分式与分式方程中的易错题专题
易错易混：分式与分式方程中常见的易错压轴题六种模型全攻略(解析版)
专题06易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错压轴题
六种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】 (1)
【易错二分式混合运算易错】 (5)
【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】 (8)
【易错四解分式方程不验根】 (12)
【易错五分式方程无解与增根混淆不清】 (18)
【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】 (21)
【典型例题】
【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】
【变式训练】
∵2x ≠且3x ≠，
∴整数x 的值为2-或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
【易错二分式混合运算易错】
【变式训练】
【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
【变式训练】
【易错四解分式方程不验根】
例题：（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）解方程：
【变式训练】
()
x x x
-+=+，
3323
x=，
3
x=是原分式方程的增根，
检验：当3
所以，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确求解是解题的关键，注意要检验．【易错五分式方程无解与增根混淆不清】
【变式训练】
【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
【变式训练】。
初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附解析
初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附解析一、选择题1．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】解方程2311a x x x --=--，得： 12a x +=，∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠，∴12a+≠1，a≠1，∴a>-1且a≠1，∵关于y的不等式组21142y a yy a->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，∴a-1<y≤8-2a，即a-1<8-2a，解得：a<3，综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，故选：B．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．4．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=147000(140)0x + B ．10000x +10=147000(140)0x + C ．100000(140)0x -﹣10=14700x D ．100000(140)0x -+10=14700x【答案】B 【解析】 【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【详解】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()1470001400x +．故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．5．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是A ．5B ．-5C ．3D ．-3【答案】A 【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.6．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x-= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x-= 【答案】C【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可． 【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=， 故选C ． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．7．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ．此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21a b a-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．13 C ．﹣1D ．-13【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天，∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +，∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，∴可列方程为：4116xx x+=-+，故选：D.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．606030(125%)x x-=+B．606030(125%)x x-=+C．60(125%)6030x x⨯+-=D．6060(125%)30x x⨯+-=【答案】C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（ ） A ．111103020+=--+x x x B ．111103020+=++-x x x C ．111103020-=++-x x x D ．111102030+=-+-x x x 【答案】B【解析】 【分析】设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x . 【详解】设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的110+x ， 乙队单独一天完成这项工程的130x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的120x -. 则111103020+=++-x x x . 故选B. 【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.13．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．120012002(120%)x x -=+ B ．120012002(120%)x x-=-C ．120012002(120%)x x-=+D ．120012002(120%)x x -=-【答案】A 【解析】设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ， 由题意得,()120012002120%x x-=+. 故选A.14．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．405012x x =- B ．405012x x=- C ．405012x x =+ D ．405012x x=+ 【答案】B 【解析】试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，405012x x=-． 故选B ．15．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．1010253x x -= B ．1010253x x-= C ．10105312x x -= D ．10105312x x -= 【答案】D 【解析】 【分析】设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x由题意得：10105312 x x-=故答案为D．【点睛】本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．16．若分式方程2+1kxx2--＝12x-有增根，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k即可.【详解】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，解得：k＝1．故选：C．【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.17．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()A．3036101.5x x-=B．3030101.5x x-=C．3630101.5x x-=D．3036101.5x x+=【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．18．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.19．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯-+【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍∴900900213 x x⨯=+-故选A ．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．20．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 【答案】D【解析】【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.。
八年级数学分式和分式方程易错题精选附答案
分式和分式方程易错题精选第1节 分式一、分式的概念和性质易错点：忽略分母不为零的条件1、若分式242+-x x 的值等于0，则x 的值为（ ）A ．-2或2B ．2C ．-2D ．02、若分式2)1(3-+x x 的值为正数，则x 的取值范围是_____________．3、【变式1】当x=2时，分式mx kx +-的值为0，则k 和m 必须满足的条件是_______________．4、【变式2x )1)(3(||26-+-x x x 】当取何值时，分式的值为0？5、【变式3】当x 取何值时，分式22||+-x x 满足下列要求：（1）有意义； （2）无意义； （3）值为0．6、【变式4】若分式23xx -的值为负数，则x 的取值范围是_________． 参考答案 1、B2、13≠->x x 且3、2=k ，2-≠m4、3=x5、（1）2-≠x ；（2）2-=x ；（3）2=x6、03≠<x x 且易错点：分式基本性质理解不全面1、下列从左到右的变形正确的是__________（填序号）．①ab a b a 2=；②2a ab b a =；③babc ac =；④)1()1(22++=x b x a b a ；2、【变式1】下列从左到右的变形正确的是（ )A ．)1()1(22--=x b x a b aB ．11++=b a b a C ．)2)(3(231+-+=-x x x x D ．31)2)(3(2-=+-+x x x x 参考答案 1、③④ 2、D二、约分易错点：不理解约分的条件1、约分：ababa 222+2、【变式1】约分：x xxy 392-3、【变式2】约分：yxy x 392+-参考答案1、b b a 22+2、392-y3、y x 3-三、通分易错点：找最简公分母就直接乘1、下列各题中，所求最简公分母正确的是（ ）A ．x 31和261x 的最简公分母是218xB ．c b a b a 32326121与的最简公分母是c b a 326C ．42121-x x 与的最简公分母是)42(2-x xD ．11112-+a a 与的最简公分母是)1)(1(2-+a a 参考答案 1、B易错点：不会处理分母中互为相反数的项1、下列各题中，所求最简公分母正确的是（ ）A ．11-m 与m -11的最简公分母是2)1(--mB ．)(1y x a -与)(1x y b -的最简公分母是))((x y y x ab --C ．n m -1与n m +1的最简公分母是))((n m n m +-D ．b a -1与a b -1的最简公分母是b a -参考答案 1、CD第2节 分式的运算一、分式的乘除易错点：没考虑到除数不能为零1、使2132-+÷-+x x x x 有意义的条件是________． 2、【变式1】先化简：222)2(3443-+÷+-+x xx x x x ，然后为x 选取一个合适的数代入求值． 3、【变式2】先化简，再求值：)11()1541(2aa a a a a --÷---+，其中a 从-2，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．参考答案1、1-≠x 且2≠x 且3≠x2、x 1，只要x 不取0，-3和2，取其它数都可以．3、)2(-a a ，当a 取0，1，2时分母或除数为0，原只能a=-2，原式=8． 易错点：被诱导弄错运算顺序 1、计算：)1(11-⋅-÷x x x2、【变式1】计算：)1(3)1(+⋅+÷x x x3、【变式2】计算：)(1)(1)(122222n m n m n m -÷-÷+ 4、【变式3】计算：yx x x y x y x +⋅+÷+)( 参考答案1、x x x +-2322、1232++x x x3、222n mn m +-4、y x x +2 二、分式的加减 易错点：忽视分式中的隐藏括号 1、计算：xyy x xy x +--22、【变式1】计算：y x yx x y x y x 2222+---++参考答案 1、2--y2、1易错点：整式与分式加减时添括号出错1、计算：2a ab a b --- 2、【变式1】计算：x y y x y +-- 3、【变式2】阅读下列计算过程，回答问题： 1121121)1(1)1(111 222222++=+++-=++-+=+-+=+-+x x x x x x x x x x x x x x x x （1）以上过程有两处错误，分别在第几行？ （2）请写出正确的结果．参考答案1、b a b -22、yx y xy x -+-22223、第二行和第四行有错，正确结果是11+x ．三、分式的混合运算 易错点：误以为除法有分配律1、计算：)131(12-+-÷--x x x x 2、计算：24)22(-÷+--x x x x x x 3、【变式1】计算：)1(1x x x x -÷- 4、【变式2】计算：12)131(--÷--+x xx x 参考答案1、4222+--x x x2、21+x3、11+x4、2--x 四、整数指数幂易错点：负整数指数幂概念不清 1、下列各式计算正确的有__________（填序号）．①3)3(1=--；②2233-=-；③2231)31(=--；④169)34(2=--；④1)14.3(0=-π；⑥823-=- 2、【变式1】计算：222)21(22---+3、【变式2】计算：102)31()4(2--+-+-π参考答案 1、④④2、41 3、-6第3节 分式方程易错点：去分母时漏乘没有分母的项1、解方程：yy y y 13112-=+- 2、【变式1】解方程：1213-+=+x x x 3、【变式2】解方程：12324+-=-xx x参考答案1、31=y2、53-=x3、35-=x易错点：分式方程忘记检验1、解方程：)2)(1(311-+=-+x x x x 2、【变式1】解方程：3911332-=-+x x x参考答案 1、无解 2、无解易错点：考虑问题不全面1、若关于x 的分式方程3222=-+-+xmx m x 的解为正实数，则实数m 的取值范围是__________．2、【变式1】若关于x 的分式方程3122=--x a x 的解为非负数，则实数a 的取值范围是__________．3、【变式2】若关于x 的分式方程xkx --=+-21221的解为正实数，则实数k 的取值范围是__________．4、【变式3】若关于x 的分式方程211=---x nx x 的解为非正实数，则实数n 的取值范围是__________． 参考答案1、26≠<m m 且2、432≠≥a a 且3、22≠->k k 且4、2≥n易错点：分不清分式方程无解和有增根 1、若关于x 的分式方程011=--x x m 有增根，则m 的值为_________． 2、若关于x 的分式方程011=--x x m 无解，则m 的值为_________．3、【变式1】若关于x 的分式方程454-+=-x ax x 有增根，则a 的值为_________． 4、【变式2】若关于x 的分式方程131212-=--+x x x m 有增根，则m 的值为_________． 5、【变式3】若关于x 的分式方程x x x m 2132=--+无解，则m 的值为_________．6、【变式4】若关于x 的分式方程2)2(321x ax x --=-无解，则a 的值为_________． 7、【变式5】若关于x 的分式方程332+-=++x kx x 无解，则k 的值为_________． 参考答案 1、0 2、0或1 3、44、23-5、21-或23-6、1或237、1。
中考分式方程组易错题50题含答案解析
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．240280130x x=- B ．240280130x x=-C ．240280130x x += D ．240280130x x-= 2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多35m ．设该市去年居民用水的价格为x 元3/m ，根据题意下列方程正确的是（ ） A ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．去分母解关于x 的方程322x mx x -=--产生增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘（ ） A ．xB ．2xC ．()2x x -D ．()32x x -5．下列方程中，无实数解的是( ) A ．2+x ＝0B ．2﹣x ＝0C ．2x ＝0D ．2x＝06．一艘轮船在静水中的最大航速为40/km h ，它以最大航速沿河顺流航行100km 所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km 所用时间相等，设河水的流速为/v km h ，则可列方程为（ ） A ．100804040v v =+- B ．100804040v v =-+ C ．100804040v v=+-D ．100804040v v=-+ 7．如果关于x 的方程3111a x x=---无解，则a ＝（ ） A 1B 3C 1D 138．某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．相距S 千米的两个港口A 、B 分别位于河的上游和下游，货船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时，一艘货船从A 港口出发，在两港之间不停顿地往返一次所需的时间是（ ） A ．2Sa b+小时 B ．2Sa b -小时 C ．S S a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时D ．S S a b a b ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭小时10．下列分式方程有解的是（ ）． A ．210x x+=B ．123x -＝0 C ．2111x x x x +=-- D ．11x -＝1 11．若整数k 关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，且使关于y 的分式方程24111y k y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的值之和为（ ） A ．4-B ．2-C ．1-D ．012．若关于x 的方程211-=--x mxx x无解，则m =（ ） A ．1-B ．1或1-C ．1D ．1-或53-13．若关于x 的方程233x m x x -=--有正数解，则( )． A ．m ＞0且m ≠3 B ．m ＜6且m ≠3 C ．m ＜0 D ．m ＞614．分式方程21x -－31x +=0的解为（ ） A ．x =3B ．x =－5C ．x =5D ．无解15．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ） A ．B ．C ．D ．16．下列说法中，正确的是（ ） A ．若24x =，则2x =±B ．方程()2121x x x -=-的解为1x =C ．若分式222x xx ++的值为0，则0x =或2-D ．当12k =时，方程()222110k x k x +-+=的两个根互为相反数17．若关于aa 为整数，若关于x 的分式方程1122x a x x+-=---的解为正数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣10 C ．﹣12 D ．﹣1518．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．519．若整数a 使得关于x 的分式方程()16244ax x x x +=--有正整数解，且使得关于y 的不等式组11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．23B ．20C ．16D ．1020．要使关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根，且使关于x 的分式方程2244x a x x++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二、填空题 21．若代数式62x +与4x的值相等，则x =_________. 22．分式方程1222x x x +=--的解是__________． 23．若51544x x x--=--有增根，则增根为______． 24．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x 平方米，则可列出方程为_______．25．用换元法解方程221321x xx x +-=+，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的整式方程是_________．26．若分式方程231x x --1m x -=1有增根，则m 的值为_________27．分式方程233x x=-的解是______． 28．若关于x 的分式方程233a x x x +=--有增根，则a 的值_____． 29．关于x 的分式方程223111kx x x x +=--+会产生增根，则k =______． 30．分式方程123x x-=的解x 等于______ 31．分式方程321x -＝1的解是______． 32．用换元法解分式方程225111x x x x++=+时，若设21x y x =+，则原方程可以化为整式方程_____． 33．分式方程321xx =+的解为x =______． 34．若关于x 的方程232x mx +=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 35．