数学核心概念教学实践感悟-2019年文档

数学核心概念教学实践感悟
在概念的构成中，核心概念是位于学科中心的概念性知识，它包括对重要概念、原理、理论等的基本理解和解释，核心概念作为学科结构的主干，必须要能展现当代学科的图景。

[1]因此，学习并建构概念，关键是把握其中的核心概念。

笔者在概念教学的过程中，尝试构建“引导学生自主构建概念”的教学模式，即围绕概念中的核心概念，力图在教师的引导下，由学生体验、探索新概念的生成过程而获得概念。

其教学的基本模式就是：教师创设恰当的情境，促使学生内部问题情境的生成，从而激发学生的学习兴趣，同时通过设置的问题情境引导学生对该问题反复感知，并在分析、类比、抽象、概括的基础上，概括出其本质属性，从而获得核心概念。

笔者在“直线的倾斜角与斜率”的教学活动中，运用这样的教学模式，将整堂课设计为四个教学环节，即发现问题、探索方法、构建概念、运用概念，通过有效的教学活动，取得了理想的教学效果。

一、激励学生发现问题
学生通过初中欧式几何的学习掌握了直线的概念，直线作为最简单的曲线是学生最熟悉的几何图形，是解析几何研究的基本对象和基础，又是后续研究的直线与圆以及直线与圆锥曲线的基础。

解析几何的核心方法为坐标法，即用代数的方法研究几何图形的性质，学生没有对直线的认识就谈不上认识其他曲线。

因此，教师在教学中，以直线作为突破口来设置问题。

教师设置问题：在研究平面几何时，经常会涉及作出多边形的对角线这样的问题。

请问，同学们一般是如何作出对角线的？教师请同学们利用提供等腰直角三角板，先作出学案图1的正方形的对角线，进而请同学们仍然利用等腰直角三角板作出图2正方形的对角线。

作小正方形的对角线利用“两点确定一条直线”，作大正方形的对角线利用“一点与方向确定一条直线”。

让学生在实践的过程中体会并总结确定直线的两种方式。

这时，教师引导学生思考：在正方形中我们可以将正方形的边作为参照系，去找对角线所在直
线与正方形边所成角。

如果我们将正方形去掉让大家同样去确定这条直线（即对角线），那又可以通过寻找什么作为参照系来确定这条直线？这个问题将学生由简单的操作层面引向了理性思考。

二、指导学生探索方法
学生已经知道点放在平面直角坐标系中，不同的位置与不同的有序数对一一对应，实现了将点代数化。

教师此时引导学生进一步思考：如何确定直线在平面直角坐标系中的位置？如何将确定直线位置的几何要素代数化？
在经过短暂思考后，学生都能想到将直线放入平面直角坐标系，通过找直线与x轴所形成角。

但直线与x轴相交，会形成四个角，以哪一个角来刻画这个方向更恰当呢？有部分学生会想到与x轴所形成的较小角。

但先前的两条对角线马上就直观地说明这样定义的不准确性。

但这时，学生的思考范围已由一条直线，转变为将这两条直线类比思考。

教师引导学生运用类比的思想，寻找共同点。

学生经过思考、讨论，最终归纳出：以直线与x轴的交点为顶点，以x轴正方向为始边，直线在x轴上方的部分为终边的角。

如果以这样的角来刻画一个方向。

角的大小确定了，直线位置也就被确定了。

在此基础上，教师首先给出定义的术语：上述的角叫做直线的倾斜角。

然后，引导学生得到不完整的直线倾斜角定义：直线向上的方向与x轴正方向所成角。

接着通过练习，发现定义的不完整性，从而修正得到直线倾斜角完整定义。

三、引导学生构建概念
以上两个问题的解决，为用代数方法刻画直线的倾斜程度搭建了恰当的脚手架。

紧接着，教师引导学生思考：确定一条直线位置的几何要素是“两点”或“一点和倾斜角”。

这两种条件都可以确定出同一条直线，那他们之间又有什么联系呢？要找到这两者的关系，就要厘清点与角之间的关系。

点在坐标系中表现为坐标，这是数。

因此，需要建立角度与数之间的关系。

角怎样被代数化呢？角常用的三角函数值有正弦值、余弦值、正切值，用哪种值来代数化倾斜角更合理呢？
教师提出探究任务：探究直线上两点坐标与倾斜角的关系。

学生一：分别求出了倾斜角α的三个三角函数值，如右图1，结论——正切值形式最简单。

教师追问：除了倾斜角为锐角、钝角的情况还有没有其他情况？
学生：有，倾斜角为0°和90°。

教师；结果又是怎么样呢？
教师在学生展示的时候引导：不过原点的直线又能不能用这种方法推导？
学生：应该可以！借助于向量就可以解释。

教师在引导学生思考、讨论的基础上，进行归纳总结：前两位同学通过构造直角三角形利用锐角三角函数定义，第三位同学借助向量利用任意角三角函数定义，均找到了倾斜角的正弦、余弦、正切与直线上两点坐标之间的关系。

