高考数学：指数函数
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数
高考数学专题 指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。
考点2：对数函数 定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。
1>a 10<<a1>a 10<<a图 象性 质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。
(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。
(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。
在R 上是增函数。
在R 上是减函数。
考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数． 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。
2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。
【课堂精练】 1．=3log 9log 28（ ）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（ ）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（ ） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 。
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析高考数学中的幂函数和指数函数是非常重要的知识点。
这两种函数在数理化等学科中都有广泛的应用，因此在高考中也成为了不可忽视的重点。
掌握它们的性质，不仅可以解决一些基本的计算问题，还可以引申出很多思维难度较大的问题。
本文将对幂函数和指数函数的性质进行深入的解析。
一、幂函数的性质幂函数是一种非常基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = x^a$，其中$x$为自变量，$a$为指数。
幂函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：幂函数的定义域为$x>0$或$x<0$，即幂函数不能为负数。
2. 制图特点：当$a>1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递增；当$0<a<1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递减；当$a<0$时，幂函数的图像则关于$x$轴对称。
3. 奇偶性：当$a$为偶数时，幂函数关于$y$轴对称；当$a$为奇数时，幂函数关于原点对称。
4. 渐进线：当$a>0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$；当$a<0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$。
5. 导数规律：当$y=x^a$，则$\dfrac{dy}{dx}=ax^{a-1}$。
在幂函数的导数规律中，指数减1并乘以常数，就是导数。
以上是幂函数的几个常见性质，可以根据具体问题作出判断。
下面将重点介绍指数函数的性质。
二、指数函数的性质指数函数是另一种基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。
指数函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：指数函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，可以为任意实数。
2. 制图特点：当$0<a<1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递减，且关于$y$轴对称；当$a>1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递增。
3. 反函数：指数函数的反函数为对数函数，即$y = \log_{a}x$。
第二章 第4讲 幂函数、指数与指数函数-2025年高考数学备考
第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数学生用书P0291.幂函数（1）幂函数的概念一般地，函数①y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.（2）5种常见幂函数的图象与性质函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝12y ＝x－1定义域R R R ②{x ｜x ≥0}③{x ｜x ≠0}值域R ④{y ｜y ≥0}R {y ｜y ≥0}⑤{y ｜y ≠0}奇偶性奇函数⑥偶函数奇函数非奇非偶函数⑦奇函数单调性在R 上单调递增在（－∞，0）上单调递减，⑧在R 上单调递增⑨在（0，＋∞）上单调递增⑩在（－∞，0）和（0，＋∞）上单在[0，＋∞）上单调递增调递减图象过定点⑪（1，1）规律总结（1）幂函数y ＝x α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x 轴.注意幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.2.指数与指数运算（1）根式a.（）n ＝⑫a（n ∈N *，且n ＞1）.b.＝，为奇数，｜U,为偶数.（2）分数指数幂a.＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.b.－＝1＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.注意0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质a.a r·a s＝⑮ar ＋s（a ＞0，r ，s ∈R ）；＝⑯a r－s（a ＞0，r ，s ∈R ）；b.（a r ）s ＝⑰a rs（a ＞0，r ，s ∈R ）；c.（ab ）r ＝⑱a r b r （a ＞0，b ＞0，r ∈R ）.3.指数函数（1）指数函数的概念函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.（2）指数函数的图象和性质函数y ＝a x （a ＞1）y ＝a x （0＜a ＜1）图象性质函数的定义域为R ；值域为⑲（0，＋∞）.函数图象过定点⑳（0，1），即当x ＝0时，y ＝1.当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1.函数在R 上单调递㉑增.函数在R 上单调递㉒减.注意当指数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.规律总结1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a ），（－1，1），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.2.函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a －x 的图象关于坐标原点对称.3.如图，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：（π－4）2＋3（π－3）3＝（A ）A.1B.－1C.7－2πD.2π－7解析（π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.2.[多选]已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（BCD）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是增函数C.当x＞1时，f（x）＞1D.当0＜x1＜x2时，（1）＋（2）2＜f（1＋22）解析因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝12＝，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝的图象可知（1）＋（2）2＜f（1＋22），故D正确.故选BCD.3.函数f（x）＝a x－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，3）.4.已知函数f（x）＝a x＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－32.