离散数学一阶逻辑命题符号化共28页文档
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离散数学一阶逻辑基本概念
在解释的定义中引进了几个元语言符号，如
ai
,
f
n i
,
F
in等
被解释的公式 A 中的个体变项均取值于 DI
若 A 中含个体常项 ai，就解释成 a i .
fin 为第 i 个 n 元函数，例如，i=1, n=2 时， f12 表示第一个
二元函数，它出现在解释中，可能是 f 1(x, y) x2 y2,
（以后讨论）
几点注意： 1 元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒
否定式的使用 ① 没有不呼吸的人 ② 不是所有的人都喜欢吃糖 ③ 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？
第二节 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 一、一阶语言 F 与合式公式
1．F 的字母表 定义 4.1 一阶语言 F 的字母表定义如下：
（1） 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 （2） 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 （3） 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 （4） 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
① 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} ② 无限个体域，如 N, Z, R, …
③ 全总个体域——宇宙间一切事物组成
2. 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词
（1） 谓词常项：F: …是人，F(a)：a 是人 （2） 谓词变项：F: …具有性质 F，F(x)：x 具有性质 F （3） n（n1）元谓词
解 （1），（2）为可满足式. （3）为 p(qp)（重言式）的 代换实例，故为永真式. （4）为(pq)q（矛盾式）的代换
离散数学第四章-一阶逻辑基本概念
谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质 n（n1）元谓词——含n个命题变项的谓词，
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
2021/4/6
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
2021/4/6
一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
2021/4/6
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
离散数学-03-一阶逻辑
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
1
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
2
3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
8
3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
4
3.1.1 命题逻辑的局限性
11
3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
1
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
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3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
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3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
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3.1.1 命题逻辑的局限性
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3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
5
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
6
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学命题符号化课件
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
8
例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
离散数学 第一章 命题逻辑
6
例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
7
5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
21
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
2021
18
2021
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
2021
16
（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
2021
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
离散数学一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑中命题符号化续
例 将下列命题符号化, 并讨论其真值.
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(1) 实数都能写成整数之比; (2)有的素数是偶数; (3) 没有人登上过木星; (4)在美国留学的学生未必都是亚洲人 .
解 (1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则 x (M(x)→ F(x)) 不是 x (M(x) ∧ F(x)) 假命题 (2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则 x (M(x)∧G(x)) 不是 x (M(x) → G(x)) 真命题 (3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则 ┐x (M(x)∧H(x)) 真命题 (4) 令F(x): x是在美国留学的学生; G(x): x是亚洲人. 则 ┐x (F(x)→ G(x)) 真命题
解 (1) 设一元谓词F(x): x是素数; 个体常项: a: 2；b: 4. 则命题可符号化: F(b) →F(a). 因为该蕴含式前件为假, 故命题为真. (2) 设二元谓词G(x,y): x大于y. 个体常项: a: 4; b: 5; c: 6. 则命题可符号化为: G(b,a) → G(a,c). 由于G(b,a)为真, 而G(a,c)为假, 故命题为假.
n 元谓词的符号化 ( n ≥ 2 )
例 将下列命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快; (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快; (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快; (4) 不存在跑得同样快的两只兔子. 解 令F(x): x是兔子; G(y): y是乌龟; H(x,y): x比y跑得快; L(x,y): x与 y跑得同样快. 则: (1) 任意一个兔子x : x 比任意一个乌龟跑得快 x (F(x) → y (G(y) →H(x,y)) ); (2) 存在一个兔子 x : x 比任意一个乌龟跑得快 x ( F(x) ∧ y (G(y) →H(x,y)) ); (3) (1)的否定 存在一个兔子 x : 存在一个乌龟 y : x不比y跑得快 x (F(x)∧ y (F(y)∧ ¬ L(x,y)) ).; (4) “存在一个兔子 x : 存在另一个兔子 y : x与y跑得同样快” 的否定 ┐x (F(x)∧ y(F(y)∧ L(x,y)) ).
《离散数学》第二章一阶逻辑
解：定义特性谓词M(x)：x是在美国留学的学生。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
4-一阶逻辑-符号化-类型
6
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
7
墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为
在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
10
人都爱美
D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美
D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
11
有人用左手写字
D为人类集合
人”
16
一阶逻辑中的公式
17
个体、谓词、量词的符号化
个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1
谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
量词表示
13
有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
7
墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为
在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
10
人都爱美
D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美
D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
11
有人用左手写字
D为人类集合
人”
16
一阶逻辑中的公式
17
个体、谓词、量词的符号化
个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1
谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
量词表示
13
有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )
离散数学之命题符号化
--
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式 的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词， 并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
--
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
00000000
00001111
00110011
01010101
FFFFFFFF ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 8 9 1 01 11 21 31 41 5
11111111
00001111
00110011
01010101
--
33
(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.
(5) 王晓红生于1975年或1976年.
--
14
解 令 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数, 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s, 它们的真值分别为 1, 1, 0.
(4), (5) 为排斥或. 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨， 则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u). 令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年, 则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可 符号化为 v∨w .
例如：pq, pq, (pq)((pq)q) 等都对应
表中的
F (2) 13
--
32
2元真值函数对应的真值表
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
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小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
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实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
离散数学 第三章 一阶逻辑
16
在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
8
例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
15
在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
18
一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
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例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
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在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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