matlab符号微积分微分方程
Matlab符号计算
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。
使用Matlab符号数学工具箱求解微分方程
使用Matlab符号数学工具箱求解微分方程Matlab符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中函数dsolve用于计算常系数微分方程（ordinary differential equations）的符号解（Symbolic solution），此处的符号解即解析解。
注意：不是所有的微分方程都能用dsolve函数求出解析解。
1调用形式dsolve函数调用形式有如下两种：r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')r = dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')2函数描述dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')用于计算常系数微分方程（或常系数微分方程组）的符号解，其中参数'eq1,eq2,...'指定微分方程（组），参数'v'指定微分方程（组）中的自变量，参数'cond1,cond2,...'指定微分方程（组）的边界条件及（或）初始条件。
不指定参数'v'时，默认的自变量为t。
输入的方程中使用大写字母D代表微分算符，如单个字母D表示ddt。
大写字母D后跟数字表示多次微分运算。
比如，D2表示22ddt。
紧跟在微分算符后的字符表示因变量。
例如，D3y表示对因变量y的三次微分，其中y是x或t的函数。
初始条件或边界条件由形如y(a) = b或Dy(a) = b的方程给出，其中，y是因变量，b是常量。
如果给出的初始条件的个数小于因变量的个数，则dsolve函数计算的符号解中包含任意常量C1, C2,....。
用MATLAB求解微分方程及微分方程组
例 3 求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt
任取k1、k2的一组初始值：k0=[2,1];
输入命令： k=lsqcurvefit('curvefun1',k0,t,c) 运行结果为： k =[ 1.3240 作图表示求解结果： t1=0:0.1:18; f=curvefun1(k,t1); plot(t,c,'ko',t1,f,'r-')
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0.2573]
0
2
46Leabharlann 81012
14
16
18
模型2：慢速饮酒时，体液中酒精含量的变化率
dx k2 x a dt x(0) 0
其中
M a T
M为饮酒的总量，T为饮酒的时间
则有；
a x (1 e k 2 t ) k2
5 5 ) 处时被导弹击中. 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, 24 24 y 5 被击中时间为: t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
轨迹图如下
例： 饮酒模型
模型1：快速饮酒后，胃中酒精含量的变化率
dy k1 y dt y (0) M
5 5 ) 处时被导弹击中. 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, 24 24 y 5 被击中时间为 : t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
matlab符号微分
matlab符号微分在MATLAB中，可以使用符号工具箱来进行符号微分。
以下是一些常用的符号微分函数：1. diff：用于计算一个或多个变量的一阶导数。
语法：diff(f, x) 或 diff(f, x, n)。
示例：syms x; f = x^2 + 3*x + 2; df = diff(f, x); disp(df);2. diff：用于计算一个或多个变量的高阶导数。
语法：diff(f, x, n)。
示例：syms x; f = x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4; d2f =diff(f, x, 2); disp(d2f);3. gradient：用于计算多元函数的梯度向量。
语法：gradient(f, [x1, x2, ...])。
示例：syms x y; f = x^2 + y^2; g = gradient(f, [x, y]); disp(g);4. jacobian：用于计算多个函数的雅可比矩阵。
语法：jacobian([f1, f2, ...], [x1, x2, ...])。
示例：syms x y; f1 = x^2 + y^2; f2 = x*y; J = jacobian([f1, f2], [x, y]); disp(J);5. hessian：用于计算二元函数的海森矩阵。
语法：hessian(f, [x, y])。
示例：syms x y; f = x^2 + y^2; H = hessian(f, [x, y]); disp(H);以上函数的输入参数可以是符号变量（通过syms命令定义）或者符号表达式。
输出结果也是符号表达式，可以通过disp命令来显示。
需要注意的是，符号微分计算可能会涉及到复杂的代数运算，因此在计算复杂函数的导数时，可能需要一定的计算时间。
matlab求解微分方程解析解
matlab求解微分方程解析解在数学和工程学科中，微分方程是一种重要的数学工具，它涉及到很多实际问题的模型和解决方法。
而Matlab作为一款强大的数学软件，可以方便地求解微分方程的解析解。