方程12022x x-=-的解是______． 36．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．37．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红蓝黄色球若干个，其中红色球有6个，黄色球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色球的概率为25，那么随机摸出一个为红球的概率为____．38．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元． 39．若关于x 的分式方程211x ax +=-的解为正数，则a 的取值范围为________．40．若2x =是方程113x a x -=+的解，则a =____．三、解答题41．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数． 42．解方程 (1)1311x x x =+++ (2)22403191x x -=-- 43．一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．(1)“摸到红球”是 事件， “摸到黑球”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”)(2)如果要使摸到盒子里黄球的概率为12，则需要往盒内再放入多少个黄球？(3)盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．44．台风“天鸽”登录珠海，距离珠海市180千米处的某武警部队立即派车前往救灾，按原计划速度匀速行驶60千米后，接上级通知，需紧急赶往目的地．于是以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求原计划的行驶速度． 45．解方程： (1)321x x =+ (2)11322xx x-=--- 46．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?47．某幼儿园计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的价格与一件乙种玩具的价格的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的价格分别是多少元？（2）该幼儿园计划用3500元购买甲、乙两种玩具，由于采购人员把甲、乙两种玩具的件数互换了，结果需4500元，求该幼儿园原计划购进甲、乙两种玩具各多少件？ 48．解方程：21333x x x-+=-- 49．分式方程2212212x x x x--=-的解为多少？50．解方程和不等式组：⑴ 212112x x x =--- ⑴ 4111123x xx x +>-⎧⎪⎨≤+⎪⎩（）参考答案：1．A【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：240280130x x =-， 故选：A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 2．B【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可．【详解】设去年居民用水价格为x 元3/m ，根据题意列方程： 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键． 3．D【分析】先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x ＝2，即增根只能为2，然后把x ＝2代入整式方程即可得到m 的值． 【详解】解：方程两边乘（x−2）得，x−3＝m ， ⑴分式方程有增根， ⑴x−2＝0，即x ＝2， ⑴2−3＝m ， ⑴m ＝−1． 故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程有增根，求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键． 4．C【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式132x x-、的最简公分母即可解答．【详解】解：⑴分式132x x-、的最简公分母()2x x-，⑴把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘()2x x-．故选C．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．D【分析】根据解方程，可得答案．【详解】解：A、x+2＝0，解得x＝﹣2，故A正确；B、2﹣x＝0，解得x＝2，故B正确；C、2x＝0，解得x＝2，故C正确；D、2x，方程无解，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．6．C【分析】分析题意，由江水的流速为vkm/h，可知顺水速度为(40+v)km/h，逆水速度为(40-v)km/h；根据题意可得等量关系：以以最大航速沿河顺流航行100km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，根据顺流时间=逆流时间，列出方程即可.【详解】设水的流速为vkm/h，根据题意得：10080 4040v v=+-【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，根据路程、速度、时间的关系，找出等量关系是解题的关键．7．B【分析】先去分母，化成整式方程，令x-1=0，确定x的值，回代x＝4－a，得a值．【详解】⑴3111ax x=---，⑴去分母，得3=x-1+a，整理，得x＝4－a，令x-1＝0，得x=1，⑴4－a ＝1， ⑴a ＝3． 故选B ．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解的意义是解题的关键． 8．C【详解】设原计划每天挖x 米，原来所用时间为，开工后每天比原计划多挖2米，现在所用时间为， 可列出方程：﹣=4．故选C ．9．D【分析】先分别算出顺水和逆水的速度,再根据时间=路程÷速度,算出往返时间. 【详解】依据顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度, 则顺水速度为a b +,时间为Sa b +,逆水速度为a b -,时间为S a b-, 所以往返时间为S S a b a b++-. 故选D【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握顺水逆水速度,以及时间、路程、速度三者直接的关系是解题的关键. 10．D【分析】分别按照解分式方程的步骤去分母，解整式方程可判断方程的解的情况． 【详解】A 、方程两边都乘以x 得：x 2+1=0，此整式方程无解，故原分式方程无解； B 、方程两边都乘以2x -3得：1=0，不成立，故方程无解；C 、方程两边都乘以x -1得：2x =x +1，解得x =1，而x =1时分母x -1=0，故原分式方程无解；D 、方程两边都乘以x -1得：x -1=1，解得x =2，当x =2时，分母x -1=1≠0，x =2是原分式方程的解； 故选：D ．【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 11．B【分析】根据不等式组的解集确定k 的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k 的所有可能的值，再进行计算即可．【详解】解：解不等式422x x +<+得：2x >，⑴整数k 使关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，⑴2k ≤， 解分式方程24111y k y y y ---=--得： 32y k =+， 则32k +是非负整数， ⑴1k =或1k =-或3k =-，当1k =-时，1y =是方程的增根，舍去， ⑴1k =或3k =-，⑴符合条件的所有整数k 的值之和为132-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提． 12．B【分析】方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x 的系数为0，分别解出m 的值即可． 【详解】解：211-=--x mxx x去分母，方程两边同时乘以（x ﹣1），得 2﹣x ＝﹣mx ∵方程211-=--x mxx x无解， ∴原分式方程分母为零或整式方程无解， ①当x ﹣1＝0时，则x ＝1是方程的增根， ∴2﹣1＝﹣m ， ∴m ＝﹣1；②当整式方程2﹣x ＝﹣mx 无解时， ﹣x +mx + 2＝0，（m -1）x ＝-2，m -1＝0，m ＝1，∴m 的值为1或1-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．13．B【分析】首先根据解分式方程的方法求出x 的值，然后根据解为正数以及x ≠3求出m 的取值范围．【详解】解：将方程的两边同时乘以(x -3)可得：x -2(x -3)=m ，解得：x =6-m ，根据解为正数可得：0x >且3x ≠，则：60m ->且63m -≠，解得：6m <且3m ≠．故选B ．【点睛】本题主要考查的就是解含有参数的分式方程以及分式的增根问题．在解决这个问题的时候很多同学容易忽视这个增根，从而导致答案错误.如果本题将正数解改为负数解，对于增根我们就没有必要再去考虑，所以同学们一定要注意增根是否在给出的解的范围之内，从而进行解答．14．C【分析】方程两边同时乘以()()11x x -+去掉分母，在解一元一次方程求出x 的值，最后检验即可得答案． 【详解】21x -－31x +=0 方程两边同时乘以()()11x x -+得()()21310x x +--=，去括号得:22330x x +-+=，移项合并同类项可得：5x -=-，解得5x=，经检验可得5x=是原分式方程的根，故选：C．【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程主要是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，最后要检验，避免有增根．15．A【详解】试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，⑴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，⑴提前5天完成任务，⑴﹣=5，故选A.考点：由实际问题抽象出分式方程．16．A【分析】根据解一元二次方程、分式方程的方法进行判断，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判定方程根的关系．【详解】A、运用直接开平方法解，得x=±2．故此选项正确；B、运用因式分解法，得x=1或12．故此选项错误；C、当x=-2时，x+2=0，是分式方程的增根，则原方程的根是x=0．故此选项错误；D、当k=12时，有方程12x2+1=0，此方程没有实数根．故此选项错误．故选A．【点睛】此题综合考查了一元二次方程的解法、分式方程的解法以及运用一元二次方程的根与系数的关系的结论时，前提是方程必须有实数根．17．C50a-≤<，再根据分式的解12ax-=为正数，可得1a>，确定a的取值范围，当2x=时的情形除外，求得所有正数解a，再求其和即可【详解】⑴. 500a a +≥⎧∴⎨->⎩50a ∴-≤< ⑴1122x a x x+-=--- 12x a x ++=-+解得 12a x -= 102a -> 1a ∴<2x ≠122a -∴≠ 3a ≠-综合⑴⑴：50,3a a -≤<≠-50,3a a -≤<≠-，a 为整数5,4,2,1a ∴=----，其和为542112----=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识．18．B【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案．【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠，解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解，当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=±所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉，所以a 的值为：1,2,3,-．故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．19．C【分析】解不等式组和分式方程，得出关于y 的范围及x 的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解，得出a 的范围，进而可得整数a ，再把整数a 相加即可． 【详解】解：11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：1y >，解不等式②得：25y a ≤-，⑴不等式组有解，⑴不等式组的解为：125y a <≤-，⑴125a <-，解得：3a >；()16244a x x x x +=-- 解得：82x a =-， ⑴分式方程有正整数解，⑴2a -是8的约数，且8 42a ≠-，802a ≠-，2a ≠，解得：3a =或6或10，又⑴3a >，⑴符合条件的所有整数a 为6、10，⑴符合条件的所有整数a 和为：61016+=．故选：C【点睛】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a 的范围是解本题的关键．20．B【分析】根据一元二次方程根的情况得到0a ≠且()224?10a ∆=--≥解得：1a ≥-且0a ≠，再把分式方程化简求值得：6x a =-+，因为解为非负数，60a -+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠，所以16a -≤≤且0,2a a ≠≠，即可得出满足题意的整数解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根则2024(1)0a a ≠⎧⎨∆=--⎩1a ∴≥-且0a ≠关于x 的分式方程2244x a x x++=-- 去分母得：(2)2(4)x a x -+=-解得：6x a =-+分式方程的解为非负数60a ∴-+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠16a ∴-≤≤且0,2a a ≠≠∴满足题意的整数a 的值为1,1,3,4,5,6-故答案为：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．21．4 【分析】根据代数式62x +与4x的值相等，列出等式，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：642x x=+，去分母得：64(2)x x =+，移项合并同类项得：28x =，解得：4x =．经检验，x =4是原方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根．22．x 53= 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】两边同乘以2x -去分母得：﹣x +1=2x ﹣4，解得：x 53=， 经检验x 53=是分式方程的解． 故答案为：x 53=． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．4x =【分析】根据分式方程增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使分式的分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根，即可求出.【详解】解：⑴51544x x x--=--有增根 ⑴40x -=解得：4x =故答案为：4x =.【点睛】此题考查的是分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解决此题的关键. 24．3300033000111.2x x -= 【分析】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，由题意列出分式方程即可【详解】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，根据题意得：3300033000111.2x x -=． 故答案为：3300033000111.2x x-=． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．2230y y --= 【分析】把21x y x+=代入原方程，去分母化简即可． 【详解】解：把21x y x+=，代入原方程得，32y y -=， 去分母，得2230y y --=．故答案为：2230y y --=．【点睛】本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．26．3 【详解】试题分析：先把分式方程231x x --1m x -=1去分母得，再根据增根的定义可得，最后把代入方程即可求得结果. 方程231x x --1m x -=1去分母得由分式方程231x x --1m x -=1有增根 所以，解得.考点：分式方程的增根点评：解题的关键是熟练掌握使分式方程的最简公分母等于0的根就是分式方程的增根. 27．9x =【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得3x -9=2x ，解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0．⑴原方程的解为：x =9．故答案为：x =9．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键． 28．3【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出a 的值即可．【详解】解：去分母，得：2(3)a x x -+=-，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得：3a =．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．29．4-或6##6或-4【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．【详解】解：方程两边同时乘以(1)(1)x x +-，得：2(1)+3(1)x kx x +=-，即(1)5k x -=-最简公分母为(1)(1)x x +-原方程的增根为1x =±将1x =代入整式方程得：4k =-，将=1x -代入整式方程得：6k =，故答案为：4-或6，【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：⑴化分式方程为整式方程；⑴把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握分式方程增根的含义是解题的关键．30．【详解】解方程：去分母得： 移项得： 系数化为1得：31．x=2．【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为（x+1）方程去分母后化为整式方程求解． 【详解】解：321x -＝1 3=21x -x=2经检验x=2是原方程的解故答案为：x=2．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程结果要检验．32．2510y y +-=【分析】本题考查用换元法化分式方程为整式方程的能力，注意观察方程中分式与y 的关系，代入换元． 【详解】解：设21x y x =+，则2551x y x =+，211x x y +=， 代入原方程得151y y+=， 整理得，2510y y +-=．故答案为：2510y y +-=．【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．33．2【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解． 【详解】解：321x x =+， 322=+x x ，2x =， 经检验2x =是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．34．6m ≥-且4m ≠-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m 的范围，但是必须保证分母不为零即可．【详解】解：分式方程去分母得：2x +m =3x -6，解得：x =m +6，由分式方程的解是非负数，得到m +6≥0，且m +6≠2，解得：6m ≥-且4m ≠-，故答案为：6m ≥-且4m ≠-．【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．25x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：240x x --=， 解得：25x =， 检验：把25x =代入得：220x x -≠（）， ∴分式方程的解为25x =． 故答案为：25x =． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 36．600600105x x-=- 【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可．【详解】解：设实际参加游览的同学一共有x 人， 由题意得：600600105x x -=-， 故答案为：600600105x x-=-． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．37．625【详解】设蓝色球有x 个，由题意得2695x x =++ ， 解之得10x =⑴随机摸出一个为红球的概率为66691025=++ . 38．4【分析】由去年这种水果批发销售总额为10000元，可得今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元，可列出方程：12000100010001x x -=+，求得x 即可 【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元 今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元 ⑴120001000010001x x -=+ 整理得x 2-x -12=0解得x =4或x =-3经检验x =4或-3都是分式方程的解（x =-3不合题意，舍去）．故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 39．1a <-且2a ≠-##a ≠-2且a ＜-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可．【详解】解：去分母得：21x a x +=- ，解得：1x a =-- ，由分式方程的解为正数，得到10a --＞ ，且11a --≠ ， 解得：a ＜-1且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．40．1【分析】把2x =代入方程113x a x -=+，解一元一次方程可得. 【详解】把2x =代入方程113x a x -=+，得 21213a -=+， 去分母，得6-3a=3解得a=1故答案为1【点睛】考核知识点：分式方程的解.解一元一次方程是关键.41．甲平均每分钟打60个字．【详解】分析：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x ＋20）个字，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．详解：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字， 根据题意得：135x =18020x +， 解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：甲平均每分钟打60个字．点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 42．(1)2x =-(2)无解【分析】（1）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验；（2）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验．【详解】（1）1311x x x =+++ 方程两边同乘()1x +，得：()131x x =++解得：2x =-检验：当2x =-时，()10x +≠所以，原分式方程的解为：2x =-．（2）22403191x x -=-- 方程两边同乘()()3131x x +-，得：()23140x +-=， 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()31310x x +-=，因此13x =不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．43．(1)随机，不可能(2)需要往盒子里再放入1个黄球(3)将1个黄色球换成绿色球，理由见解析【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；（2）当黄球个数是总数的一半时，摸到盒子里黄球的概率为12，由此可解；（3）让每种颜色球的个数变成一样即可．(1)解：盒子里有红球、绿球和黄球，因此“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，故答案为：随机，不可能；(2)解：设需要往盒内再放入x 个黄球,根据题意得：413242x x +=+++ 解得：x =1，经检验：x =1为原方程的解，答：需要往盒子里再放入1个黄球．(3)。
