2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)

A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝
ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除 A，
二、 知识梳理
1.对数的概念 一般地，对于指数式 ab＝N，我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN，即 b＝logaN(a>0，且 a≠1).其中，数 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且 a≠1).
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
即 x∈[0，2]时，3－ax>0 恒成立. ∴3－2a>0.∴a<3.
2 1，3
又 a>0 且 a≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪ 2 . (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数 t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为 3－2a，f(x)最大值为 f(1)＝loga(3－a)，
a<3，
3－2a>0，
2
∴
即 loga（3－a）＝1，
a＝3.
2
故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为 1.
规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的
值；如果不存在，请说明理由.
【解析】 (1)∵a>0 且 a≠1，设 t(x)＝3－ax，
则 t(x)＝3－ax 为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为 3－2a，
当 x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
(2)当 x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，则 a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(1，2]
0，1 D. 2
【解析】 (1)由 f(x)在 R 上是减函数，知 0<a<1.
又 y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当 x>1 时，y＝loga(x－1)的图象由 y＝logax 向右平移一个单位得到.因此选项 D 正确.
为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y＝1 交点的横坐标进行判定.
5.在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y＝logax 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决
所以 log2
x log22
y
1 ，即 log2
x
1 2
log
2
y
log2
x log2
1
y2
1 log2 xy 2
1，
所以
1
xy 2
2
，两边平方得
x2 y
4.
4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数 y
1 log0.5 (4x 3) 的定义域为（ ）
3
A．（ ，1）
4
3
B．（ ，∞）
故
1 x1
1 x4
2 1 a2b
，1 x2
1 x3
2 1 a2b
；
）
D．随 a 值变化
故1 x1
1 x2
1 x3
1 x4
2 1a 2b
1
2 a
2b
2 1a 2b
2 a2b a 2b 1
2
7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{an} 的各项均为正数，且 a5a6 a4a7 18 ，则
2
(2)计算：（1－log63）2＋log62·log618＝________. log64 1
【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×1001＝lg 22×52 ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 2
1－2log63＋(log63)2＋log6 6·log6(6×3)
(2)原式＝
于底数 a 与 1 的大小关系，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时，要分 0<a<1 与 a>1 两种情况讨论.
6.在运算性质 logaMα＝αlogaM 中，要特别注意条件，在无 M>0 的条件下应为 logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α为 偶数). 7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
当 0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于
直线 y＝x 对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝log1ba；(2)logambn＝mn logab. 其中 a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1，m，n∈R.
4
C．（1，+∞）
3
D．（ ，1）∪（1，+∞）
4
【答案】A
【解析】由
l4oxg0.53(4x0
3)
0
解得
3Fra Baidu bibliotek4
x
1 ，所以原函数的定义域为
(
3 4
,1)
．
5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数 a 2ln2 ， b 2 2ln2 ， c (ln2)2 ，则 a，b，c 的大小关系
2021 年新高考数学一轮专题复习 第 09 讲-对数与对数函数
一、 考情分析
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数(a>0，且 a≠1)．
f
x1
f
x2
f
x3
f
x4 ，则
1 x1
1 x2
1 x3
1 x4
（
A． 2
B． 4
【答案】A
【解析】不妨设 a＞1 ，
C． 8
则令 （f x） loga x 1 b＞0 ，
则 loga x 1 b 或 loga x 1 b ；
故 x1 ab 1，x2 ab 1，x3 ab 1，x4 ab 1，
3
log64
＝1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2 log64
＝2(1－log63)＝log66－log63＝log62＝1.
2log62
log62
log62
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最 简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、 幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用 【例 2-1】 (1)若函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)在 R 上为减函数，则函数 y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当 x 0 时，y＝ln|x|＋1 的图象由 y ln x 向上平移一个单位，故选 A
3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若 log2 xlog4 y 1，则（ ）
A． x2 y 2
B． x2 y 4
C． xy2 2
D． xy2 4
【答案】B
【解析】由于 log2 xlog4 y 1，
B；又 f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，C 正确，D 错误.
答案 C
【例 3－2】 (1)(一题多解)已知 a＝log2e，b＝ln 2，c＝log11，则 a，b，c 的大小关系为( ) 23
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
四、 课时作业
1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设
a
log8 log 2
9 3
，则实数
a
的值为（
）
3
A．
2
2
B．
3
C．1
D． 2
【答案】B
【解析】由题可知， a
log8 9
log23 32
2 3
log
2
3
2
log2 3 log2 3 log2 3 3
2．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数 y＝ln|x|＋1 的图象大致为 （ ）
(2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga mMn＝mn logaM(m，n∈R，且 m≠0). (3)换底公式：logbN＝llooggaaNb(a，b 均大于零且不等于 1). 3.对数函数及其性质
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
是( )
A． c a b C． b a c
【答案】A
B． c b a D． a c b
【解析】因为 0 ln2 1 所以 1＜ 2ln2 ＜2，2+2ln2＞2，0＜ (ln2)2 ＜1，
∴c＜a＜b． 故选 A．
6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数 f x loga x 1 (a 0, a 1) ，若 x1< x2< x3< x4 ，且
(2)由题意得 a>0 且 a≠1，故必有 a2＋1>2a，
又 loga(a2＋1)<loga2a<0，所以 0<a<1，
同时
2a>1，∴a>1.综上，a∈
1，1 2
.
2
【例 3－3】 已知函数 f(x)＝loga(3－ax).
(1)当 x∈[0，2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；
(1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋
∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性质
当 x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当 x>1 时，y>0；
当 x>1 时，y<0；
当 0<x<1 时，y<0
(2)若 loga(a2＋1)<loga2a<0，则 a 的取值范围是( )
A.(0，1) 1，1
C. 2
0，1 B. 2 D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】 (1)法一 因为 a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log11＝log23>log2e＝a>1，所以 c>a>b. 23
法二 log11＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数 y＝log2x，y＝ln x 的图象，由图知 c>a>b. 23