实变函数与泛函分析初步-江苏教育考试院
实变函数与泛函分析基础ppt课件
n
n
令f
(x)
i 1
ci Ei (x)(其中E
i 1
Ei
,
Ei可测且两两不交）
0, 及每个Ei，作Ei中的闭子集Fi，使m(Ei
Fi
)
n
(i 1,2, , n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
n
n
n
n
n
m( i 1
Ei
i 1
Fi
)
m(( i 1
Ei
Fi ))
i 1
m( Ei
Fi )
6 i 1
n
(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)，
利用(1)的结果知
0, 及每个n (x)，存在闭集Fn E，
使m(E
Fn )
),当x
(ai
,
bi
),
ai
,
bi有限,,
f
(ai
),
f (bi ),
当x (ai ,bi ),bi , 当x (ai ,bi ),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p1091）
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0, 闭集F E，
2n
且n (x)在Fn上连续
பைடு நூலகம்
令F
n 1
Fn，则F
E，且m(E F )
m(E Fn )
n 1
n 1
实变函数与泛函分析概述
实变函数与泛函分析概述实变函数是数学中一类重要的函数，与泛函分析有紧密的联系。
本文将对实变函数与泛函分析进行概述，并介绍它们的基本概念和主要应用。
一、实变函数概述实变函数是定义在实数集上的函数。
它们通常涉及到实数域上的极限、连续性、可导性等性质。
实变函数的研究对于数学和物理学等领域都具有重要的意义。
1.1 实变函数的定义实变函数可以根据其定义域和值域的不同进行分类。
常见的实变函数包括数列极限、函数极限、连续函数、可导函数等。
1.2 实变函数的性质实变函数具有一系列重要的性质，如界、连续性、可导性、积分等。
这些性质可以帮助我们了解函数的行为和性质，从而更好地进行函数的研究和应用。
1.3 实变函数的应用实变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，在微积分中，实变函数被用来解决曲线的弧长、曲率、最值等问题。
在物理学中，实变函数被用来描述物体的运动、变化等现象。
二、泛函分析概述泛函分析是研究无穷维空间中函数的一种数学分析方法。
它广泛应用于函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等领域。
2.1 泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、范数、内积等。
与有限维空间相比，无穷维空间的泛函分析更加复杂，因为它需要处理无穷序列和无穷级数等概念。
2.2 泛函分析的重要结果泛函分析的重要结果包括泛函的极值、开映射定理、闭图像定理等。
这些结果为泛函分析提供了坚实的理论基础，也为实际问题的求解提供了有效的方法。
2.3 泛函分析的应用泛函分析在许多领域有广泛的应用。
例如，在傅里叶分析中，泛函分析被用来描述信号的频谱分布；在偏微分方程中，泛函分析被用来研究方程的解的存在性和稳定性。
三、实变函数与泛函分析的关系实变函数与泛函分析有紧密的联系。
实变函数可以看作是泛函分析在实数域上的特例。
通过引入泛函分析的方法和技巧，我们可以更好地理解和研究实变函数的性质与应用。
3.1 实变函数的泛函分析观点从泛函分析的角度来看，实变函数可以看作是存在于某个函数空间中的一个特殊函数。
实变函数与泛函分析考试内容及答案
14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。
(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。
(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。
(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点
试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变与泛函分析初步0201湖北教育考试院
湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》自学考试大纲课程名称：实变与泛函分析初步课程代码：2012第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。
它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。
它的中心任务是建立勒贝格（Lebesgue）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（Lebesgue）积分理论。
二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（Lebesgue）测度概念和基本性质、可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系；掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。
通过本课程的学习，培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。
三、与本专业其他课程的关系本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。
其中《数学分析》是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。
第二部分 考核内容与考核目标第一章 集合一、学习目的与要求通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法；掌握n 维欧氏空间nR 中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系；了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。
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高纲0871江苏省高等教育自学考试大纲02012实变与泛函分析初步江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质与特点实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容. 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）设置目的与要求课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。
本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。
二课程内容与考核目标第一章集合（一）课程内容集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。
（二）学习与考核要求1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章 点集（一）课程内容度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.（二）学习与考核要求1、 理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d 及用邻域u 来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n 维区间等概念.2、 掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、 掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、 掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、 掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、 掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c 、测度为零等）.第三章 测度论（一）课程内容外测度，可测集，可测集类。