中考数学常考易错点：2-2《分式方程》
分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1.(2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13. (2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14. (2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
中考数学常考易错点：22《分式方程》
分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1.(2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒.(2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
分式题型易错题难题大汇总
分式单元复习（一）、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。
概念分析：①必须形如“BA”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。
．．．例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx 练习：1、下列有理式中是分式的有（ ）A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、572、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +51、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。
A 、2B 、3C 、4D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。
即：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式有理式例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上①21x ②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式： ；分式 。
①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数） 例:当x 时，分式22+-x x 有意义；当x 时，22-x 有意义。
练习：1、当x 时，分式6532+--x x x 无意义。
中考分式方程组易错题50题-含答案解析
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题 1．解分式方程11x -+1=0，正确的结果是（ ） A ．x=0B ．x=1C ．x=2D ．无解2．甲，乙两个工程队，甲队修路600米与乙队修路800米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米．若可列方程60080020x x =+表示题中的等量关系，则方程中x 表示（ ）A ．甲队每天修路的长度B ．乙队每天修路的长度C ．甲队修路300米所用天数D ．乙队修路400米所用天数3．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意得（ ） A ．()253010180%60x x -=+ B ．()253010180%x x-=+ C ．()302510180%60x x -=+D ．()302510180%x x-=+4．把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘（ ） A ．xB ．2xC ．()2x x -D ．()32x x -5．下列方程中,有实数解的方程的是( )A 20=B ．2230x x ++=C 0x =D ．222=--x x x 6．方程2216124x x x ++=---的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．3x =D ．无解7．分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．34x =D ．2x =8．关于x 的分式方程3122x mx x=---无解，则m 的值是（ ）9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x 台机器，则可列方程为( ) A ．600x ＝45050x + B ．600x ＝45050x - C ．60050x +＝450x D ．60050x -＝450x 10．若关于y 的不等式组12y13a y 0-⎧<⎪⎨⎪-≥⎩至少有两个整数解，且关于x 的分式方程有x 3ax3x 33x ++=--非负整数解，求符合条件的所有整数a 的值之和为( ) A ．14B ．15C ．16D ．1711．以下说法： ①关于x 的方程的解是x=c （c≠0）； ①方程组63,{23.xy yz xz yz +=+= 正整数的解有2组；①已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解；其中正确的有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是（ ） A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x-=-D ．240240202x x-=- 13．若数a 使关于x 的分式方程1133x ax x++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣3 C ．0 D ．214．要使关于x 的分式方程12a ax x =-有整数解，且使关于x 的不等式组25x x a≥-⎧⎨<⎩恰好有两个整数解，则满足条件a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个15．在下列方程中，关于x 的分式方程的个数有( ).①2124023x x -+= ①.4x a = ①4;a x =①.291;3x x -=+①16;2x =+ ①112x x a a --+=.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．若关于x 的不等式组3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a yy y --=++有负整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．2217．分式方程3122x x x =++的解是（ ） A ．32x =B ．32x =-C ．23x =-D ．23x =18．关于x 的不等式组22143x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使关于x 的分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有m 的值的和是（ ） A ．-1B ．2C ．-6D ．019．某乡镇改造农村电网，需重新架设4000米长的电线．为了减少施工对农户用电造成的影响，施工时每天的工作效率比原计划提高13，结果提前2天完成任务，问实际施工中每天架设多长电线如果设原计划每天架设x 米电线，那么列出的方程是( ) A ．400013x x+―4000x =2 B ．4000x ―400013x x +=2 C ．400013x +―4000x =2D ．4000x ―400013x +=2二、填空题20．某质检部门抽取甲､乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率． 21．现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米． （1）根据题意，可列分式方程为______； （2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为______米．22．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x 米，则所列方程是____________________． 23．为了帮助地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20 000元，第二次捐款总额为56 000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x ，则根据题意可列方程为_____． 24．若关于x 的方程2133m x x =---无解，则m =_________． 25．对于任意非零实数m 、n ，规定n m n m ⊗=，例如：3232⊗=，则()21-⊗______()12⊗-（填“>”，或“<”或“=”）若()()314x x ⊗=-⊗-，则x =______．26．方程()112x --=的解是_________． 27．已知2x y x y -+=12，则x y=_____． 28．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的6个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是70%，则袋子中有_____________个黑球． 29．分式方程2111111x x x -=-+-去分母时，两边都乘以________. 30．方程1235x x =+的解为__． 31．分式方程133x m x x +=--有增根，则m ＝_____________． 32．请你给x 选择一个合适的值，使方程2112x x =--成立，你选择的x ＝__. 33．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意可列出方程_____． 34．若分式方程2114-416k x x x +=+-有增根，则k 的值为_______． 35．方程()()()()2121221x xx x x x -=+-+-的根是______.36．若关于x 的方程21122x mx x +-=++有增根，则m 的值为________． 37．若等式35311x n x x -=+++对于任意x （x ≠－1）都成立，则n 的值是_________． 38．若m 为常数，当m 为_____时，方程233x mx x -=--有解． 39．分式方程212112x x x=---的解是______．三、解答题40．王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米．元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟，求骑车的速度．41．（1+（2）解方程：311xx x+= +42．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．43．阅读材料，并完成下列问题：已知分式方程：①2xx+＝3，①x+6x＝5，①x+12x＝7．其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程①的解有2个：x＝2或x＝3；方程①的解有2个：x＝3或x＝4．（1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+30x＝11的解是．（2）关于x的方程x+2020x＝101+100m有2个解，它们是x＝101或x＝100m，根据所猜想的规律，求m的值．44．“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出35时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？45．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km.一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？46．（1）解方程：21133xx x=---；（2112cos452-︒⎛⎫+-⎪⎝⎭．47．（1）计算：2041)13π-⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）解方程：42xx-﹣1＝32x-．48．长春外国语学校为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？49．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，设甲每天加工x个玩具：（1）乙每天加工个玩具（用含x的代数式表示）；（2）求甲乙两人每天各加工多少个玩具？参考答案：1．A【分析】先去分母化为整式方程,再求解即可. 【详解】11x -+1=0， 1+x-1=0， x=0，经检验：x=0是原方程的根， 故选A.考点：解分式方程. 2．A【分析】根据题意，由甲队修路600米与乙队修路800米所用的时间相等的等量关系列出的方程即可得到结论．【详解】解：方程中x 表示甲队每天修路的长度， 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 3．A【分析】由题意分析知，平均路线2的车速比线路一提高80％，故线路2是=()0.8 1.8x x x +=，则有，线路一和二的时间为1t =25x ，2t =301.8x进而列出式子即可． 【详解】解：由题意可得，可设线路2是=()0.8 1.8x x x +=，则线路一和二的时间分别为1t =25x ，2t =301.8x， 故12253010(180%)60t t x x -=-=+， 故选A ．【点睛】本题考查了代数式的分析，解决本题的关键是通过设未知数找出等式的中间项，进而列出方程式求解． 4．C【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式132x x-、的最简公分母即可解答．【详解】解：①分式132x x-、的最简公分母()2x x -， ①把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘()2x x -． 故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．C【分析】利用二次根式的非负性对A 进行判断；利用根的判别式的意义对B 进行判断；解无理方程对C 进行判断；解分式方程对D 进行判断．【详解】解：A 2=-，，所以原方程没有实数解，所以A 选项错误；B 、因为△＝22−4×3＝−8＜0，所以原方程没有实数解，所以B 选项错误；C 、x -，方程两边同时平方得：232x x -=，化为一般形式为：2230x x +-=，解得x 1=1，x 2=-3，经检验x 1=1时不满足原方程，所以x=-3，所以C 选项正确；D 、解方程得x=2，经检验当x=2时分母为零，所以原方程无实数解，所以D 选项错误． 故选C ．【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程和分式方程． 6．D【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，然后求解即可． 【详解】解：2216124x x x ++=--- 去分母得22(2)164x x -++=-， 解得2x =，经检验，2x =是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键．7．D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可．【详解】解：3111 xx x+=--13x x+-=，①2x=，经检验：2x=是原方程的解；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．C【分析】先得到分式方程的解，然后根据题意可求解m的值．【详解】解：解分式方程3122x mx x=---得：22mx-=，①该分式方程无解，①2x=，①222m-=，解得：6m=；故选C．【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解是解题的关键．9．C【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．【详解】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：60050x+＝450x．故选：C．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．10．B【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，根据分式方程非负整数解，确定出a 的值，即可求解.【详解】不等式组整理得：1y y a>-⎧⎨≤⎩由不等式组至少有两个整数解得到,1a ≥，分式方程去分母得：()333x ax x +-=-， 解得：122x a =+， 当a =1时，x =4；当a =2时，x =3舍去； a =4时，x =2；a =10时，x =1； 则满足题意a 的值之和为1+4+10=15. 故选:B.【点睛】考查分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式方程以及一元一次不等式组的解法是解题的关键. 11．A【详解】试题分析：①关于x 的方程的解是x=c 或x=1c（c≠0），故此选项错误； ①方程组63,{23.xy yz xz yz +=+=的正整数解有2组，方程组63{23xy yz xz yz +=+=①②，①x 、y 、z 是正整数， ①x+y≥2①23只能分解为23×1 方程①变为（x+y ）z=23 ①只能是z=1，x+y=23 将z=1代入原方程转化为63{23xy y x y ③④+=+=，解得x=2、y=21或x=20、y=3①这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），故此选项正确； ①已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，则x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4﹣a=3的解，此选项正确． 故选A ．考点：1.分式方程的解2.二元一次方程组的解．12．A【分析】设原计划每天挖x 米，根据“每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务”可列出方程．【详解】设原计划每天挖x 米，根据题意得：24024020x x -=+2 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务”列方程求解．13．D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可． 【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，①不等式组至少有3个整数解，①a ≥﹣5，1133x a x x++=--， 去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=， ①分式方程有非负整数解，①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a -为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，①符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．14．C【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为整数确定出a 的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个整数解，得到a 的值即可．【详解】解：分式方程有整数解， 解分式方程得：32a x =， 解不等式组25x x a≥-⎧⎨<⎩得：25a x -≤<， ①不等式组恰好有两个整数解， ①105a -<≤， ①50a -<≤，①x ≠0，则a ≠0，①a 的值为-4，-2，共2个，故选C ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．B【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.【详解】①212x -x+4=023、①x =4a 、①x-1x-1+=2a a 的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程; ①a =4x 、①2x -9=1x+3、①1=6x+2的分母中含未知数x ,故是分式方程. 所以B 选项是正确的.【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母). 16．A【分析】根据不等式组求得a 的取值范围，再根据分式方程确定a 的取值，然后求解即可． 【详解】解：3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩①②，由①可得：4x ≤，由①可得：2x a <+，①不等式组3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩的解集为4x ≤，①24a +>，即2a >． 