大学线性代数必过复习资料

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《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示;非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题............................................................ - 12 -31、线性相关（无关)与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ,12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ,M 13＝32312221a a a a对M 11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ,这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积④若都是方阵（不必同阶）则⑤关于副对角线：⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵矩阵的运算性质矩阵求逆矩阵的秩的性质矩阵方程的求解矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或(同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.(矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.(矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c.矩阵与矩阵相乘：设,,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式不成立.a.分块对角阵相乘：b.用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a.对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b.分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,,.分块对角阵矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立） 2.逆矩阵的求法方阵可逆.①伴随矩阵法：②初等变换法③分块矩阵的逆矩阵：④,⑤配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义）行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式 () () () ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.矩阵的秩关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式(存在的话)全部为0；②、，的阶子式全部为0；③、，中存在阶子式不为0；矩阵的秩的性质：①;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若；若⑧等价标准型.⑨≤,≤≤⑩,求秩矩阵方程的解法)：设法化成第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.线性表示的判别定理:可由的线性表示由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、有解②、③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）2.设的列向量为的列向量为，，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. 即：线性相关性判别方法：法1法2法3推论线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作矩阵等价经过有限次初等变换化为向量组等价和可以相互线性表示记作：矩阵的行向量组的秩列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系向量组可由向量组线性表示且，则线性相关向量组线性无关且可由线性表示则.向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价任一向量组和它的极大无关组等价向量组极大无关组若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等设是矩阵若，的行向量线性无关；线性方程组的矩阵式向量式（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：判断是的基础解系的条件：①线性无关；②是的解；③.(4)求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解，是的一个解线性无关√与同解（列向量个数相同）：①它们的极大无关组相对应从而秩相等②它们对应的部分组有一样的线性相关性③它们有相同的内在线性关系与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.第四部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.(标准正交基个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1与的内积(.记为：④向量的长度⑤是单位向量的向量.2.内积的性质：①正定性：②对称性：③线性：(设A是一个n阶方阵,若存在数和n维非零列向量,使得，则称是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.(的特征矩阵）.(的特征多项式）.④是矩阵的特征多项式⑤，称为矩阵的迹.⑥上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.⑧一定可分解为=、,从而的特征值为：,.为各行的公比，为各列的公比.⑨若的全部特征值，是多项式,则:①若满足的任何一个特征值必满足②的全部特征值为；.⑩与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程，求出特征值.(2)根据得到A对应于特征值的特征向量.设的基础解系为其中.则A对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数.(与相似（为可逆矩阵）(与正交相似（为正交矩阵）(可以相似对角化与对角阵相似.（称是的相似标准形）6.相似矩阵的性质：①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是关于的特征向量,是关于的特征向量.②③从而同时可逆或不可逆④⑤若与相似,则的多项式与的多项式相似.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：.②可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.③若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.实对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③一定有个线性无关的特征向量.若有重的特征值,该特征值的重数=；④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.9.正交矩阵正交矩阵的性质①；②；③正交阵的行列式等于1或-1④是正交阵则也是正交阵⑤两个正交阵之积仍是正交阵⑥的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.施密特线性无关单位化：其中为对称矩阵，(与合同.（）(正惯性指数二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差(为二次型的秩)④两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是：与等价⑥两个矩阵合同的必要条件是：2.经过化为标准形.(正交变换法(配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;若二次型中不含有平方项，但是(),则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.(初等变换法3. 正定二次型不全为零，.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.4.为正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正惯性指数为；（4）的所有顺序主子式全大于；（5）与合同，即存在可逆矩阵使得；（6）存在可逆矩阵，使得；5.（1）合同变换不改变二次型的正定性.（2）为正定矩阵；.（3）为正定矩阵也是正定矩阵.（4）与合同，若为正定矩阵为正定矩阵（5）为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵. 半正定矩阵的判定一些重要的结论：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.7第1页共20页。

《线性代数复习资料》第一章习题答案与提

详细描述：本题主要考察学生对矩阵运算的掌握程度，包括矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算。
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况，并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
在此添加您的文本16字
详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
THANK YOU
感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算总结词：矩阵的秩总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。

