 86．(2012·南京师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．解析画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a >0，所以a <32，所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )．所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，即log 44x＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x＝－2kx .所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－12.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x ，所以m ＝log 44x＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .因为2x＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.分层训练B 级创新能力提升1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x3 5 6 8 9 lg x2a －ba ＋c －11＋a －b －c3(1－a －c )2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________．解析由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )＜12的集合为________．解析画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝12，得x ＝2；由3－x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52.答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1；④(a 2,2b )．解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于①，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上．答案 ④5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.。

2019年高考数学(理)一轮复习讲练测专题2.7 对数与对数函数(讲)

2019年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第二章函数与基本初等函数Ⅰ第07节对数与对数函数【考纲解读】【知识清单】对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对点练习设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于（） A ．10B ．10C ．20D ．100【解析】由已知，得25a log m b log m ＝，＝，则251111a b log m log m+=+=25102m m m log log log ＋＝＝．解得m = 对数的性质、换底公式与运算性质（1）对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1)（2）对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．（3）对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．对点练习【2018新疆乌鲁木齐二模】已知函数()22,0{ log ,0x f x xx x -<=>，若()2f a =，则实数a =（） A ．-1 B ．4 C ．14或1 D ．-1或4 【答案】D【解析】当0a <时，由()2f a =得22a-=，解得1a =-，符合题意；当0a >时，由()2f a =得2log 2a =，解得4a =，符合题意．综上可得1a =-或4a =，故选D ．对数函数及其性质（1）概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．（2）对数函数的图象与性质对点练习【2018四川联测促改】已知函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,4D ．[]2,4 【答案】A反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对点练习函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称，且函数()()13g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点_____________．【答案】()1,2-【解析】因为函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称，所以()xf x a =，故函数()()1133x g x f x a-=--=-，则函数()y g x =图象必过定点()1,2-．【考点深度剖析】与对数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往对数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 对数的化简、求值【1-1()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-；【1-2】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值．【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩ （），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==．【1-3】若log 2,log 3,a a m n ==则2m na +=________，用,m n 表示4log 6为________．【答案】 122m nm+ 【解析】∵log a 2=m ，log a 3=n ，∴a m =2，a n =3，a 2m +n =(a m )2×a n =22×3=12，4log 6log 2log 3log 6log 42log 22a a a a a m nm++===．【领悟技法】1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．2．ba N ⇔＝ ab log N ＝ (a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用． 3．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化． 4．有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”．【触类旁通】【变式一】【2018河南豫南九校一模】27log cos4π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．1- B ．12- C ．12 D【答案】B【解析】1222227ππ1log cos cos log log 2442log -⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B ．【变式二】【2018河北衡水模拟】河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C考点2 对数函数的图象及其应用【2-1】【2018湖南张家界三模】在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【2-2】当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（）A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】B【解析】由0＜x ≤12，且log a x ＞4x ＞0，可得0＜a ＜1，由412＝log a 12可得a ＝22，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，若4x＜log a x ，则说明当0＜x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a ＞22．综上，可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1．【2-3】已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1] 【答案】D【解析】在(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，值域为(0,1]，在(0,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，值域是(,)-∞+∞，因此方程()f x k =有两个不等实根，则有(0,1]k ∈．【2-4】【2018山东济南一模】设1x ，2x 分别是函数()xf x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是A ．[)4,+∞B ．()4,+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞ 【答案】D【解析】()xf x x a -=-的零点1x 是方程xx a-=即1x a x=的解，()log 1a g x x x =-的零点是2x 是方程log 10a x x -=，即1l o g a x x =的解，即12,x x 是x y a =与log a y x =与1y x=交点,A B 的横坐标，可得1201,1x x <，x y a = 的图象与log a y x =关于y x =对称，1y x=的图象也关于y x =对称，,A B ∴关于y x =对称，设121211,,,,A x B x A x x ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于y x =对称点111',A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与B 重合，121211x x x x =⇒=，1212243x x x x x +=++23235x >>+=，124x x +的取值范围是()5,+∞，故选D ．【方法点睛】本题主要考查函数的零点、反函数的性质，函数零点问题主要有以下思路：（1）直接法，函数图象与横轴的交点横坐标；（2）转化为方程解的问题；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点问题，二是转化为(),y a y g x ==的交点问题．【领悟技法】1．log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2．涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零． 3．涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．【触类旁通】【变式一】【2018安徽安庆二模】函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()()log 11log {log 10 1log 0.a a a a x x x f x x x x x x x --<-+==--<<+>，，，，，故选C ．【变式二】【2018青海西宁一模】函数()()212log f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】令2(0)t x x t =->，则12log y t =是减函数，由复合函数知识知，只需求函数 2(0)t x x t =->的单调递减区间即可，而2(0)t x x t =->的单间区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故原函数的单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，选D ．考点3 对数函数性质及其应用【3-1】若2()120a a log a log a <<＋，则a 的取值范围是（）A ．(0，1)B ．⎝⎛⎭⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】由题意得0a >且1a ≠，故必有212a a >＋，又2()120a a log a log a <<＋，所以01a <<，同时21a >，∴12a >．综上，1(,1)2a ∈．【3-2】函数2()log )f x x =的最小值为_________．【答案】14-【领悟技法】1．比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数．2．对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零． 3．数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点．【触类旁通】【变式一】【2018北京顺义区二模】若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b << 【答案】C 【解析】0.81331log 0,log 9.12,1222,.2a b c a c b ==<=<=∴<< 故选C ．【变式二】若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【答案】[1，2)【解析】令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2)．．【变式三】已知函数()()8a f x log ax ＝－ (a >0，且a ≠1)，若()1f x >在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】8(1,)3易错试题常警惕易错典例：1．函数213log (43)y x x =-+的单调递增区间为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(0，＋∞) 易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误．温馨提醒：（1）复合函数的单调性，遵循“同增异减”；（2）注意遵循“义域优先”的原则．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”．因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果．【典例】【2017浙江温州中学3月模拟】已知函数，则函数的零点个数的判断正确的是（）A．当时，有4个零点；当时，有1个零点B．无论为何值，均有2个零点C．当时，有3个零点；当时，有2个零点D．无论为何值，均有4个零点【答案】A【解析】画出函数的图像如图，结合图像可知：由题设可得若，则问题转化为存在多少个的值使得函数值，且使得．则当时，因与函数的图像的交点的纵坐标为1，，即函数无零点；当时，存在唯一与函数的图像的交点的横坐标满足使得，故函数只有一个零点；当时，分别存在两个值使得与函数的图像的交点的横坐标满足题设，故函数有四个零点．应选答案A．。