由8122a y y y --=++可得210y a =-， 分式方程8122a y y y --=++有负整数解，则0y <，且2y ≠-， ①100a -<，且为2的倍数，且104a -≠-．又①2a >，①210a <<，6a ≠，且a 为偶数，①a 的取值为4，8，和为12．故选A ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解，解题的关键是根据题意确定a 的取值．17．A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x ＝3，系数化为1得：32x =， 检验：把32x =代入得：2（x ＋1）≠0， ①分式方程的解为32x =． 故选：A ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．C【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m 的不等式，求得m 的解集，再解分式方程得出x ，根据x 是非负整数得出m 所有的m 的和． 【详解】解：关于x 的不等式组22143x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解， 由2143x m -+≥-可得：22x m ≤-222m m ∴-<-， 解得43<m ， 由1222m x x x --=--解得53m x +=， 分式方程1222m x x x --=--有非负整数解， 53m x +∴=是非负整数， 43m <， 15m ∴=-，，2-，1526∴--=-，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m 的取值范围以及解分式方程是解题的关键．19．B【分析】关键描述语是；提前2天完成任务，等量关系为：原来所用时间-现在所用时间=2．【详解】原来所用时间为：. 4000x ,现在所用的时间为：400013x x +=.所列方程为：4000x ―400013x x +=2. 故选B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找准等量关系.20．甲厂的合格率为80%．【分析】设甲厂产品的合格率为x %，则乙厂产品的合格率为（x -5）%，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲厂产品的合格率为x %，则乙厂产品的合格率为（x -5）%，根据题意，得4845%(5)%x x=-，解得：x=80，经检验：x=80是原方程的根且符合题意，答：甲厂产品的合格率为80%．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系列出分式方程是本题的关键．21．60006000215x x-=400【分析】（1）分析出等量关系，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，以及结果提前15天完成任务，根据等量关系列出方程即可；（2）解出分式方程，即可算出实际施工时每天铺设钢轨的长度．【详解】解：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际施工时每天铺设的长度为2x米，得：60006000215x x-=解得x=200，经检验：x=200是原方程的解，实际施工时每天铺设钢轨的长度：2x=2×200=400米，故（1）答案为：60006000215x x-=；（2）答案为：400．【点睛】本题考查了分式方程的应用题，根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．22．7207202(120%)x x-=+【解析】略23．560002000020 2x x-=【详解】关键描述语为：“人均捐款额比第一次多20元”；等量关系为：第二次人均捐款数﹣第一次人均捐款数=20．解：第二次人均捐款数为：560002x，第一次人均捐款数为：20000x．所列方程为：5600020000202x x-=．24．2-【分析】先去分母得到整式方程，由于关于x 的方程2133m x x =---无解，则x -3=0，即x =3，然后把x =3代入即可求出m 的值．【详解】解：去分母得()23x m =--，解得5x m =+，①关于x 的方程2133m x x =---无解. ①x =3，①53m +=①m =2-.故答案为2-. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.25． > 37【分析】直接利用新定义分别计算()21-⊗与()12⊗-，再比较大小即可，分别按新定义计算()()3,14x x ⊗-⊗-，建立分式方程求解即可． 【详解】解：n m n m⊗=， ∴ ()121,2-⊗=-()2122,1-⊗-==- 12,2--＞ ∴ ()21-⊗＞()12⊗-．故答案为：＞．()()314x x ⊗=-⊗-，34,1x x -∴=- 433,x x ∴-=-73,x ∴=3,7x ∴= 经检验：37x =是原方程的根，故答案为：3.7【点睛】本题考查了有理数的除法运算及有理数的大小比较，同时考查了分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．26．32x = 【分析】由题意利用负指数幂的性质得出分式方程进而进行求解即可．【详解】解：()112x --=，即121x =-，则有112x -=解得32x =，代入检验可得32x =即方程的解． 故答案为：32x =． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握负指数幂的性质以及分式方程的解法是解题的关键，注意检验是否为增根的情况．27．4【分析】已知条件是一个二元一次方程，可以将x 看做未知数，y 看做已知数，用含y 的式子表示x 的值，代入x y即可求值． 【详解】解：在等式两边同时乘2(2)x y +得：222x y x y -=+，4x y =， ∴x y =4y y=4， 故答案为4．【点睛】本题主要考查了解二元一次分式方程，可用含y 的式子表示x ，即可表示出x y ，同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零．28．14【分析】设袋子中有x 个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设袋子中有x 个黑球， 由题意得70%6x x=+， 解得14x =，经检验14x =是原方程的解，①袋子中有14个黑球，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，解分式方程，熟知概率计算公式是解题的关键．29．()()11x x +-【分析】把方程右边分母分解因式，即可找到最简公分母．【详解】①分式方程2111111x x x -=-+- 可化为：11111(1)(1)x x x x -=-++-， ①去分母时，方程两边应都乘以：(1)(1)x x +-，分式方程即化为整式方程．故答案为：()()11x x +-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程时方程两边乘最简公分母，这样分式方程化为了整式方程，确定最简公分母是关键．30．1x =．【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】去分母得：56x x +=，移项，合并同类项，得：55=x ，解得：1x =，经检验：1x =是分式方程的解．故答案为：1x =．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，解分式方程，是解题的关键．31．3【详解】分式方程去分母得：x +x ﹣3=m ， 根据分式方程有增根得到x ﹣3=0，即x =3， 将x =3代入整式方程得：3+3﹣3=m ，则m =3，故答案为：332．3【详解】试题解析：方程两边可同乘(x −1)(x −2)，得2(x −2)=x −1，解得x =3.经检验x =3是原方程的解.故答案为3.33．80060050x x=+ 【分析】根据题意可知现在每天生产（x +50）台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可．【详解】设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意得：80060050x x=+． 故答案为80060050x x =+． 【点睛】本题考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题的关键．34．8 或-8【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x +4）（x -4）=0，得到x =-4或4，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值．【详解】解：方程两边都乘（x +4）（x -4），得（x -4）+（x +4）=k ，①原方程有增根，①最简公分母（x +4）（x -4）=0，解得x =-4或4，当x =-4时，k =-8， 当x =4时，k =8，故k 的值是-8或8．故答案为-8或8；．【点睛】本题主要考查分式方程增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握分式增根的意义. 35．2x =【分析】对原方程移项化简，即可求出x ，然后再检验即可.【详解】解：()()()()2121221x x x x x x -=+-+- ()()21212x x x x -=+- ()()(1)1212x x x x -=+-122x x =+ x=2，经检验x=2是分式方程的解.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键.36．3-；【分析】先将m 视为常数求解分式方程，得出方程关于m 的解，再根据方程有增根判断m 的值． 【详解】21122x m x x +-=++ 去分母得：2x+1-x-2=m解得：x=m+1①分式方程有增根①x=－2①m+1=－2解得：m=－3故答案为；－3．【点睛】本题考查解分式方程增根的情况，注意当方程中有字母时，我们通常是将字母先视为常数进行计算，后续再讨论字母的情况．37．-8【详解】分析：将等式左右两边通分，分子整理，与等式左边的分子进行比价，即可求出n 的值. 详解：33333,1111n x n x n x x x x ++++=+=++++ 即3533,11x x n x x -++=++ 则：3 5.n +=-解得：8.n =-故答案为8.-点睛：考查了分式的加减运算的运用，可以用待定系数法求解.38．3m ≠【详解】试题分析：有解，即x-3≠0，则x≠3.把方程去分母得x-2（x-3）=m ，即-x+6-m=0，所以x=6-m ，则6-m≠3，解得m≠3 考点：分式方程点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，求出分母x-3的取值范围为解题关键.39．x=﹣1．【详解】试题分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x=2x ﹣1+2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．考点：解分式方程．40．骑车的速度为15千米/时【分析】设步行的速度为x 千米/时，则骑车速度为2.5x 千米/时，然后根据元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟列出方程求解即可．【详解】解：设步行的速度为x 千米/时，则骑车速度为2.5x 千米/时． 由题意得221101202.56060x x +++=+． 解得6x =．经检验6x =是原方程的根．当6x =时，2.515x =．答：骑车的速度为15千米/时．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程求解．41．（1（2）32x =- 【分析】（1）根据二次根式的除法以及分母有理化进行计算即可求解．（2）方程两边同时乘以()1x x +，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】（1+=（2）解：方程两边同时乘以()1x x +，得()()2311x x x x ++=+2233x x x x ++=+即23x =-，解得：32x =-． 经检验32x =-，是原方程的解． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，掌握二次根式的运算法则以及解分式方程是解题的关键．42．0.3万元【分析】设甲种电脑价格为x 万元，则乙为x +0.2万元，再根据“12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同”，列出方程，求解即可．【详解】解：设每台甲种电脑的价格为x 万元，由题意，得12200.2x x =+， 解得0.3x =，经检验0.3x =是原分式方程的解，且符合题意，答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题知识，找到等量关系列方程是解决问题的关键．43．（1）x ＝5或x ＝6；（2）5【分析】（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可；（2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m 的值． 【详解】解：（1）①①()21211131x x x x⨯++=+=⨯+=，①()62221251x x x x ⨯++=+=⨯+=，①()331122317x x x x⨯++=+=⨯+=，其中，方程①的解有2个：x ＝1或x ＝2；方程①的解有2个：x ＝2或x ＝3；方程①的解有2个：x ＝3或x ＝4．①可得()121n n x n x++=+的解有2个：x n =或1x n =+， ①1130x x +=即()115552x x =+⨯⨯++的解为x ＝5或x ＝6； 故答案为：x ＝5或x ＝6；（2）①方程1001012020x x m +=+的解是x ＝101或100x m =； 根据规律()121n n x n x ++=+的解有2个：x n =或1x n =+， ①可得1001012020m⨯=， 解这个方程，得m ＝5，经检验，m ＝5是所列方程的根．①m 的值为5．【点睛】本题主要考查了分式相关的规律性问题，解分式方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解．44．（1）10元；（2）至少要12元．【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是x 元，则第二次每个进价是（x +2）元，再根据等量关系：第二次进的个数＝第一次进的个数即可列出方程，解方程即得结果；（2）设剩余的纪念品每个售价y 元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于900元即可列出关于y 的不等式，解不等式即得结果．【详解】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x 元，由题意得：500060002x x =+，解得：x ＝10， 经检验x ＝10是分式方程的解，答：该纪念品第一次每个进价是10元；（2）设剩余的纪念品每个售价y 元，由（1）知，第二批购进600012＝500（个）， 根据题意，得：15×500×35+y ×500×25﹣6000≥900，解得：y ≥12． 答：剩余的纪念品每个售价至少要12元．【点睛】本题考查了分式方程的应用和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找。
分式方程及方程组应用易错点解析_分式方程计算题400道
分式方程及方程组应用易错点解析_分式方程计算题400道一、去分母时常数漏乘公分母例1解方程=-2、错解:方程两边同乘以(-3),得2-=-1-2,解这个方程,得=5、错因分析:解分式方程应先去分母,根据等式的性质,在方程两边同乘以(-3)时,应注意乘以方程的每一项。
错解在去分母时,常数项没有乘以(-3),另外求得结果没有代入原方程中检验。
正解:方程两边同乘以(-3),得2-=-1-2(-3),解得=3、检验:将=3代入原方程,可知原方程的分母等于0,所以=3是原方程的增根,所以原方程无解。
点拨:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程。
化为整式方程的关键做法是去分母,即方程两边同乘最简公分母,将其化为已学过的整式方程来解。
二、去分母时,分子是多项式未加括号例2解方程-=0。
错解:方程化为-=0,方程两边同乘以(+1)(-1),得31=0,解得=2、所以方程的解=2、错因分析:当分式的分子是一个多项式,在去掉分母时,应将多项式用括号括起来。
错解在没有用括号将(-1)括起来,出现符号上的错误,而且最后没有检验。
正解:方程两边同乘以(+1)(-1),得3-(-1)=0,解这个方程,得=4、检验:当=4时,原方程的分母不等于0,所以=4是原方程的根。
点拨:方程两边同乘以最简公分母化为整式方程时,如果方程中的其中一项的分子是多项式的,要及时添上括号,因为原来的分数线具有括号的作用。
三、方程两边同除以可能为零的整式例3解方程=。
错解:方程两边同除以3-2,得=,去分母得+3=-4,所以3=-4,即方程无解。
错因分析:错解的原因是在没有强调(3-2)是否等于0的条件下,方程两边同除以(3-2),结果导致方程无解。
正解:方程两边同乘以(-4)(+3),得(3-2)(+3)=(3-2)(-4),所以(3-2)(+3)-(3-2)(-4)=0。
即(3-2)(+3-+4)=0。
所以7(3-2)=0。
解得=。
检验:当=时,原方程的左边=右边=0,所以=是原方程的解。
分式易错题易错点专题学生版超全版
分式易错题易错点专题学生版超全版Newly compiled on November 23, 2020分式易错题专题班级： 姓名：易错点一 对分式的定义理解不透导致判断出错1、下列各式：a －b 2，x ＋3x ，5＋y π，a ＋b a －b ，x ＋ym 中，是分式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个易错点二 忽略分式有意义的条件而出错2、(桂林中考)若分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．±23、分式12122++-a a a 有意义的条件是 ，这个分式的值等于零的条件是 .易错点三 忽略除式不能为0而致错4、使式子x ＋3x －3÷x ＋2x ＋4有意义的x 的取值范围是( )A ．x≠3且x≠－4B ．x≠3且x≠－2C ．x≠3且x≠－3D ．x≠－2，x≠3且x≠－4 易错点四 未正确理解分式基本性质而致错5、若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x yx y -+ 6、如果把的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）A ．不变B ．扩大50倍C ．扩大10倍 D. 缩小到原来的7、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323yx易错点五 未理解最简分式概念而致错 8、分式a b 8，ba b a +-，22y x y x --，22y x y x +-中，最简分式有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个易错点六 做分式乘除混合运算时，未按从左到右的运算顺序而致错例1 计算：96422++-a a a ÷32+-a a •（a+3） 错解：原式=()96222++-a a a ÷()2-a =9622++a a9、练习：⎪⎭⎫⎝⎛-•+÷+--x x x x x x x 1112122 易错点七 分式运算中，错用分配律出现错误例2 计算：423--m m ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+252m m错解：原式=423--m m ÷()2+m －423--m m ÷25-m =()4232--m m —103m -=()4102793223-+--m m m m 10、练习：212111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+a a a 易错点八 把解方程中的“去分母”误用到分式运算中 例4 计算：132--x x －x-13错解：132--x x －x -13=()()113-+-x x x －13-x =()()113-+-x x x －()()()1113-++x x x =x －3－3（x+1）=﹣2x －611、练习：(山西中考)下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）第一步＝2(x －2)－x －6第二步 ＝2x －4－x ＋6第三步 ＝x ＋2.第四步 小明的解法从第 步开始出现错误，正确的化简结果是 ．12、练习：（1）计算x x x x 212322--+ （2）解方程 0212322=--+xx x x易错点九 弄错底数符号而出错计算：(x －y)6÷(y－x)3÷(x－y)．解：原式＝(x －y)6÷[－(x －y)]3÷(x－y)＝－(x －y)6－3－1＝－(x －y)2. 易错点十 考虑问题不全而出错若(x －1)0－2(x －2)－2有意义，则x 应满足条件 ． 易错点十一 对负整数指数幂理解不清而致错 13、阅读下列解题过程：(－3m 2n －2)－3·(－2m －3n 4)－2＝(－3)－3m －6n 6·(－2)－2m 6n －8A ＝－127m －6n 6·(－14m 6n －8)B ＝1108n2.C上述解题过程中，从 步开始出错，应改正为 ．易错点十二 分子相加减时易忽视分数线有括号作用而出错例3 计算：a+2－242-+a a错解：原式=242--a a －242-+a a =24422-+--a a a =014、练习：计算2m m ＋n －m －n n ＋m的结果是 ． 易错点十三 运算法则、顺序使用不当而致错 15、计算：①()()210123214.323----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+--π ②()()213322-----•-ab b a③2232342⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab a b a b ④()()810109108.1⨯÷⨯-- 易错点十四 对整体思想、式子变形掌握不好而出错16、①已知411=-b a ，求分式b ab a b ab a ---+222的值。