大一线性代数必考知识点

大一线性代数必考知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。

掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。

接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。

一、向量和矩阵1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。

2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。

3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。

二、线性方程组1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。

2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性无关组和基、维数的概念等。

三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本性质等。

2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。

四、内积空间和正交性1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。

2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。

五、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的基本性质等。

2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似和对角化等。

六、向量空间的维数和秩1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。

2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-零度定理等。

这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。

在备考过程中，建议多做习题和练习，加深对这些知识点的理解，并且理论联系实际，将其与实际问题进行结合，提高解决实际问题的能力。

祝大家在线性代数的学习中取得优异的成绩！。

线性代数重点复习(16页)

齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容：二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算，此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶的行列式计算。对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。

大学线性代数复习资料

线性代数是数学的一个分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。

在大学数学课程中，线性代数是一门重要的基础课程。

本文将为大家提供一份详细的线性代数复习资料，包括定义和常用公式，希望能够帮助大家复习线性代数知识。

1. 向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V，其中定义了两个运算：向量的加法和数乘运算，满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v∈V。

（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，它们的积au∈V。

（3）加法满足交换律和结合律。

（4）存在一个零向量0∈V，使得对于任意一个向量u∈V，都有u+0=u。

（5）对于任意一个向量u∈V，存在一个负向量−u∈V，使得u+(−u)=0。

（6）数乘满足分配律和结合律。

2. 线性变换的定义线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)。

（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，有T(au)=aT(u)。

（3）对于任意一个向量u∈V，有T(0)=0。

3. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数构成的矩形阵列，通常用大写字母A、B、C等表示，其中Aij 表示第i行第j列的元素。

4. 矩阵的加法和数乘矩阵加法和数乘的定义如下：（1）矩阵加法：设A和B是两个m×n的矩阵，则它们的和A+B是一个m×n的矩阵，其中每个元素为Aij+Bij。

（2）数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个标量，则kA是一个m×n的矩阵，其中每个元素为kAij。

5. 矩阵乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中第i行第j列的元素为∑k=1nAikBkj。

6. 行列式的定义行列式是一个函数，它将一个n×n的矩阵映射到一个实数上。

行列式的定义如下：（1）n=1时，行列式为矩阵中唯一的元素。

大一线性代数必过知识点

大一线性代数必过知识点一、矩阵和行列式线性代数的基础知识点之一就是矩阵和行列式。

矩阵代表了一个有限维度的数组，可以进行加法、减法、乘法等运算。

而行列式是一个数值，可以用来判断矩阵的性质。

在学习线性代数的过程中，我们必须掌握矩阵和行列式的基本性质，例如矩阵的转置、逆矩阵的存在性以及行列式的计算方法等。

二、向量空间和线性变换向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了由多个向量组成的空间。

在向量空间中，我们可以定义向量之间的运算，例如加法和标量乘法。

线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作，它保持向量空间中的向量运算性质不变。

学习线性代数的过程中，我们需要熟悉向量空间和线性变换的基本性质，例如向量空间的维度、线性变换的矩阵表示等。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念之一。

对于一个给定的线性变换，特征向量是指在该变换下保持方向不变的非零向量，而特征值则表示特征向量在该变换下的缩放比例。

我们需要学习特征值和特征向量的求解方法，例如特征方程的求解和特征值的计算。

四、线性方程组和解空间线性方程组是线性代数中的核心内容之一。

线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，我们需要求解方程组的解集。

解空间指的是线性方程组的所有解构成的向量空间。

在学习线性方程组的解法时，我们需要掌握高斯消元法、矩阵的秩和系数矩阵的行最简形等解题方法。

五、内积和正交性内积是线性代数中的重要概念，它定义了向量之间的夹角和长度。

内积可以用来判断向量是否正交、计算向量的长度以及求解投影等。

正交性是指向量之间的内积为零，正交矩阵则是指满足正交性质的方阵。

在学习内积和正交性时，我们需要了解内积的定义和性质，例如内积的线性性质和正交矩阵的特点。

六、最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种数值计算方法，用于求解超定方程组的最优近似解。

当线性方程组存在无解或者有多个解时，最小二乘法可以找到一个在平方误差意义下最接近原始数据的解。

线性代数期末复习知识点资料整理总结

行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。

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复习重点：第一部分行列式1．排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2．行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3．伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4．矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。