学生用书P031命题点1幂函数的图象与性质例1（1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（A）A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2解析如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，12，－12，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，12，－12，－2.故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则（A）A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.方法技巧1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.2.比较幂值大小的方法（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.训练1（1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f （x ）＝（m 2＋m －1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f （2）＝（A ）A.12B.2C.2D.22解析因为f （x ）为幂函数，所以m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝1，又f （x ）的图象与坐标轴无公共点，故m ＜0，所以m ＝－2，故f （x ）＝x －2，所以f （2）＝（2）-2＝12.故选A.（2）若（2m ＋1）12＞（m 2＋m －1）12，则实数m 的取值范围是[5－12，2）.解析因为函数y ＝12的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以2+1≥0，2＋－1≥0，2+1>2＋－1，m ＜2，所以实数m 2）.命题点2指数幂的运算例2计算：（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝－1679；解析原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－121＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.（2）若12＋－12＝3，则32＋－32－32＋－2－2＝13.解析由12＋－123，两边平方，得x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由（12＋－12）3＝33，得32＋312＋3－12＋－32＝27.∴32＋－32＝18，∴32＋－32－3＝15.∴32＋－32－32＋－2－2＝13.方法技巧指数幂的运算技巧运算顺序①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.运算基本原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.训练2（1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝2－12，10β＝3213，则1034＋12＝2.解析1034＋12＝（10）34×（10）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.（23B 2（1412）－1313＝（a ＞，b ＞0）.解析原式＝（321323）12B 2－1313＝32＋16－1+13·1+13－2－13＝.命题点3指数函数的图象及应用例3（1）已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是（B ）AB C D解析由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0，0＜a ＜1.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看作是把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数的图象与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a ∈R ，若关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，即曲线y ＝｜3x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，作出y ＝｜3x －1｜与y ＝2a 的图象，如图，易得a 的取值范围是（0，12）.命题拓展已知a ∈R ，若关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，即曲线y ＝｜a x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，y ＝｜a x －1｜的图象是由y ＝a x 的图象先向下平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的.当a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a ＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，得0＜a＜12.图1图2综上可知，a 的取值范围是（0，12）.方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略数形结合指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.变换作图对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.注意在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.训练3[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f （x ）＝a x －1－2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点M （m ，n ），则函数g （x ）＝m ＋x n 的图象不经过（D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵a 0＝1，∴f （x ）＝a x －1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m ＝1，n ＝－1，∴g （x ）＝1＋1，其图象不经过第四象限，故选D.命题点4指数函数的性质及应用角度1比较大小例4（1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c解析因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a ＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b ＞a＞c.故选D.（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝e－（－1）2.记a＝fb＝f c＝fA）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析f（x）＝e－（－1）2是由函数y＝e u和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝e u为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f（221，所以f＜f（2＜fb＞c＞a，故选A.方法技巧比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.数形结合法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.角度2解简单的指数方程或不等式例5[2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.（－4，0）B.（－4，0]C.（0，4）D.[0，4）解析因为不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，即3ax－1＜3－B2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则<0，Δ＝2+4<0，解得－4＜a＜0.综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.方法技巧解简单的指数方程或不等式问题的思路（1）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）.（2）①a f（x）＞a g（x）⇔>1，（）＞（）或0<<1，（）＜（p.②形如a x＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝a x 的单调性求解.角度3指数函数性质的应用例6已知函数f（x）＝（13）B2－4r3.