八年级数学上册第十五章分式易错知识点总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式易错知识点总结单选题 1、解分式方程x 2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1) 答案：C分析：最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 方程两边都乘以(2x ﹣1)，得 x ﹣2＝3(2x ﹣1)， 故选C ．小提示：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2、下列各式中，当m ＜2时一定有意义的是（ ） A ．1m−3B ．1m−1C ．1m+1D ．1m+3 答案：A分析：根据分式有意义的条件是分母不等于0判断即可． 解：A ．当m ＜2时，m ﹣3＜﹣1，故分式1m−3一定有意义，故本选项符合题意；B ．m ＜2，当m ＝1时，分式1m−1没有意义，故本选项不符合题意； C ．m ＜2，当m ＝﹣1时，分式1m+1没有意义，故本选项不符合题意； D ．m ＜2，当m ＝﹣3时，分式1m+3没有意义，故本选项不符合题意；故选：A ．小提示：本题主要考查的是分式有意义的条件，即分母不等于0． 3、某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米，则这个数的原数是 A ．0.0000016B ．0.000016C ．0.00016D ．0.0016 答案：B分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10 n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.根据科学记数法的定义1.6×10﹣5=0.000016.故选 B小提示：本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：理解科学记数法的定义.4、下列式子：−5x，1a+b ，12a2−12b2，310m，2π，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．解：1a+b ，310m的分母中含有字母，属于分式，共有2个．故选：B．小提示：本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意π是常数，是解题的关键．5、下列分式x2−2x2y−xy ，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：x2−2x2y−xy =x(x−2)y(2−x)=−xy，故原式不是最简分式；x+1x2+1是最简分式，−2a2−2a是最简分式，12xy 9z3=4xy3z3，故原式不是最简分式，最简分式有2个故选：B小提示：本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．6、关于x的分式方程2x−ax+1＝1的解为正数，则字母a的取值范围为（）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣1答案：B分析：先求出带有a的分式方程的解，然后再根据解为正数求出a的取值范围即可. 解：分式方程去分母得：2x-a=x+1，解得：x=a+1．根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，解得：a＞-1且a≠-2．即字母a的取值范围为a＞-1．故选B．小提示：本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．7、已知8a3b m÷28a n b2=27b2，则m、n的值为（）A．m=4,n=3B．m=4,n=1C．m=1,n=3D．m=2,n=3答案：A分析：先运用单项式除法法则运算，然后令a的次数为0，b的次数为2解答即可．解：8a3b m÷28a n b2=27b28a3b m÷28a n b2=27a3−n b m−2令3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4．故答案为A．小提示：本题考查了单项式除法，灵活运用单项式除法法则是解答本题的关键．8、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A．v1+v22千米B．v1v2v1+v2千米C．2v1v2v1+v2千米D．无法确定答案：C平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．依题意得：2÷（1v1+1v2）=2÷ v1+v2v1v2= 2v1v2v1+v2千米．故选C．小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．9、方程12x =2x+3的解为（）A．x=﹣1B．x=0C．x=35D．x=1答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10、若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（）A．x+2y+2=xyB．x−2y−2=xyC．3x3y=xyD．x2y2=xy答案：C分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：A. ∵当x=1，y=2时，x+2y+2=34，xy=12，∴x+2y+2≠xy，故不正确；B. ∵当x=1，y=3时，x−2y−2=−1，xy=13，∴x−2y−2≠xy，故不正确；C. 3x3y =xy，正确；D. ∵当x=1，y=2时，(x)2(y)2=14，xy=12，∴x2y2≠xy，故不正确；故选C．小提示：本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．填空题11、若方程3x+3=2x+k的根为负数，则k的取值范围是______。
中考分式方程组易错题50题(含答案解析)
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．某同学借了一本书，共140页，要在一周内读完．当他读了这本书的半时，发现平均每天要多读21页才能刚好在借期内读完，他读这本书的前一半时，平均每天读多少页？设他读这本书的前一半时，平均每天读x 页，则下列方程中正确的是( ) A ．7070721x x +=- B ．7070721x x +=+ C ．140140721x x +=- D ．140140721x x +=+ 2．为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两个检测队分别负责A 、B 两个生活区的核酸检测．已知A 生活区参与核酸检测的共有3000人，B 生活区参与核酸检测的共有2880人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟．已知乙检测队的检测速度是甲检测队的1.2倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测x 人，根据题意，可以得到的方程是（ ）A ．30002880101.2=+x x B ．30002880101.2=-x x C ．3000288011.26=+x x D ．28803000101.2=+x x3．关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．34．小明和小亮同时从学校出发到新华书店去买书，学校和书店相距7500米，小明骑自行车的速度是小亮步行速度的1.2倍，小明比小亮早15分钟到书店，设小亮速度是x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A ．75007500151.2x x -= B ．7500750011.24x x -= C ．7.57.5151.2x x -= D ．7.57.511.24x x -= 5．若关于x 的方程255x mx x -+--=0有增根，则m 的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．5D ．36．已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--的根为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．20且m m >-≠B ．2m <-C ．24且m m <-≠-D ．6m <-7．已知=，则x 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．8．九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x 个每分钟，则列方程正确的是（ ） A ．12018060x x =+ B ．12018060x x =- C ．12018060x x =+ D ．12018060x x=- 9．若关于x 的分式方程211x ax -=+的解为负数，则字母a 的取值范围为（ ） A ．a ≥﹣1 B ．a ≤﹣1且a ≠﹣2 C ．a ＞﹣1 D ．a ＜﹣1且a ≠﹣210．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠411．方程14233x x x -+=-- 的解是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．无解12．一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（ ） A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天13．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．2114．若关于x 的一元一次不等式组91331x x x a +⎧+≥⎪⎨⎪>+⎩的解集为3x ≥，且关于y 的分式方程122+=---y a y y 有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．10B ．12C ．18D ．2015．解关于x 的方程311x mx x -=--产生增根，则常数m 的值等于 （ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．216．如果关于x 的分式方程3111ax x x=---的解为整数，且关于y 的不等式组()322242y y y y a +⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．417．如果分式21x -与33x +的值相等，则x 的值是( ) A ．9B ．7C ．5D ．318．龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m ．在修建完400m 后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm ，依题意列方程得（ ） A ．170017004(125)x x -=+％ B ．170040017004004(125)x x ---=+％C ．170017004004(125)x x --=+％ D ．170040017004004(125)x x ---=+％ 19．有下列说法：①关于x 的分式方程3122++=--x m x x无解，则1m =；①已知2310x x -+=，则2217x x +=；①关于x y 、的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将次方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①20．王老师乘公共汽车从A 地到相距50千米的B 地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时所花的时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．50350204x x=⨯+ B ．50350420x x =⨯+ C ．50150204x x+=+ D ．50501204x x =-+二、填空题 21．已知分式方程5133x m x x+=--有增根，则m 的值为_____． 22．已知关于x 的方程2333x mxx x =-++无解，则m =______． 23．定义新运算：aa b b*=，则方程1(21)1(2)x x *+=*-的解为_____________． 24．方程25235x x =+-的解是___________． 25．小华做小孔成像实验（如图），已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm ，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_______cm 的地方时，蜡烛焰AB 是像A B ''的一半．26．若关于x 的方程122kx x +-+＝234-x 有增根，则k 的值为_____．27．要使关于x 的方程211x ax -=+的解是负数，a 的取值范围是________． 28．若关于x 的方程312x ax +=-的解是最小的正整数，则a 的值是________． 29．如果x y y +=74，那么x y 的值是_______.30．方程2111x x x+=-+的解是______． 31．若分式65x x --的值是2，则x ＝_____． 32．若关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为________． 33．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m ＝______. 34．若关于x 的分式方程11322ax x x-+=--有正整数解，则整数=a ______． 35．方程214124x x +=+-的解是_____． 36．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为_______．37．一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为x 千米/时，则可列方程为__________38．若关于x 的一元一次不等式组172142x x x a -⎧<-⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩有解，且关于y 的分式方程7111y a y y -+=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为__________． 39．如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是______. 40．当m=______时，解分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根．三、解答题41．解方程组和分式方程： （1）解方程组x 2y 0{3x 4y 6+=+= （2）解分式方程75x 22=-． 42．解下列方程 (1)122x x =- (2)214111x x x +-=-- 43．已知关于x 的分式方程3111m x x -=--的解是正数，求m 的取值范围． 44．某公司第一季度花费3000万元向海外购进A 型芯片若干条，后来，受国际关系影响，第二季度A 型芯片的单价涨了10元/条，该公司在第二季度花费同样的钱数购买A 型芯片的数量是第一季度的80%，求在第二季度购买时A 型芯片的单价． 45．京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？46．解方程： （1）2115x x +=- （2）144108324x x x -=++ 47．(1)因式分解：x 3﹣2x 2+x ； (2)解方程：11x x +-﹣1＝241x -．48．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 49．某地新修一条公路，甲、乙两个工程队承包此项工程，如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需多少时间？50．2022年2月，举世瞩目的冬奥会在北京如期举行，某网店推出了冬奥会纪念版卫衣与冲锋衣．据了解，1件卫衣比1件冲锋衣便宜60元，用720元买的卫衣的数量与用1080元买的冲锋衣的数量相同． (1)求卫衣与冲锋衣的单价分别是多少元；(2)据统计，2月卫衣销量是90件，冲锋衣销量是70件．3月由于疫情反弹，两种衣服的销售均受到影响，商家为了刺激消费，进行了降价销售，卫衣单价降低了m 元，销量仍减少了12m 件，冲锋衣单价保持不变，销量减少了13m 件，最终3月总销售额比2月少了195m 元，求m 的值．参考答案：1．B【分析】根据“读前一半所用的天数+读后一半所用的天数=7”，即可列出分式方程得到答案．【详解】解：设读前一半时平均每天读x 页，则读后一半时每天读()21x +页， 总页数为140页，则一半为70页， 依题意，得：7070721x x +=+， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是根据题意找到等量关系． 2．A【分析】由题可知甲队检测A 生活区需要3000x 分钟，知乙队检测B 生活区需要28001.2x分钟，由乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟，结果两个检测队同时完成检测，可得等量关系3000280010.1.2x x=+ 【详解】解：甲检测队每分钟检测x 人，已知乙检测队的检测速度是甲检测队的1.2倍， 则A 生活区参与核酸检测的共有3000人共需要3000x分钟，B 生活区参与核酸检测的共有2880人需要28001.2x分钟． ①乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟，结果两个检测队同时完成检测， 3000280010.1.2x x∴=+ 故选：A ．【点睛】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，找到等量关系是解决此题的关键． 3．B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2650x x --=， 解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解， 故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【分析】由题意设小亮速度是x 千米/小时，根据题意小明比小亮早15分钟到书店列出方程即可.【详解】解：由小明比小亮早15分钟到书店可得小亮的行程时间减去小明的行程时间等于156041=小时，所以列出方程为7.57.511.24x x -=. 故选：D.【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据题干数量关系列出分式方程． 5．D【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可． 【详解】解：①关于x 的方程25--x x +5mx -=0有增根， ①x ﹣5=0， ①x =5， ①2﹣x +m =0， ①m =3， 故选：D ． 6．C【分析】先解分式方程用m 表示出x ，再根据分式方程的根为正数结合分式有意义的条件求解即可．【详解】解：方程两边同时乘以24x -得，2（x +2）+mx =0， 解得42+x m=-． ①x 为正数，①2+m ＜0，解得m ＜-2． ①x ≠2，①2+m ≠-2，即m ≠-4．①m 的取值范围是m ＜-2且m ≠-4． 故选C ．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．【详解】试题分析：根据内项之积等于外项之积得到2x=15，然后解一次方程即可． 解：①=， ①2x=15， ①x=．故选B ．考点：比例的性质． 8．C【分析】设小王跳绳速度为x 个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得，12018060x x =+， 故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9．D【分析】先求出分式方程的解，由分式方程有意义的条件可知1x ≠-，即方程的解1≠-，由解为负数可知分式方程的解小于0，可得字母a 的取值范围. 【详解】解：方程两边同时乘以（x +1），得2x ﹣a ＝x +1， 解得：x ＝a +1， ①解为负数， ①a +1＜0， ①a ＜﹣1，因为分式有意义，则10x +≠，1x ≠-，即11a +≠-，解得2a ≠- ①a ＜﹣1且a ≠﹣2， 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程，根据分式方程解的情况确定参数的取值范围，解题过程中易忽视分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 10．C【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a 的范围即可． 解：去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，解得：x =223a -， 由题意得：223a -≥0且223a -≠2， 解得：a ≥1且a ≠4， 故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解答：去分母得：1+2(x −3)=4−x ， 去括号得：1+2x −6=4−x ， 解得：x =3，经检验x =3是增根，原分式方程无解． 故选D【点睛】本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根. 12．B【分析】根据题意可设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，结合“甲、乙二人合做2天完成”列方程求解即可.【详解】设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得，112()13x x ⨯+=+解得，13x =， 22x =-，经检验，13x =， 22x =-是原方程的根，但22x =-不符合题意，舍去. ①x=3,故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B.【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．13．C【分析】根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．【详解】根据题意得，2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，5条直线最多将平面分成16个区域4=16a 则11=3=1+2a -，21=6=1+2+3a -，31=10=1+2+3+4a -，41=15=1+2+3+4+5a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++12111111n a a a ∴++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222++⋅⋅⋅+⨯⨯11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣⎦ 1111112233412n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 2n n =+ 121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=--- 10211n n ∴=+ 2101211n ∴-=+21211n ∴=+ 222n ∴+=20n ∴=经检验n=20是原方程的根故选：C ．【点睛】本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 14．A【分析】先解出不等式组的解集，结合不等式的解集是3x ≥确定出a 的范围，再解出分式方程的解，由分式方程的解为整数解，分别计算即可得出结果． 