Matlab中求解微分方程的一种常见方法是使用符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox），它可以处理符号表达式和符号函数，包括微积分、代数、矩阵、符号等数学操作。
首先，我们需要定义微分方程的符号变量和初值条件。
例如，我们假设要求解的微分方程为dy/dx = x^2，初值条件为y(0)=1，则可以使用如下代码：syms x yode = diff(y,x) == x^2;cond = y(0) == 1;然后，我们可以将微分方程和初值条件作为参数传递给dsolve函数来求解微分方程的解析解。
例如：sol = dsolve(ode, cond);其中，sol为求解得到的符号表达式，可以使用vpa函数将其转换为数值解。
例如：sol_num = vpa(sol, 5);这样，我们就得到了微分方程的解析解，并将其转换为5位有效数字的数值解。
除了使用符号计算工具箱，Matlab还提供了许多数值方法来求解微分方程的数值解。
例如，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。
例如，求解dy/dx = x^2，y(0)=1的数值解可以使用如下代码：fun = @(x,y) x^2;[t,y] = ode45(fun, [0,1], 1);其中，fun为微分方程的函数句柄，[0,1]为求解区间，1为初值条件。
t和y分别为求解得到的时间序列和解向量。
总之，Matlab提供了多种方法来求解微分方程的解析解和数值解，可以根据实际问题的需要选择不同的方法来求解。
matlab解微积分方程
matlab解微积分方程Matlab是一种功能强大的数值计算软件，可以用于解决各种数学问题，包括微积分方程。
微积分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
本文将介绍如何使用Matlab解微积分方程。
我们需要明确什么是微积分方程。
微积分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常可以写成形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的形式。
其中y(x)是未知函数，p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。
解微积分方程的过程可以分为两步：建立方程和求解方程。
建立方程是将实际问题转化为数学模型，而求解方程则是找到满足方程的函数。
在Matlab中，可以使用dsolve函数来求解微积分方程。
dsolve 函数可以根据方程的类型自动选择合适的求解方法，并给出满足方程的函数表达式。
例如，对于一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可以使用以下代码求解：syms x y(x)p = input('请输入p(x)的表达式：'); % 输入p(x)的表达式q = input('请输入q(x)的表达式：'); % 输入q(x)的表达式eqn = diff(y,x) + p*y - q == 0; % 建立微分方程sol = dsolve(eqn); % 求解微分方程disp('方程的解为：');disp(sol);在以上代码中，首先使用syms命令定义符号变量x和y(x)，然后使用input命令分别输入p(x)和q(x)的表达式。
接下来，使用diff 命令计算y'(x)，然后将其代入微分方程中得到eqn。
最后，使用dsolve命令求解方程，并将结果存储在sol中，最后将结果打印出来。
对于更高阶的微积分方程，可以使用符号变量来表示未知函数及其导数的各阶，并按照相应的形式建立方程。
matlab符号运算求解微分方程
matlab符号运算求解微分方程在科学研究和工程技术领域，微分方程是一种常见的数学模型，用于描述存在着变化和相互关联的自然现象。
然而，微分方程通常需要采用解析或数值方法才能得到精确的解。
而作为一种强大的数学计算软件和编程语言，MATLAB的符号计算工具可以提供一种方便有效的方式来求解微分方程。
符号计算是一种基于数学公式和符号代数方法的计算技术，相比于数字计算，它更加精确和高效。
在MATLAB中，通过Symbolic Math Toolbox可以轻松实现符号计算，包括求解微分方程、计算积分、求解方程等。
下面我们将从三个方面介绍如何使用MATLAB求解微分方程。
一、符号变量的定义和使用在MATLAB中，我们首先需要定义符号变量。
通过声明符号变量，我们可以让MATLAB知道我们要处理的变量是符号变量，而不是数字变量。
定义符号变量可以使用syms函数。
例如，我们要定义一个符号变量x，只需要在MATLAB命令窗口中输入以下代码：syms x接下来，我们可以使用符号变量x来表示各种函数表达式和微分方程中的未知函数。
例如，我们可以定义一个函数表达式f(x)：f(x) = x^2 + 2*x + 1我们可以使用f(x)来表示这个函数，在MATLAB命令窗口中输入f(x)，就可以得到函数的值。
同时，符号变量也可以用来表示微分方程中的未知函数。
例如，我们可以定义一个一阶常微分方程：syms y(x)ode = diff(y,x) == x其中，y(x)表示未知函数，而ode表示微分方程。
diff函数用于求解函数y(x)对x的导数。
我们可以使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，我们可以在命令窗口中输入以下代码：dsolve(ode)通过这个函数调用，MATLAB将给出微分方程的解析解。
二、符号运算和微分方程求解在MATLAB中，我们可以使用符号运算来对方程进行化简和求解。
符号运算包括：1. simplify：对表达式进行化简；2. collect：将表达式中相似的项进行合并；3. factor：将表达式进行因式分解；4. expand：将表达式展开；5. subs：用指定的符号代替表达式中的变量。
