最全面高中数学重点知识点总结及题型(超详细)

高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一 集合的概念

1．集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象

构成的集合 ( 或集)，通常用大写拉丁字母 A ， B ，C ， 来表示．

2．元素：构成集合的 a ，b ， c ，

叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母

来表示．

3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .

知识点二

集合与元素的关系

1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 集合 A ，记作 a

A.

2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a

集合 A ，记作 a

A.

知识点三 集合的特性及分类

1．集合元素的特性

、 、 .

2．集合的分类： (1) 有限集：含有 元素的集合； (2) 无限集：含有 元素的集合．

3．常用数集及符号表示

名称 非负整数集 (自然数集 )

整数集 实数集 N * 或 N

N ＋

Z

Q

R

符号

知识点四

集合的表示方法

1．列举法：把集合的元素 ，并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法

2．描述法：用集合所含元素的

表示集合的方法称为描述法．

知识点五

集合与集合的关系

1．子集与真子集

图形语言

定义

符号语言

(Venn 图)

如果集合 A 中的

元素都是

集合 B 中的元素，我们就说这两个

集合有包含关系，称集合 A 为集合

( 或

)

子集

B 的子集

如果集合 A ? B ，但存在元素

，且

，我们称集

( 或

)

真子集

合 A 是集合 B 的真子集

2.子集的性质

(1)规定：空集是 的子集，也就是说，对任意集合

A ，都有 ．(2) 任何一个集合 A 都是 它本身的子集，即

．(3) 如果 A ? B ， B? C ，则

．(4) 如果 A B ，B

C ，则

．

3．集合相等

图形图言

定义符号语言

(Venn 图)

如果集合 A 是集合 B 的子集(A

? B)，且，此

时，集合 A 与集合 B 中的元素

集合相等A＝B

是一样的，因此，集合 A 与集合

B 相等

知识点六集合的运算

1．交集

自然语言符号语言图形语言

由

A ∩B＝

A 与B

组成的集合，称为的

交集

2．并集

自然语言符号语言图形语言由

A ∪B＝

组成的

集合，称为 A 与B 的并集

3.交集与并集的性质

交集的运算性质并集的运算性质

A∩B＝A∪B＝

A∩A＝ A ∪A＝

A∩?＝A∪?＝

A? B? A ∩B＝A? B? A∪B＝

4.全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集，通常记作．

5．补集

A，由全集U 中的所有元素组成的集合称为集

对于一个集合

文字语言

合A 相对于全集U 的补集，记作

?U A＝

符号语言

图形语言

典例精讲

题型一* 判断能否构成集合

x2 －2＝0 的实数解”中，能够构成集合的是。1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程

题型二* 验证元素是否是集合的元素

m2 n2 , m

1、已知集合 A x x Z,n Z ，判断 3 是不是集合 A 的元素。

1

是由形如m 3n m Z , n Z 是不是集合 A 中的元素.

2、集合A 的数构成的，判断

2 3

题型三** 求集合

3x ＋y＝2 2x －3y＝27 的解集是( )

1．方程组

x＝3

y＝－7 B．{x ，y|x ＝3 且y＝－7} C．{3 ，－7} D ．{(x ，y)|x＝3 且y＝－7}

A.

2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y＝2} ；②{(x ，y)|x＝－1，y＝2} ；③{ －1,2} ；④(－1,2) ；⑤{( －1,2)} ；

⑥{(x ，y)|x＝－1或y＝2} ．

2x ＋y＝0，x－y＋3＝0 的解集的是( )

能表示方程组

A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤C．②⑤D．②⑤⑥

题型四** 利用集合中元素的性质求参数

1．已知集合S＝{a ，b，c} 中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )

A．锐角三角形C．钝角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形0，

b

，b ，则b－a＝. { }

2.设a，b∈R，集合{1 ，a＋b，a} ＝

a

3.已知P＝{x|2 ＜x＜k，x∈N，k∈R} ，若集合P 中恰有 3 个元素，则实数k 的取值范围是.

0，m，m2 －3m＋2 三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m 的值为( )

4.已知集合A 是由

A．2 题型五**

B．3 C．0 或3 D．0 或2 或3 判断集合间的关系

k 1

2 4

k

4

1

2

M x x , k Z , N x x , k Z ，则M 与N 的关系正确的是（）

1、设

B. M N

C. M N

A. M=N D.以上都不对

2．判断下列集合间的关系：

(1)A ＝{x|x －3＞2} ，B＝{x|2x －5≥0} ；

(2)A ＝{x ∈Z|－1≤x<3} ，B＝{x|x ＝|y|，y∈

A} ．题型六** 求子集个数

A＝{x|ax 2 ＋2x ＋a＝0，a∈R} ，若集合A 有且仅有 2 个子集，则a 的取值构成的集合为．1．已知集合

2.已知集合 A ＝{1 ，2，3} ，写出集合 A 的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集