（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，－2）；（2）若f（x）有最大值3，则a的值为1；（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为0.解析（1）当a＝－1时，f（x）＝（13）－2－4r3.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（13）u在R 上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（13）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.－1，（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.方法技巧1.形如y＝a f（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递减（增）区间.2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.训练4（1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝1－B（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（C）A.（0，12]B.（1，＋∞）C.（0，13]D.[13，12]解析由a＞0且a≠1，得y＝1－B在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤13，故a∈（0，13].故选C.（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（C）A.a a＜a b＜b aB.a a＜b a＜a bC.a b＜a a＜b aD.a b＜b a＜a a解析因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝a x（0＜a＜1）在R上单调递减，所以a a＞a b.因为函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以a a＜b a，所以a b＜a a＜b a.故选C.（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞32，则x的取值范围为（B）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.[3，＋∞）D.（－∞，－2）解析因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a ＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝32，f（2x－1）＞32，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（B）A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2C.f（x）＝x3D.f（x）＝13解析f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝13只满足性质③，f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.13＜（3－2）－13，则实数a的取值范围是（－∞，－1）2.[命题点1]若（+1）－∪（23，32）.解析由幂函数y＝－13的图象（图略）可知，不等式（+1）－13＜（3－2）－13等价于a ＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.3.[命题点2]（2312）·（－31213）÷（131656）＝－9a.解析（2312）·（－31213）÷（131656）＝－923＋12－16·12＋13－56＝－9a.4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（B）A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即x＝1log4n，由图可知，1log4n＞0，故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.5.[命题点4角度2]若22+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（B）A.[18，2）B.[18，2]C.（－∞，18）D.[2，＋∞）解析因为22+1≤（14）x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].故选B.6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝a e x－1x在R 上为增函数，则a＝（A）A.1B.－1C.2D.－2解析因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a ＝1时，f（x）＝e x－1e，定义域为R，因为函数y＝e x和y＝－1e在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－＝1e－e x＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－e x＋1e，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝e－1e+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则2＋1的最小值为4.解析因为对任意的x∈R，e x＋1＞0，所以函数f（x）＝e－1e+1的定义域为R.因为f（－x）＝e－－1e－+1＝1－e1+e＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.因为f（x）＝e+1－2e+1＝1－2e+1，且函数y＝e x＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝e－1e+1在R上为增函数.若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2，所以2＋1＝12（a＋2b）（2＋1）＝12（4＋＋4）≥12（4＋＝4，当且仅当=1，＝12时，等号成立，故2＋1的最小值为4.学生用书·练习帮P2671.[北京高考]已知函数f（x）＝3x－（13）x，则f（x）（A）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析因为f（x）＝3x－（13）x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－（13）－x＝（13）x－3x ＝－[3x－（13）x]＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.又y＝3x在R上是增函数，y＝（13）x 在R上是减函数，所以f（x）＝3x－（13）x在R上是增函数.故选A.2.[2024吉林省实验中学模拟]若a＝1.442，b＝1.23，c＝32，则（B）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b解析 1.44＜3，故1.442＜32，即c＞a.1.442＝（1.22）2＝1.222＞1.23，即a ＞b.故c＞a＞b.故选B.3.[2024山东青岛模拟]函数f（x）＝ax2＋2x＋1与g（x）＝x a在同一直角坐标系中的图象不可能为（B）A BC D解析对于A，抛物线开口向下，所以a＜0，不妨取a＝－1，此时g（x）＝1，符合；对于B，抛物线开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝x a在（0，＋∞）上单调递增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝12，此时g（x）＝，符合；对于D，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝2，则g（x）＝x2，符合.故选B.4.设函数f（x）＝（12－7，<0，，≥0，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（C）A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为（12）a－7＜1，即（12）a＜8，即（12）a＜（12）－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是（－3，1）.故选C.5.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）－（2a－6）x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，4）B.