matlab 微分积分
matlab 微分积分一、Matlab简介Matlab是一款数学软件，它的名字来源于Matrix Laboratory（矩阵实验室），由美国MathWorks公司开发。
Matlab在科学计算、工程计算、数据处理、图像处理等领域广泛应用，也是教育和研究机构中常用的工具之一。
二、微积分基础微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其应用。
在Matlab中，可以使用syms命令定义符号变量，并使用diff和int命令求解导数和积分。
1. 符号变量定义在Matlab中，使用syms命令定义符号变量。
例如：syms x y z这样就定义了三个符号变量x、y和z。
可以通过这些符号变量进行各种运算。
2. 导数求解在Matlab中，使用diff命令求解导数。
例如：syms x y zf = x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1;diff(f)这样就可以得到f的导数：3*x^2 + 4*x + 5。
如果要对多个变量求导数，则需要指定变量名。
例如：syms x y zf = x^3*y^2 + sin(z);diff(f, x) % 对x求偏导数diff(f, y) % 对y求偏导数diff(f, z) % 对z求偏导数3. 积分求解在Matlab中，使用int命令求解积分。
例如：syms x y zf = x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1;int(f)这样就可以得到f的不定积分：x^4/4 + 2*x^3/3 + 5*x^2/2 + x。
如果要进行定积分，需要指定积分区间。
例如：syms x y zf = x^3 + 2*x^2 + 5*x + 1;int(f, 0, 1)这样就可以得到f在区间[0,1]上的定积分。
三、微积分高级应用除了基本的微积分运算外，Matlab还提供了一些高级的微积分应用，如曲线拟合、最小二乘法、微分方程求解等。
1. 曲线拟合在实际应用中，我们常常需要对一些数据进行拟合，以便更好地描述数据的规律。
MATLAB 数值微积分与微分方程式求解
Matlab求解常微分方程式
Ex:
dy1 dt
=
y1
+
y2e−t
dy2 dt
=
− y1 y2
+ cos(t)
1. edit fun.m
function dydt=fun(t,y)
dydt(1) = y(1)+y(2)*exp(-t);
dydt(2) = -y(1)*y(2)+cos(t);
Stiff ODE 指的是其內部某些狀態響應快速，而某些則 相對具較緩慢動態
勁度
勁度系統 (stiff system)表示其具有快速變化以及緩慢變化 的部分。 勁度系統例子： dy = −1000y + 3000 − 2000e−t
dt
假使y(0)=0，其解 y = 3 − 0.998e−1000t − 2.002e−t
用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解0010ysin??yettt21221sincosttyyyyyteeyty?????12122210100sincosttyy?yyyteeyty???????11matlabode指令matlab用于求解起始值常微分方程式問題的指令stiffode指的是其內部某些狀態響應快速而某些則相對具較緩慢動態ode23tbode23tode23sode15sstiffodeode113ode23ode45nonstiffode指令問題形式勁度勁度系統勁度系統勁度系統勁度系統stiffsystem表示其具有快速變化以及緩慢變化的部分
k4 = f (ti + h, yi + k3h)
方程式系統
許多實際的工程及科學問題需要求解的是聯立常微分方 程式系統，而不只是單一方程式。
MATLAB求解微分方程
dx y z dt dy 例（ 4 Rossler方程） x ay dt dz dt b ( x c) z
选定a=0.3，b=2,c=3 初值x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0
• a=0.3;b=2;c=3; • rossler=@(t,y)[-y(2)-y(3),y(1)+a*y(2),b+(y(1)c)*y(3)]'; • ts=[0 100];x0=[0 0 0]; • [t,y]=ode45(rossler,ts,x0); • plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'b',t,y(:,3),'g'); • figure • plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) •
d 2x 2 dx 2 1000(1 x ) x 0 例3 dt dt x(0) 2; x' (0) 0
STEP1
令 y1=x，y2=y1’
化为一阶微分方程组：
y1 ' y2 2 (1 y1 ) y2 y1 y2 ' 1000 y (0) 2, y (0) 0 1 2
• STEP2 建立M文件 • function dy=vdp(t,y) dy=[y(2); 1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);]
STEP3 调用MATLAB 函数ODE15S [T,Y]=ode15s('vdp',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1))
用Matlab求微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
