人教版高中数学必修4章末检测 第三章 三角恒等变换

章末检测

一、选择题

1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )

A ．－3

2 B ．－1

2 C.1

2 D.3

2

答案 D

解析 (cos π

12－sin π

12)(cos π

12＋sin π

12)

＝cos 2 π

12－sin 2π12＝cos π6＝3

2.

2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π

6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3·sin ⎝⎛⎭⎫π

6－x 的图象的一条对称轴方程是(

)

A ．x ＝π

4 B ．x ＝π

2

C ．x ＝π

D ．x ＝3π

2

答案 C

解析 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤(2x ＋π

3)－(x －π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫π

2＋x

＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.

3．已知sin(α＋45°)＝5

5，则sin 2α等于( )

A ．－4

5 B ．－35 C.35 D.4

5

答案 B

解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·2

2＝5

5，

∴sin α＋cos α＝10

5.

两边平方，得1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－3

5.

4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )

A.⎣⎡⎦⎤－π

6，π

3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π

12

C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π

12 D.⎣⎡⎦⎤π3，5π

6

答案 B

解析 y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3

－sin 2x ＝－12sin 2x －32

cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间，π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2

＋2k π，k ∈Z ， ∴π

12＋k π≤x ≤7π

12＋k π，k ∈Z ，

令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π

12.

故选B.

5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(

) A.4

3 B.3

4 C.53 D.1

2

答案 A

解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π

4，3π

4，

又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π

4， 所以2

2

4≤1，

所以1

6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )

A ．－1

2 B.1

2 C ．－32 D.3

2

答案 B

解析 sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°

＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)

＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)

＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)

＝－cos(73°＋47°)

＝－cos 120°＝1

2.

7．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )

A ．向右平移π4

个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12

个单位 D ．向左平移π12

个单位 答案 C

解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4

) ＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2

) ＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12

个单位得到． 8．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45

，则这个三角形底角的正弦值为( ) A.1010 B ．－1010 C.31010

D ．－31010

答案 C 解析 设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，

则2α＋2β＝π且cos 2α＝45，∴α＋β＝π2

. ∴sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝1＋cos 2α2＝31010

. 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2

＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

答案 C

解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2

＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2

，△ABC 为直角三角形． 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

答案 C