（－∞，4]C.[6，＋∞）D.（－∞，4]∪[6，＋∞）解析因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f（x）＝x－1，该函数是定义域为{x｜x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，则g（x）＝x2－（2a－6）x，其图象的对称轴为x＝a－3，因为g（x）在区间[1，3]上单调递增，则a－3≤1，解得a≤4.故选B.6.[多选]设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列结论中正确的是（ACD）A.f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）B.f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）C.（1）－（2）1－2＞0D.f （1＋22）＜（1）＋（2）2解析21＋2＝21·22，所以A 正确；21·2≠21＋22，所以B 不正确；函数f （x ）＝2x在R 上是增函数，若x 1＞x 2，则f （x 1）＞f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，所以C 正确；f （1＋22）＜（1）＋（2）2说明x ＝1＋22时的函数值小于点（x 1，f （x 1））与（x 2，f （x 2））的中点的纵坐标，通过f （x ）＝2x 的图象可知，满足条件，所以D 正确.7.已知幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）的图象关于y 轴对称，且f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，实数a 满足（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，则a 的取值范围是（－1，4）.解析∵幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）在（0，＋∞）上单调递减，∴p 2－2p －3＜0，解得－1＜p ＜3.∵p ∈N *，∴p ＝1或p ＝2.当p ＝1时，f （x ）＝x －4为偶函数，满足条件.当p ＝2时，f （x ）＝x －3为奇函数，不满足条件.则p ＝1.不等式（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，即（a 2－1）13＜（3a ＋3）13，∵y ＝13在R 上为增函数，∴a 2－1＜3a ＋3，解得－1＜a ＜4.8.[2024河南南阳模拟]已知函数f （x ）＝｜3x －1｜，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），则下列结论中一定成立的是（D）A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b ≥0，c ＞0C.3－a ＜3cD.3a ＋3c ＜2解析作出f （x ）的图象，如图所示.因为a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），所以a ＜b ＜0，且存在b'＞0，使f （b ）＝f （b'），则b ＜c ＜b'，即b ＜0＜c ＜b'或b ＜c ＜0＜b'，故排除A ，B ；取a ＝－1，c ＝0，可排除C ；当c ＞0时，f （a ）＝1－3a ＞f （c ）＝3c －1，所以3a ＋3c ＜2，当c ≤0时，3a ＜1，3c ≤1，则3a ＋3c ＜2，故D 一定成立.9.[2024广东省深圳市人大附中模拟]已知α∈（π4,π2）,a ＝（cos α）sin α，b ＝（sin α）cos α，c ＝（cos α）cos α，则（A）A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c解析已知α∈（π4，π2），则0＜cosα＜sinα＜1，因为y＝（cosα）x是减函数，所以c＝（cosα）cosα＞（cosα）sinα＝a；因为幂函数y＝x cosα在（0，1）上是单调递增的，所以c＝（cosα）cosα＜（sinα）cosα＝b，故b＞c＞a.故选A.10.[2024广西南宁三中模拟]设函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),若a＝ln2，b＝30.2，c＝log0.32，则（D）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析∵函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),∴当x＞0时，由y＝2－x和y＝－2x在定义域上单调递减，得f（x）＝－2x＋2－x在（0，＋∞）上单调递减，当x≤0时，f（x）＝－x3单调递减，又－20＋2－0＝－03＝0，∴函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0）在R上单调递减，∵0＜a＝ln2＜1，b＝30.2＞30＝1，c＝log0.32＜0，∴c＜a＜b，∴f（c）＞f（a）＞f（b）.故选D. 11.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数f（x）＝2－12+1，则下列说法正确的是（AC）A.f（x）为奇函数B.f（x）为减函数C.f（x）有且只有一个零点D.f（x）的值域为[－1，1]解析∵函数f（x）＝2－12+1，x∈R，∴f（－x）＝2－－12－+1＝－2－12+1＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确；∵f（x）＝2－12+1＝1－22+1，且y＝2x＋1在R上单调递增，∴f（x）＝1－22+1在R上为增函数，故B错误；令f（x）＝0，则2x－1＝0，得到x＝0，∴f（x）有且只有一个零点，故C正确；∵f（x）在R上为增函数，令y＝2－12+1，则2x＝1+1－，∵2x＞0，∴1+1－＞0，即（1＋y）（y－1）＜0，解得－1＜y＜1，∴f（x）∈（－1，1），故D错误.故选AC.12.[情境创新/2024重庆统考]数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：Q＝AKαL1－α，其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A 为一个正值常数，可以解释为技术的作用；α∈（0，1），表示资本投入在产值中占有的份额，1－α表示劳动投入在产值中占有的份额.经过实际数据的检验，形成更一般的关系：Q ＝A12，α1∈（0，1），α2∈（0，1），则（A）A.若α1＝0.6，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍B.若α1＝0.5，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍C.若α1＝0.4，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍D.若α1＝0.5，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍解析若α1＝0.6，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.6L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.6（2L）0.5＝21.1AK0.6L0.5＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，即收益增加多于一倍，故A正确；若α1＝0.5，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.5L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.5＝2AK0.5L0.5＝2Q1，收益为原来的2倍，故B错误；若α1＝0.4，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.4L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.4·（2L）0.6＝2AK0.4L0.6＝2Q1，收益为原来的2倍，故C错误；若α1＝0.5，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.5L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.6＝21.1AK0.5L0.6＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，收益增加多于一倍，故D错误.故选A.。
高考数学 指数函数、对数函数 讲解
logbN= loga N (a,b均大于0且不等于1,N>0)
logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