matlab中的微分方程的数值积分
MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。
微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。
本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。
一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。
ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。
用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。
2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。
pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。
二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。
如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。
在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。
2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。
通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。
3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。
选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。
三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。
matlab基本符号运算和微积分
符号运算及运用MATLAB提供了与Maple语言的良好接口。
符号表达式符号表达式是代表数学、函数、算子和变量的字符串或字符串数组。
不要求变量有预先确定的值，符号方程式是含有等号的符号表达式。
MATLAB内部把符号表达式表示成字符串，以便与数字变量或者运算相区别。
符号常量是不含有变量的符号表达式。
在Matlab中符号变量和符号表达式可以通过sym和syms来创建。
符号变量或者表达式名=sym(‘字符串’)在sym中参数可以设置一些数学特性，如x=sym(‘x’,’real’)表示x为实型x=sym(‘x’,’unreal’)表示x为非实型S=sym(A,flag)表示A为r、d、e、或者f格式其中之一时，sym函数把它从数字向量或矩阵转变成符号对象形式。
创建符号矩阵>>M=[a,b;c,d]???Undefined function or variable ‘a’.>>M=’[a,b;c,d]’M=[a,b;c,d]>>M=sym(‘[a,b;c,d]’)M=[a,b][c,d]M以三种方式定义，分别是数字型、字符串型和符号矩阵型。
体会符号矩阵和字符串矩阵的区别>>cleara=sym(‘[A,B;C,D]’) %符号矩阵创建a=[A,B][C,D]>>b=[‘A,B;C,D’] %字符串矩阵b=A,B;C,D符号表达式函数操作 >>diff(‘cos(x)’) Ans= -sin(x)>>M=sym(‘[A,B;C,D]’) M= [A,B] [C,D] >>det(M) ans=A*D-B*C在matlab 中可以利用symvar 询问matlab 在符号表达式中认为哪一个变量是独立变量。
symvar （符号表达式）符号表达式的操作及代数运算用函数findsym(f,n)来确定符号表达式f 的自由变量和自由变量的个数。
微分方程在matlab里的写法
微分方程在matlab里的写法
在Matlab中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。
具体的写法如下：
1. 首先，定义一个函数，表示微分方程的右侧（也称为微分方程的函数形式）。
```matlab
function dydt = myODE(t, y)
% 输入：t为自变量，y为函数的值
% 输出：dydt为函数dy/dt的值
% 在此处定义微分方程的函数形式
dydt = % 定义微分方程的函数形式
end
```
2. 接着，在主程序中调用ode45函数求解微分方程。
```matlab
tspan = [t0, tf]; % 设定自变量t的范围，t0为初始值，tf为终止值
y0 = y_initial; % 设定函数的初始值
[t, y] = ode45(@myODE, tspan, y0); % 调用ode45函数求解微分方程
```
在上述代码中，@myODE表示将函数myODE作为ode45函数的参数，tspan是时间范围，y0是函数初始值。
调用ode45函数后，会返回自变量的取值t和函数的值y，分别保存在变量t和y中。
需要注意的是，上述代码中的定义微分方程的函数形式和设定初始值需要根据具体的微分方程进行修改。
更复杂的微分方程可能需要使用其他的求解函数，如ode23、ode113等。
matlab 符号函数积分
matlab 符号函数积分Matlab是一种常用的数学软件，它可以进行各种数学计算和绘图。
其中，符号函数积分是Matlab中的一个重要功能，它可以用来求解一些复杂的数学问题。
下面我们来详细了解一下Matlab符号函数积分的相关知识。
一、Matlab符号函数积分的定义符号函数积分是指对一个函数进行积分，得到的结果是一个符号函数。
在Matlab中，符号函数积分可以通过syms命令来定义。