线性代数-要点考点复习

六、行列式的计算
1.基本计算方法 (1)化三角形法 (2)展开法(降阶法)
展开前尽量化 0 按特殊的一行、列展开按0多的一行、列展开
2.常见行列式的计算方法
(1)各行(列)和相等
b a"a
a b"a
# #%#
a a"b
a1 + b a2 " an
a1 a2 + b " an
#
#%#
a1
a2 " an + b
2.向量的长度及其性质向量的单位化 (标准化 ) 3.向量的正交 (1)夹角 (2)正交 (3)求与一个或几个向量均正交的向量解齐次方程组由部分特征向量求实对称矩阵的其余特征向量
(4)正交向量组与标准正交向量组
4.施密特正交化方法
向量组的正交化
向量组的标准正交化
六、正交矩阵
1.定义 AT A = I
QT AQ = Λ QT AkQ = Λk Ak = QΛkQT
( ) AX = 0与 AT A X = 0同解 : ( ) AX = 0 ⇒ AT A X = AT ( AX ) = 0 ( ) ( ) AT A X = 0 ⇒ XT AT A X = 0
⇒ ( AX )T ( AX ) = 0
⇒ AX = 0
第一章行列式
复习要点 :
一、排列及其逆序
τ (i1"in ) = a,
τ
(in " i1 )
=
n(n − 2
1)
a.
二、2、3阶行列式的对角线原理
三、行列式的定义
D
=| aij
|=
p1
∑
p2"

大一线性代数必考知识点pdf

大一线性代数必考知识点pdf 线性代数是大学理工科类专业中的一门重要课程，它具有广泛的应用领域和实际意义。

对于大一学生而言，线性代数作为入门课程，是为后续学习打下基础的重要一环。

本文将介绍大一线性代数必考的知识点，并提供一个PDF文档供学生们下载参考。

1. 数与向量运算1.1 实数与复数的性质与运算1.2 向量的定义与性质1.3 向量的线性组合与线性相关性1.4 向量的点乘与叉乘2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义与性质2.2 矩阵的运算法则（加法、数乘、乘法）2.3 矩阵的转置与逆矩阵2.4 矩阵的秩与行列式3. 线性方程组3.1 线性方程组的定义与解的存在性3.2 线性方程组解的唯一性与可解性3.3 高斯消元法与矩阵的初等变换3.4 齐次与非齐次线性方程组的解4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的性质4.3 对角化与相似矩阵4.4 对称矩阵的特征值与特征向量5. 线性映射与线性变换5.1 线性映射与线性变换的定义5.2 线性映射与线性变换的基本性质5.3 线性映射与矩阵的关系5.4 线性变换的核与像、线性变换的矩阵表示6. 正交基与正交投影6.1 正交基与正交子空间6.2 向量组的正交化与标准正交化6.3 Gram-Schmidt正交化过程6.4 正交投影的定义与性质以上是大一线性代数必考的知识点的简要概括，希望能对大一学生的学习起到一定的指导作用。

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该PDF文档包含了以上所有知识点的详细说明、公式推导以及典型例题的解析，是复习线性代数的必备资料。

大一线性代数必考知识点PDF下载地址：（避免在正文中出现网址链接，请将下载地址通过其他方式提供给读者，如附件、站内私信等方式）总结：线性代数作为大一学生的必修课程，对于后续学习和专业发展具有重要作用。