条件
a>0且a≠1,M>0,N>0
结论
loga(MN)=logaM+logaN
M
loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R)
1
1
+m=-
2
1 x
1
+m+1,因为函数y=2x+1为R上的
增函数,所以y=- 1 为R上的增函数,所以f(x)在R上单调递减是不正确
2x 1
的,所以C不正确;
对于D,当m=0时,f(x)= 2x =1- 1 ,
2x 1 2x 1
由2x+1>1,可得-1<- 1 <0,所以1- 1 ∈(0,1),即函数f(x)的值域为(0,1),
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域 性质
过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数
(0,+∞) R
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
故a的取值范围为[36,+∞).
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
高考常用函数知识点汇总
高考常用函数知识点汇总函数是数学中非常重要的一个概念，也是高考中常常出现的考点。
理解和掌握常用函数的知识点对于高考数学题目的解答非常有帮助。
本文将对高考常用的函数知识点进行汇总，以帮助同学们更好地备考。
一、一次函数一次函数是最基本的函数之一，其定义域为全体实数。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。
一次函数的图像为一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的函数之一，其定义域为全体实数。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像为一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数的幂函数，其定义域为全体实数。
指数函数的一般形式为y = a^x，其中a是正常数且a ≠ 1。
指数函数的特点是呈现指数递增或递减的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度。
四、对数函数对数函数是指数函数的逆函数，其定义域为x > 0。
对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a是正常数且a ≠ 1。
对数函数的特点是呈现递增或递减的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度。
五、三角函数三角函数是研究角及其变化规律的函数，其定义域为全体实数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图像为周期性的波动曲线，其周期和振幅由函数的参数决定。
六、反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，其定义域由对应的三角函数确定。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的图像可通过对应的三角函数的图像通过y = x镜像得到。
七、指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，其定义域由对应的函数确定。
常见的指数对数函数有指数对数函数、指数对数对函数和对数指数函数。
这些函数的图像由对应的指数函数和对数函数的图像组合而成。
高考数学中的指数函数基本性质及应用
高考数学中的指数函数基本性质及应用数学是一门高考的重要科目，其中指数函数是重点考察的内容之一。
指数函数在应用中有着广泛的用途，因此，了解指数函数的基本性质和应用是做好高考数学的关键。
本文将介绍指数函数的定义、性质和应用，帮助大家全面地了解指数函数。
1. 定义指数函数是一种以常数a为底的数学函数，其形式为y=a^x，其中x为自变量，y为因变量，a为正实数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集，其值域为正实数集。
2. 基本性质2.1 增减性当0<a<1时，指数函数y=a^x呈现为递减函数；当a>1时，指数函数y=a^x呈现为递增函数。
这是因为指数函数具有单调性，当底数a>1时，指数函数单调递增，当底数0<a<1时，指数函数单调递减。
2.2 奇偶性当指数函数满足a=-1时，指数函数为奇函数；当指数函数满足a=1时，指数函数为常函数；当指数函数满足a>1或0<a<1时，指数函数为偶函数。
2.3 对数函数的性质指数函数与对数函数是相互关联的，其性质如下：（1）指数函数和对数函数互为反函数。
（2）logaA=x 的意义是a^x=A，其中A>0，a>0且a≠1。
（3）对数函数与指数函数具有相同的基本性质。
3. 应用指数函数在实际应用中有着广泛的用途，如：3.1 复利问题在投资、贷款等领域中，复利问题是比较常见的，此时就可以利用指数函数的性质求解。
例如，在一年后，本金10000元，年利率为5%的情况下，3年后的本金是多少？根据复利公式，得到本金为10000 ×（1+0.05）^3 ≈ 11576.25。
3.2 科学计数法指数函数常常被用于科学计数法中。
科学计数法是一种标识极大或极小的物理数值的方法，特点是用10^x的形式表示数值。
例如，太阳距离地球约为1.496×10^8千米。
3.3 生物增长模型在生物学中，指数函数也有着重要应用。
高中数学解题技巧之指数函数求解
高中数学解题技巧之指数函数求解在高中数学中，指数函数是一个重要的内容，也是学生们经常遇到的难点之一。
指数函数的求解需要掌握一些基本的解题技巧，本文将介绍一些常见的指数函数求解方法，并通过具体题目进行说明和分析，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这些技巧。
一、指数函数的基本性质在开始讲解指数函数的求解技巧之前，我们首先需要了解一些指数函数的基本性质。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数a大于0且不等于1，且函数图像是递增的。
在解题过程中，我们需要利用指数函数的性质来进行计算和推导。
二、指数函数的求解技巧1. 指数函数的幂运算在指数函数的求解中，我们经常需要进行幂运算。
当底数相同，指数相加或相减时，可以利用指数运算的性质进行简化。
例如，计算2^3 * 2^4，可以将底数相同的两个指数相加，得到2^(3+4) = 2^7。
这样，我们可以简化计算过程，得到最终的结果。
2. 指数函数的对数运算对数是指数函数的逆运算，可以帮助我们解决一些指数函数的求解问题。
当我们需要求解指数函数的指数时，可以利用对数运算来简化计算。
例如，对于方程2^x = 8，我们可以将其转化为对数方程log2(8) = x。
通过对数运算，我们可以得到x = 3。
因此，指数函数的求解可以转化为对数方程的求解，从而简化计算过程。
3. 指数函数的性质运用在指数函数的求解中，我们还可以利用指数函数的性质来进行推导和计算。
例如，当指数函数的底数为e时，我们可以利用自然对数的性质来求解问题。
自然对数的底数e约等于2.71828，它具有很多特殊的性质。
例如，e^x = e^(x+y)可以简化为e^x = e^x * e^y，从而得到e^y = 1。
通过利用自然对数的性质，我们可以简化指数函数的计算过程。
三、具体题目的解析为了更好地理解和应用指数函数的求解技巧，我们来看几个具体的题目，并进行详细的解析和分析。
指数函数-高考数学复习
数.
（
√
目录
）
2. （多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（
）
A. y ＝ x 2
D. y ＝3 x －1
C. y ＝2 x
解析：
2
2
y ＝ x 的值域为[0，＋∞）； y ＝ 的值域为（－∞，
0）∪（0，＋∞）； y ＝2 x 的值域为（0，＋∞）； y ＝3 x －1的值域
为（0，＋∞）.
解析：由结论2，在函数 y ＝ ax －1－1中，当 x ＝1时，恒有 y ＝0，即
函数 y ＝ ax －1－1的图象恒过定点（1，0）.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
指数函数的图象及应用
【例1】
（1）函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常
1
解析：依题意，当 x ∈（0， ）时， y ＝ ax 与 y ＝
2
1
1
有交点，作出 y ＝ 的图象，如图，所以
൝
> 1，
1
2
> 2，
解得 a ＞4.
目录
指数型函数性质的综合问题
【例4】 （2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数 f （ x ）＝2 x （ x － a ）在区间
（0，1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（
解析： 由题意知 a ＞1，所以 f （－4）＝ a 3， f （1）＝ a 2，由指
数函数的单调性知 a 3＞ a 2，所以 f （－4）＞ f （1）.