例如，我们可以定义一个符号函数f(x)：syms xf(x) = x^2 + 2*x + 1;然后，我们可以对这个符号函数进行积分：int(f(x), x)这样就可以得到f(x)的积分结果。
二、Matlab符号函数积分的应用Matlab符号函数积分可以应用于各种数学问题中。
例如，我们可以用符号函数积分来求解一些复杂的微积分问题，如求解定积分、不定积分、多重积分等。
此外，符号函数积分还可以用于求解微分方程、线性代数等问题。
三、Matlab符号函数积分的优势与传统的数学计算方法相比，Matlab符号函数积分具有以下优势：1. 精度高：Matlab符号函数积分可以精确地计算出符号函数的积分结果，避免了传统计算方法中可能出现的误差。
2. 速度快：Matlab符号函数积分可以快速地计算出符号函数的积分结果，节省了计算时间。
3. 灵活性强：Matlab符号函数积分可以应用于各种数学问题中，具有很强的灵活性。
四、Matlab符号函数积分的局限性虽然Matlab符号函数积分具有很多优势，但它也存在一些局限性。
例如，对于一些复杂的函数，Matlab符号函数积分可能无法求解出其积分结果。
此外，Matlab符号函数积分也可能会出现计算时间过长的情况，影响计算效率。
总之，Matlab符号函数积分是一种非常重要的数学计算方法，它可以应用于各种数学问题中，具有很高的精度和速度。
但是，在使用Matlab符号函数积分时，我们也需要注意其局限性，避免出现计算错误或计算时间过长的情况。
Matlab在微积分中的应用
降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible)
展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量 释放出来，但得出的结果并不进行任何 整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一 起
13
重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理 化简方法。它的化简方法是将代数式 尽量化为 ax(bx(cx(…(zx+z’)+y’)+…)+b’)+a’ 的形式。 horner（A）
D为D={(x,y,z)|x2/3+y1/2+z2/5≤1} 5.对方程解进行替换代入,方程解为：
t=sovle(‘a*x^6+b*x^2+c’) 6.级数求和(3n+1)(z-1)n z∈C,n=1→∞ 7.求解方程组：
x+y+z=0 2
x +yz+x=10190
x/y+z/y+y/x+y/z=16327/225
可以用前面讲的limit命令来求各种函数的 导数，但利用导数的基本概念，可以轻松地 进行计算。
4
diff命令
（1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导 diff（f）
（2）求函数的高阶导数 diff（f，n）
（3）多元函数的求导 diff（function，’variable’,n） 其中n为求导阶数
29
Байду номын сангаас
（2）非线性方程组的求解fsolve
X=fsolve(‘functions_name’,X0) 其中functions_name是预先以m函数 格式写入Matlab的函数组的函数名。 X0是当函数组均等于零时对各变量的 解的估计。
MATLAB中的微积分运算（数值符号）
MATLAB中的微积分运算（数值符号）显然这个函数是单词differential（微分）的简写，⽤于计算微分。
实际上准确来说计算的是差商。
如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。
(1)符号微分1.常⽤的微分函数函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> diff(x)ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1例1:求矩阵中各元素的导数求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)1/(x*y) exp(x^2)]对x的微分,可以输⼊以下命令A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')可得到如下结果:例2:求偏导数求的偏导数。
syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)可得到如下结果：例3:求复合函数的导数求的导数sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')得到结果如下：例4:求参数⽅程的导数对参数⽅程求导syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数可得到如下结果：例5:求隐函数的导数求的⼀阶导数syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进⾏整体表⽰%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)可得到如下结果：2.符号积分1符号函数的不定积分函数:int功能:求取函数的不定积分语法:int(f)int(f,x)说明:第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值;第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。
(完整word版)matlab符号积分和微分等等
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素放在一对方括号内；在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵 的图标为 ，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为 ，二者很容易区分。