掌握好线性代数的基本知识点，对于培养学生的逻辑思维和数学分析能力十分重要。

大学线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结1. 向量与空间- 向量的定义与表示- 向量的加法与数乘- 向量的内积与外积- 向量的模、方向与单位向量- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标表示- 子空间及其性质- 线性相关与线性无关的概念2. 矩阵- 矩阵的定义与表示- 矩阵的加法、数乘与转置- 矩阵的乘法规则- 矩阵的逆- 行列式的概念与性质- 行列式的计算方法- 秩的概念与求解- 矩阵的分块3. 线性方程组- 线性方程组的表示- 高斯消元法- 行列式法- 逆矩阵解法- 克拉默法则- 线性方程组的解的结构- 齐次与非齐次线性方程组 - 线性方程组的解空间4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征值与特征向量的计算 - 矩阵的对角化- 矩阵的Jordan标准形- 特征值与特征向量的应用5. 内积空间- 内积空间的定义- 正交与正交性- 正交基与正交矩阵- 格拉姆-施密特正交化过程 - 最小二乘法- 正交投影与正交补6. 线性变换- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示- 线性变换的核与像- 线性变换的不变子空间- 线性变换的复合与逆变换 - 线性变换的分类7. 广义逆矩阵- 广义逆矩阵的概念- 广义逆矩阵的计算方法- 广义逆矩阵的性质与应用8. 谱理论- 谱定理- 谱半径与谱半径估计- 谱聚类9. 线性代数在其他领域的应用- 计算机图形学- 数据分析与机器学习- 量子力学- 结构工程- 电路分析结语线性代数是数学的一个重要分支，它在科学、工程、经济等多个领域都有着广泛的应用。

掌握线性代数的基本概念、理论和方法是解决实际问题的关键。

本文总结了线性代数的核心知识点，旨在为学习和应用线性代数提供参考和指导。

线性代数考试复习提纲、知识点、例题PDF.pdf

求向量组的秩的方法：
（1）扩充法
（2）子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关，（2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，

线性代数大二期末考试重点复习、题目,不可不看哦!

（3）若只有当 λ1 , λ2 ,L , λm , 全为时，）全为0时
λ1a1 + L + λm am + λ1b1 + L + λmbm = o 才成立
⇔ λ1 (a1 + b1 ) + λ2 (a2 + b2 ) + L + λm (am + bm = , a2 = , b1 = , b2 = 满足 a 0 0 1 0
练习：练习：设
2 1 8 2 −3 0 A= 3 −2 5 1 0 3 7 7 −5 8 0 2 0 3
（1）判定的列向量组的线性相关性）判定A的列向量组的线性相关性
（2）判定的行向量组的线性相关性）判定A的行向量组的线性相关性 (3) 求A的秩的秩R(A) 的秩 3 9 1 − 0 0 (4) 求A的一个最高阶子式 2 的一个最高阶子式 2 1 1 0 (5)求A的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，求的列向量组的一个最大无关组 0 1 − 2 2 并将其它向量用这个最大无关组表示 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解（1）A的列向量组的线性相关维数＜个数）的列向量组的线性相关维数＜的行向量组的线性相关性？（2）A的行向量组的线性相关性？相关）的行向量组的线性相关性 (3)R(A)＝３＝
复习：复习：最大无关组与秩
1. 最大无关组无关性最大性不唯一，但所含不唯一，向量个数唯一 2. 秩
任r+1个线性相关个线性相关再添一个就线性相关 A 能由 0 线性表示能由A
A
B ⇔ A0
简单性质