目录
2. 若函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，则（
高考数学中的指数函数基本概念及应用
高考数学中的指数函数基本概念及应用指数函数是一种常见的数学函数，也是高考数学中重要的一部分。
理解指数函数的基本概念和应用非常重要，能够帮助考生更好地掌握数学知识，提高数学成绩。
本文将详细介绍指数函数的基本概念及应用。
一、什么是指数函数指数函数是以一个正实数作为底数，以变量为指数的函数。
一般表示为y=a^x，其中a>0且a≠1。
以2^x为例，当x为0时，2^0=1；当x为1时，2^1=2；当x 为2时，2^2=4……指数函数的图像一般为一条单调递增或递减的曲线，并且经过点(0,1)。
二、指数函数的基本性质指数函数有许多重要的基本性质，掌握这些性质是理解指数函数的关键。
1、当a>1时，指数函数(0,+∞)单调递增；当0<a<1时，指数函数(0,+∞)单调递减。
2、指数函数在原点处必过点(0,1)，即当x=0时，y=a^0=1。
3、当a>1时，指数函数具有水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数具有水平渐近线y=+∞。
4、对于任意正整数m,n，a^m*a^n=a^(m+n)，即同底数幂相乘是底数不变指数相加。
5、对于任意正整数m,n(k≠0)，(a^m)^n=a^(mn)，即指数的幂次等于幂次的指数。
三、指数函数的常用变形在实际应用中，为方便计算，我们常常要对指数函数进行基本变形，其中最常见的有以下几种：1、y=a^x+b，a>0且a≠1，b∈R。
这是指数函数的平移变形，可以将原来单调递增或递减的图像沿y轴向上或向下平移b个单位。
2、y=(a+b)^x，a,b>0且a≠b。
这是指数函数的合成变形，可以将两个指数函数的图像合并成一个新的图像。
3、y=a^(x+b)，a>0且a≠1，b∈R。
这是指数函数的左右平移变形，可将原来单调递增或递减的图像沿x轴向左或向右平移b个单位。
四、指数函数的应用指数函数广泛应用于自然科学、社会科学等领域，深化对指数函数的理解，有助于我们更好地应用于实际问题的解决。
指数函数-高考数学复习
考向4 指数型函数的综合应用
2
1 -2-3
f(x)=(3)
的图象经过点(3,1),
例 5(多选题)(2024·重庆云阳模拟)若函数
则( AC )
A.a=1
B.f(x)在(-∞,1)内单调递减
1
C.f(x)的最大值为 81
D.f(x)的最小值为81
解析 对于 A,由题意
1 9a-6-3
f(3)=( )
解析 若a>1,则f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)max=f(0)=a=2,即a=2;
若0<a<1,则f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)min=f(-1)=a-1=2,
即
1
a= .综上,a=2
2
或
1
a= .
2
考向2 比较幂值的大小
例3(1)(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),
则a,b,c的大小关系为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
解析 依题意,21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,而函数f(x)=ex在R上单调递增,
因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C.
(2)(2024·辽宁大连模拟)已知
e +1
1-()
1-()
当-1<f(x)<0 时,[f(x)]=-1;当 0≤f(x)<1 时,[f(x)]=0,
因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选 B.
指数函数高考知识点总结
指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。
指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。
一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
它的定义域是实数集，值域是正实数集。
指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。
指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。
2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。
3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。
4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。
5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。
二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。
自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。
2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。
三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。
在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。
2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。
放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。
第04讲 指数与指数函数(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
(1)一般地，如果xn＝a，那么 x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
n
(2)式子 a叫做 根式 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
n
(3)( a)n＝ a .
2、根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．
【答案】10
【解析】由题可知，1 , 2 也是 = 2 , = log 2 与 = − + 10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知，1 , 2 为, 两点对应的横坐标；
根据指数函数和对数函数的性质可知， = 2 , = log 2 关于 = 对称；
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【答案】C
【解析】因为函数 = () =
1
( )
2
+
1 0
图象过原点，所以( )
2
+ = 0，
得 + = 0，又该函数图象无限接近直线 = 2，且不与该直线相交，
所以 = 2，则 = −2，所以 = −4．故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、
【解析】（1）原式=
49
9
1
2
2
+ 10 +
+ 2
1
1
2 + 2
2 + 2
64
27
2
3
10
27
2
3
− 100π0 ；
的值．
7
高考数学复习：指 数 函 数
【解析】①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,
a1 b＝1，
则
a
0
b＝无0，解.
②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,
则
a a
1 b＝解0，得
0 b＝1，
答案:- 3
2
所a以＝a12，+b=- .
3 2
b＝ 2，
考点三
【对点练通】 1.已知f(x)=2x+2-x,f(m)=3,且m>0,若a=f(2m),b=2f(m),c=f(m+2),则a,b,c的大 小关系为 ( ) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.b<a<c
4
答案:
3 4
,
2
≤b3·f(a)<2.
4
C. 6a b
D. 6ab
【解析】选C.原式=
4
2 3
a
b ＝ 2
3
1 3
12 33
6ab1
6a b
.