2、符号表达式的基本运算函数
符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达 式或符号矩阵。在 MATLAB 运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时 间和内存都比较多，但它的计算结果最精确。在默认情况下，当用函数 sym 生 成符号变量后，MATLAB 将对这些变量进行符号计算。在 MATLAB 符号计算 工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。下面将介绍一些常用的符号运算函 数，如表 6-6 所示。
表 6-6 常用的符号函数
函数格式
说明
symadd(S1，S2)
符号表达式 S1 加上符号表达式 S2
symsub(S1，S2)
符号表达式 S1 减去符号表达式 S2
symmul(S1，S2)
符号表达式 S1 乘上符号表达式 S2
symdiv(S1，S2)
符号表达式 S1 除符号表达式 S2
sympow(S，p)
函数名称 傅立叶变换 拉普拉斯变换 Z 变换
表 6-10 常用的积分变换函数
函数格式 fourier(fx，x，t)
ifourier(Fw，t，x)
laplace(fx，x，t) ilaplace(Fw，t，x) ztrans(fx，x，t) iztrans(Fw，t，x)
说明 Fx 为函数 f(x)的符号表达式、x 为自变量、t 像函数 F(t) 的自变量。结果为函数 f(x)的傅立叶像函数 F(t) Fw 为函数 F(t)的符号表达式、t 为自变量、x 为原函数 f(x) 的自变量。结果为函数 F(t)的傅立叶原函数 f(x) 结果为函数 f(x)的拉普拉斯像函数 F(t) 结果为函数 F(t)的拉普拉斯原函数 f(x) 结果为函数 f(x)的 Z 变换像函数 F(t) 结果为函数 F(t)的 Z 变换原函数 f(x)
matlab符号微积分微分方程
matlab符号微积分微分⽅程符号极限、微积分和符号⽅程的求解1.语法：sym(‘表达式’)%创建符号表达式f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c2.使⽤syms命令创建符号变量和符号表达式语法：syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式syms a b c x %创建多个符号变量f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式3.4.1符号极限假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本⽤法如表3.2所⽰。
【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。
f=sym('1/x')limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限ans =NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趋近于0ans =-inflimit(f,'x',0,'right') %右趋近于0ans =inf程序分析：当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。
3.4.2符号微分函数diff是⽤来求符号表达式的微分。
语法：diff(f) %求f对⾃由变量的⼀阶微分diff(f,t) %求f对符号变量t的⼀阶微分diff(f,n) %求f对⾃由变量的n阶微分diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分【例3.15】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。
f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+cdiff(f) %对默认⾃由变量x求⼀阶微分ans =2*a*x+bdiff(f,'a') %对符号变量a求⼀阶微分ans =x^2diff(f,'x',2) %对符号变量x求⼆阶微分ans =2*adiff(f,3) %对默认⾃由变量x求三阶微分ans = 0微分函数diff 也可以⽤于符号矩阵，其结果是对矩阵的每⼀个元素进⾏微分运算。
MATLAB符号运算与符号方程求解
自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方 程的通解。
dsolve在求常微分方程组时的调用格式为： dsolve(e1,e2,…,en,c1,…,cn,v1,…,vn) 该函数求解常微分方程组e1,…,en在初值条件c1,…,cn下的特解，若不
方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。 例9-9 解下列方程。
9.4.2 符号常微分方程求解 在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y'，D2y表示
y''，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程 y'''+y''+y'-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实 现，其调用格式为：
4．符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。 simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显