【详解】解：由913x x ++≥，得3x ≥ ， 由3x >a +1，得a 1x 3+>， ①不等式组的解集为3x ≥， ①133a +< ， 解得8a < ， ①122+=---y a y y， ①()2y a y -=-- ， ①12a y =+ ， ①分式方程有正整数解，①a 是大于或等于0的偶数，①a =0，2，4，6，当a =2时，122a y =+=， 则y -2=0，不符合题意，①符合条件的a 有：0，4，6①所有满足条件的整数a 的值之和为：0+4+6=10．故选：A ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集、分式方程、不等式组整数解、熟练并正确的进行计算是解题的关键．15．A【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】解；方程两边都乘(x−1)，得x−3=m，①方程有增根，①最简公分母x−1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=−2.故选A.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是求出增根进而求出未知字母的值. 16．A【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求解a的值，再根据一元一次不等式组有解，求解a的取值范围，从而可得答案.【详解】解：3111 axx x=---13, ax x12, a x关于x的分式方程3111axx x=---的解为整数，1,a∴≠则2,1xa11a∴-=±或12,a解得：2a=或0a=或3a=或1,a=-又10,x则1,x≠即21,1a3,a∴≠所以2a=或0a=或1,a=-()322242yyy y a①②+⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩由①得：2y≥由①得：42,y a关于y 的不等式组()322242y y y y a +⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，422,a1,a综上：0a =或1,a =-∴ 符合条件的所有整数a 的和为 1.-故选A【点睛】本题考查的是分式方程的整数解，根据一元一次不等式组有解求解参数的取值范围，掌握“解分式方程及分式方程的整数解的含义，一元一次不等式组有解的含义”是解本题的关键.17．A 【详解】由题意得：2326339.13x x x x x =⇒+=-⇒=-+ 经检验：x =9是方程的解．故选A.18．C【分析】设原计划每天修建xm ，则实际每天修建（1+25%）xm ，根据题意可得，增加工作效率之后比原计划提前4天完成任务，据此列方程.【详解】解：设原计划每天修建xm ，则实际每天修建（1+25%）xm ，由题意得： 170017004004(125%)x x --=+ 故选C.19．D【分析】①将分式方程化为整式方程并求出解，根据分式方程无解可知增根为x ＝2，然后即可求出m ；①对等式进行化简可得13x x+=，然后利用完全平方公式求解即可；①根据题意得到新方程为（a−1）x ＋（a ＋2）y ＝（x ＋y ）a ＋2y−x ＝2a−5，进而可得225x y y x +=⎧⎨-=-⎩，求出x 、y 的值，即可得出公共解.【详解】解：①关于x 的分式方程去分母得3−x−m ＝x−2，即x ＝52m ， 由分式方程无解，可得x−2＝0，即x ＝2，①522m，解得：m ＝1，正确；①①2310x x -+= ①130x x -+=，即13x x +=， ①22211()27x x x x+=+-=，正确； ①关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程为：（a−1）x ＋（a ＋2）y ＝（x ＋y ）a ＋2y−x ＝2a−5，可得：225x y y x +=⎧⎨-=-⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩， 则当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程的公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，正确， 故选D ．【点睛】此题考查了分式方程无解问题，分式化简求值以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的性质和解法是解本题的关键．20．A【分析】根据题意得到回来时的速度为（x+20）千米/时，根据时间等于路程除以速度即可列出方程.【详解】根据题意得到回来时的速度为（x+20）千米/时，去时的时间是50x小时， 回来时的时间是5020x +， ①回来时所花的时间比去时节省了14， ①50350204x x=⨯+， 故选：A.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键.21．-0.6【分析】根据题意去分母以及由分式方程有增根求出x ，并代入整式方程进行计算即可得出m 的值．【详解】解：去分母得：x+x ﹣3=﹣5m ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m ，解得：m=﹣0.6．故答案为：-0.6．【点睛】本题考查分式方程有增根的求参问题，熟练掌握分式方程有增根的情况即分母为零是解题的关键．22．5或2##2或5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m 的值即可．【详解】解：去分母得：()233x mx x =-+，即()59m x -=，由分式方程无解，得到50m -=或935x m ==--， 解得：5m =或2m =，故答案为：5或2．【点睛】本题目考查分式方程，涉及的知识点有分式方程的解法以及分式方程无解的条件，难度一般，是中考的常考知识点．23．3x =-【分析】根据新定义运算列出分式方程，故可求解．【详解】①a a b b*= ①1(21)1(2)x x *+=*-可化为11212x x =+- ①去分母得221x x -=+解得x=-3 把x=-3代入分母20,210x x -≠+≠①x=-3是原方程的解故答案为x=-3．【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 24．20【分析】按照分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：25235x x =+- 化为整式方程，可得：()()23552x x -=+即610510x x -=+解得20x经检验，20x是原分式方程的解， 故答案为：20【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤． 25．5【分析】设小孔纸板应放在离蜡烛x cm 的地方，根据蜡烛焰AB 是像A B ''的一半即可列方程求解．【详解】解：设小孔纸板应放在离蜡烛x cm 的地方，由题意得：1152x x =- 解得5x =，经检验，x =5是原方程的解，则小孔纸板应放在离蜡烛5cm 的地方时，蜡烛焰AB 是像A B ''的一半．故答案为：5【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．26．34- 【分析】根据题意关于x 的方程有增根，得到x 的值为2或-2，代入求出k 的值即可．【详解】解：去分母，得(2)(2)3x k x ++-=， ①211k x k +=+， ①原方程122k x x +-+＝234-x 的增根可能是 2或 -2， ①当2x =时，211k k ++=2，此时k 无解， 当2x =-时，2121k k +=-+，解得34k =-， ①当34k =-时，原方程122k x x +-+＝234-x 有增根．故答案为：34-． 【点睛】本题考查分式方程的增根，熟练掌握方程的增根的定义，并利用增根定义进行解题求出参数的值是本题解题的关键．27．a ＜-1且a ≠-2【分析】把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a 的范围． 【详解】解：211x a x -=+， 解得：x =a +1，①方程的解是负数，①x =a +1＜0，①a ＜-1，当x =-1时，-1-a -1=0，①a =-2，①a 的取值范围是：a ＜-1且a ≠-2，故答案为：a ＜-1且a ≠-2．【点睛】此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．28．4-【分析】先解出方程，再由原方程的解是最小的正整数，可得到关于a 的方程，解出即可． 【详解】解：312x a x +=-， 去分母得：32x a x +=- ， 解得：22a x --= ， ①关于x 的方程312x a x +=-的解是最小的正整数， ①212a --=， 解得：4a =- ．故答案为：4-．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，根据题意得到关于a 的方程是解题的关键．29．34【分析】先去分母得到4()7x y y +=，再移项变形即可得到34x y =. 【详解】因为x y y +=74，所以4()7x y y +=，计算得到34x y =. 【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握移项等基本解题步骤.30．3x =-【分析】先去分母，去括号，然后移项合并，再进行检验，即可求出方程的解． 【详解】解：2111x x x+=-+， 去分母，得2(1)(1)(1)(1)x x x x x ++-+=-，去括号，得22221x x x x ++-=-，移项合并，得3x =-；检验：把3x =-代入(1)(1)x x -+，则(1)(1)0x x -+≠；①3x =-是原方程的解；故答案为：3x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤和方法． 31．4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：根据题意得：65x x --＝2， 去分母得：x ﹣6＝2x ﹣10，解得：x ＝4，经检验x ＝4是分式方程的解．故答案为：4．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 32．5-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m ，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，代入整式方程得：−5=−2+2+m ，解得：m=−5，故答案为-5.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.33．-3【分析】先将分式方程化成整式方程，再将x=-1代入求出m 的值，即可得出答案. 【详解】3211x m x x =+++ 3x=m+2(x+1)①分式方程无解①x=-1将x=-1代入得：3×(-1)=m+2×(-1+1)解得：m=-3故答案为：-3.【点睛】本题考查的是解分式方程，难度中等，分析分式方程有增根是解决本题的关键. 34．2或1-##1-或2 【分析】先去分母解整式方程得43x a =-，根据分式方程有正整数解，得到3a -的值为1或2或4，且423a≠-，由此求出答案． 【详解】解：去分母得，()1321ax x -+-=-，整理得，()34a x -=， 解得43x a=-， ①分式方程有正整数解，①3a -的值为1或2或4，且423a≠-， 解得2a =或1-，故答案为：2或1-．【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．35．x ＝3【分析】最简公分母是（x+2）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，解得x＝3或x＝﹣2．经检验x＝﹣2是原方程的增根①原方程的解为：x＝3．故答案为x＝3．【点睛】考查解分式方程；掌握基本步骤是解决本题的关键；注意分式方程必须验根．36．30456 x x=+【分析】先用含x的代数式表示出甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间，然后根据二者时间相同即可列出方程．【详解】解：设甲每小时做x个，则乙每小时做（x+6）个，根据题意，得：30456x x=+．故答案为：30456x x=+．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键．37．1601805 x x=+【分析】根据行程问题的基本公式，列出汽车在加速前和加速后行驶所用的时间，由行驶这两段路程所用的时间相等，即可列出方程．【详解】解：根据题意知，汽车加速前行驶的时间为：160x，汽车加速后行驶的时间为：1805x+，由行驶这两段路程所用的时间相同，得：1601805x x=+．故答案为1601805x x=+．【点睛】此题考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．38．14-【分析】先对不等式组进行求解，然后根据不等式组有解得出a 的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有非负整数解以及增根的情况讨论出所有符合题意的整数a 的值，最终求和即可． 【详解】对于172142x x x a -⎧<-⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：521x x a <⎧⎨≥+⎩， ①该不等式组有解，①215a +<，解得：2a <， 对于7111y a y y -+=--，解得：82a y +=， ①1y =为原分式方程的增根，①1y ≠，即：812a +≠，解得：6a ≠-， 又①原分式方程有非负整数解，且2a <， ①802a +≥，解得：82a -≤<且6a ≠-， ①在此范围内能使得82a y +=是非负整数的整数a 是8420---、、、， ①符合条件的所有整数a 的和为842014---+=-，故答案为：14-．【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的求解，通过题目条件，准确分步求出参数的范围是解题关键．39．x=3． 【分析】先对1134x m x x +-=-+ 去分母，再化简得到（m+2）x+15+4m=0，根据增根的性质得到最简公分母（x-3）（x+4）=0，计算即可得到答案.【详解】方程两边都乘（x-3）（x+4），得（x+m ）（x+4）-（x-3）=（x+4）（x-3），化简得：（m+2）x+15+4m=0，①原方程有增根，①最简公分母（x-3）（x+4）=0，解得：x=3或x=-4．当x=3时，m=-3，故m 的值可能是-3，当x=-4时，7=0，这是不可能的．①增根是x=3．故答案为x=3．【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握增根的求解.40．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根只能是x=12，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=12代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值． 【详解】解：由题意知分式方程()1m 2332x 12x 1+=--会出现增根是x=12， 去分母得7-2x=m将x=12代入得m=6即当m=6时，原分式方程会出现增根．故答案为6．【点睛】本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．41．（1） x 6y 3=⎧⎨=-⎩ （2）4.8【分析】（1）利用代入消元法解方程组．（2）最简公分母为2（x ﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【详解】（1）解：x 2y 03x 4y 6+=⎧⎨+=⎩①②， 由①得x=﹣2y ①把①代入①，得3×（﹣2y ）+4y=6，解得y=﹣3．把y=﹣3代入①，得x=6．①原方程组的解为x 6y 3=⎧⎨=-⎩． （2）解：去分母，得14=5（x ﹣2），解得x=4.8，检验：当x=4.8时，2（x ﹣2）≠0，①原方程的解为x=4.8．【点睛】解二元一次方程组．42．(1)=4x(2)无解【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：方程两边同乘()2x x -得：()22x x =-，解得=4x ，检验：当=4x 时，()()24420x x -=⨯-≠，①=4x 是原方程的解．（2）解：去分母得：()()()()11411x x x x ++-=+-去括号得：222141x x x ++-=-移项、合并同类项得：22x =解得：=1x检验：当=1x 时，()()110x x +-=，①原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 43．m ＞2且m≠3．【详解】试题分析：方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．试题解析：方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，解得x=m-2，①分式方程3111m x x -=--的解为正数， ①x=m-2＞0且x-1≠0，即m-2＞0且m-2-1≠0，①m ＞2且m≠3．考点：分式方程的解．44．在第二季度购买时A 型芯片的单价为50元.【分析】依据题目找到数量关系：第一季度购买时A 型芯片的数量80%=⨯第二季度购买时A 型芯片的数量，列出方程，解方程即可．【详解】解：设在第二季度购买时A 型芯片的单价为x 元，依题意可得：4430001030001080%=x-10x⨯⨯⨯ 解得：x 50=经检验可知x 50=是原分式方程的解．答：在第二季度购买时A 型芯片的单价为50元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到数量关系列出方程是解题的关键.45．乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米.【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x 平方米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x 平方米，那么甲工程队每天能完成的绿化面积是2x 平方米， 根据题意得：40040042x x-= 解得：50x =经检验：50x =是所列方程的解，并且符合实际问题的意义；当50x =时，2100x =答：乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米.。
中考数学常考易错点：2-2《分式方程》
分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4.100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
中考分式方程组易错题50题(含答案)
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．下面是分式方程的是（）A．14239x x+-+B．215673x x+-=C．125(6)23x x+=-D．321121x x+=-+2．袋中有5个白球，3个黑球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为13，则x为（）A．24B．12C．8D．43．关于x的分式方程322x nx x----＝1的解为正整数，则负整数n的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣1或﹣34．关于x的分式方程322mx x+--＝1有增根，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．05．为了让更多的人接种新冠疫苗，某药厂疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后由于原料短缺，以原速度的一半生产，结果比原计划延期3天完成任务．设五天后每天生产x万支疫苗，则可列方程为（）A．320103201032x xx x--=-B．320103201032x xx x--=-C．32032032x x=+D．32032032x x=-6．某市疫情防控指挥部发布开展全员新冠病毒核酸检测的通告后，某小区组织2400人进行核酸检测．由于组织有序，居民积极配合，实际每小时检测人数比原计划增加40人，结果提前2小时完成检测任务．设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程（）A．24002400240+=+x xB．24002400240-=+x xC．24002400402+=+x xD．24002400402-=+x x7．每年的3月12日是“植树节”，今年的植树节某单位组织甲、乙两个组参加植树造林活动．已知甲组每小时比乙组每小时少植2棵树，甲组完成60棵的植树任务与乙组完成70棵的植树任务所用的时间相等．若设甲组每小时植树x棵，则根据题意列出方程正确的是()．A ．602x +=70xB ．60x =702x + C ．602x -=70xD ．60x =702x - 8．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为x =1，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．-1D ．-39．A ，B 两船从相距600km 的两地同时出发，相向而行，A 船顺流航行320km 时与逆流航行的B 船相遇，水流的速度为8km /h ，若设A ，B 两船在静水中的速度均为xkm /h ，则可列方程为（ ） A ．()()()32086003208x x -=-+ B ．()()()32086003208x x +=-- C ．32060032088x x -=-+ D ．32060032088x x -=+- 10．若分式方程1322a xx x-+=--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣1 D ．﹣211．若方程3xx -﹣2＝3k x -会产生增根，则k 的值为（ ） A ．6﹣xB ．x ﹣6C ．﹣3D ．312．若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为（ ） A ．－1.5B ．1C ．－1.5或2D ．－0.5或－1.513．某生态园计划种植一批核桃，原计划总产量达66万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克?设原计划平均每亩产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( ) A ．66669201.5x x +-= B ．6666201.5x x -= C ．66966201.5x x+-= D ．66669201.5x x++= 14．关于x 的分式方程13244ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组0522x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的和为（ ）A ．-16B ．-9C ．-6D ．-1015．若关于x 的分式方程22139x mx x x -=+--无解，则m 的值为（ ） A ．﹣3或163-B ．163-或23-C ．﹣3或163-或23-D ．﹣3或23-16．若关于x 的分式方程12242m xx x-=---的根是正数，则实数m 的取值范围（ ）. A ．且0m ≠ B ．10m <且2m ≠ C ．6m >-且2m ≠ D ．6m <且2m ≠17．