2.(2019·唐山模拟)若函数f(x)=
ex1，x 1，
5
x 2，x
1，
则f(f(2))= ( )
A.1
B.4
C.0
D.5-e2
【解析】选A.由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,
【解析】选D.由于f(m)=2m+2-m=3,
所以2f(m)=6,f(2m)=(2m+2-m)2-2=7.
因为f(x)=2x+2-x,
所以f′(x)=2xln 2-2-xln 2=(2x-2-x)ln 2,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,
高考数学考点归纳之 指数函数
高考数学考点归纳之 指数函数 一、基础知识 1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．考点一 指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )(2)若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求． (2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k 的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清]1.[变条件]本例(1)中的函数f (x )变为：f (x )＝2|x －1|，则f (x )的大致图象为( )解析：选B f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B 正确．2.[变条件]本例(2)变为：若函数f (x )＝|3x －1|－k 有一个零点，则k 的取值范围为________． 解析：函数f (x )有一个零点，即y ＝|3x －1|与y ＝k 有一个交点，由典例(2)得y ＝|3x －1|的图象如图所示，故当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以函数f (x )有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)3．若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围． 解：y ＝21－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示， 则要使其图象不经过第一象限， 则m ≤－2.故m 的取值范围为(－∞，－2]．考点二 指数函数的性质及应用考法(一) 比较指数式的大小[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A. [答案] A考法(二) 解简单的指数方程或不等式[典例] (2019·西安质检)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．[解析] ∵f (x )为偶函数，当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． [答案] {x |x >4或x <0} [解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略(1)a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x )．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(三) 指数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g ⎝⎛⎭⎫2a ＝3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝a f (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；(2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”．[题组训练]1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12221＋－x x 的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4]D ．[4，＋∞)解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t . 因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数． 因为t ＝()x ＋12－2≥－2， 所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．2．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：选D 因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1，所以M >N .4．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．解析：当a <1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a >1时，代入可知不成立．所以a 的值为12.答案：12[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1,6)．3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .4．(2019·南宁调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12-2x x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D.5.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：选D 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向左平移得到的，所以b <0.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·深圳摸底)已知a ＝⎝⎛⎭⎫13 3.3，b ＝⎝⎛⎭⎫13 3.9，则a ________b ．(填“<”或“>”) 解析：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，所以⎝⎛⎭⎫13 3.3>⎝⎛⎭⎫13 3.9，即a >b . 答案：>8．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3,2]上的值域是________． 解析：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，由x ∈[－3,2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤34，57. 答案：⎣⎡⎦⎤34，57 9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－3210．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． 解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x －2＝0，令⎝⎛⎭⎫12x＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值是94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 在R 上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级1．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)解析：选B 函数f (x )＝e x －1ex 的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)．2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12(a x －1)＞0，则a x ＞1.又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.。
高职高考指数函数知识点