示化转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。
略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。 例9-7 求下列级数之和。
9.3.2 函数的泰勒级数
MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调 用格式为：
taylor(f,v,n,a)
该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项 (即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值 与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展 开，a的缺省值是0。
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matlab符号微积分微分方程符号极限、微积分和符号方程的求解 1.语法:sym(…表达式?) %创建符号表达式f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式语法:syms arg1 arg2 …,参数 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式syms a b c x %创建多个符号变量f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式3.4.1符号极限假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本用法如表3.2所示。
表3.2 limit函数的用法表达式函数格式说明limf(x) limt(f) 对x求趋近于0的极限 x,0limf(x) limt(f,x,a) 对x求趋近于a的极限，当左右极限不相等时x,a极限不存在。
limf(x) limt(f,x,a, 对x求左趋近于a的极限 ,x,aleft)limf(x) limt(f,x,a, 对x求右趋近于a的极限，x,aright)【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。
f=sym('1/x')limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限ans =NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趋近于0ans =-inflimit(f,'x',0,'right') %右趋近于0ans =inf程序分析:当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。
3.4.2符号微分函数diff是用来求符号表达式的微分。
语法:diff(f) %求f对自由变量的一阶微分diff(f,t) %求f对符号变量t的一阶微分diff(f,n) %求f对自由变量的n阶微分diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分2【例3.15】已知f(x),ax+bx+c，求f(x)的微分。
f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+cdiff(f) %对默认自由变量x求一阶微分ans =2*a*x+bdiff(f,'a') %对符号变量a求一阶微分ans =x^2diff(f,'x',2) %对符号变量x求二阶微分ans =2*adiff(f,3) %对默认自由变量x求三阶微分ans =微分函数diff也可以用于符号矩阵，其结果是对矩阵的每一个元素进行微分运算。
2，，2xt【例3.15续】对符号矩阵求微分。
,,xtsin(x)e,,，，syms t xg=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %创建符号矩阵g =[ 2*x, t^2] [ t*sin(x), exp(x)]diff(g) %对默认自由变量x求一阶微分ans =[ 2, 0] [ t*cos(x), exp(x)]diff(g,'t') %对符号变量t求一阶微分ans =[ 0, 2*t][ sin(x), 0]diff(g,2) %对默认自由变量x求二阶微分ans =[ 0, 0] [ -t*sin(x), exp(x)]diff还可以用于对数组中的元素进行逐项求差值。
【例3.15续】可以使用diff计算向量间元素的差值。
x1=0:0.5:2;y1=sin(x1)y1 =0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093diff(y1) %计算元素差ans =0.4794 0.3620 0.1560 -0.0882 程序分析:计算出的差值比原来的向量少一列。
3.4.3符号积分积分有定积分和不定积分，运用函数int可以求得符号表达式的积分。
语法: int(f,?t?) %求符号变量t的不定积分int(f,?t?,a,b) %求符号变量t的积分int(f,?t?,?m?,?n?) %求符号变量t的积分说明:t为符号变量，当t省略则为默认自由变量;a和b为数值，[a,b]为积分区间;m和n为符号对象，[m,n]为积分区间;与符号微分相比，符号积分复杂得多。
因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件，MATLAB无法顺利得出。
当MATLAB不能找到积分时，它将给出警告提示并返回该函数的原表达式。