若分式方程1244x ax x -=+--有增根，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．若关于x 的方程283ax a x =-的解为1x =，则a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．4D ．819．关于x 的一元一次不等式组21511,325x x x a-+⎧-≥⎪⎨⎪+>⎩有解，且使关于y 的分式方程21233ay y y-=---的解为整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．8 B ．5 C ．3 D ．220．若关于x 的分式方程11362x a x x x -++=--的解为非负数，且关于y 的不等式组62(2)313y y y a +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩有3个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为（ ） A ．19 B ．22 C ．30 D ．33二、填空题 21．解关于x 的方程311x mx x -=--产生增根，则常数m 的值等于________． 22．由于商品乙比商品甲每件贵4元，所以花24元买甲商品的件数比买乙商品的件数多1件，如果设甲商品每件x 元，那么可列出方程：______． 23．如果分式方程133x k x x -=--有增根，那么k 的值是_________． 24．分式方程3122x x x+=--的解为_____________． 25．在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有______个． 26．小明解方程12=1x x x--的过程如下，他的解答过程中从第________步开始出现错误．解：去分母，得1－(x －2)＝1.①去括号，得1－x ＋2＝1.① 合并同类项，得－x ＋3＝1.① 移项，得－x ＝－2.① 系数化为1，得x ＝2.① 27．分式方程4102xx -=+的解为_________．28．已知关于x 的分式方程112a x -=+无解，则a =________ 29．若方程有增根，则它的增根是_____，m=_______；30．解方程221231x x x x --=-，若设21x y x-=，则原方程可化为关于y 的整式方程是 __31．如图，在矩形ABCD 中，2,4AB BC ==，E 是CD 延长线上一点，连接BE 交AD 于点F ，连接CF ，若ABF △与CEF △的面积相等，则DE 长为_______．32．若关于x 的分式方程22x a x --＝13的解为非负数，则实数a 的取值范围是_____． 33．若分式方程2114-416kx x x +=+-有增根，则k 的值为_______． 34．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，且①ABD ＝2①BDC ，若CE ＝2，DE =5，则BE 的长为___．35．若关于x 的方程4122a x x =+--无解，则a 的值是______． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知()0,6A ，()2,0B ，()6,0C ，D 为线段BC 上的动点，以AD 为边向右侧作正方形ADEF ，连接CF 交DE 于点P ，则CP 的最大值______.37．方程12x 1-+1=31-2x的解是__． 38．若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为_________． 39．如果在解关于x 的方程212212x x kx x x x x ++-=+-+-时产生了增根，那么k 的值为_____________． 40．下列一组方程：①23x x +=，①65x x +=，①127x x+=，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为121,2x x ==；第①个方程的解为122,3x x ==；第①个方程的解为123,4x x ==.若n 为正整数，且关于x 的方程2223n nx n x ++=-+的一个解是7x =，则n 的值等于____________.三、解答题41．静静同学解分式方程()()6251313x x x x x --=----的过程如下：去分母得：﹣6x ﹣2（3﹣x ）＝5（x ﹣1） 去括号得：﹣6x ﹣6﹣2x ＝5x ﹣5 移项得：﹣6x ﹣2x ﹣5x ＝﹣5﹣6 合并同类项得：﹣13x ＝﹣11 两边同除以13得：x 1311=经检验x 1311=是方程的解． 静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 42．解方程：=2﹣．43．（1）解方程：11432163x x -=--；（2）分解因式：322363x x y xy -+-． 44．计算： （1）计算：2216a a -﹣14a -； （2）解方程：1211x x x +-+＝2． 45．多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．(1)第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 46．江津某服装店今年9月用4000元购进了一款秋衣若干件，上市后很快售完，服装店于10月初又购进同样数量的该款秋衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元 （1）第一批秋衣进货时的价格是多少？（2）第一批秋衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？ （提示：利润=售价﹣成本，利润率 =01000⨯利润成本）47．解方程：211x x x+=+ 48．某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？49．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A B 、两种品牌的医用外科口罩，B 品牌口罩每个进价比A 品牌口罩每个进价多0.8元，若用7000元购进A 品牌数量是用4900元购进B 品牌数量的2倍．（1）求AB 、两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2.2元，B品牌口罩每个售价为3.3元，药店老板决定一次性购进A B、两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？50．（1）分解因式：22242a ab b-+-；（2）解方程：33122xx x=---．参考答案：1．D【分析】根据分式方程的定义分析判断即可求解． 【详解】A 、不是方程，故本选项错误；B 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；C 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；D 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知“判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数”是解答此题的关键． 2．D【分析】根据概率公式可得方程53x x ++=13，求解即可．【详解】】解：根据题意得：53x x ++=13，解得：x =4，经检验：x =4是原分式方程的解， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数：所有可能出现的结果数． 3．C【分析】先表示出分式方程的解，然后根据解为正整数，n 为负整数，可求出x =2或1，再根据分式有意义的条件，即可求出n ． 【详解】解：3122x nx x--=-- 两边同乘x -2得：32x n x -+=-， ①52nx +=， ①解为正整数，n 为负整数， ①n =-1或-3， ①x =2或1，当x =2时分式无意义， ①x =2不是分式方程的解，①n=-3，故选：C．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是分式方程增根的判断．4．C【分析】先根据解分式方程的步骤解分式方程，再根据方程的增根的定义求参数的值.【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2．①m＝x﹣5．①方程有增根．①x﹣2＝0．①x＝2．①m＝2﹣5＝﹣3．故选C．【点睛】本题主要考查解含参数分式方程和增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题.5．A【分析】设五天后每天生产x万支疫苗，则前五天每天生产2x万支疫苗，根据“结果比原计划延期3天完成任务”建立方程即可得．【详解】解：由题意，可列方程为320103201032x xx x--+=，即320103201032x xx x--=-故选A．【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．6．B【分析】由题意知，原计划每小时检测x人，则实际每小时检测240040x+人，根据实际提前2小时完成检测任务，列方程24002400240-=+x x，进而可得答案．【详解】解：由题意知，可列分式方程为24002400240-=+x x，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确的列方程．7．B【详解】依题意设甲组每小时植树x棵，则易知乙组每小时植树（x+2）棵.所以甲组完成60棵树的时间=60x，乙组完成70棵树的时间=702x +. 所以60x =702x + 选B考点：分式方程点评：本题难度较低，根据题设直接列式即可． 8．D【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a 的新方程，解此新方程可以求得a 的值． 【详解】解：把x =1代入原方程得，23314a a +=-， 去分母得，8a +12=3a -3． 解得a =-3．经检验，a =-3是方程的解， 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 9．D【分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案． 【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h ，则可列方程为： 32060032088x x -=+-， 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10．A【详解】解：去分母得：1+3x ﹣6=﹣a +x ，根据题意得：x ﹣2=0，即x =2，代入整式方程得：1+6﹣6=﹣a +2，解得：a =1．故选A ．点睛：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11．D【分析】由于方程3x x -﹣2＝3k x -会产生增根，故x ＝3，所以把x ＝3代入x-2（x−3）＝k ，求得k 的值即可．【详解】解：①所给的关于x 的方程有增根，即有x−3＝0，①增根是x ＝3，而x ＝3一定是整式方程x-2（x−3）＝k 的解，将其代入，得3-2（3−3）＝k ，解得：k ＝3．故选：D ．【点睛】本题考查对分式方程增根的理解，因为增根是使方程分母为零的数值，所以在解关于增根的方程时会形成一个关于另一个字母的整式方程，要注意体会二者之间的联系． 12．D【详解】方程两边都乘以x （x －3）得：（2m ＋x ）x －x （x －3）=2（x －3），即（2m ＋1）x =－6，①（1）①当2m ＋1=0时，此方程无解，①此时m =－0.5，（2）①关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，①x =0或x －3=0，即x =0，x =3． 当x =0时，代入①得：（2m ＋1）×0=－6，此方程无解；当x =3时，代入①得：（2m +1）×3=－6，解得：m =－1.5．①若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，m 的值是－0.5或－1.5． 故选①D ．13．A【分析】根据总产量÷平均亩产量=亩数，结合题意，列出方程即可．【详解】根据题意，得66669201.5x x +-=， 故选A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用题是解题的关键． 14．D【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数即可列出关于a 的不等式，然后解不等式组，根据不等式组有解，再列出关于a 的不等式，即可判断a 可取的整数，最后求和即可．【详解】解：①13244ax x x -+=--- 解得：当2a ≠时，42x a -=- ①关于x 的分式方程13244ax x x -+=---的解为正数， ①04x x >⎧⎨≠⎩即402442a a -⎧>⎪⎪-⎨-⎪≠⎪-⎩解得：21a a <⎧⎨≠⎩ 0522x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩ 解得：05x a <≤+①关于x 的不等式组0522x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解 ①50a +>解得5a >-综上所述：52a -<<且a≠1满足条件的整数有：-4、-3、-2、-1、0．①满足上述要求的所有整数a 的和为：（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0=-10故选D ．【点睛】此题考查的是根据分式方程解的情况和不等式组解的情况求参数的取值范围，掌握解分式方程、分式方程增根的定义和解不等式组是解决此题的关键．15．C【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m 的值．【详解】解：当（x +3）（x ﹣3）＝0时，x 1＝3或x 2＝﹣3，原分式方程可化为：3x x =-1()()233mx x x --+-， 去分母，得x （x +3）＝（x +3）（x ﹣3）﹣（mx ﹣2），整理得（3+m ）x ＝﹣7，①分式方程无解，①3+m ＝0，①m ＝﹣3，把x 1＝3或x 2＝﹣3，分别代入（3+m ）x ＝﹣7，得m 163=-或m 23=-， 综上所述：m 的值为m 163=-或m 23=-或m ＝﹣3， 故选：C ．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0．16．D【分析】先通分再化简，根据条件求值即可.【详解】解：已知关于x 的分式方程12242m x x x-=---的根是正数， 去分母得m=2x-2-4x+8,解得x=6-2m , 由于根为正数，则m<6,使分式有意义，m≠2，答案选D.【点睛】本题考查分式化简，较为简单.17．C【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．详解：去分母得：x-1=2x-8+a ，由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：a=3，故选C ．点睛：此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．C【分析】将1x =代入方程可得一个关于a 的分式方程，解方程即可得．【详解】解：1x =是方程283ax a x =-的解， 2813a a ∴=-， ()681a a =-，688a a =-，解得4a =，经检验，4a =是方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．19．D 【分析】解不等式组21511{325x x x a -+-≥+>①②，又因为不等式组有解，得到a ＜4，由于21233ay y y -=---， 得到：32y a=- ，因为a ＜4，且y≠3，且整数，得到a =3，-1； 即可求解； 【详解】解：21511{325x x x a -+-≥+>①②由①得：x ≤-1，由①得：x ＞a -5，因为不等式组有解，①a -5＜x ≤-1;①a -5＜-1;①a ＜4， 由21233ay y y-=---，得22533ay y y y --=--， 得到：32y a=-， ∵a ＜4，且y ≠3，为整数，①a =3，-1；3+（-1）=2．故选：D【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．20．B【分析】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的整数解．【详解】解：解分式方程可得：9=-x a ，且92=-≠x a①解为非负数，①得：90a -≥，即9a ≥且11≠a ， 解不等式组62(2)313y y y a +≤+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②， 解不等式①得：2y ≥，解不等式①得：13＜+a y ， ①不等式组的解集为：213＜+a y ≤， ①有3个整数解，①2y =，3，4，即4153＜+a ≤ 利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得912＜a ≤，综上所述：a 的整数值可以取10、12，①其和为22，故选：B【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．21．2-【分析】先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x 的值，然后将其代入整式方程即可． 【详解】311x m x x -=-- 两边同乘以(1)x -得，3x m -=由增根的定义得，1x =将1x =代入3x m -=得，132m =-=-故答案为：2-．【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握理解增根的定义是解题关键． 22．242414x x =++ 【分析】如果设甲商品每件x 元，那么商品乙每件()4x +元，根据“花24元买甲商品的件数比买乙商品的件数多1件”，列出方程即可求解．【详解】解：设甲商品每件x 元，那么商品乙每件()4x +元，根据题意得，242414x x =++， 故答案为：242414x x =++． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．23．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出k 的值即可． 【详解】解：133x k x x -=-- 去分母得：x-（x-3）=k ，①分式方程133x k x x -=--有增根， ①x-3=0，解得：x=3，把x=3代入x-（x-3）=k 得：k=3，故答案为：3【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．24．52x = 【详解】试题分析：解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.两边同乘得解这个方程得52x =经检验52x =是原方程的解. 考点：解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 25．3【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有132,1011x y x =+=+-，21x x =一共3个． 故答案为：3．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．26．①【详解】方程两边同乘x ，得：1-（x-2）=x ，所以他的解答过程中从第①步开始出现错误，故答案为①.【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．27．x=﹣．【详解】试题分析：去分母，得4x+8﹣x=0，移项、合并同类项，得3x=﹣8，方程两边同时除以3，得x=﹣．经检验，x=﹣是原方程的解．故答案为x=﹣．考点：解分式方程．28．1【分析】先将分式方程去分母，得到一个关于x 的一元一次方程，根据方程无解可知x =-2，将x =-2代入该一元一次方程即可求出a ．【详解】两边都乘以x +2，得a ﹣1=x +2，由方程无解，得x =﹣2．当x =-2时，a ﹣1=0，解得a =1，故答案是：1．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的情况，掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 29． x=±1， m=3【详解】试题分析：因为使得分式方程分母等于0的未知数的值，是方程的增根，所以方程的增根是x=±1，去分母得：6-m （x+1）=（x+1）（x-1），把增根x=±1分别代入此方程可得m=3.考点：分式方程的增根.30．2630y y --= 【分析】把21x y x-=代入原方程，去分母化简即可． 【详解】解：把21x y x-=，代入原方程得，123y y -=， 去分母，得2630y y --= ．故答案为：2630y y --=．【点睛】本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．311【分析】先根据矩形的性质得出2,4,//,90CD AD AB CD A CDF ==∠=∠=︒，设DF x =，可得4AF x =-，再根据相似三角形的判定与性质可得DE 的长，从而可得CE 的长，然后根据“ABF △与CEF △的面积相等”建立等式可求出x 的值，由此即可得出答案． 【详解】四边形ABCD 是矩形，2,4AB BC ==2,4,//,90CD AB AD BC AB CD A CDF ∴====∠=∠=︒设DF x =，则4AF AD DF x =-=-由040x x >⎧⎨->⎩得04x << //AB CDABF DEF ∴~AB AF DE DF∴=，即24x DE x -= 解得24x DE x =- 28244x CE CD DE x x∴=+=+=-- 又ABF △与CEF △的面积相等1122AB AF CE DF ∴⋅=⋅，即1182(4)224x x x⨯-=⋅⋅-解得6x =-64x =+>（不符题意，舍去）经检验，6x =-则214x DE x ==-1．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．a≥23且a≠4【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a 的范围即可．【详解】去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x＝325a-，由分式方程的解为非负数，得到325a-≥0，且325a-≠2，解得：a≥23且a≠4．故答案为：a≥23且a≠4．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．33．8 或-8【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+4）（x-4）=0，得到x=-4或4，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值．【详解】解：方程两边都乘（x+4）（x-4），得（x-4）+（x+4）=k，①原方程有增根，①最简公分母（x+4）（x-4）=0，解得x=-4或4，当x=-4时，k=-8，当x=4时，k=8，故k的值是-8或8．故答案为-8或8；．