线性代数复习资料

第一部分、复习纲要1、行列式：掌握行列式的计算：①利用行列式的性质②按行（列）展开③利用已知特征值．2、矩阵及其运算：熟练掌握矩阵的运算（线性运算及矩阵乘法），会用伴随矩阵求逆阵，知道矩阵分块的运算律．3、矩阵的初等变换与线性方程组：熟练掌握用矩阵的初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法（包括求B A 1-）；熟练掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；会讨论带参数的方程组的解的情况．4、向量组的线性相关性：熟悉一个向量能由一个向量组线性表示这一概念与线性方程组的联系；知道两向量组等价的概念；熟悉向量驵线性相关、线性无关的概念与齐次线性方程组的联系；会用初等变换求向量组的秩和最大无关组；掌握齐次方程组的秩与解空间的维数之间的关系，熟悉基础解系的求法；会求向量组生成的向量空间的维数，会求从旧基到新基的过渡矩阵及向量的一个基下的坐标．5、相似矩阵及二次型：了解内积、长度、正交、规范正交基、正交阵、特征值与特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法，熟悉特征值的性质；知道矩阵相似、合同的概念及性质，熟悉二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换把二次型化为标准型的方法；知道对称阵的性质、可对角化的条件，二次型的正定性及判别法等．第二部分、典型题型一、填空题1、设4阶矩阵A 的秩()2R A =，S 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，则S 的维数为__2_____，A 的伴随矩阵*A 的秩是______0_______．2、已知3阶方阵A 的特征值为1，2，-3，则A 的迹t r A =___0_____，det A =___-6_____，*|32|A A E ++=_____25________，3、n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是_____A 有n 个线性无关的特征向量_________________.对称阵A 为正定的充分必要条件是________ A 合同于单位矩阵E__________.4、向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的秩是__3_______，一个最大无关组是_____321,,ααα_______________________．5、实二次型22212312133924f x x x x x x x =++-+的秩r = ，正惯性指数p = ，它是定的． 6、设1200250000250038A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则||A = 1 ，1A -= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2300580000120025 ． 7、设n 元线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，若此方程组有解，则当 r =n 时，方程组有惟一解；当 r <n 时方程组有无穷多解． 8、矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*C =___⎪⎪⎭⎫⎝⎛A B 00___________． 9、向量123α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，321β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵T A αβ=，则6A =___A 510___________．10、设A 为n 阶矩阵（n ≥2）,*A 为A 的伴随阵，则当()R A n =时，)(*A R = n ___；当()1R A n =-时，)(*A R ＝ _1 _ ；当()1R A n <- 时，)(*A R = 0 ．11、设3阶矩阵A 的特征值为2,1,3-，*2B E A =-（其中*A 是A 的伴随矩阵），则B 的行列式||B =__-385____．12、设12243311A t-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，并且A 的列向量组线性相关，则t = 3 ． 13、已知4维列向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所生成的向量空间为V ，则V的维数dim V = _3____．二、解答题1、设3112513420111533D ---=---，D 的(,)i j 元的代数余子式记作ij A ，求31323334322A A A A +-+． 2、计算n 阶行列式121212333nn n n x x x x x x D x x x ++=+4、设112201102P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，500010005-⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ,求100A ．5、设202010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 200010002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ，求100A ．6、非齐次线性方程组123123212322,2,2.x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．7、非齐次线性方程组13123123,421,642 3.x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．8、设方阵A 满足：220A A E --=，证明A 及2A E +都可逆，并求1A -及1(2)A E -+9、设n 阶矩阵A 和B 满足AB A B =+，（i ）证明A E -为可逆矩阵；（ii ）若350120002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求B ．10、已知向量11010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，33111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，416b β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（a ）问a ，b 取何值时，β不能由向量组123,,ααα线性表示？（b ）问a ，b 取何值时，β能由向量组123,,ααα线性表示？并且写出其一般表示式．、D 、之和的值求第四行各元素余子式设行列式22350070222204033--=11、求向量组1133α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3112α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4213α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的一个最大无关组与秩，并把其余向量用最大无关组线性表示．12、已知二次型为 222123232334f x x x x x =+++(1)写出二次型f 的矩阵表达式；(2)求一个正交变换x Py =，把二次型f 化为标准形，并写出该标准形．．、ax x x x b x x a x x x x x x x x b a 、通解并在有无穷多解时求其无解或有无穷多解有惟一解线性方程组为何值时问?.123,2)3(,122,0,,1343214324324321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++．AP P P ，a a A 、Λ=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1,,6002802214使并求可逆矩阵的值试求常数相似于对角阵若矩阵。

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。