（二）学习与考核要求1、 掌握勒贝格外测度的定义 （m* E ）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.2、 了解勒贝格内测度（m* E ）概念、勒贝格可测集的第一定义（E m E m **=），理解对于区间I 有||*I I m =及||I mI =的结论.了解不可测集的存在性.3、 掌握勒贝格可测集的第二定义： 对任意点集T:)()(*** CE T m E T m T m +=成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可测集的第一、第二、定义的等价性. 4、 掌握可测集的两个充要条件定理.5、 掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.6、 掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.7、 掌握递增可测集列}{n S 之极限可测定理及递减可测集列}{n S 之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中∞<1mS 的重要性.8、 掌握波雷耳集,δG 型集、σF 型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是δG 型集,还是σF 型集.9、 掌握可测集与开集及闭集的关系; 可测集与δG 型集、σF 型集的关系. 第四章 可测函数（一）课程内容可测函数及性质，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。
（二）学习与考核要求1、 掌握全体有限实数R 上、下确界+∞、-∞的概念，掌握R ∪{±∞}内的四则运算的意义及法则.2、 掌握可测函数的定义及其等价性定理.3、 掌握定义在任意点集E 上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.4、 掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）5、掌握可测函数与简单函数关系定理.6、掌握叶果洛夫定理的引理.7、 掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.8、 掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.9、 掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.第五章 积分论（一）课程内容黎曼积分，勒贝格积分定义及性质，一般可积函数，积分极限定理，富比尼定理。
（二）学习与考核要求1、 掌握可测分划D ，关于D 的Darboux 大和及Darboux 小和、有界函数F{x}在E 上的上、下积分、在E 上的（L ）积分概念.掌握有界函数（L ）可积的两个充分条件定理.2、 掌握有界函数F(x)在[a.b]上（R ）可积时（L ）积分与（R ）积分相等的定理并且能够正确地证明之.3、 掌握有界函数的（L ）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）4、 掌握一般非负函数（L ）积分概念，一般函数（L ）积分概念.掌握一般函数积分确定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.5、掌握（L）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（R）绝对可积来判别其是否（L）可积的.6、掌握积分的极限定理（包括L-控制收敛定理和推论，列维定理，L-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.7、理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.8、掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.三有关说明（一）教材：自学教材：程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。
（二）补充资料自学和命题以考试大纲为主要依据，但考虑到本课程的定理证明较难，故对本课程参考课本中的主要定理证明不作要求，但定理结论的和定理结论本身的内容必须掌握，并能利用定理来计算和判断一些命题。
故须补充一些定理应用的例子和习题。
具体内容可以参考下列教材：赵静辉主编：《实变函数简明教程》，华中理工大学出版社，1996版。
烟台师范学院等九院校编著：《实变函数论简明教程》，山东科学技术出版社，1985版。
（三）自学方法的指导本课程作为一门专业课程，逻辑性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：1、学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2、所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲、补充习题、多做练习，熟练掌握基本概念，能利用基本概念定理计算判断，从而切实提高自身的数学分析问题能力和解决问题能力。
（四）对社会助学的要求1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。
2、对应考者进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，注意补充练习，注重提高学生应用概念定理分析问题、解决问题能力的发展。
（五）关于命题和考试的若干规定1、本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2、试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：5：2。
3、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等题型（见附录题型示例）。
4、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。
附录：题型举例选择题1．设是有理数，则下列正确的是（ B ）A ．[0,1]>； Ｂ．[0,1]<； Ｃ．[0,1]=； Ｄ．以上都不正确。
填空题： 2．康托尔集P 的测度为mP = 0 。
集合[0,1]A =的测度为mA = 0 。
简答题：4．叙述叶果洛夫定理？ 参考答案： 设mE <+∞,{}n f 是E 上一列几乎处处收敛于一个几乎处处有限的函数f 的可测函数，则对任意0δ>，存在子集E E δ⊂,使得{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<。
计算题：5．设1,[1,2],()0,[1,2]\.x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ 求[1,2]()f x dx ⎰？ 参考答案：由于([1,2])0m =，据L 积分的可加性及绝对连续性可得[1,2][1,2]\[1,2][1,2][1,2]()()()010f x dx f x dx f x dx dx dx =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰。
证明题： 6．证明：|,E a a b ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭为可数集。
参考答案：令:(,)a a b φ，其中,(,)a E a b ∈∈⨯,显然是单射，故E a ≤。
另外，显然，E a ≥。
即|,E a a b ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭为可数集。