【点睛】本题主要考查分式方程增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握分式增根的意义. 34．4【分析】以A为圆心AB为半径画圆，根据圆周角定理可得①ABD＝2①BDC＝①BAC，再根据①ABE①①DBA得线段比例关系，进而求出BE的长度．【详解】解：如图，以A为圆心AB为半径画圆，①AB＝AC＝AD，①点B、C、D都在圆上，又①①ABD＝2①BDC，①①ABD＝2①BDC＝①BAC，（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），∴∠ABD=①BDA，∴①BAC＝①BDA，又∠ABE=①DBA，①①ABE①①DBA，BE=AE，①BEAB＝ABBD，设BE＝AE＝x，则AC＝AB＝2+x，BD=5+x，①2xx+＝25xx++，解得x＝4，经检验，x=4是所列分式方程的解，∴BE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查圆的有关性质、圆周角定理、等角对等边、相似三角形的判定与性质、解分式方程；熟练掌握相似三角形的判定与性质，利用圆的有关知识解决问题是解答的关键．35．4【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得a的值．【详解】解：①4122ax x=+--，方程两边同时乘以(2)x-，有①2=-x a ；①原分式方程无解，①2x =，①22a -=，①4a =；故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，先根据解分式方程的一般步骤求出整式方程的解，再根据分式方程无解，求出答案．36．32【分析】作FQ①y 轴于点Q ，证①AFQ①①DAO 得FQ=OA=6，求出FQ=OC,结合FQ①OC 且①FQO=90°证四边形OCFQ 是矩形，从而得①PCD=①AOD=90°，设OD=x ，则CD=6-x （2≤x≤6），再证①AOD①①DCP 得AO OD DC PC=，即则66x x PC =-，即PC=-16x 2+x=-16（x-3）2+32，据此可得答案． 【详解】解：如图，作FQ①y 轴于点Q ，①FQ①y①在Rt①AFQ 中，①FAQ+①AFQ=90°，①FQA=90°①四边形ADEF 是正方形，①FA=AD ，①FAD=90°，①①FAQ+①DAO=90°，①①AFQ=①DAO ，①①AOD=90°①①FQA=①AOD在①AFQ 和①DAO 中，FQA AOD AFQ DAO FA AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ①①AFQ①①DAO （AAS ），①FQ=OA=6，①()6,0C①FQ=OC又①①FQA=①AOD①FQ①OC ，①四边形OCFQ 是平行四边形①①FQO=90°，①四边形OCFQ 是矩形，①①PCD=①AOD=90°①①PDC+①CPD=90°，①①ADE=90°①①ADO+①PDC=90°，①①CPD=①ADO①①AOD①①DCP ， ①AO OD DC PC=， 设OD=x ，则CD=6-x （2≤x≤6）， 则66x x PC=-， 即PC=-16x 2+x=-16（x-3）2+32， ①当x=3时，PC 最大=32， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的最值，证①PCD=①AOD=90°利用相似三角形的判定与性质得出PC的长度表达式是解题的关键．37．x=-3 2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程整理得：121x+-1321x=--，去分母得：1+2x-1＝﹣3，解得：x=-32，经检验x=-32是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．38．0或4##4或0【分析】先将分式方程化为整式方程（m-4）x=2，根据题意分m-4=0、x=0和x=12-情况求解即可．【详解】解：原方程可化为2（2x+1）=mx，即（m-4）x=2，①方程221mx x=+无解，①m-4=0或x=0或x=12 -，当m-4=0即m=4时，方程（m-4）x=2无解，即原分式方程无解，当x=0时，m无解，当x=12-时，m=0，综上，m的值为0或4，故答案为：0或4．【点睛】本题考查解分式方程，熟知分式方程无解时的等价关系是解答的关键．39．5-或12 -．【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：原方程变形为122(1)1(2)x kx x x x x x ++-+=-+-， 方程去分母后得：(1)(1)(2)2x x x x kx -+-+=+，整理得：(2)3k x +=-，分以下两种情况：令1x =，23k +=-，5k ∴=-；令2x =-，2(2)3k -+=-，12k ∴=-， 综上所述，k 的值为5-或12-． 故答案为：5-或12-． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k 的方程是解题关键．40．n 的值是10或9．【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解．【详解】由①123x x ⨯+==1+2得x=1或x=2； 由①235x x ⨯+==2+3得x=2或x=3； 由①347x x⨯+==3+4得x=3或x=4， 可得第n 个方程为：x+(1)n n x +=2n+1， 解得：x=n 或x=n+1， 将2223n n x n x ++=-+变形，(x+3)+(1)+3n n x +=2n+1， ①x+3=n 或x+3=n+1，①方程的解是x=n-3，或x=n-2，当n-3=7时，n=10，当n-2=7时，n=9，①n 的值是10或9．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键．41．见解析【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：静静的解答过程有错误，正确的解答过程为：去分母得：6x -2（3-x ）=5（x -1）去括号得：6x -6+2x =5x -5移项得：6x +2x -5x =-5+6合并同类项得：3x =1两边同除以3得：x =13， 经检验，x =13是方程的解， 所以原方程的解为：x =13． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．42．分式方程无解．【详解】试题分析：分式方程两边同乘以x—3，去掉分母，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：解：去分母得：x=2x ﹣6+3，移项合并得：x=3，经检验x=3是增根，分式方程无解．考点：分式方程的解法.43．（1）4x =；（2）()23x x y --【分析】（1）先去分母，将分式方程化解为整式方程，求解检验即可；（2）先提取公因式3x -，然后运用完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）解：方程两边同乘以()321x -，得 2134x --=，即28x =．解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解．所以，原分式方程的解为4x =．（2）原式()2232x x xy y =--+()23x x y =--．【点睛】本题主要考查解分式方程以及提公因式法和公式法因式分解，熟知解分式方程的一般步骤以及完全平方公式的结构特点是解题的关键．44．（1）14a +；（2）x ＝3 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式＝24(4)(4)(4)(4)a a a a a a +-+-+- ＝2(4)(4)(4)a a a a -++- ＝4(4)(4)a a a -+- ＝1(4)a +； （2）去分母得：(1)2(1)2(1)(1)x x x x x ++-=+-，解得：x ＝3，检验：当x ＝3时，(1)(1)0x x +-≠，①x ＝3是原方程的解．【点睛】本题考查了分式的加减，解分式方程，解题的关键是掌握分式的加减法则和解分式方程的一般步骤．45．(1) 2元;(2) 盈利了8241元.【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.1x 元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．【详解】解：（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.1x 元， 根据题意，得：169415001.1x x-=20， 解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．。
12.易错专题：分式与分式方程中的易错题
易错专题：分式与分式方程中的易错题 ◆类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为01．若分式x 2－16x －4的值为零，则x 的值为( ) A ．0 B ．4 C ．±4 D ．－42．若分式x 2－9x 2＋x －12＝0，则x 的值是( ) A ．3或－3 B ．－3 C ．3 D ．9◆类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不为03．先化简，再求值：x －2x 2－1·x ＋1x 2－4x ＋4＋1x －1，其中x 是从－1、0、1、2中选取的一个合适的数．4．先化简x 2－4x 2－9÷⎝⎛⎭⎫1＋1x －3，再从不等式2x －3<7的正整数解中选出使原式有意义的数代入求值．◆类型三 解分式方程不验根5．解方程：1－x x －2＝12－x－2.【易错9】◆类型四 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】6．★若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，则m 的值为( ) A ．－1.5 B ．1 C ．－1.5或2 D ．－0.5或－1.57．已知关于x 的分式方程a x ＋1－2a －x －1x 2＋x＝0无解，求a 的值．◆类型五 已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】8．若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为( ) A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，39．已知关于x 的分式方程a －x x ＋1＝1的解为负数，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D 2.B3．解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1＝1（x －1）（x －2）＋1x －1＝x －1（x －1）（x －2）＝1x －2.当x ＝0时，原式＝－12(x 不能取－1、1、2)． 4．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －2＝x ＋2x ＋3.解不等式2x －3<7，得x <5，其正整数解为1，2，3，4.∵x ＋3≠0且x －2≠0且x －3≠0，∴x ≠－3且x ≠2且x ≠3，∴x ＝1或4.当x ＝1时，原式＝34；当x ＝4时，原式＝67. 5．解：去分母，得1－x ＝－1－2(x －2)，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0.∴x ＝2不是原分式方程的解，故原分式方程无解．6．D 解析：分式方程化简得(2m ＋1)x ＝－6.当2m ＋1＝0，即m ＝－0.5时，原分式方程无解；当2m ＋1≠0时，x ＝－62m ＋1，当x ＝3时，原分式方程无解，即－62m ＋1＝3，解得m ＝－1.5；当x ＝0时，原分式方程无解，即－62m ＋1＝0，此方程也无解．综上所述，m 为－0.5或－1.5，故选D.7．解：去分母，得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，∴x (x ＋1)＝0，得x ＝－1或0.当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12. ②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a ＋1＝0，a ＝－1.综上可知，a ＝0或12或－1. 8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，解得m ＜4且m ≠2，∴满足条件的正整数m 的值为1和3.故选C. 9．解：由a －x x ＋1＝1，解得x ＝a －12.由题意得⎩⎨⎧a －12<0，a －12＋1≠0，∴a <1且a ≠－1. 江西热点综合滚动练习：分式的有关概念与计算时间：45分钟 分数：100分 得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列代数式：m 2，3a ，a ＋b 7，5，1x －1，x π中，分式的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列分式中，最简分式是( )A .ab a 2B .2x －14xC .a ＋2a 2－4D .3x 9y 2 3．下列各式正确的是( )A .c －a －b ＝－c a －bB .c －a －b ＝－c a ＋bC .c －a ＋b ＝－c a ＋bD .c －a －b ＝－－c a －b4．计算a 1－a －11－a的结果为( ) A .1＋a a －1 B ．－a a －1C ．－1D ．2 5．已知分式（x －1）（x ＋2）x 2－1的值为0，那么x 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．1或－26．下列运算结果为x －1的是( )A ．1－1xB .x 2－1x ·x x ＋1C .x ＋1x ÷1x －1D .x 2＋2x ＋1x ＋17．当x ＝6，y ＝3时，代数式⎝⎛⎭⎫x x ＋y ＋2y x ＋y ·3xy x ＋2y 的值是( )A ．2B ．3C ．6D ．98．如果分式3x －1（x －1）（x －2）＝A x －1＋B x －2，那么A ，B 的值是( ) A ．A ＝－2，B ＝5 B ．A ＝2，B ＝－3C ．A ＝5，B ＝－2D ．A ＝－3，B ＝2二、填空题(每小题4分，共24分)9．(2017·连云港中考)使分式1x －1有意义的x 的取值范围是________． 10．分式b 4ac 与c 6a 2b的最简公分母是________． 11．若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab的值为________． 12．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m 棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了________小时完成任务(用含m 的代数式表示)．13．已知x 2－4x ＋4与||y －1互为相反数，则式子⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为3，我们发现第一次得到的结果为1，请你探索输入的n 值为2017时得到的结果为________． n →平方→＋n →÷n → －n →答案三、解答题(共44分)15．(8分)(1)已知分式2x 2－8x －2，当x 取什么值时，分式的值为零？(2)x 为何值时，分式x 2＋23x －9的值为正数？16．(8分)计算：(1)(2017·泸州中考)x －2x ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋5x 2－4；(2)(2017·宜宾中考)⎝⎛⎭⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a .17．(10分)先化简，再求值：(1)a a －b ·⎝⎛⎭⎫1b －1a ＋a －1b ，其中a ＝2，b ＝13；(2)⎝⎛⎭⎫1－2x ÷x 2－4x ＋4x 2－4－x ＋4x ＋2，其中x 2＋2x －15＝0.18．(8分)已知a ，b ，c 为实数，且ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ca c ＋a ＝15，求abc ab ＋bc ＋ca的值．19．(10分)找找规律：(1)计算：①11－x ＋11＋x ； ②11－x ＋11＋x ＋21＋x 2； ③11－x ＋11＋x ＋21＋x 2＋41＋x 4＋81＋x 8； (2)①计算下列两式，探索其中的共同规律：p mn ＋m np ＋n pm； c －a （a －b ）（b －c ）＋a －b （b －c ）（c －a ）＋b －c （c －a ）（a －b ）； ②这两个式子的值能为0吗？为什么？参考答案与解析1．B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A9．x ≠1 10.12a 2bc 11.32 12.2400m （m ＋10）13.12 14.1 15．解：(1)由题意得2x 2－8＝0且x －2≠0，(3分)∴x ＝－2.(4分)(2)∵x 2＋2>0，∴要使x 2＋23x －9的值为正数，则3x －9>0，(7分)∴x >3.(8分) 16．解：(1)原式＝x ＋1x ＋2.(4分)(2)原式＝a a －2.(8分) 17．解：(1)原式＝a a －b ·a －b ab ＋a －1b ＝1b ＋a －1b ＝a b .(3分)当a ＝2，b ＝13时，原式＝ 2 13＝6.(5分)(2)原式＝x －2x ·x ＋2x －2－x ＋4x ＋2＝x ＋2x －x ＋4x ＋2＝4x 2＋2x.(8分)∵x 2＋2x －15＝0，∴x 2＋2x ＝15，∴原式＝415.(10分) 18．解：将已知三个等式左右两边均分别取倒数得a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，c ＋a ca ＝5，即1a＋1b ＝3，1b ＋1c ＝4，1c ＋1a ＝5，(3分)将三式相加得1a ＋1b ＋1c ＝6，通分得ab ＋bc ＋ca abc＝6，(6分)即abc ab ＋bc ＋ca ＝16.(8分) 19．解：(1)①原式＝1＋x ＋1－x （1－x ）（1＋x ）＝21－x 2.②原式＝21－x 2＋21＋x 2＝2（1－x 2＋1＋x 2）1－x 4＝41－x 4.③原式＝41－x 4＋41＋x 4＋81＋x 8＝161－x 16.(6分) (2)①p mn ＋m np ＋n pm ＝p 2＋m 2＋n 2mnp .c －a （a －b ）（b －c ）＋a －b （b －c ）（c －a ）＋b －c （c －a ）（a －b ）＝（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2（a －b ）（b －c ）（c －a ）.(8分) ②∵m ，n ，p 均不等于0，∴p 2＋m 2＋n 2>0，∴p mn ＋m np ＋n pm不可能为0.同理可知c －a （a －b ）（b －c ）＋a －b （b －c ）（c －a ）＋b －c （c －a ）（a －b ）也不可能为0.(10分)。
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易错专题：分式与分式方程中的易错题
◆类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为0
1．若分式x 2－16x －4
的值为零，则x 的值为( ) A ．0 B ．4 C ．±4 D ．－4
2．若分式x 2－9x 2＋x －12
＝0，则x 的值是( ) A ．3或－3 B ．－3 C ．3 D ．9
◆类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不为0
3．先化简，再求值：x －2x 2－1·x ＋1x 2－4x ＋4＋1x －1
，其中x 是从－1、0、1、2中选取的一个合适的数．
4．先化简x 2－4x 2－9÷⎝
⎛⎭⎫1＋1x －3，再从不等式2x －3<7的正整数解中选出使原式有意义的数代入求值．
◆类型三 解分式方程不验根
5．解方程：1－x x －2＝12－x
－2.【易错9】
◆类型四 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】
6．★若关于x 的分式方程2m ＋x x －3
－1＝2x 无解，则m 的值为( ) A ．－1.5
B ．1
C ．－1.5或2
D ．－0.5或－1.5
7．已知关于x 的分式方程a x ＋1－2a －x －1x 2＋x
＝0无解，求a 的值．
◆类型五 已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】
8．若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x
的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为( ) A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，3
9．已知关于x 的分式方程a －x x ＋1
＝1的解为负数，求a 的取值范围．
参考答案与解析
1．D 2.B
3．解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1＝1（x －1）（x －2）＋1x －1＝x －1（x －1）（x －2）＝1x －2
.当x ＝0时，原式＝－12(x 不能取－1、1、2)． 4．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －2＝x ＋2x ＋3
.解不等式2x －3<7，得x <5，其正整数解为1，2，3，4.∵x ＋3≠0且x －2≠0且x －3≠0，∴x ≠－3且x ≠2且x ≠3，∴x ＝1或4.
当x ＝1时，原式＝34；当x ＝4时，原式＝67
. 5．解：去分母，得1－x ＝－1－2(x －2)，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0.∴x ＝2不是原分式方程的解，故原分式方程无解．
6．D 解析：分式方程化简得(2m ＋1)x ＝－6.当2m ＋1＝0，即m ＝－0.5时，原分式方
程无解；当2m ＋1≠0时，x ＝－62m ＋1，当x ＝3时，原分式方程无解，即－62m ＋1
＝3，解得m ＝－1.5；当x ＝0时，原分式方程无解，即－62m ＋1
＝0，此方程也无解．综上所述，m 为－0.5或－1.5，故选D.
7．解：去分母，得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，∴x (x ＋
1)＝0，得x ＝－1或0.当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1
＝0，解得a ＝12
. ②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a ＋1＝0，a ＝－1.综上可知，a ＝0或12
或－1. 8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2≠0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，解得m ＜4且m ≠2，∴满足条件的正整数m 的值为1和3.故选C. 9．解：由a －x x ＋1＝1，解得x ＝a －12.由题意得⎩⎨⎧a －12<0，a －12＋1≠0，
∴a <1且a ≠－1.。