高职高考指数函数知识点在高职高考数学中，指数函数是一个非常重要的知识点。
本文将从指数函数的定义、性质以及应用等方面，简要介绍高职高考涉及的指数函数知识点。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数的指数与自变量的幂次关系而定义的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的定义中，底数a可以为任意实数，但当a>0且a≠1时，指数函数才是一种特殊的函数形式，也是高职高考中所关注的指数函数。
二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数集R，值域为(0,+∞)。
2. 单调性：当0<a<1时，指数函数单调递减；当a>1时，指数函数单调递增。
3. 与指数幂和乘方函数的关系：- 对于底数a>0且a≠1，指数函数f(x)=a^x与指数幂函数f(x)=a^m（m为整数）的定义域均为全体实数集R，并且具有相同的增减性质。
- 指数函数f(x)=a^x与乘方函数f(x)=x^m（m为正偶数）的图象关于y轴对称。
三、指数函数的应用1. 生活中的应用：- 金融领域：复利计算中，投资本金与时间的关系可以用指数函数来表示。
- 科学领域：在自然界的许多现象中，往往跟时间的增长呈指数规律变化，如放射性元素的衰变、细菌的繁殖等。
- 经济领域：人口增长、市场营销、市场份额等都存在着指数函数的规律。
2. 题型分析与解题方法：- 基本指数函数的性质运用：根据指数函数的基本性质，解题过程中常用到的方法有：配方、比较、取对数化简等。
- 正题型与反题型：在指数函数题型中，存在着正题型和反题型。
正题型是已知指数、底数或函数的特点，求解指数函数的函数值或解析式；反题型则相反，已知函数值或函数的特点，求解指数或底数等。
四、典型例题分析下面通过几个典型的高职高考指数函数题来进行分析和解答。
例题一：若指数函数f(x)=2^x中存在两个整数x1、x2（x1<x2），使得2^(x1+x2)=8，则x1、x2的值分别为多少？解析：根据指数函数的性质，指数为x1的函数值为2^x1，指数为x2的函数值为2^x2。
高考数学考点：指数函数、函数奇偶性
高考数学考点：指数函数、函数奇偶性
高考数学考点：指数函数、函数奇偶性
在生活中，许许多多的数值组成了我们的生活。
以下是查字典数学网为大家整理的高考数学考点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性
注图：(1)为奇函数(2)为偶函数
们学习进步。
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指数函数
一、选择题（共17小题；共85分）
1. 已知 a =(−12)−1
，b =2−12
，c =(12)−1
2
，d =2−1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b
C. c
D. d
2. 已知 a =
√5−1
2
，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( )
A. m +n <0
B. m +n >0
C. m >n
D. m <n 3. 已知函数 f (x )=5∣x∣，g (x )=ax 2−x (a ∈R )．若 f [g (1)]=1，则 a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3
D. −1
4. 函数 y =3x 与 y =3−x 的图象关于下列哪条直线对称 ( )
A. x 轴
B. y 轴
C. 直线 y =x
D. 直线 y =−x
5. 设 a =3e ，b =πe ，c =π3，其中 e =2.71828⋯ 为自然对数的底数，则 a ，b ，c 的大小关系是
( )
A. a >c >b
B. a >b >c
C. c >a >b
D. c >b >a
6. 函数 y =(12)
2x−x
2
的值域为 ( )
A. [1
2,+∞) B. (−∞,1
2]
C. (0,1
2]
D. (0,2]
7. 若函数 y =a x −(b +1)(a >0,a ≠1) 的图象在第一、三、四象限，则有 ( )
A. a >1 且 b <1
B. a >1 且 b >0
C. 0<a <1 且 b >0
D. 0<a <1 且 b <0
8. 设 y 1=40.7，y 2=80.45，y 3=(12
)
−1.5
，则 ( )
A. y 3>y 1>y 2
B. y 2>y 1>y 3
C. y 1>y 2>y 3
D. y 1>y 3>y 2 9. 若 x >y >1，0<a <b <1，则下列各式中一定成立的是 ( )
A. x a >y b
B. x a <y b
C. a x <b y
D. a x >b y 10. 函数 f (x )=a x−1+4（a >0，且 a ≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是 ( ) A. (5,1) B. (1,5) C. (1,4)
D. (4,1)
11. 下列各式比较大小正确的是 ( )
A. 1.72.5>1.73
B. 0.6−1>0.62
C. 0.8−0.1>1.250.2
D. 1.70.3<0.93.1
12. 已知实数 a ，b 满足等式 2017a =2018b ，下列五个关系式：① 0<b <a ；② a <b <0；③
0<a <b ；④ b <a <0；⑤ a =b ．其中不可能成立的关系式有 ( ) A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
13. 已知函数 f (x )=a x−2+2 的图象恒过定点 A ，则 A 的坐标为 ( )
A. (0,1)
B. (2,3)
C. (3,2)
D. (2,2)
14. 若函数 f (x )=a x （a >0，且 a ≠1）的图象经过点 P (2,1
)，则 f (−1) 等于 ( )
A. √22
B. √2
C. 1
4
D. 4
15. 已知 p:∃x >0，e x −ax <1 成立，q: 函数 f (x )=−(a −1)x 是减函数，则 p 是 q 的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 16. 设 0<a <1，e 为自然对数的底数，则 a ，a e ，e a −1 的大小关系为 ( )
A. e a −1<a <a e
B. a e <a <e a −1
C. a e <e a −1<a
D. a <e a −1<a e
17. 已知定义在 R 上的函数 f (x )=2∣x∣，记 a =f (log 0.53)，b =f (log 25)，c =f (0)，则 a ，b ，c 的
大小关系为 ( )
A. a <b <c
B. c <a <b
C. a <c <b
D. c <b <a
二、填空题（共7小题；共35分） 18. 已知 a =√5−1
2
，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n )，则 m ，n 的大小关系
为 ．
19. 已知 22x−7<2x−3，则 x 的取值范围为 ． 20. 函数 f (x )=a x−1−2 恒过定点 ．
21. 已知指数函数 f (x )=a x （a >0，且 a ≠1）的图象经过点 (3,8)，则 f (1)= ． 22. 函数 f (x )=2a x+1+3（a >0 且 a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
23. 下列四个函数中，在区间 (0,1) 上是减函数的有 个．
① y =log 2x ；② y =1
x ；③ y =−(12)x
；④ y =x 1
3．
24. 已知函数 f (x )=x −(12)x ，则使 f (2−3x )>f (x ) 的 x 的取值范围是 ．
三、解答题（共4小题；共52分） 25. 判断下列函数是否为指数函数：
（1）y =(x )1
3； （2）y =(−3)x ； （3）y =−3x ； （4）y =(π−3)x ．
26. 解不等式 (12)
x 2
−2x+3
<(12
)
2x 2
+3x−3
．
27. （1）函数 f (x )=(a 2−7a +7)a x 是指数函数，求实数 a 的值． （2）已知指数函数 f (x ) 的图象经过点 (2,4)，求 f (1
2)+f (−1
2)．
28. 已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b
是奇函数．
2x+1+a
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．。