高考数学-指数、对数函数
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最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思
维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目.
知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运
或 a>5( 5 －1).∴5( 5 －1)<a<10.
(3)∵5( 5 －1)<a<10,∴a=7
∴bn=2000(
7
n 1
) 2 .数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn－1.于
10
是当 bn≥1 时，Bn<Bn－1,当 bn<1 时，Bn≤Bn－1,因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn
x2
来自百度文库
x2
(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= 1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 3
得：x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为
( 3 ，log8 3 ). ［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn
位于函数 y=2000( a )x(0<a<1)的图象上，且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的 10
等腰三角形. (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式； (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围； (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和
≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(
7
n 1
) 2 ≥1 得：n≤20.8.∴n=20.
10
●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象 和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶 函数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(－∞,+∞),那么( ) A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)
难点 9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概
念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设
f(x)=log2
1 1
x x
,F(x)=
2
1
x
+f(x).
(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
B.g(x)= 1 ［lg(10x+1)+x］,h(x)= 1 ［lg(10x+1)－x］
2
2
C.g(x)= x ,h(x)=lg(10x+1)－ x
2
2
D.g(x)=－ x ,h(x)=lg(10x+1)+ x
2
2
2.(★★★★)当 a>1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( )
(1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；
(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知
识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标.
x1
x2
(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于
log2x1=
log8 x1 log8 2
= 3log8
x1 , log 2
x2
log8 x2 log8 2
3log8x2,所以
OC
的斜
率：k1= log2 x1 3log8 x1 ,
x2
x1
OD 的斜率：k2= log2 x2 3log8 x2 ，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.
二、填空题 3.( ★ ★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数
2 x
f(x)=
log
2
(
x
)
(x 0)
.则 f-－1(x－1)=_________.
(2 x 0)
4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分
钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时，桶 1
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点
A 的坐标.
(1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为
log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 log8 x1 log8 x2 ,点 C、D 坐标分别为
用相关的知识点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+ 1 ,∴bn=2000(
a
n 1
) 2.
2
10
(2)∵函数 y=2000( a )x(0<a<10)递减，∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2 10
为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( a )2+( a )－1>0,解得 a<－5(1+ 2 ) 10 10
(2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)> n ; n 1
(3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解.
●案例探究
［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.
维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目.
知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运
或 a>5( 5 －1).∴5( 5 －1)<a<10.
(3)∵5( 5 －1)<a<10,∴a=7
∴bn=2000(
7
n 1
) 2 .数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn－1.于
10
是当 bn≥1 时，Bn<Bn－1,当 bn<1 时，Bn≤Bn－1,因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn
x2
来自百度文库
x2
(2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= 1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 3
得：x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为
( 3 ，log8 3 ). ［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn
位于函数 y=2000( a )x(0<a<1)的图象上，且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的 10
等腰三角形. (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式； (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围； (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和
≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(
7
n 1
) 2 ≥1 得：n≤20.8.∴n=20.
10
●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象 和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶 函数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(－∞,+∞),那么( ) A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)
难点 9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概
念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设
f(x)=log2
1 1
x x
,F(x)=
2
1
x
+f(x).
(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
B.g(x)= 1 ［lg(10x+1)+x］,h(x)= 1 ［lg(10x+1)－x］
2
2
C.g(x)= x ,h(x)=lg(10x+1)－ x
2
2
D.g(x)=－ x ,h(x)=lg(10x+1)+ x
2
2
2.(★★★★)当 a>1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( )
(1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；
(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知
识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标.
x1
x2
(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于
log2x1=
log8 x1 log8 2
= 3log8
x1 , log 2
x2
log8 x2 log8 2
3log8x2,所以
OC
的斜
率：k1= log2 x1 3log8 x1 ,
x2
x1
OD 的斜率：k2= log2 x2 3log8 x2 ，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上.
二、填空题 3.( ★ ★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数
2 x
f(x)=
log
2
(
x
)
(x 0)
.则 f-－1(x－1)=_________.
(2 x 0)
4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分
钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时，桶 1
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点
A 的坐标.
(1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为
log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 log8 x1 log8 x2 ,点 C、D 坐标分别为
用相关的知识点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+ 1 ,∴bn=2000(
a
n 1
) 2.
2
10
(2)∵函数 y=2000( a )x(0<a<10)递减，∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2 10
为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( a )2+( a )－1>0,解得 a<－5(1+ 2 ) 10 10
(2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)> n ; n 1
(3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解.
●案例探究
［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.