cos(x)cos(x)【例3.16】求积分和。
,,,f=sym('cos(x)');int(f) %求不定积分ans =sin(x)int(f,0,pi/3) %求定积分ans =1/2*3^(1/2)int(f,'a','b') %求定积分ans =sin(b)-sin(a)int(int(f)) %求多重积分ans =-cos(x)diff和int命令，也可以直接对字符串f进行运算:f='cos(x)';2，，2xt【例3.16续】求符号矩阵的积分。
,,xtsin(x)e,,，，syms t xg=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %创建符号矩阵g =[ 2*x, t^2] [ t*sin(x), exp(x)]int(g) %对x求不定积分ans =[ x^2, t^2*x] [ -t*cos(x), exp(x)]int(g,'t') %对t求不定积分ans =[ 2*x*t, 1/3*t^3] [ 1/2*t^2*sin(x), exp(x)*t]int(g,sym('a'),sym('b')) %对x求定积分ans =[ b^2-a^2, t^2*(b-a)][ -t*cos(b)+t*cos(a), exp(b)-exp(a)]3.4.4符号级数1. symsum函数语法:symsum(s,x,a,b) %计算表达式s的级数和说明:x为自变量，x省略则默认为对自由变量求和;s为符号表达式;[a,b]为参数x的取值范围。
1112k1【例3.17】求级数和1+x+x+…+x+…的和。
，，，？，，？22223ksyms x ks1=symsum(1/k^2,1,10) %计算级数的前10项和s1 =1968329/1270080s2=symsum(1/k^2,1,inf) %计算级数和s2 =1/6*pi^2s3=symsum(x^k,'k',0,inf) %计算对k为自变量的级数和s3 =-1/(x-1)2. taylor函数语法:taylor (F,x,n) %求泰勒级数展开说明:x为自变量，F为符号表达式;对F进行泰勒级数展开至n项，参数n省略则默认展开前5项。
x11123k,1【例3.17续】求e的泰勒展开式为:。
1，x，,x，,x，？，,x，？22，3k!syms xs1=taylor(exp(x),8) %展开前8项s1 =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7s2=taylor(exp(x)) %默认展开前5项s2 =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^53.6符号方程的求解3.6.1代数方程当方程不存在解析解又无其他自由参数时，MATLAB可以用solve命令给出方程的数值解。
语法:solve(…eq?,?v?) %求方程关于指定变量的解solve(…eq1?, ?eq2?,?v1?,?v2?,…) %求方程组关于指定变量的解说明:eq可以是含等号的符号表达式的方程，也可以是不含等号的符号表达式，但所指的仍是令eq=0的方程;当参数v省略时，默认为方程中的自由变量;其输出结果为结构数组类型。
2【例3.21】求方程ax+bx+c=0和sinx=0的解。
f1=sym('a*x^2+b*x+c') %无等号f1 =a*x^2+b*x+csolve(f1) %求方程的解xans =[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] f2=sym('sin(x)')f2 =sin(x)solve(f2,'x')ans =程序分析:当sinx=0有多个解时，只能得出0附近的有限几个解。
2,x，2x，1,0, 【例3.22】求三元非线性方程组的解。
x，3z,4,,y*z,,1, eq1=sym('x^2+2*x+1');eq2=sym('x+3*z=4');eq3=sym('y*z=-1');[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3) %解方程组并赋值给x,y,zx =-1y =-3/5z =5/3程序分析:输出结果为“结构对象”，如果最后一句为“S=solve(eq1,eq2,eq3) ”，则结果为:S =x: [1x1 sym]y: [1x1 sym]z: [1x1 sym]3.6.2符号常微分方程MATLAB提供了dsolve命令可以用于对符号常微分方程进行求解。
语法: dsolve(…eq?,?con?,?v?) %求解微分方程dsolve(…eq1,eq2…?,?con1,con2…?,?v1,v2…?) %求解微分方程组说明:’eq’为微分方程;’con’是微分初始条件，可省略;’v’为指定自由变量，省略时则默认为x或t为自由变量;输出结果为结构数组类型。
, 当y是因变量时，微分方程’eq’的表述规定为:dydyy的一阶导数或表示为Dy, dxdtnndydyy的n阶导数或表示为Dny。
nndxdt, 微分初始条件'con'应写成'y(a)=b，Dy(c)=d'的格式;当初始条件少于微分方程数时，在所得解中将出现任意常数符C1，C2……，解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。
2dydy2【例3.23】求微分方程x,3,x，y(1)=0，y(0)=0的解。
2dxdxy=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','x') %求微分方程的通解y =-1/3*x^3+C1+C2*x^4y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x')%求微分方程的特解y =-1/3*x^3+125/468+31/468*x^4dxdy,y,,,x【例3.24】求微分方程组的解。