在比较他们的推导方法和结果后发现，正切是最简洁的，并且在0°-180°的范围内，两点坐标代入计算出的每一个正切值和倾斜角都是一一对应的，所以用正切值来代数化直线的倾斜角较合理、恰当。

因此，我们就给直线倾斜角的正切值取一个名字——直线的斜率。

生活中也有反映倾斜程度的量即坡度，坡度是坡角的正切。

这样，教师提出了“直线的斜率”的概念，并引导学生认识斜率的地位和作用：斜率作为刻画直线性质的主要手段具有至关重要的基础地位，因此，斜率在解析几何中处于主干地位，是核心概念。

进而，提出：整个探究过程又蕴含了哪些数学思想呢？学生：数形结合、分类讨论。

这样，学生在建构斜率这个概念时，经历了分析——倾斜角代数化的可能方法和途径、类比——代数化的过程中同一倾斜角的三种三角函数以及各种不同范围下的倾斜角的同一三角函数、抽象——将倾斜角这一具体的几何元素抽象为正切值这一代数结果、概括——倾斜角为90°和不为90°两种情况下倾斜角代数化的过程和结果，概括出其本质属性，从而获得核心概念——斜率。

使学生经历用两点坐标刻画直线倾斜角的过程，然后推导出过两点的直线斜率的计算公式。

四、帮助学生运用概念
在学生通过自主探究的过程，建构起直线倾斜角、直线斜率的基础上，教师引导学生运用基本概念，解决下列例题，以加深对概念的理解。

例1已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）
（1）求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角；
（2）将B、C分别改为B（3，1）、C（0，2）求直线AB，CA的斜率，并求直线的倾斜角。

该题是教材例题的改编题，改编的目的主要想让学生对于倾斜角为90°、0°两种情况再加深认识。

题目研究直线，是将直线放在平面直角坐标系中，计算直线斜率，通过斜率刻画直线倾斜角这一几何量，是坐标法中用代数结果研究几何图形性质的体现。

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为以下各值的直线：
（1）1，-1；（2）2，-3。

此题（1）中的直线既可以用一点和倾斜角作出，也可以用两点作出；（2）中的直线只能够用两点作出。

不管是哪种方法，都是通过这些代数数据，准确地刻画出了直线这一几何图形。

最后，教师从数学方法的角度，进行归纳总结：通过反思整个研究过程，我们能够感受到现在研究几何图形的特征与小学和初中学习的平面几何不相同，原来是采用公理化方法，把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系。

这属于欧氏几何的范畴。

现在我们研究几何图形是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过方程研究曲线的性质。

这门学科就是兴起于十六世纪的《解析几何》。

解析几何最核心的方法就是坐标法。

通过本节课的教学活动，笔者认为，概念形成模式下的概念教学，教师应该注意四大方面。

一是从学科思想方法角度发掘核心概念。

比如，从解析几何研究问题方法的角度看，本堂课的核心概念是斜率，因为只有斜率才实现了将几何问题代数
化，才体现出了坐标法研究问题的基本思路。

只有认清了核心概念，才能够摒弃教学过程中很多枝节问题，从而突出主干、抓住教学核心。

二是基于核心概念形成的心理活动过程和学生的认知结构，突出概念的本质和建构过程。

斜率作为描述直线在坐标系下位置的代数特征，整个概念的建构过程需要经历将几何问题转化为代数问题。

这一过程，学生心理将经历以下6个阶段：[2]别不同的刺激模式；分化和类化各种刺激模式的属性，并综合出共同属性；提出或验证假设；明确外延；运用概念，完成从抽象到具体的认知过程。

三是为学生概括与领悟核心概念搭建“脚手架”。

学生概念的习得是在人类认识问题基础上的再认识。

因此，在学生探究过程中，适时搭建脚手架显得非常重要。

为了通过探究获得核心概念斜率，在上课的过程中搭建了两个脚手架。

其一是将直线放在直角坐标系内；其二先概括确定直线位置的几何要素即直线的倾斜角。

四是通过应用反馈加深对核心概念的认识和理解。

核心概念的应用，不但可以使学生更加深入地领悟概念，而且还可以使学生形成用概念解决问题的真实体验。

对于内涵丰富的核心概念，只有使学生深度体验，引发心理共鸣，形成内心感悟，才能真正内化为学生的一部分，才能真正优化学生认知结构。